Download Procesos Radiativos III

13. Principios básicos de relatividad especial
Ya que en la naturaleza la radiación sincrotrón es bastante común y dado que ella
envuelve la presencia de partículas relativísticas, recordaremos primero algunos
de los principios básicos de la relatividad.
La teoría de la relatividad esta basada en dos postulados:
 Las leyes de la naturaleza son las mismas en sistemas de referencia que se
mueven con velocidad relativa uniforme.
 La velocidad de la luz es constante en esos sistemas.
La velocidad de la luz es constante…
El Señor Rojo
El Señor Azul
Ambos señores dicen que la burbuja de luz está
centrada en ellos. Para reconciliar estos dos puntos
de vista tengo que aceptar que las coordenadas en
los dos marcos de referencia obedecen:
2
2
2
2
2
x + y + z = c t (observador en reposo)
x´2 + y´2 + z´2 = c2 t´2
(observador en
movimiento)
Estas dos ecuaciones se satisfacen con las transformaciones de
Lorentz:
13.1. Transformaciones de Lorentz
Considere dos sistemas K y K' que se mueven con velocidad relativa
uniforme v en la dirección x.
Si el espacio es homogéneo e isotrópico entonces las coordenadas
están relacionadas por las transformaciones de Lorentz,
x   ( x  vt )
y  y
(1)
z  z
(3)
t   (t  
donde
v
x)
c2

v2 
  1  2 
c 

1 / 2
( 2)
( 4)
Efecto Doppler Relativista
DtA = Dt – (d/c) = Dt(1-(v/c) cos q)
(parte clásica)
Dt =  (2 p/w’) dilación relativista
w = (2p/DtA) = w’/(1-(v/c) cos q)
¡hay corrimiento al rojo aún para q =
p/2!
13.2 Transformación de las velocidades
Si un punto tiene la velocidad u' en el sistema K', cual es la velocidad u
en el sistema K?.
De las transformaciones de Lorentz, tenemos,
dx   (dx  vd t )
dy  dy
(6)
dz  dz 
(7)
dt   (dt  
v
dx)
c2
(5)
(8)
Por lo tanto,
ux 
dx
 (dx  vd t )

v
dt
 (dt   2 dx)
c
de manera que
ux 
u x  v
vu  

 1  2x 
c 

(9)
Similarmente, encontramos que
u y
uy 
vu 

 1  2x
c

u z
uz 
vu 

  1  2x
c




(10)



(11)
La generalización de estas expresiones para una velocidad arbitraria v, no
necesariamente a lo largo del eje x, puede ser establecida en términos de las
componentes de u paralela y perpendicular a v,
u //  v
vu  

1  2// 
c 

u 
u 
vu  

 1  2// 
c 

u // 
(12)
(13)
Las direcciones de las velocidades en los dos sistemas están relacionadas por la
fórmula de aberración
tan q 
u
u  senq 

u //
 (u  cos q   v)
(14)
donde u'  u'. El ángulo azimutal  permanece inalterable.
Una aplicación interesante es el caso en que u'= c, encontrándose que
tan q 
senq 
  cos q  
v

c

v
cos q  
c
cos q 
v
1    cos q 
c
Estas relaciones representan la aberración de la luz.
Es instructivo analizar el caso en que el fotón sea emitido en un ángulo recto a v
en el sistema de referencia K', es decir q' = p/2.
En esta situación tenemos que
tan q 
c
v
senq 
1
,

Para velocidades altamente relativísticas,  >> 1, y q es muy pequeño,
q 
1

(15)
Si los fotones son emitidos isotrópicamente en K', entonces la mitad
de ellos tendrá q' < p/2 y la otra mitad q' > p/2.
La ecn.(15) muestra que en el sistema K los fotones están concentrados en
la dirección del movimiento con la mitad de ellos yaciendo dentro de un cono
con ángulo 1/. Muy pocos fotones son emitidos con q >> 1/.
Esto es lo que se denomina efecto de enfoque (Doppler boosting).
13.3 Transformación de las aceleraciones
La aceleración en la dirección x es
ax 
du x
du x dt 

dt
dt  dt
(16)
Derivando la ecn.(9) con respecto a t',
 du x 
1 

du x
 dt  

dt 




vu x  v du x

(

ux  v 

 dt 
c 2  c 2 dt 

2

v
u


 dt
1  2x 

c 


(17)
y reemplazando en la ecn.(16), encontramos
ax

v2 

ax 
1  c 2 
 dt 



2
vu x  dt

1 

c2 

(18)
Por otro lado de la ecn.(8), tenemos
dt 
1

v
dt
 (1  2 u x )
c
y por lo tanto
ax 
ax
vu 
 3 1  2x 
c 

3
(19)
( 20)
En forma similar se encuentra que
ay 

vu x

1

3 
c2
vu x   
2
 1  2 
c 

1
vu y




a

a
x 

 y
c2


( 21)
En el caso especial en que la partícula está inicialmente en reposo en el sistema K'
(i.e., inicialmente u'x = u'y = u'z = 0),
a//   3a//
(22)
a   2 a
(23)
13.4 Transformación de las potencias
Sea K' el sistema en reposo instantáneo de la partícula y K el sistema del observador.
Usando las transformaciones relativísticas es posible demostrar que la potencia total
emitida es un invariante de Lorentz,
P  P
(24)
y que las distribuciones angulares de la potencia están relacionadas por la expresión,
dP
1
dP
4 dP
  4 (1   cos q 
 4
d
d  (1   cos q 4 d
(25)
donde q' y q son los ángulos con respecto a los ejes x' y x, respectivamente, en
los cuales la radiación es emitida.
Veamos a continuación el caso de la radiación dipolar. La potencia total en el
sistema K' está dada por
(
2q 2  
2q 2
2
2




P 
a

a

a

a
//

3c 3
3c 3

Reemplazando en la relación (24), usando las expresiones (22) y (23),
encontramos que
(
2q 2 4 2 2
2
P


a

a
//

3c 3

Versión relativista de la fórmula de
Larmor
La distribución angular en el sistema K' está dada por
dP
q2  
2



a

a
sin

3

d
4pc
donde ' es el ángulo entre el vector aceleración y la dirección de
propagación de la radiación.
Reemplazando en la relación (25) obtenemos,
(

dP
q 2  2 a//  a

sin 2 
4
3
d 4pc (1   cos q 
2
2
( 26)
Debemos además relacionar el ángulo ' con ángulos en el sistema de
referencia K, lo que es en general bastante complicado.
En el caso especial en que la aceleración es perpendicular a la velocidad, se tiene que
cos   sin q  cos  
Por otro lado, de las transformaciones para las velocidades tenemos
sin q  
sin q
 2 (1   cos q ) 2
cos    cos 
y
de manera que
sin 2 q cos 2 
sin   1  2
 (1   cos q ) 2
2
Por lo tanto en este caso,
2
dP
q 2 a
1

d
4pc 3 (1   cos q 4

sin 2 q cos 2  
1  2
2 

(
1


cos
q
)


(27)
En particular en el caso extremadamente relativista, es decir cuando  >>1, el
termino (1- cosq) en el denominador se hace muy pequeño en la dirección hacia
adelante y la radiación se encuentra fuertemente emitida en esta dirección.
Haciendo las aproximaciones,
cos q  1 
y

1
  1  2


q2
2
1/ 2




 1
1
2 2
encontramos que
1   2q 2
(1   cos q ) 
2 2
Reemplazando en la expresión (27), tenemos que
2
2 2
4 4 

dP
4 q 2 a
8 1  2 q cos 2   q

 

2 2 6
d
pc 3
1  q


(

(28)
Relatividad y
Electromagnetismo
•El que las ecuaciones de Maxwell describen al electromagnetismo en
cualquier marco inercial llevó a Einstein a usar las transformaciones de
Lorentz.
•El resultado de Maxwell de que todas las ondas electromagnéticas viajan a
c llevó a Einstein a su postulado de que la velocidad de la luz es invariante
en todos los marcos inerciales.
•Einstein estaba convencido de que los campos magnéticos aparecen como
campos eléctricos cuando se observan en otro marco inercial. Esta
conclusión es clave para entender la relación entre el electromagnetismo y la
relatividad.
¿Pero, cómo puede un campo magnético
verse como eléctrico sólo por un cambio
de marco inercial?
Líneas de campo eléctrico.
Las líneas de campo magético
rodean a un conductor y no afectan
más que a las cargas en
movimiento.
Cable
con
corriente
¿Cómo puede uno convertirse en el otro y dar la respuesta correcta?
Un alambre
conductor
F  qE  qv  B
Suponga una carga positiva de
prueba que se mueve a la
misma velocidad que las cargas
negativas en un cable. Las
cargas positivas están
estacionarias.
El campo eléctrico debido a las
cargas será 0, de modo que la
fuerza tiene que ser magnética:
F  qv  B
El campo magnético en la
posición de la carga
positiva apunta hacia
adentro de la página, así
que la fuerza sobre ella
será hacia arriba.
Un alambre conductor 2
F  qE  qv  B
Ahora pasémonos al marco de las
partículas negativas en movimiento.
Ahora son las cargas positivas en el
cable las que se mueven. Tendrán
contracción de Lorentz, de modo
que su densidad será mayor.
Aún habrá un campo magnético,
pero como la partícula de prueba
tiene velocidad 0, la fuerza
magnética será 0. El exceso de
cargas positivas producirá un
campo eléctrico:
F  qE
El campo eléctrico apuntará
radialmente hacia afuera,
de modo que la partícula de
prueba sentirá una fuerza
para arriba. Se puede
demostrar que los dos
casos son idénticos.