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Mediante las transformaciones de Lorentz, calcula los campos eléctrico y magnético de una particula con carga q que
se mueve rectilinea y uniformemente con una velocidad ~v .
Solución:
Para simpli…car, pero sin perdida de generalidad, consideraremos que la partícula se mueve a lo largo del eje X de
un sistema de referencia inercial S. Denotaremos como S el sistema de referencia inercial en el cual la partícula está en
reposo. Es decir, S se mueve respecto a S con una velocidad ~v . También supondremos que al tiempo t = t = 0 los origenes
de ambos sistemas de referencia coinciden.
Como en el sistema S la partícula está en reposo, conocemos perfectamente los campos eléctrico y magnético que
produce,
~0 =
E
q
r
3~
(r0 )
~ 0 = ~0
B
0
(1)
donde
q
2
2
2
r0 = (x0 ) + (y 0 ) + (z 0 )
Por lo tanto, para calcular los campos de la partícula en movimiento, debemos transformar los campos (1) al sistema
de referencia inercial S.
Para los sistemas de referencia inerciales que acabamos de de…nir, los campos se transforman de la manera siguiente,
Ex = Ex0
Bx = Bx0
0
0
By = By0 + Ez0
Ey = E y + B z
0
0
Ez = Ez + B y
Bz = Bz0 + Ey0
donde
v
1
=
y
=p
c
1 v 2 =c2
Por tanto, usando (1), las transformaciones nos quedan
Bx = 0
Ex = Ex0
By = Ez0
Ey = Ey0
Bz = Ey0
Ez = Ez0
Como
q 0
Ex =
3x
(r0 )
q 0
Ey =
3y
(r0 )
q 0
Ez =
3z
(r0 )
tenemos
q 0
Ex =
Bx = 0
3x
(r0 )
q 0
q 0
Ey =
By =
3y
3z
0
(r )
(r0 )
q 0
q 0
Ez =
Bz =
3z
3y
0
(r )
(r0 )
Debemos ahora escribir las coordenadas en el sistema S. Si tenemos un sistema de referencia S y otro sistema de
referencia S que se mueve a lo largo del eje X comun, con una velocidad uniforme v, la transformación de Lorentz entre
ambos
0 sistemas
1 0es
10
1 0
1
ct
0 0
ct
(ct x )
B x C B
B
C B
C
0 0 C
B
C B
C B x C = B (x ct ) C
@ y A=@ 0
A
@
A
@
A
0
1 0
y
y
z
0
0
0 1
z
z
Tenemos
q
q
p
2
2
2
2
2 (x
2 x2 + y 2 + z 2 + c2 t2 2 2
r0 = (x0 ) + (y 0 ) + (z 0 ) =
ct ) + y 2 + z 2 =
2ctx 2
así que
q (x ct )
Ex =
3=2
2 x2 + y 2 + z 2 + c2 t2 2 2
2ctx 2
q y
Ey =
3=2
2 x2 + y 2 + z 2 + c2 t2 2 2
2ctx 2
q z
Ez =
3=2
2 x2 + y 2 + z 2 + c2 t2 2 2
2ctx 2
Bx = 0
1
By =
Bz =
q
2 x2
+
y2
+
z2
+
z
c2 t2 2 2
q
2ctx
3=2
2
y
3=2
+ y 2 + z 2 + c2 t2 2 2 2ctx 2
Podemos poner los campos de una manera más compacta de…niendo
~ = (x vt; y; z)
R
y
~ = 1 ( (x vt) ; y; z)
R
2 x2
Con esta notación el campo eléctrico nos queda
~
qR
2
~ = 1
E
3
(R )
Para escribir de una manera más simple el campo magnético, escribimos las transformaciones de los campos como
~k = E
~0
~k = B
~0
E
B
k
k
~ B
~? =
~0
~0
~? =
~0 + ~ E
~0
E
E
B
B
?
que en el caso magnético nos lleva a
~ k = ~0
Bx = B
y
~? = ~ E
~0
B
Como es claro que
~0 = E
~0 + E
~0
E
?
k
y que
~ E
~0 = 0
k
se tiene
~? = ~ E
~0
B
?
pero
~? = E
~0
E
?
así que
~? = ~ E
~?
B
Ahora
~ ? = ~0 + ~ E
~? + 0 = B
~k + ~ E
~? + ~
B
por tanto,
~ =~ E
~
B
Resumiendo
~
qR
2
~ = 1
E
3
(R )
~ =~ E
~
B
con
~ = ~v ,
c
~ = (x vt; y; z)
R
y
~ = 1 ( (x vt) ; y; z) = x vt; y ; z
R
?
~k =
E
~k + ~
B
2
~
E