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Maestría en Transporte
Estadística
Capítulo 1
Objetivos
• ¿Cómo se determinan las magnitudes para
planificación de transporte, operación
de transporte, etc? (el problema de la
estimación, el problema de la
verificación de hipótesis)
Objetivos
• ¿Cómo se determina la relación entre
una variable dependiente y una o mas
variables regresoras? (el problema de
regresión lineal)
Objetivos
• ¿Cómo tratar problemas que se apartan
de los supuestos de la regresión
lineal? (el problema de las
transformaciones, ponderaciones,
autocorrelación, etc)
Objetivos
• ¿Cómo se analizan variables
dicotómicas? (Modelos Logit, probit,
etc)
• ¿Cómo se analizan tablas de
clasificación? (el problema de
estimación en tablas de contingencia)
Objetivos
• ¿Eso es todo lo que hay que decir?
(Resumen de series de tiempo y tópicos
avanzados de estadística. Conceptos de
simulación)
Variables Aleatorias
• Concepto de Variable Numérica
– Concepto de realización
– X  [-;]; ó X  [0;]; ó X N
• Concepto de Variable Aleatoria
– X  [-;]; ó X  [0;]; ó X N, con
algunas restricciones
• Concepto de realización
• Concepto de Evento y Variable Aleatoria
Conceptos de probabilidad
• Eventos: Espacio y eventos
– Variables aleatorias asociadas a eventos
• Concepto de probabilidad
– Sea una evento A con un valor x de la
variable asociada X
• P(A) = P(x)
Funciones de Probabilidad
Funciones de Densidad
•
•
•
•
Funciones
Funciones
Funciones
Funciones
de
de
de
de
probabilidad
densidad de probabilidad
probabilidad acumulada
densidad acumulada
Funciones de Probabilidad
Funciones de Densidad
Descripción de Variables
Aleatorias
• Medidas descriptivas centrales
– Valor esperado o Media
– Mediana
– Moda
• Medidas descriptivas de dispersión
– Varianza (desviación estándar)
– Rango
Descripción de Variables
Aleatorias
Descripción de Variables
Aleatorias
• Momentos
• Kurtosis (Curtosis) y Asimetría
• Otros
– Cuantiles y Percentiles
Algunas funciones de
probabilidad
• Binomial
– X
 {0, 1, 2, 3, ..., n}
Algunas funciones de
probabilidad
• Binomial
–
–
–
–
–
X  {0, 1, 2, 3, ..., n}
Media =np (p:proporción)
Varianza 2=np(1-p)
Coeficiente de Asimetría (1-2p)/(np(1-p))1/2
Curtosis relativa 3+(1-6p(1-p))/(np(1-p))
Algunas funciones de
probabilidad
• Poisson
– X
 {0, 1, 2, 3, ...}
Algunas funciones de
probabilidad
• Poisson
–
–
–
–
–
X  {0, 1, 2, 3, ...}
Media =
Varianza 2= 
Coeficiente de Asimetría 1/ 
Curtosis relativa 3+1/ 
1/2
Algunas funciones de
probabilidad
• Geométrica
• Hipergeométrica
• Binomial negativa
Algunas funciones de
distribución
• Normal
– X
 [-;]
Algunas funciones de
distribución
• Normal
–
–
–
–
–
X  [-;]
Media -<<
Varianza 2>0
Coeficiente de Asimetría 0
Curtosis relativa 3
• Normal
• Normal
Algunas funciones de
distribución
• Uniforme
– X
 [a;b]
Algunas funciones de
distribución
• Uniforme
–
–
–
–
–
X  [a;b]
Media (a+b)/2
Varianza (b-a)2/12
Coeficiente de Asimetría 0
Curtosis relativa 9/5
Algunas funciones de
distribución
• Gamma
• f(x) = {(x)K-1e-x} /(K)
• Exponencial (negativa)
• Weibull
• t
• F
Algunas funciones de
distribución
• Pearson Tipo III (Gamma, Erlang,
Exponencial)
En forma genérica es Gamma, si k es entero se
denomina de Erlang, y degenera en exponencial si k=1
MODELO MATEMATICO GENERALIZADO
•Si  = 0 tenemos distribución gamma
f (t) = [/(K)][t]K-1e-t
•Si además K = entero positivo tenemos
distribución Erlang
f (t) = [ / (K – 1) !] ( t )K-1 e-t
•Si además K = 1 tenemos distribución
exponencial
f (t) =  e-t
•Si K = 1 y  = 0 entonces  = 1 / t*
f (t) =  e-t/t* ; exponencial
•Si K = 1 y   0 entonces  = 1 / (t* - )
•f (t) =  e-(t-)/(t*-) ; exponencial desplazada
Interrogante
• ¿Porque la distribución de Gauss o
Normal es tan famosa?
• Ley de los grandes números: Teorema
central del límite.
Maestría en Transporte
¡Otra vez Estadística!
Capítulo 1
Clase 2
Funciones de Probabilidad
Conjunta
•
•
•
•
Probabilidad conjunta
Probabilidad marginal
Probabilidad condicional
Eventos independientes
Funciones de Probabilidad
Conjunta
Funciones de Probabilidad
Conjunta
Probabilidad condicional
Funciones de Probabilidad
Conjunta
Variables Independientes
Concepto de muestra
• Sean X1, X2, ..., Xn una muestras
i.i.d.
– Significado
– Independiente
– Aleatoria (probabilidad igual a todas las
posibles muestras)
– Idénticamente distribuidas
• Distribución “idéntica” significa forma de la
distribución.
• No implica igualdad de parámetros
Concepto de muestra
• Sean X1, X2, ..., Xn una muestras
i.i.d.
Muestras posibles 3.0   2.8
 X 1
 X 2
 
 ... 
 
 Xn 
1.6 
 
 ... 
 
3 .5 
¿Significa X1, X2, ..., Xn tienen la “misma”
distribución? Depende...
1.6 
 
 ... 
 
 3.1
Etc...
Concepto de muestra
Descripción de datos
muestrales
•
•
•
•
•
•
•
•
Medidas descriptivas
Promedio o media
Mediana
Varianza muestral
DE
Rango intercuartílico
MAD (MAD/0,675)
Deciles
Descripción de datos
muestrales
50
40
30
20
EXP
10
0
.4
.6
CONTROL
.8
1.0
1.2
1.4
1.6
Descripción de datos
muestrales
60
50
3
40
30
20
10
EXP
0
-10
N=
30
1
CONTROL
Descripción de datos
muestrales
7
6
5
4
3
2
Std. Dev = 14.24
1
Mean = 16.8
N = 30.00
0
0.0
EXP
5.0
10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 45.0 50.0
Descripción de datos
muestrales
Distribución empírica
Distribución empírica
1.00
0.75
0.50
0.25
0.00
0.00
10.00
20.00
30.00
Valores observados
40.00
50.00
Descripción de datos
muestrales
Exponential P-P Plot of EXP
1.00
.75
Exponential Q-Q Plot of EXP
70
.50
60
50
0.00
0.00
.25
Expected Exponential Value
.25
40
30
.50
Observed Cum Prob
.75
1.00
20
10
0
-10
-10
0
10
Observed Value
20
30
40
50
60
70
Descripción de datos
muestrales
24
22
20
18
95% CI EXP
16
14
12
10
N=
30
1
CONTROL
Descripción
de datos
muestrales
EXP Stem-and-Leaf Plot
Frequency Stem & Leaf
6.00
0 . 001144
4.00
0 . 5666
8.00
1 . 01111233
3.00
1 . 559
2.00
2 . 02
1.00
2. 8
1.00
3. 3
1.00
3. 8
3.00
4 . 024
1.00 Extremes (>=49)
Stem width: 10.00
Each leaf:
1 case(s)
Distribuciones de Muestreo
• Concepto de “estadística”
– Función de X
– Ejemplo ¯X ¯ = (1/N)  X  [1,1,1,...,1]’
–
¯X ¯ = fc(X)
–
¯X ¯ es v.a.
– ¿Cual es la distribución de ¯X ¯?
Distribuciones de Muestreo
• Suma de Variables Aleatorias
• Diferencia de VA
Y ~N(SaiXi, Saii2)
Distribuciones de Muestreo
• Suma de cuadrados de variables
aleatorias
• sea Xi~N(, 2) i=1, 2,...,n
• sea Zi= (Xi- )/ 
• sea Y = S Zi2
• Entonces Y~n2
Distribuciones de Muestreo
• Suma de cuadrados de variables
aleatorias
• sea X~ n2
• sea Z~N(0,1)
• sea T=Z/(X/n)
• Entonces Y~tn
Distribuciones de Muestreo
• Suma de cuadrados de variables
aleatorias
• sea X~ n2
• sea Z~ m2
• sea T=(X/n)/(Z/m)
• Entonces Y~Fn,m
Distribución de la Media
Distribución de la Media
Distribución de S2
Distribución de S2 (Chi2)
0.25
0.2
3
0.15
5
10
0.1
20
0.05
0
0
20
40
60
Distribución t (Student)
0.018
0.016
0.014
0.012
Normal
1
0.01
2
0.008
3
0.006
20
0.004
0.002
0
-4
-2
0
2
4
Distribución F (Snedecor)
0.14
0.12
0.1
v1=10-v2=10
v1=20-v2=10
v1=10-v2=20
v1=30-v2=30
0.08
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
0
0.5
1
1.5
2
2.5