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FACULTAD DE INGENIERÍA. PROGRAMA INGENIERÍA DE SISTEMAS
mean
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
CON MATLAB® PARA
INVESTIGADORES
Curso básico
Héctor José Pabón Ángel MSc.
2010
UNIVERSIDAD
~1~
DE CUNDINAMARCA SECCIONAL UBATÉ
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
CON MATLAB®
PARA INVESTIGADORES
POR:
HÉCTOR JOSÉ PABÓN ÁNGEL
MSc.
UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA
SECCIONAL UBATÉ
PROGRAMA DE INGENIERÍA
2010
2
CONTENIDO
Pág.
8
8
8
9
9
11
11
14
17
21
23
24
27
29
30
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
ELEMENTOS DE MATLAB®
INTRODUCCIÓN
ALGUNAS OPERACIONES BÁSICAS CON MATLAB®
LOS NÚMEROS EN MATLAB® Y LOS FORMATOS NUMÉRICOS
OPERACIONES ARITMÉTICAS
FUNCIONES MATEMÁTICAS DE MATLAB®
VECTORES
MATRICES
CREACIÓN DE MATRICES ESPECIALES
OPERACIONES CON MATRICES
CADENAS DE IMPRESIÓN
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
GRAFICACIÓN CON MATLAB®
SUBPLOT
DEFINICIÓN DE FUNCIONES
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.13.1
2.13.2
2.13.3
2.14
2.14.1
2.14.2
2.14.3
2.14.4
PROBABILIDAD
INTRODUCCIÓN
ESPACIO MUESTRAL
EVENTO
COMBINATORIA
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
PROBABILIDAD CONDICIONAL
EVENTOS INDEPENDIENTES
VARIABLES ALETAORIAS
DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PROBABILIDAD
ESPERANZA MATEMÁTICA
VARIANZA
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Distribución binomial
Distribución hipergeométrica
Distribución de Poisson
DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Distribución normal
Distribución 2 (o JI-cuadrado)
Distribución t de Student
Distribución F
32
32
32
32
33
34
36
37
37
38
40
41
43
45
45
47
48
50
50
57
58
59
3.
3.1
3.1.1
3.1.2
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Estadígrafos de posición
Estadígrafos de dispersión
61
61
66
66
4.
4.1
4.2
TEORÍA DE MUESTREO
INFERENCIA ESTADÍSTICA
PRUEBA DE HIPÓTESIS
72
75
75
3
5.
5.1
5.2
5.3
AJUSTES DE CURVAS Y REGRESIÓN
INTRODUCCIÓN
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN
APÉNDICE 1
APÉNDICE 2
APÉNDICE 3
APÉNDICE 4
GLOSARIO
BIBLIOGRAFÍA
FUENTES DE INFORMACIÓN ELECTRÓNICA
4
88
88
88
89
98
99
100
101
103
108
111
LISTA DE FIGURAS
Pág.
FIGURA 1.1
FIGURA 1.2
FIGURA 1.3
FIGURA 1.4
FIGURA 1.5
Gráfica de la función y = ex+10
Gráfica de malla para la superficie Z = -3X + Y
Gráfica de la superficie z =
Varios gráficos en una misma ventana utilizando la función subplot
Varios gráficos en una misma ventana utilizando la función
27
28
28
29
30
subplot
FIGURA 1.6
FIGURA 2.1
FIGURA 2.2
FIGURA 2.3
FIGURA 2.4
FIGURA 2.5
FIGURA 2.6
FIGURA 2.7
FIGURA 2.8
FIGURA 2.9
FIGURA 2.10
FIGURA 2.11
FIGURA 2.12
Gráfica de la función f(x) = ex 2x/(1 + x3)
(a) Diagrama de Venn de eventos mutuamente excluyentes (b)
(disyuntos)
Diagrama de Venn de la variable aleatoria X del ejemplo 2.7
Histograma de probabilidad
Distribución acumulada discreta
Distribución de Poisson con
Función de densidad de la variable aleatoria normal X con = 0 y
=1
Distribuciones normales con = -3, = 0 y = 3 y constante
Distribuciones normales con igual media 0 y varianzas diferentes
Histograma del ejemplo 2.27
Histograma del ejemplo 2.28
Función de distribución acumulada para la curva normal
Distribución 2 con 2, 4, 6 y 8 grados de libertad con azul, verde,
rojo, azul claro, respectivamente
FIGURA 2.13
FIGURA 2.14
FIGURA 3.1
FIGURA 3.2
FIGURA 3.3
FIGURA 3.4
FIGURA 3.5
FIGURA 3.6
FIGURA 3.7
FIGURA 3.8
FIGURA 3.9
FIGURA 3.10
FIGURA 5.1
FIGURA 5.2
FIGURA 5.3
FIGURA 5.4
FIGURA 5.5
FIGURA 5.6
FIGURA 5.7
FIGURA 5.8
31
33
38
39
39
48
50
51
52
52
53
57
58
59
grados de libertad
Distribuciones F con 8 y 12 grados de libertad (azul), y 12 y 24
grados de libertad (verde)
Gráfico de sectores (pie)
Histograma de frecuencias con seis clases del ejemplo 3.2
Diagrama de barras verticales
Diagrama de barras horizontales
Gráfico de racimo
Polígono de frecuencias (rojo)
Histograma y curva normal
Histograma y curva normal
Asimetrías
Curtosis
No existe relación entre los vectores de datos x e y
Relación lineal positiva
Relación lineal negativa
Relación curvilínea
Línea recta de ajuste por mínimos cuadrados
Ajuste lineal y cuadrático
Regresión lineal para la data del ejemplo 5.1 y límite de confianza
de y
Gráfico de la distribución acumulativa normal de las desviaciones
de la línea que aparece adecuada en la figura anterior
5
60
64
64
64
65
65
65
67
69
69
70
89
89
90
90
91
92
94
94
FIGURA 5.9
FIGURA 5.10
Recta de regresión estimada de las notas de Matemática I
respecto al puntaje de ingreso a la universidad
Gráfico de la distribución acumulativa normal de las desviaciones
6
95
96
LISTA DE TABLAS
Pág.
TABLA 2.1 Datos de estudiantes de la Universidad X
TABLA 3.1 Clases vs frecuencias
TABLA 5.1 Data de la variable independiente x, y la variable dependiente y
7
36
64
93
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA CON MATLAB® PARA
INVESTIGADORES
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1. ELEMENTOS DE MATLAB®
1.1 INTRODUCCIÓN
En esta sección se discutirán algunos tópicos de programación con MATLAB®. El nombre
de MATLAB®
Matrix Laboratory
® es un paquete para
computación numérica extremadamente potente. Con MATLAB® se pueden dar
comandos directos, como una calculadora de mano o se pueden escribir programas.
MATLAB® existe como un programa de aplicación primaria con una librería bastante
Toolbox standard
Toolbox de
MATLAB®, contienen una librería amplia para resolver muchos problemas prácticos de
estadística, tales como interpolación, regresión, medidas de tendencia central, medidas
de dispersión, inferencia estadística, graficación, entre otros muchos temas.
MATLAB® es un paquete de software matemático basado en matrices. Está altamente
optimizado y es un sistema muy confiable. Muchas tareas numéricas pueden ser
expresadas en forma concisa en el lenguaje del álgebra lineal sin mucha dificultad como
ocurriría en otro lenguaje de programación no optimizado para matemáticas.
1.2 ALGUNAS OPERACIONES BÁSICAS CON MATLAB®
El prompt >> está dado por el sistema y se requiere dar <ENTER> para ejecutar un
comando MATLAB®
Es posible incluir comentarios en el espacio de trabajo de MATLAB®
después de la sentencia, para indicar que es un comentario.
%
Ejemplo 1.1
>>% este es un comentario que no es ejecutable.
Ejemplo 1.2 Para buscar ayuda en un tópico específico, se puede escribir:
>>help format %busca ayuda sobre format
Un punto y coma colocado al final de una expresión hace que la ejecución del comando
no sea visible al usuario. Sin el punto y coma, se muestra el resultado de la ejecución.
8
Ejemplo 1.3 Uso del punto y coma.
>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; % no muestra la matriz
>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] % muestra la matriz
1.3 LOS NÚMEROS EN MATLAB® Y LOS FORMATOS NUMÉRICOS
Las variables numéricas son almacenadas en MATLAB® en doble precisión, formato de
punto flotante. Es posible forzar algunas variables a otros tipos, pero no de una manera
fácil y esta capacidad no es necesaria por ahora.
Por defecto, la salida a la pantalla es de cuatro dígitos a la derecha del punto decimal.
Ejemplo 1.4 Para determinar el formato de salida de pantalla, se usa el comando
format, así:
>>format short
>>pi
ans =
3.1416
>>format long % formato con 14 cifras decimales
>>pi
ans =
3.14159265358979
>>format short e
>>pi
ans =
3.1416e + 000
Como parte de su sintaxis y su semántica, MATLAB® está previsto para dar valores
excepcionales. Más infinito (+ ) está representado por Inf, menos infinito (- ) por inf,
NAN (not a number). Estos valores excepcionales se
encuentran a menudo a través de cálculos en MATLAB®.
1.4 OPERACIONES ARITMÉTICAS
La aritmética en MATLAB® sigue las reglas y uso de los símbolos de la computación
estándar para los signos de las operaciones aritméticas.
9
Símbolo
Efecto
+
*
/
^
Adición o suma
Substracción o resta
Multiplicación o producto
División
Potencia
Conjugada transpuesta
Constantes
pi, e
En el presente contexto se considerarán estas operaciones como operaciones aritméticas
con escalares.
Ejemplo 1.5
>>(4-2+3*pi)/2
ans =
5.7124
>>a=2;
>>b=sin(a);
>>2*b^2
ans =
1.6537
Las operaciones aritméticas con MATLAB® son mucho más potentes que éstas del
ejemplo 1.5, como se verá más adelante.
Hay algunas operaciones aritméticas que requieren gran cuidado. El orden en el cual la
multiplicación y la división se especifican es especialmente importante.
Ejemplo 1.6 El orden de ejecución de las operaciones siguen un orden estricto de
acuerdo a la prioridad establecida por MATLAB®
>>a=2;
>>b=3;
>>c=4;
Aquí, ante la ausencia de paréntesis, las dos operaciones se ejecutan de izquierda a
derecha como sigue:
10
>>a/b*c
ans =
2.6667
Las operaciones aritméticas ejecutadas es equivalente a (a/b)*c, que es diferente a:
a/(b*c)
>> a/(b*c)
ans =
0.1667
1.5 FUNCIONES MATEMÁTICAS DE MATLAB®
Todas las funciones matemáticas estándar, llamadas funciones elementales que se
necesitan en este curso están disponibles en MATLAB® usando sus nombres
matemáticos usuales.
Símbolo
Efecto
abs(x)
Valor absoluto
sqrt(x)
Raíz cuadrada
sin(x)
Función seno
cos(x)
Función coseno
tan(x)
Función tangente
log(x)
Función logaritmo natural
exp(x)
Función exponencial
atan(x)
Función tangente inversa
acos(x)
Función coseno inversa
asin(x)
Función seno inversa
cosh(x)
Función coseno hiperbólico
sinh(x)
Función seno hiperbólico
Nótese que las funciones trigonométricas su argumento debe estar en radianes (o número
puro) y no en grados.
Ejemplo 1.7 Calcular cos(pi/3)
11
>> cos(pi/3)
ans =
0.5000
Como se dijo antes, las variables aparecen como escalares. De hecho, todas las variables
en MATLAB® son arreglos. Un aspecto importante de MATLAB® es que se trabaja muy
eficientemente con arreglos y las tareas principales son mejor trabajadas con arreglos.
1.6 VECTORES
En MATLAB® la palabra vector puede ser realmente interpretada como una lista de
números. Estrictamente, podría ser una lista de otros objetos no numéricos, pero por
ahora, decir esto es más que suficiente y llena las expectativas del curso.
Hay dos clases básicas de vectores en MATLAB®: vector fila y vector columna.
Ejemplo 1.8 Definir un vector fila y un vector columna
>> x=[1 2 3 4 5] %define el vector x
x=
1
2
3
4
5
>> y=[1;2;3;4;5] %define el vector columna y
y=
1
2
3
4
5
>> x(3) %muestra el tercer elemento del vector x
ans =
3
>> y(5) %muestra el quinto elemento del vector columna
ans =
5
>> z=x(4)+3*x(2)+y(5)
z = 15
12
Los dos puntos tienen un especial y potente rol. Básicamente, permite una forma fácil de
definir un vector de números igualmente espaciados. Hay dos formas básicas de definir
un vector en MATLAB® con esta la notación, utilizando los dos puntos.
La primera se hace con dos argumentos separados por dos puntos, como sigue:
Ejemplo 1.9 Definir un vector x con elementos igualmente espaciados por una unidad.
>> x=-2:4 %crea un vector que empieza con -2 y termina con 4 con incrementos de a 1
x=
-2
-1
0
1
2
3
4
La segunda es con tres argumentos separados por dos veces los dos puntos y tiene el
efecto de especificar el valor inicial : espaciamiento : valor final.
Ejemplo 1.10 Definir un vector
espaciando igualmente sus elementos con incrementos
de 0.5
>> y=-2:0.5:4 %crea un vector que empieza con -2 y termina con 4 con incrementos de a 0.5
y=
-2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000
3.0000
3.5000
0
0.5000
1.0000
1.5000
2.0000
2.5000
4.0000
Ejemplo 1.11 También se puede utilizar la notación con dos puntos como sigue:
>> z=x(2:6) %crea el vector z con los elementos desde x(2) hasta x(6)
z=
-1
0
1
2
3
>> w=y(2:6) %crea el vector w con los elementos desde y(2) hasta y(6)
w=
-1.5000 -1.0000 -0.5000
0
0.5000
MATLAB® tiene otros dos comandos para definir vectores de una manera adecuada. La
primera se llama función linspace, que se usa para especificar un vector con un número
dado de elementos igualmente espaciados entre un punto inicial y un punto final.
Ejemplo 1.12 Definir un vector
en un intervalo dado con
elementos.
>> x=linspace(1,2,5) %crea el vector x con 5 elementos en el intervalo [1,2]
13
x=
1.0000
1.2500
1.5000
1.7500
En el ejemplo 1.12, el vector
2.0000
tiene 5 elementos acomodados entre 1 y 2, igualmente
espaciados.
El otro comando es llamado función logspace, que es similar a la función linspace,
excepto que los elementos crecen igualmente espaciados en forma logarítmica, y también
valor inicial
según 10
valor final
y 10
.
Ejemplo 1.13 Definir un vector
en forma logarítmica con
elementos
>> x=logspace(1,5,5)
x=
10
100
1000
10000
100000
Ejemplo 1.14 Se pueden usar vectores con MATLAB® para generar tablas de valores de
funciones.
>> x=linspace(0,1,11);%crea el vector x con 11 valores entre 0 y 1
>> y=cos(x);%crea el vector y con los 11 valores de cos(x)
>> [x',y']%escribe los dos vectores x, y como columnas
ans =
0
1.0000
0.1000
0.9950
0.2000
0.9801
0.3000
0.9553
0.4000
0.9211
0.5000
0.8776
0.6000
0.8253
0.7000
0.7648
0.8000
0.6967
0.9000
0.6216
1.0000
0.5403
14
Nótese que se utilizó el apóstrofe para transponer los vectores, es decir, para convertir
las filas en columnas.
Ejemplo 1.15 Otra forma de usar los dos puntos es como sigue:
>> y=sqrt(4+2*(0:0.3:2.4)')
y=
2.0000
2.1448
2.2804
2.4083
2.5298
2.6458
2.7568
2.8636
2.9665
1.7 MATRICES
Una matriz es un arreglo bidimensional de valores numéricos que obedecen las reglas del
álgebra lineal.
Para entrar una matriz, se listan todos los elementos de la matriz de la primera fila
separados por espacios en blanco o comas, separando la primera fila de la segunda por
punto y coma y así sucesivamente hasta la última fila, encerrando todos los elementos
con corchetes. Para entrar una matriz de 3x4 de números se procede así:
Ejemplo 1.16 Definir una matriz numérica de dimensión 3x4.
>> A=[1 2 3 4;5 6 7 8;8 10 11 12]%crea la matriz A de tres filas y 4 columnas
A=
1
2
3
4
5
6
7
8
8
10
11
12
Ejemplo 1.17 Si se quiere convertir un vector fila, en vector columna, se procede:
>> [1 2 3] %el ap strofe transpone el vector
15
ans =
1
2
3
Ejemplo 1.18 Los elementos de las matrices se pueden manipular de muchas maneras.
>> A
A=
1
2
3
4
5
6
7
8
8
10
11
12
>> A(2,3)%escribe el elemento localizado en la segunda fila y tercera columna
ans =
7
Ejemplo 1.19 Se puede seleccionar una submatriz, de la siguiente forma:
>> A([1 2 3],[1 2 3])
ans =
1
2
3
5
6
7
8
10
11
>> A([1:3],[1:3])
ans =
1
2
3
5
6
7
8
10
11
Ejemplo 1.20 Se puede borrar un elemento o un grupo de elementos de un vector o una
matriz, asignando a esos elementos la matriz nula (cero), [ ].
>> x=[1 2 3 4 5 6];
16
>> x(4)=[ ]
x=
1
2
3
5
6
>> A(:,1)=[ ]
A=
2
3
4
6
7
8
10
11
12
Ejemplo 1.21 Para intercambiar dos filas de una matriz A, se digita el siguiente script:
>> B=A([3 2 1])
B=
10
6
2
>> B=A([3 2 1],:)
B=
10
11
12
6
7
8
2
3
4
2
3
4
6
7
8
10
11
12
>> A
A=
Ejemplo 1.22 Para cambiar la segunda fila de una matriz A de 3x3 a [2 2 2], se ejecuta el
siguiente script:
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
17
>> A(2,:)=[2 2 2]
A=
1
2
3
2
2
2
7
8
9
Ejemplo 1.23
ejecuta el siguiente script:
se
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
>> A(:,2)=[1 1 1]
A=
1
1
3
4
1
6
7
1
9
1.8 CREACIÓN DE MATRICES ESPECIALES
Hay muchas funciones incorporadas en MATLAB® que se utilizan para crear vectores y
matrices especiales. Se tienen ejemplos como:
Ejemplo 1.24 Crear la matriz cero.
>> A=zeros(2,3)%crea la matriz A de 2 filas y tres columnas de ceros
A=
0
0
0
0
0
0
>> A=zeros(3)%crea la matriz cuadrada A de ceros de orden 3
A=
0
0
0
0
0
0
18
0
0
0
Ejemplo 1.25 Crear una matriz de unos
>> A=ones(2,3)
A=
1
1
1
1
1
1
>> A=ones(3)
A=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
>> A=ones(2,3)'
A=
1
1
1
1
1
1
Ejemplo 1.26 Crear la matriz identidad
>> I3=eye(3)
I3 =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
>> I5=eye(5)
I5 =
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
19
Ejemplo 1.27 Crear una matriz diagonal
>> x=[1 2 3];
>> A=diag(x)
A=
1
0
0
0
2
0
0
0
3
>> A=diag([4 5 6])
A=
4
0
0
0
5
0
0
0
6
Ejemplo 1.28 Para extraer la diagonal de una matriz almacenada en memoria, se usa el
nombre de la función diag, pero poniendo como entrada una matriz y presentando como
salida alternativa un vector.
>> A=diag([1 2 3])
A=
1
0
0
0
2
0
0
0
3
>> u=diag(A)
u=
1
2
3
Ejemplo 1.29 Crear la función length y la función size, la cual se usa para determinar el
número de elementos de un vector o una matriz. Estas funciones son muy útiles cuando
20
se trata de matrices de tamaño desconocido o tamaño variable especialmente cuando se
escriben bucles (loops).
>> x=1:10 %crea el vector x de enteros entre 1 y 10
x=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
>> length(x)%proporciona el n mero de elementos del vector x
ans =
10
Ejemplo 1.30 Ahora se define el comando size, el cual retorna dos valores,
correspondientes a las filas y columnas de la matriz en cuestión, donde el primer número
corresponde a las filas y el segundo a las columnas.
>> A=[1 2 3 4;5 6 7 8]
A=
1
2
3
4
5
6
7
8
>> size(A)
ans =
2
4
>> size(A')
ans =
4
2
Ejemplo 1.31 Crear la matriz de raíces cuadradas de una matriz A, usando la función sqrt
para obtener una matriz B cuyos elementos son las raíces cuadradas de los elementos de
la matriz A.
>> A
A=
1
2
3
4
5
6
7
8
>> B=sqrt(A)
B=
21
1.0000
1.4142
1.7321
2.0000
2.2361
2.4495
2.6458
2.8284
Ejemplo 1.32 Crear una matriz triangular superior de una matriz dada A, usando la
función triu
>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
>> U=triu(A)
U=
1
2
3
0
5
6
0
0
9
>> U=triu(A,1)
U=
0
2
3
0
0
6
0
0
0
>> U=triu(A,2)
U=
0
0
3
0
0
0
0
0
0
Ejemplo 1.33 Crear una matriz triangular inferior, usando la función tril
>> U=tril(A)
U=
1
0
0
4
5
0
22
7
8
9
>> U=tril(A,-1)
U=
0
0
0
4
0
0
7
8
0
>> U=tril(A,-2)
U=
0
0
0
0
0
0
7
0
0
Ejemplo 1.34 Crear una matriz aleatoria nxn usando la función rand
>> R=rand(3) %siempre va a salir una matriz diferente por ser aleatoria
R=
0.8147
0.9134
0.2785
0.9058
0.6324
0.5469
0.1270
0.0975
0.9575
>> R=rand(2) %siempre va a salir una matriz diferente por ser aleatoria
R=
0.9649
0.9706
0.1576
0.9572
1.9 OPERACIONES CON MATRICES
Las operaciones básicas con matrices son la adición, substracción y multiplicación.
Cuando dos matrices tienen el mismo tamaño, se pueden sumar y restar. También se
puede multiplicar una matriz por escalar.
Ejemplo 1.35
>> A=[-1 2 5 0; 1 -2 4 2; 1 2 3 4]
A=
23
-1
2
5
0
1
-2
4
2
1
2
3
4
>> B=[0 1 0 1; 2 -1 -4 3; 2 1 4 1]
B=
0
1
0
2 -1
-4
2
1
1
3
4
1
>> A+B
ans =
-1
3
5
1
3
-3
0
5
3
3
7
5
-1
1
5
-1
-1
-1
8
-1
-1
1 -1
3
>> A-B
ans =
>> 2*A-3*B
ans =
-2
1
10
-3
-4
-1 20
-5
-4
1
5
-6
>> B=B' %
se hace B igual a B transpuesta por
B=
0
2
2
1
-1
1
0
-4
4
1
3
1
>> B*A %
a.
ans =
24
4
0
14
12
-1
6
4
2
0
16 -4
8
3
-2
20 10
>> A*B %en general A*B es diferente de B*A
ans =
2 -24
20
0
-6
18
6
0
20
Ejemplo 1.36 Matemáticamente la operación de división de matrices no está definida,
mas sin embargo se pueden realizar algunas operaciones adicionales como sigue:
>> a=[1 2 3];
>> b=[2 -1 4];
>> c=a./b
c=
0.5000 -2.0000
0.7500
>> c=a.*b
c=
2
-2
12
>> c=a.^2
c=
1
4
9
>> c=a.^a
c=
1
4
27
>> c=a.^b
c=
1.0000
0.5000 81.0000
>> B=B'
B=
0
1
0
1
25
2 -1
2
-4
1
3
4
1
>> C=A.*B
C=
0
2
0
0
2
2 -16
6
2
2
4
12
>> C=C.^(1/2)
C=
0
1.4142
0
0
1.4142
1.4142
0.0000 + 4.0000i 2.4495
1.4142
1.4142
3.4641
2.0000
1.10 CADENAS DE IMPRESIÓN
Las cadenas son matrices cuyos elementos son caracteres. En aplicaciones más
avanzadas tales como computación simbólica, la manipulación de cadenas es un tópico
muy importante. Para el presente propósito, sin embargo, se necesitarán algunas
herramientas limitadas al manejo elemental de tales cadenas.
Ejemplo 1.37
>> nombre=' Hector';
>> apellido=' Pabon';
>> apellido=apellido'
apellido =
P
a
b
o
n
Ejemplo 1.38 Las matrices tipo string también pueden ser creadas como sigue:
>> nombres=['Hector';'Pabon '] %las dos cadenas deben ser de la misma longitud, o completarse
con blancos
26
nombres =
Hector
Pabon
Ejemplo 1.39 La función disp toma únicamente un argumento, el cual puede ser ambos, o
una matriz de caracteres o una matriz numérica.
>> x=0:0.5:2*pi;
>> y=cos(x);
>> disp([x' y'])
0
1.0000
0.5000
0.8776
1.0000
0.5403
1.5000
0.0707
2.0000 -0.4161
2.5000 -0.8011
3.0000 -0.9900
3.5000 -0.9365
4.0000 -0.6536
4.5000 -0.2108
5.0000
0.2837
5.5000
0.7087
6.0000
0.9602
Ejemplo 1.40 Se pueden imprimir cadenas más complicadas con la función fprintf.
Esta es esencial en los comandos de programación C, que se usan para obtener un
amplio rango de especificaciones de impresión.
>> fprintf('Mi nombre es: \n Hector Pabon \n') %donde \
Mi nombre es:
Hector Pabon
Ejemplo 1.41 La función fprintf tiene especificaciones del número de dígitos en el display
27
>> raiz2=fprintf('La raiz cuadrada de 2 es: %1.6f',(sqrt(2)))
La raiz cuadrada de 2 es: 1.414214
>> raiz2=fprintf('La raiz cuadrada de 2 es: %1.6e',(sqrt(2)))
La raiz cuadrada de 2 es: 1.414214e+000
1.11 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma: Ax = b, se puede ejecutar un
comando de MATLAB®, de la siguiente manera:
>>x = A\b % con A como una matriz no singular.
Ejemplo 1.42 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
>> A=[1 1 1;2 3 1;1 -1 -2]; %matriz de los coeficientes de las variables
>> b=[2;3;-6]; %matriz de los terminos independientes
>> x=A\b
x=
-1
1
2
Hay un pequeño número de funciones que pueden ser mencionadas a continuación:
Ejemplo 1.43 Reducir una matriz A a la forma escalonada reducida por filas.
>> rref(A)
ans =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Ejemplo 1.44 Encontrar el determinante de una matriz A, usando la función det.
>> det(A)
ans =
-5
28
Ejemplo 1.45 Encontrar el rango de una matriz, usando la función Rank.
>> rank(A)
ans =
3
Ejemplo 1.46 Encontrar la inversa de una matriz A no singular, usando la función inv.
>> format rat %formato de la forma p/q
>> inv(A)
ans =
1
-1/5
2/5
-1
3/5
-1/5
1
-2/5
-1/5
Ejemplo 1.47 Encontrar la matriz aumentada [A b], la cual es una combinación de
coeficientes de la matriz A y el lado derecho es el vector b del sistema lineal Ax = b.
>> C=[A b] %escribe la matriz aumentada del sistema de ecuac. lineales
C=
1
1
1
2
2
3
1
3
1
-1
-2
-6
>> rref(C) %lleva a la forma escalonada reducida por filas
ans =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
-1
1
2
Ejemplo 1.48 Descomposición LU de una matriz A, utilizando la función lu.
>> [L,U]=lu(A)
L=
1/2
1/5
1
1
0
0
1/2
1
0
29
U=
2
3
1
0
-5/2
-5/2
0
0
1
>> L*U
ans =
1
1
1
2
3
1
1
-1
-2
1
1
1
2
3
1
1
-1
-2
>> A
A=
Las raíces de un polinomio p(x) se pueden hallar utilizando la función roots, como
roots(p).
Ejemplo 1.49 Hallar las raíces del polinomio p(x) = 3x2 + 5x -6
>> p=[3 5 -6];
>> r=roots(p)
r=
-2.4748
0.8081
La función polyval se utiliza para evaluar un polinomio pn(x) en un punto particular x.
Ejemplo 1.50 Hallar el valor de la función polinómica p3(x) = x3
dado x = 1.5
>> coef=[1 0 -2 12];
>> sol=polyval(coef,1.5)
sol =
12.3750
30
2x + 12, en el punto
1.12 GRAFICACIÓN CON MATLAB®
Con MATLAB® se pueden realizar gráficas de 2 o 3 dimensiones de curvas y superficies.
El comando plot se utiliza para generar gráficos de funciones bidimensionales.
Primero se divide el intervalo en subintervalos de igual anchura. Luego se entra la
expresión para la variable dependiente y en términos de la variable independiente x, y
finalmente se crea el gráfico.
Ejemplo 1.51
>> x=-2:0.1:2;
>> y=exp(x)+10;
>> plot(x,y)
>> plot(x,y),grid %grid permite hacer las rejillas o cuadriculado
FIGURA 1.1 Gráfica de la función y = ex+10
Por defecto, la función plot conecta los puntos por medio de segmentos de línea sólida.
Otras posibilidades que se pueden usar para cambiar la apariencia de la gráfica son:
>> plot(x,y,'o'),grid
>> plot(x,y,'*'),grid
>> plot(x,y,'x'),grid
>> plot(x,y,'.'),grid
>> plot(x,y,'+'),grid
31
>> plot(x,y,'-'),grid
>> plot(x,y,'.-'),grid
>> plot(x,y,'o-'),grid
>> x=-2:0.1:2;% crea una malla para los ejes x , y
>> y=x;
>> [X,Y]=meshgrid(x,y);
>> Z= -3*X+Y;
>> mesh(X,Y,Z)
FIGURA 1.2 Gráfica de malla para la superficie Z = -3X + Y
Ejemplo 1.52 Para crear una superficie de z =
>> x=linspace(-5,5,20);
>> y=linspace(-5,5,20);
>> [X,Y]=meshgrid(x,y);
>> R=sqrt(X.^2+Y.^2+1)+eps; % este
evita la divisi
>> Z=sin(R)./R;
>> surf(X,Y,Z)
FIGURA 1.3 Gráfica de la superficie z =
32
en el dominio de -
1.13 SUBPLOT
Muchas veces es conveniente colocar más de una figura en una misma ventana. Esto es
posible con el comando gráfico llamado función subplot, lo cual se puede hacer como se
muestra a continuación:
Ejemplo 1.53
>> x=-2:0.1:2;
>> y=x;
>> [X,Y]=meshgrid(x,y);
>> Z=2+(X.^2+Y.^2);
>> subplot(2,2,1); mesh(x,y,Z); title('meshplot');
>> subplot(2,2,2); surf(x,y,Z); title('surfplot');
>> subplot(2,2,3); surfc(x,y,Z); title('surfcplot');
>> subplot(2,2,4); surfl(x,y,Z); title('surflplot');
FIGURA 1.4 Varios gráficos en una misma ventana utilizando la función subplot
33
>> x=linspace(-2*pi,2*pi);
>> subplot(2,2,1);
>> plot(x,cos(x));axis([-6.5 6.5 -1.2 1.2]); title('cos(x)')
>> subplot(2,2,2);
>> plot(x,cos(2*x));axis([-6.5 6.5 -1.2 1.2]); title('cos(2x)')
>> subplot(2,2,3);
>> plot(x,cos(3*x));axis([-6.5 6.5 -1.2 1.2]); title('cos(3x)')
>> subplot(2,2,4);
>> plot(x,cos(4*x));axis([-6.5 6.5 -1.2 1.2]); title('cos(4x)')
FIGURA 1.5 Varios gráficos en una misma ventana utilizando la función subplot
34
1.14 DEFINICIÓN DE FUNCIONES
La sintaxis para definir funciones desde el editor de MATLAB®, tiene la siguiente forma:
function = nombre_funcion(entrada de argumentos)
Ejemplo 1.54 Para definir la función f(x) = ex
>> x=(0:0.2:2);
>> fx=fn2(x);
>> [x',fx'] %genera la siguiente tabla:
ans =
0
1.0000
0.2000
0.8246
0.4000
0.7399
0.6000
0.8353
0.8000
1.1673
1.0000
1.7183
1.2000
2.4404
1.4000
3.3073
1.6000
4.3251
1.8000
5.5227
2.0000
6.9446
35
2x/(1 + x3), se escribe:
Correspondiente al siguiente gráfico:
>>plot(x,y)
FIGURA 1.6 Gráfica de la función f(x) = ex
36
2x/(1 + x3)
2. PROBABILIDAD
2.1 INTRODUCCIÓN
La probabilidad está asociada con muchas tendencias en eventos aleatorios naturales
que siguen una cierta regularidad si el proceso se repite un suficiente número de veces.
Por ejemplo, se puede considerar el evento del lanzamiento de una moneda no cargada.
Si el experimento se repite un número suficiente de veces, en forma continua en un gran
número de ensayos, se puede esperar que se logren el mismo número de caras que de
sellos. Intuitivamente se puede decir que la probabilidad de obtener una cara es la misma
que la de obtener un sello en una moneda justa (no cargada) y que ésta es de 0.5 o del
50%.
2.2 ESPACIO MUESTRAL
Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se le llama
espacio muestral y generalmente se representa con la letra S.
A cada resultado en un espacio muestral se llama elemento o punto del espacio muestral.
Por ejemplo, al lanzar una moneda el conjunto muestral S está conformado por dos
elementos: cara y sello.
Ejemplo 2.1 En un experimento de lanzar un dado cúbico (seis caras) el espacio muestral
está conformado por los puntos muestrales: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2.3 EVENTO
En cualquier experimento el hecho de que ocurra cierta circunstancia se llama evento, por
ejemplo al lanzar un dado corriente, un evento puede ser el hecho de obtener un número
par, en cuyo caso está conformado por tres puntos muestrales: A = {2, 4, 6}
Matemáticamente se puede definir un evento A como un subconjunto de un espacio
muestral S.
También se puede definir el complemento de un evento A con respecto a S como el
conjunto de todos los elementos de S que no pertenecen a A y se denota como: A .
En el ejemplo 2.1, el complemento está conformado por A = {1, 3, 5}
La intersección de dos eventos A1 y A2, se representa con los símbolos A1 A2, y es el
evento que contiene todos los elementos comunes que pertenecen a A1 y A2.
Dos eventos A1 y A2 son mutuamente excluyentes o disyuntos si A1 A2 = , es decir,
cuando no hay puntos muestrales comunes.
37
FIGURA 2.1 (a) Diagrama de Venn de eventos mutuamente excluyentes (disyuntos)
A2
A1
(b) Eventos que no son mutuamente excluyentes
A2
A1
La unión de dos eventos A1 y A2 se representa con el símbolo A1 A2 y es el evento que
abarca a todos los elementos de A1 o A2 o a ambos.
2.4 COMBINATORIA
Una combinación es el número posible de seleccionar r objetos de un total de n
elementos, sin importar el orden.
(1)
Ejemplo 2.2 Con MATLAB® se pueden generar combinaciones de un conjunto de n
elementos tomados en partes de r elementos. Para el caso de un conjunto X = {1, 2, 3, 4,
5}, tomando subconjuntos de a dos elementos, se procede de la siguiente forma:
>> v=[1 2 3 4 5]
>> c2=combnk(v,2)
c2 =
4
5
3
5
3
4
38
2
5
2
4
2
3
1
5
1
4
1
3
1
2
>> c4=combnk(v,4)
c4 =
1
2
3
4
1
2
3
5
1
2
4
5
1
3
4
5
2
3
4
5
Una permutación es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos. Desde luego
que aquí sí importa el orden. Si se tienen tres letras diferentes como X = {v, e, a},
permutadas todas tres aparecen palabras diferentes como VEA, AVE, EVA , que son
palabras completamente diferentes.
(2)
>> v=['e' 'v' 'a'];
>> perms(v)
ans =
ave
aev
vae
vea
eva
eav
>> perms(0:2)%crea un vector con componentes 0, 1 y 2 y los permuta
39
ans =
2
1
0
2
0
1
1
2
0
1
0
2
0
1
2
0
2
1
2.5 PROBABILIDAD DE UN EVENTO
La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales
de A. Así que:
P( ) = 0 ; P(S) = 1 ;
P(Ak
,
(3)
Para una población consistente de K posibles resultados, solamente una de los cuales
puede ocurrir, para cada ensayo del experimento, se puede deducir la siguiente relación:
P(A1) + P(A2) + P(A3
k)
= 1,
(4)
Ejemplo 2.3 Se lanza un dado (cúbico) una vez, ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un
número par?
Solución. El espacio muestral para este experimento es: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A
representa el evento de que caiga un número par, A = {2, 4, 6}, entonces la probabilidad
de A es, P(A)=número de casos favorables/número de casos posibles = n/N = 3/6 = 0.5 =
50%.
Si A1 y A2 son dos eventos cualesquiera se tiene que:
P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2)
P(A1
A2)
(5)
Pero si A1 y A2 son mutuamente excluyentes se tiene que:
P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2)
(6)
Ejemplo 2.4 ¿Cuál es la probabilidad de obtener al lanzar un dado un número par o un
número mayor que 3?
Solución. El espacio muestral es: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, el evento A 1 = {2, 4, 6} y A2 = {4, 5,
6}. A1 A2 = {4} por tanto P(A1 U A2) = 3/6 + 3/6
que no son mutuamente excluyentes.
40
1/6 = 5/6, utilizando (2) para sucesos
Ejemplo 2.5. Se lanza un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 puntos u
11 puntos?
Solución. El espacio muestral para este caso es:
S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2), (6,3),
(6,4),(6,5),(6,6)}
P(A1) = P({(4,6),(5,5),(6,4)} = 3/36
P(A2) = P({(5,6),(6,5)}) = 2/36
Por tanto, P(A1UA2) = 3/36 + 2/36 = 5/36, aplicando (3), ya que A1 y A2 son mutuamente
excluyentes.
Ahora, si A1 y A2 son eventos complementarios, se tiene que:
P(A1) + P(A ) = 1
(7)
Ejemplo 2.6 Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un número
múltiplo de 3?
Solución. La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es: P({3,6}) = 2/6 = 1/3. Por
tanto, la probabilidad de no obtener un número múltiplo de 3 es: 1 - P({3,6}) = 1 - 1/3 = 2/3
aplicando (4).
Ejemplo 2.7 Al lanzar tres monedas, se quiere determinar la probabilidad de obtener
exactamente dos caras.
Solución. El espacio muestral es: S = {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss}. La
probabilidad P({ccs, csc, scc}) = 3/8
2.6 PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad condicional de A2 dado A1, que se denota por P(A2|A1), se define como:
P(A2|A1) = P(A1 A2) / P(A1), si P(A) > 0;
De (5), se puede obtener: P(A1 A2) = P(A1) P(A2|A1);
(8)
(9)
Ejemplo 2.8. Se tiene la siguiente tabla de estudiantes de la Universidad X
TABLA 2.1. Datos de estudiantes de la Universidad X
41
ESTUDIANTES DE
ESTUDIANTES DE
TOTAL
70
90
160
80
60
140
150
150
300
HOMBRES
MUJERES
TOTAL
Se va a seleccionar un estudiante al azar para ser becado. Los eventos son:
H: seleccionar a un hombre
I: seleccionar a un estudiante de ingeniería
P(I) = 160/300 = 16/30
P(H
I) = 70/300 = 7/30
P(H | I) =
= 7/16, según (5)
Visto directamente desde la tabla 2.1 se obtiene el mismo resultado: P(H
7/16
|
I) = 70/160 =
2.7 EVENTOS INDEPENDIENTES
Dados dos eventos A1 y A2, se dice que estos eventos son independientes siempre que:
P(A1|A2) = P(A1), lo cual significa que la ocurrencia de A2 no incide en la ocurrencia de A1
Dicho de otra forma: dos eventos A1 y A2 son independientes sí y solo si:
P(A2|A1) = P(A2)
y
P(A1|A2) = P(A1)
(10)
De otra forma A1 y A2 son dependientes.
Ejemplo 2.9 Suponga que se tiene una tula con 20 balotas, de las cuales 15 son rojas y 5
azules. Se seleccionan dos balotas al azar una después de otra, sin reemplazamiento.
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos balotas azules?
Solución. Sea A1 el evento de obtener una balota azul en la primera extracción y A 2 el
evento de obtener una balota azul en la segunda extracción. P(A 1 A2) es la probabilidad
de obtener una balota azul en la primera extracción y otra balota azul en la segunda
extracción. P(A2|A1), es la probabilidad de obtener una balota azul en la segunda
extracción, dado que la primera extracción fue también una balota azul (sin
reemplazamiento). Según (6) se tiene:
P(A1 A2) = P(A1) P(A2|A1) = (5/20)(4/19) = 1/19 = 5.26% aproximadamente.
Dos eventos son independientes sí y solo si P(A1 A2) = P(A1) P(A2);
42
2.8 VARIABLES ALETAORIAS
Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del
espacio muestral.
Ejemplo 2.10 Se tienen tres monedas. Se lanzan todas tres simultáneamente. El espacio
muestral es S = {ccc, ccs, csc, scc, ssc, scs, css, sss}, como en el ejemplo 2.7
Se define ahora variable aleatoria como una función que asocia un número real con cada
elemento del espacio muestral. En el ejemplo 2.7, si se asocia el número de caras para
cada elemento del espacio muestral, se tiene:
FIGURA 2.2 Diagrama de Venn de la variable aleatoria X del ejemplo 2.7
S
X
0
ccc
ccs
csc
scc
ssc
scs
css
sss
1
2
3
Se ve en la figura 2.2 que, la variable aleatoria X tiene como elementos X={0, 1, 2, 3}. Si
un espacio muestral S posee un número finito de posibilidades o un número infinito con
tantos elementos como números enteros positivos existen, se llama entonces, espacio
muestral discreto.
Si el anterior no fuese el caso, es decir, si S contiene un número infinito de posibilidades
con tantos elementos como números reales existen en un segmento de línea, se llama
espacio muestral continuo.
2.9 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD
El conjunto de parejas ordenadas (x, f(x)) es una función de probabilidad o distribución de
probabilidad de la variable aleatoria X, si se cumple que para cada valor posible de x:
f(x)
0
=1
P(X = x) = f(x)
43
Según el ejemplo 2.10, f(x)
0, ya que f(0) = 1/8, f(1) = 3/8, f(2) = 3/8, f(3) = 1/8.
>> x=[1/8 3/8 3/8 1/8];
>> y=[0 1 2 3]
>> bar(y,x, r )
Se ve también claramente que
= 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1
FIGURA 2.3 Histograma de probabilidad
La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria X con distribución de
probabilidad f(x) es:
, para - < x <
Según el ejemplo 2.10
FIGURA 2.4 Distribución acumulada discreta
44
(
)
>> x=[1/8 4/8 7/8 8/8];
>> y=[0 1 2 3];
>> bar(y,x,'g')
2.10 DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE PROBABILIDAD
La probabilidad de una función aleatoria continua tiene algunas particularidades a tener
en cuenta, como por ejemplo que P(X=x) para un valor particular x de la variable aleatoria
X es cero, por tanto se toman intervalos para poder calcular su probabilidad. Si se desea
calcular la probabilidad de que un estudiante de Ingeniería de la Universidad de
Cundinamarca Seccional Ubaté tenga un índice de masa corporal1 de 20, la variable
aleatoria se sabe que es continua y P(x=20) = 0, por propiedades de la integral definida.
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua se define como
sigue:
P(a < x < b) =
(12)
Una función f(x) es una función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria
continua X, definida en el conjunto de los , si cumple las siguientes condiciones:
f(x)
0, para cada x
=1
P(a < x < b) =
1
Índice de masa corporal es igual a: peso(kg)/altura2 (m)
45
La distribución acumulada F(x) de una VAC X (variable aleatoria continua X) con función
de densidad f(x) es:
para - < x <
(13)
Como consecuencia de la anterior definición se puede anotar que:
P(a < X < b) = F(b) - F(a)
(14)
Ejemplo 2.11 Para la función de densidad definida como sigue:
,
-1 < x < 2
f(x) =
0,
para cualquier otro valor en
Hallar:
a) P(-1 < X < 2);
b) P(-1 < X < 1);
c) P(1 < X 2)
Solución. Se utiliza el método de Simpson para calcular la integral de f(x), como ya se
definió anteriormente.
function SN=simpsonR(fn,a,b,n)
%Regla trapezoidal compuesta
h=(b-a)/n;
s=(feval(fn,a)+feval(fn,b));
for k=1:2:n-1
s=s+4*feval(fn,a+k*h);
end;
for k=2:2:n-2
s=s+2*feval(fn,a+k*h);
function y=fn(x)
y=(1/3)*x.^2;
a)>> simpsonR('fn',-1,2,10)
ans =
1
b)>> simpsonR('fn',-1,1,10)
46
ans =
0.2222
c)>> simpsonR('fn',1,2,10)
ans =
0.7778
2.11 ESPERANZA MATEMÁTICA
Sea X una VA con distribución de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es:
= E(X) =
= E(X) =
; para X discreta
; para X continua
(15)
(16)
Ejemplo 2.12. Al lanzar un dado (cúbico), la VAD se anota en la siguiente tabla, lo mismo
que sus valores de probabilidad:
X
P(X = x)
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
E(X) = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) + 5(1/6) + 6(1/6) = 21/6 = 3.5
Lo anterior se interpreta como que si se lanza un dado un gran número de veces y luego
se promedia los distintos puntajes que se han obtenido entonces la media tiende a 3.5
Ejemplo 2.13 Supóngase que la variable aleatoria X se representa por el número de
puntos que marca un dado corriente y la nueva VA como Y = 2x, los valores de esta
variable son: {2, 4, 6, 8, 10, 12}. Los valores de probabilidad asociados son:
Y
P(Y = y)
2
1/6
4
1/6
6
1/6
8
1/6
10
1/6
12
1/6
E(Y) = 2(1/6) + 4(1/6) + 6(1/6) + 8(1/6) + 10(1/6) + 12(1/6) = 42/6 = 7
E(X) = 3.5 implica 2E(X) = 2(3.5) = 7 = E(2X)
Ejemplo 2.14 Calcular E(X
3).
Solución. Aquí se tiene que E(X
valor esperado.
3) = E(X)
Propiedades del valor esperado:
47
E(3) = 3.5
3 = 0.5, por propiedades del
E(c) = c
E(cX) = cE(X)
E(X + c) = E(X) + c
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
Ejemplo 2.15 Sea X la VAC que define la vida en horas de cierta bombilla doméstica. La
función de densidad de probabilidad es:
,
x > 100
f(x) =
0,
para cualquier otro valor en
= E(X) =
=
= -20000(1/x)|
=
=
=
=
= 200 horas
Si se quiere integrar utilizando el método de Simpson, se procede así:
>> SN=simpsonR('fn',100,100000,1000000)
SN =
1.0
function y=fn(x)
y=20000/x^3;
Como se ve, f(x) cumple con la condición para la cual el área bajo la curva es 1.
function y=fn(x)
>> SN=simpsonR('fn',100,100000,1000000)
SN =
199.8
Que es aproximadamente 200 horas como se calculó manualmente para esta integral
definida que es realmente fácil de calcular.
2.12 VARIANZA
48
Sea X una VA con distribución de probabilidad f(x) y media , la varianza de X, para X
discreta es:
2
= E[(X - )2] =
(17)
Si X es continua se tiene:
2
= E[(X - )2] =
La raíz cuadrada de la varianza
2
(18)
se denomina desviación estándar de X.
Ejemplo 2.16 Hallar la varianza para la VAD del
Solución. Como ya se sabe en el ejemplo 2.12,
del ejemplo 2.12.
= 3.5.
2
= E[(X - )2] = (1 - 3.5)²(1/6) + (2 - 3.5)²(1/6) + (3 - 3.5)²(1/6) + (4 - 3.5)²(1/6) + (5 3.5)²(1/6) + (6 - 3.5)²(1/6) = 2.9167
La desviación estándar es:
= 1.7078
>> E=((1-3.5)^2)/6 + ((2-3.5)^2)/6 +((3-3.5)^2)/6 +((4-3.5)^2)/6 +((5-3.5)^2)/6 +((6-3.5)^2)/6
E=
2.9167
>> s=sqrt(E)
s=
1.7078
Ejemplo 2.17 La demanda mensual de un cierto artículo en una cadena de
hipermercados es una VAC que tiene densidad de probabilidad:
2(2x-1),
1<x<2
f(x) =
0,
= E(X) =
E(X2) =
para cualquier otro valor en
=
= 2[
-
] = 5/3
= 17/6
Por tanto, teniendo en cuenta que la varianza también se puede escribir como:
2
Se obtiene: 17/8
(5/3)2 = 17/6
= E(X2) -
2
25/9 = 1/18
49
(19)
function y=fn(x)
y=2*(x 1);
----------------------------->> SN=simpsonR('fn',1,2,10)
SN =
1
Ahora se calcula
function y=fn(x)
y=2*(x*(x 1));
>> SN=simpsonR('fn',1,2,10)
SN =
5/3
Ahora se calcula E(X2)
>> SN=simpsonR('fn',1,2,10)
SN =
17/6
>> s2=17/6 - (5/3)^2
s2 =
1/18
2.13 DISTRIBUCIONES DISCRETAS
2.13.1 Distribución binomial. Si p es la probabilidad de éxito y q la probabilidad de
fracaso, entonces la probabilidad P de que obtengan x éxitos en n ensayos, es el término
del desarrollo binomial de (p + q)n, así:
P(X=x) =
px qn-x
x,
(20)
Ejemplo 2.18 La probabilidad de que un estudiante que ingresa a la universidad se
gradúe es de 0.6. Calcular la probabilidad de que 20 estudiantes que ingresan:
1. Ninguno se gradúe
50
2. Que se gradúen la mitad
3. Que se gradúen todos
Solución. Se tiene que n = 20, p = 0.6 y por tanto q = 0.4, pues p + q = 1. Para n grande
como en este caso es conveniente utilizar MATLAB® para agilizar los cálculos.
1. Que ninguno se gradúe
>> p=binopdf(0,20,0.6)
p=
1.0995e-008
Lo que es lo mismo que p = 1.0995 x 10-8 = 0.000000010995 un valor cercano a 0
2. Que se gradúen 10
>> p=binopdf(10,20,0.6)
p=
0.1171
La probabilidad de que se gradúen la mitad dada en porcentaje es 11.71%
3. Que se gradúen todos los 20
>> p=binopdf(20,20,0.6)
p=
3.6562e-005
Que es un valor bastante pequeño: p = 3.6562x10-5 = 0.000036562
Ejemplo 2.19 Encontrar la probabilidad de que diez personas que se encuentran en una
reunión un sábado, a lo más 2 hayan nacido en este mismo día de la semana.
Solución. El trabajo más dispendioso del cálculo de probabilidades es cuando estas son
acumuladas como en el presente ejemplo. En los libros aparecen al final, tablas que
permiten solucionar el problema pero con algunas limitaciones, por lo incompletas y
dispendiosa la forma de encontrarlas.
En
Se tiene que p = 1/7, q = 6/7, x = 0, 1, 2, 3, 4.
51
>> p=binocdf(2,10,1/7)
p=
0.8384
Ejemplo 2.20 Encontrar la probabilidad de que diez personas que se encuentran en una
reunión un sábado, por lo menos 2 hayan nacido en este mismo día de la semana.
Solución. Se tiene que p = 1/7, q = 6/7, x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
>> p = 1-binocdf(1,10,1/7) %se calcula la probabilidad complementaria
p=
0.4292
O también utilizando la forma larga que es poco funcional, pero que sirve como prueba:
>> y = binopdf(2,10,1/7) + binopdf(3,10,1/7) + binopdf(4,10,1/7) + binopdf(5,10,1/7) +
binopdf(6,10,1/7) + binopdf(7,10,1/7) + binopdf(8,10,1/7) + binopdf(9,10,1/7) + binopdf(10,10,1/7)
y=
0.4292
n = 20 y p = 0.3, se procede de la siguiente manera:
>> p=binocdf(7,20,0.3)
p=
0.7723
Ejemplo 2.21 De 100 monedas que son extraídas de una alcancía y puestas sobre una
mesa, ¿Cuál es la probabilidad de que entre 50 y 70 monedas inclusive se encuentren
mostrando cara?
Solución.
>> p=binocdf(70,100,0.5)- binocdf(49,100,0.5) %se supone p=0.5
p=
0.5398
La media y la varianza de la distribución binomial b(x; n, p) son:
52
= np
y
2
= npq
(21)
Ejemplo 2.22 Encuentre la media y la varianza del ejemplo 2.21
Solución. n = 100; p = ½ ; q = ½
= np = 100(1/2) = 50
= npq = 100(1/2)(1/2) = 25
2
2.13.2 Distribución hipergeométrica. La distribución de probabilidad aleatoria
hipergeométrica X, el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se
selecciona de m artículos de los que k se denominan éxito y m-k fracaso, es:
h(x, m, n, k) =
,
x
(22)
Esta distribución se aplica cuando de un grupo de m artículos, de los cuales k tienen
cierta característica, son tomados n artículos, para saber el número de los seleccionados
que tienen la característica mencionada x.
Ejemplo 2.23 Se tienen 200 artículos de los cuales 50 son defectuosos. Si son tomados
10 artículos al azar, calcular la probabilidad de que salgan: a) exactamente cinco
defectuosos b) cinco o menos defectuosos.
Solución. m = 200; k = 50; n = 10.
Con MATLAB se utiliza el siguiente comando: h = hygepdf(x, m, k, n)
a) Para p(x = 5)
>> h=hygepdf(5,200,50,10)%m = 200; k = 50; n = 10.
h=
0.0558
b)
5)
Se utiliza el siguiente comando: hc = hygecdf(x, m, k, n)
>> hc = hygecdf(5,200,50,10)
hc =
0.9829
2.13.3 Distribución de Poisson. En una distribución binomial cuando n es grande, por lo
general mayor de 50, y p, la probabilidad de éxito de un evento, se acerca a 0, mientras
53
que q la probabilidad de fracaso se aproxima a 1 de tal manera que el producto np = , es
menor o igual a 5, debe utilizarse la distribución de Poisson. También puede considerarse
el caso cuando p es bastante grande cercana a 1 y también > 5. En estos dos casos se
puede aplicar esta distribución.
P(x = k) = e
-
k
/ k!
(23)
Donde e es la base de los logaritmos naturales e = 2.71828182,
casos favorables.
= np, k = número de
La distribución de Poisson es utilizada en las líneas de espera, número de bacterias en un
cultivo, insectos por unidad de superficie, número de fallas de una máquina por unidad de
tiempo, entre otras.
FIGURA 2.5 Distribución de Poisson con
>> p0=poisspdf(0,2)
p0 =
0.1353
>> p1=poisspdf(1,2)
p1 =
0.2707
>> p2=poisspdf(2,2)
p2 =
0.2707
>> p3=poisspdf(3,2)
p3 =
0.1804
>> p4=poisspdf(4,2)
p4 =
0.0902
>> p5=poisspdf(5,2)
p5 =
0.0361
54
=2y k
>> p6=poisspdf(6,2)
p6 =
0.0120
>> p7=poisspdf(7,2)
p7 =
0.0034
>> p8=poisspdf(8,2)
p8 = 8.5927e-004
>> p9=poisspdf(9,2)
p9 = 1.9095e-004
>> p10=poisspdf(10,2)
p10 = 3.8190e-005
>> k=0:10
k=
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
>> p=[p0 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p10];
>> plot(k,p,'o',k,p,'*'),grid
Ejemplo 2.24 Si la probabilidad de que una persona se contagie debido a la aplicación de
una vacuna es de una en diez mil. ¿Cuál es la probabilidad de que se contagien con el
virus de la vacuna exactamente 5 personas en una población de 20,000 vacunados?
¿Cuál es la probabilidad de que se contagien menos de 5 personas en la misma
población?
Solución.
= np = 20000(1/10000) = 2
a) Exactamente 5 personas
>> p=poisspdf(5,2)
p=
0.0361
>> p=poisscdf(5,2)
p=
0.9834
b) Cinco o menos de 5 personas
>> p=poisscdf(5,2)
p=
55
0.9834
Ejemplo 2.25 Durante un experimento en un laboratorio de física, el número promedio de
partículas radiactivas que pasan a través de un contador en un milisegundo es 4. ¿Cuál
es la probabilidad de que seis partículas entren al contador en un milisegundo dado?
Solución. k = 6;
= 4;
>> p4=poisspdf(6,4)
p4 =
0.1042
La media y la varianza de la distribución de Poisson p(k, ) tienen el valor .
2.14 DISTRIBUCIONES CONTINUAS
2.14.1 Distribución normal. La función de densidad de la variable aleatoria normal X
(VAN), con media y varianza 2 es:
y = n(x, , ) =
e-(x-
)/2 ²
(24)
Propiedades de la curva normal
La moda, ocurre donde la curva tiene el máximo, es decir en x =
La curva es simétrica con respecto al eje vertical
El eje de las abscisas es asíntota horizontal
El área bajo la curva es igual a 1
En las variables continuas, no tiene sentido referirse a probabilidades de la forma p(x = k),
de manera que sólo se tratarán probabilidades acumuladas.
Con MATLAB© la función y = normcdf(k, , ) calcula p(x < k) con media
estándar
Ejemplo 2.26 Calcular p(x < 20) con
= 25, y,
y desviación
=3
>> y=normcdf(20,25,3)
y=
0.0478
FIGURA 2.6 Función de densidad de la variable aleatoria normal X con
56
=0y
=1
>> nu=0;
>> ro=1;
>> x=linspace(-2.5,2.5,100);
>> y=(1/(sqrt(2*pi)*ro)*exp(-(x-nu).^2)/2*ro^2);
>> plot(x,y)
Una variable aleatoria continua (VAC) X que tiene su gráfica en forma de campana como
la figura 2.6 se llama variable aleatoria normal (VAN).
La función matemática correspondiente a la figura 2.6 con
f(x) =
f(x) depende de dos parámetros:
2
=1y
= 0, es:
e-(x-
)/2 ²
y
que son la varianza y la media, respectivamente.
(25)
>> nu=-3;sigma=2;
>> y1=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2);
>> nu=0;sigma=2;
>> y2=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2);
>> nu=3;sigma=2;
>> y3=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2);
>> plot(x,y1,x,y2,x,y3)
FIGURA 2.7 Distribuciones normales con
57
= -3,
=0y
=3y
constante
>> nu=0;sigma=1;
>> x=linspace(-2.5,2.5,100);
>> y1=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2);
>> nu=0;sigma=2;
>> y2=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2);
>> nu=0;sigma=4;
>> y3=(1/(sqrt(2*pi)*sigma)*exp(-(x-nu).^2)/2*sigma^2);
>> plot(x,y1,x,y2,x,y3)
FIGURA 2.8 Distribuciones normales con igual media 0 y varianzas diferentes
Ejemplo 2.27 Para una distribución binomial con n = 5 y p = 0.5 calcular la distribución de
probabilidades para la variable aleatoria X.
58
Solución.
>> x=0:5
x=
0
1
2
3
4
5
>> p=binopdf(0:5,5,0.5)
p=
0.0313
0.1562
0.3125
0.3125
0.1562
0.0313
>> bar(x,p)
FIGURA 2.9 Histograma del ejemplo 2.27
Ejemplo 2.28 Para una distribución binomial con n = 10 y p = 0.3 calcular la distribución
de probabilidades para la variable aleatoria X.
Solución.
FIGURA 2.10 Histograma del ejemplo 2.28
>> x=0:10
59
x=
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
>> p=binopdf(0:10,10,0.3)
p=
0.0282
0.1211 0.2335 0.2668
0.2001
0.1029
0.0368
0.0090 0.0014 0.0001
0.0000
>> bar(x,p,'r')
Ejemplo 2.29 Calcular la probabilidad de obtener 4, 5 o 6 caras en 9 lanzamientos de una
moneda, mediante aproximación binomial y mediante la normal.
Solución. p = 0.5; q = 0.5; n = 9;
= np = 9(0.5) = 4.5;
=
=
= 1.5
>> p=binopdf(4,9,0.5)+binopdf(5,9,0.5)+binopdf(6,9,0.5)
cuadro a cuadro
p=
0.6563
>> p=binocdf(6.5,9,0.5)-binocdf(3.5,9,0.5)
p=
0.6562
Ahora se calcula un valor aproximado utilizando la normal:
>> y=normcdf(6.5,4.5,1.5)-normcdf(3.5,4.5,1.5)
intervalo
y=
0.6563
Observe que utilizando MATLAB© no es necesario normalizar 2, como se acostumbra de
manera regular.
La distribución de una VAN con media 0 y varianza 1 se llama distribución normal
estándar.
2
Z = (x - )/
60
Ejemplo 2.30 Hallar el área bajo la curva normal: Z = -1.20 y Z = 2.40
Solución.
>> y=normcdf(2.4,0,1)-normcdf(-1.2,0,1)% como Z est normalizada, se tiene que la media es 0 y
la desviaci n
es 1
y=
0.8767
Ejemplo 2.31 Calcular el área bajo la curva normal, a la izquierda de Z = -1.78
Solución.
>> y=normcdf(-1.78,0,1)
y=
0.0375
Ejemplo 2.32 Calcular el área bajo la curva normal, a la derecha de Z = 1.78
Solución.
>> y=1-normcdf(1.78,0,1)
y=
0.0375
Ejemplo 2.33 Las estaturas de los varones de la Universidad de Cundinamarca se
encuentran distribuidas normalmente con media 170 cm. y desviación estándar 4 cm.
Calcular: a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga una estatura superior a
1.72 cm? b) ¿Qué porcentaje de estudiantes tendrá una estatura entre 160 cm. y 170 cm?
Solución.
a) Probabilidad de que un estudiante tenga una estatura superior a 172 cm.
>> y=1-normcdf(172,170,4)
y=
0.3085
61
En términos de porcentaje: 30.85% de los estudiantes miden más de 172 cm.
b) Porcentaje de estudiantes que miden entre 160 cm y 170 cm.
>> y=normcdf(170,170,4)- normcdf(160,170,4)
y=
0.4938
En términos de porcentaje, el 49.38% de los estudiantes miden entre 160 cm y 170 cm.
Ejemplo 2.34 En una distribución binomial de frecuencias, donde p = 0.2, encontrar la
probabilidad de obtener al menos 10 éxitos en 50 experimentos.
Solución. p = 0.2; q =0.8; n =50;
= np = 50(0.2) = 10;
>> yc=normcdf(10.5,10,2.8284)%c
=
=
=2.8284
normal
yc =
0.5702
>> yc=binocdf(10,50,0.2)%c
yc =
0.5836
Ejemplo 2.35 Si una distribución normal tiene = 20 y = 3, encuentre la probabilidad de
que una variable, seleccionada al azar, sea mayor de 30 o menor de 15.
Solución.
>> y30=normcdf(30,21,3)
y30 =
0.9987
>> y15=normcdf(15,21,3)
y15 =
0.0228
>> p=1-(y30-y15)
p=
0.0241
Expresado en porcentaje: p = 2.41%
62
Ejemplo 2.36 Se analizó una muestra de cinco bebidas gaseosas de un mismo sabor y
una misma marca y se encontró que su contenido de agua era, en mililitros: 20, 19, 22,
18, 22. Obtener el intervalo de confianza al 0.95, para estimar el contenido medio de agua
de todas las gaseosas de este tipo.
Solución.
>> [mediamuestral,destipicamuestral,interconfianza]=normfit(x,0.05)
mediamuestral =
20.2000
destipicamuestral =
1.7889
interconfianza =
17.9788
22.4212
Interconfianza (17.9788, 22.4212) representa el intervalo de confianza al 95% para la
media poblacional.
>> [mediamuestral, destipicamuestral, interconfianza]=normfit(x,0.01)
mediamuestral =
20.2000
destipicamuestral =
1.7889
interconfianza =
16.5167
23.8833
Ahora, Interconfianza (16.5167, 23.8833) representa el intervalo de confianza al 99% para
la media poblacional.
Si se desea calcular el intervalo de confianza al 95% de los valores de una distribución
normal (0, 1), la solución consiste en calcular los valores de la inversa de una normal en
los puntos 0.025 y 0.975, así:
>> x=norminv([0.025 0.975],0,1) %intervalo de confianza al 95 por ciento
x=
-1.9600
1.9600
63
>> x=norminv([0.01 0.99],0,1) %intervalo de confianza al 99 por ciento
x=
-2.3263
2.3263
>> x=norminv([0.1 0.9],0,1 %intervalo de confianza al 90 por ciento)
x=
-1.2816
1.2816
Más adelante se resolverá este mismo ejemplo, utilizando la distribución t-student para
comparar los resultados obtenidos.
FIGURA 2.11 Función de distribución acumulada para la curva normal
2.14.2 Distribución 2 (o JI-cuadrado). Una variable aleatoria continua X se dice que
tiene distribución 2, con grados de libertad, si su función de densidad está definida
como:
f(x) =
f(x) = 0, en cualquier otro caso, donde
x
/2
e-x/2, x > 0;
(26)
es un entero positivo.
La función 2, de distribución acumulada p = chi2cdf(x,v) en MATLAB® es la función que
devuelve la probabilidad acumulada p con v grados de libertad con valores en x.
Ejemplo 2.37 Hallar la probabilidad para x = 2, con una función de distribución acumulada
2
y 3 grados de libertad, luego hacer el proceso inverso, es decir, calcular x dado p.
Solución.
>> v=3;
64
>> x=2;
>> p=chi2cdf(x,v) %calcula la probabilidad acumulada de chi-cuadrado con x=2 y =3 grados de
libertad
p=
0.4276
>> x=chi2inv(p,v) %calcula el valor de x con la probabilidad calculada p, y 3 grados de libertad
x=
2.0000
Esta función de probabilidad es muy importante en la inferencia estadística. Es un
concepto importante en la prueba de hipótesis y en la estimación estadística. Los
problemas con distribuciones de muestreo, análisis de varianza y estadística no
paramétrica exigen un importante uso de 2.
La media y la varianza de la distribución
FIGURA 2.12 Distribución
2
2
son:
= ,y
2
=2
con 2, 4, 6 y 8 grados de libertad con azul, verde, rojo, azul
claro, respectivamente
>> x=0:0.1:16;%dominio en el intervalo [0, 16]
>> p2=chi2pdf(0:0.1:16,2);%recorrido con 2 grados de libertad
>> p4=chi2pdf(0:0.1:16,4);%recorrido con 4 grados de libertad
>> p6=chi2pdf(0:0.1:16,6);%recorrido con 6 grados de libertad
>> p8=chi2pdf(0:0.1:16,8);%recorrido con 8 grados de libertad
>> plot(x,p2,x,p4,x,p6,x,p8)
65
2.14.3 Distribución t de Student. Se utiliza en las pruebas de hipótesis, cuando se
conoce la desviación estándar poblacional , no importa el tamaño de la muestra ya sea
pequeña o grande. Una muestra es pequeña cuando n es menor o igual que 30 y se
considera grande cuando n es mayor que 30.
Cuando se desconoce la desviación estándar poblacional , ésta se puede reemplazar
por la desviación estándar muestral s, siempre que la muestra sea grande, de acuerdo a
las consideraciones anteriores.
cuando no se le ha hecho ninguna
corrección. Generalmente
es menor que , por lo tanto se hace necesario hacerle
algunas correcciones en su cálculo, con el fin de convertirla en un buen estimador de ,
como se verá más adelante.
Estas y otras consideraciones se tendrán en cuenta más tarde para el estudio de la
inferencia estadística, en su debido momento.
con v grados de libertad está dada por:
h(t) =
(1+t2/v)-(v+1)/2 , - < t <
FIGURA 2.13
(27)
de
libertad
>> x=-5:0.1:5;
>> t1=tpdf(x,1);
>> t2=tpdf(x,2);
>> t3=tpdf(x,5);
66
>> t4=tpdf(x,100);
>> plot(x,t1,x,t2,x,t3,x,t4)
2.14.4 Distribución F. Sean X e Y dos variables aleatorias independientes que tienen
distribuciones 2 con v1 y v2 grados de libertad, respectivamente. Entonces la distribución
de la VA, F =
, está dada por:
[( 1 + 2)/2]( 1/ 2) 1/2
f 1/2 1
h(f) = ------------------------- -------------------- ,
(28)
( 1+ 2) /2
( 1/2) ( 2/2)
(1 + 1f/ 2)
0 en cualquier otro caso, 0 < f <
(28) se denomina distribución F con v1 y v2 grados de libertad.
FIGURA 2.14 Distribuciones F con 8 y 12 grados de libertad (azul), y 12 y 24 grados de
libertad (verde)
>> x=0:0.01:4;
>> y1=fpdf(0:0.01:4,8,12);
>> y2=fpdf(0:0.01:4,12,24);
>> plot(x,y1,x,y2)
La distribución F se utiliza para el caso de dos muestras para obtener inferencias acerca
de las varianzas de población. A menudo se encuentra la situación en que se requiere la
comparación entre dos varianzas de población; es decir, determinar si la variabilidad de
una población difiere de la otra. La distribución F se utiliza para estos casos. Este tema se
tratará más adelante, cuando se trabaje inferencia estadística.
67
68
3. ANÁLISIS ESTADÍSTICO
3.1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Una de las etapas más importantes en el proceso de investigación se relaciona con la
sistematización y análisis de la información y se denomina esta etapa como análisis
estadístico de la información, y es una disciplina que se define como la ciencia de la
recolección, análisis, interpretación y presentación de información que puede expresarse
en forma numérica3.
Dada una serie de datos, se puede dibujar un histograma y calcular las medidas de
tendencia central: media, mediana, moda, media geométrica, media armónica y las
medidas de dispersión como: rango, varianza, desviación estándar, desviación media,
etc4.
La estadística como disciplina no debe confundirse con el concepto de
estadística, se refiere pues a algunas medidas calculadas con respecto a una muestra
como la media aritmética muestral o la desviación estándar muestral.
La primera es el proceso necesario para manejar y analizar información (data) con el fin
de apoyar de manera sistemática al investigador, para que identifique las leyes que guían
o regulan los fenómenos o problemas estudiados. Una estadística es una característica o
un resultado numérico a partir de una muestra de elementos. Relacionado con el
concepto de una estadística se encuentra el de parámetro (poblacional), que es el valor
de una característica de una población total o Universo y ya no de una muestra de la
misma5.
La muestra se refiere a un subconjunto de elementos tomados del universo o población
que a su vez incluye a todos los elementos6.
Ejemplo 3.1 Dados los siguientes datos de notas de un grupo de 10 estudiantes en
determinada asignatura, hallar la tabla de frecuencia absoluta y la frecuencia en
porcentajes.
Solución.
>> x=[4.5 3.0 3.0 4.0 2.5 5.0 3.5 4.0 3.5 3.5];%data
3
VÉLEZ B. Eduardo. Análisis de la información. ICFES. Módulo 4. pp. 9.
ARBOLEDA Q. Dairon y ÁLVAREZ J. Rafael. MATLAB®. Aplicaciones a las Matemáticas Básicas. Universidad de
Medellín. pp. 30.
5
VÉLEZ B. Eduardo. Op.Cit. pp.10.
6
IBID. pp. 11.
4
69
>> x=sort(x)%ordena el vector ascendentemente
x=
2.5000
3.0000
3.0000
3.5000
3.5000
3.5000
4.0000
4.0000
4.5000
5.0000
>> tabla=tabulate(x)
tabla =
2.5000
1.0000 10.0000
3.0000
2.0000 20.0000
3.5000
3.0000 30.0000
4.0000
2.0000 20.0000
4.5000
1.0000 10.0000
5.0000
1.0000 10.0000
>> tabulate(x)
Value Count Percent
2.5
1
10.00%
3
2
20.00%
3.5
3
30.00%
4
2
20.00%
4.5
1
10.00%
5
1
10.00%
Ejemplo 3.2 Dada la siguiente serie de datos, calcular las medidas de tendencia central y
de dispersión, además hacer la representación de datos agrupados.
Dado un examen de matemáticas de 60 estudiantes de dos cursos paralelos de la misma
asignatura, obtuvieron las siguientes calificaciones:
40, 33, 28, 25, 11, 21, 22, 17, 22, 19, 17, 16, 28, 26, 20, 15, 21, 20, 19, 24, 10, 29, 23, 34,
24, 33, 26, 14, 13, 18, 28, 23, 28, 21, 29, 24, 11, 31, 25, 18, 25, 26, 20, 34, 22,30, 27, 32,
35, 39, 18, 29, 16, 37, 28, 29, 10, 34, 29, 38
Solución.
function d=dataset11
d=[40 33 28 25 11 21 22 17 22 19 17 16 28 26 20 15 21 20 19 24 10 29 23
34 24 33 26 14 13 18 28 23 28 21 29 24 11 31 25 18 25 26 20 34 22 30 27
32 35 39 18 29 16 37 28 29 10 34 29 38];
70
>>data=dataset11;
y los guarda en data
>> max(data)
de data
ans =
40
>> min(data)
de data
ans =
10
>> sum(data) %obtiene la suma de todos los elementos del vector data
ans =
1464
>> data=sort(data) % ordena
en forma ascendente
data =
Columns 1 through 34
10 10
11
11
13
14
15
21
22
22
22
23
23
24
24
28
29
29
29
21
16 16
17
17
18
24
25
25
18
25
18
26
19
26
19
20 20
20
21
34
34
35
26
Columns 37 through 60
27
28
28
28
37
38
39
40
28
29
29
>> tabulate(data)
Value Count Percent
10
2
3.33%
11
2
3.33%
12
0
0.00%
13
1
1.67%
14
1
1.67%
15
1
1.67%
16
2
3.33%
17
2
3.33%
18
3
5.00%
19
2
3.33%
20
3
5.00%
71
30
31
32
33
33
34
21
3
5.00%
22
3
5.00%
23
2
3.33%
24
3
5.00%
25
3
5.00%
26
3
5.00%
27
1
1.67%
28
5
8.33%
29
5
8.33%
30
1
1.67%
31
1
1.67%
32
1
1.67%
33
2
3.33%
34
3
5.00%
35
1
1.67%
36
0
0.00%
37
1
1.67%
38
1
1.67%
39
1
1.67%
40
1
1.67%
TABLA 3.1 Clases vs frecuencias
Clases
Clase 1
Clase 2
Clase 3
Clase 4
Clase 5
Clase 6
Intervalos
Frecuencia
10-15
7
16-20
12
21-25
14
26-30
15
31-35
8
36-40
4
>> y=[7 12 14 15 8 4]; % y es el vector de frecuencias de las 6 clases
>> pie(y) % hace el gr fico de sectores
FIGURA 3.1 Gráfico de sectores (pie)
72
FIGURA 3.2 Histograma de frecuencias de
con seis clases
Código:
FIGURA 3.3 Diagrama de barras
verticales
Código:
>> hist(data,6)%histograma con seis clases
>> bar(y,'g') %diagrama de barras verticales
FIGURA 3.4 Diagrama de barras horizontales
Código:
FIGURA 3.5 Gráfico de racimo
Código:
73
>> barh(y,'r')%diagrama de barras horizontales
>> stem(y,'r')%gr fico de racimo
Ahora se escribe el script para un histograma con distribución acumulada, así:
>> data=dataset10;
n=length(data);
b=80:20:240;
nn=hist(data,b);
maxn=max(nn);
cs=cumsum(nn*maxn/n);
bar(b,nn,0.95,'y')
axis([70,250,0,maxn])
>> box off
>> hold on
>> plot(b,cs,'k-s')
FIGURA 3.6 Histograma de nueve clases, distribución acumulada de los datos dataset10
3.1.1 Estadígrafos de posición
>> xmedia=mean(data) %calcula la media aritm tica
xmedia =
24.4000
>> xmedian=median(data)%calcula la mediana
74
xmedian =
24.5000
>> xgeomed=geomean(data)%calcula la media geom trica
xgeomed =
23.1568
>> xarmedia=harmmean(data) %calcula la media arm nica
xarmedia =
21.7846
>> xmoda=mode(data)
moda =
28
Media
Aritmética
Mediana
Media
Geométrica
Media
Armónica
Posición de la
mediana:
Fuente: MAGRAB, Edward B. et al.
Moda
Md = xi
Si ni = Max{ fj }
j
ATLAB®.
3.1.2 Estadígrafos de dispersión
>> xmad=mad(data)%calcula la desviaci n media absoluta
xmad =
6.1000
>> xrango=range(data)%calcula el rango = max(data)-min(data)
rango =
30
>> xstd=std(data) %calcula la desviaci n est ndar
xstd =
7.4815
>> xcvar= var(data) %calcula la cuasivarianza
xcvar =
55.9729
>> xvar1=var(data,1)%calcula la varianza
Xvar1=
75
55.0400
>> riq=iqr(data) %rango intercuart lico q3-q1
riq =
10
Desviación Media
Absoluta
Cuasivarianza
Varianza
Desviación Estándar
Muestral
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Dispersi%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)
FIGURA 3.7 Polígono de frecuencias (rojo)
>> marcas=[8 13 18 23 28 33 38 43]; %marcas de clase
>> y=[0 7 12 14 15 8 4 0]; % frecuencias
>> hold on; bar(marcas,y); plot(marcas,y,'r')
Ejemplo 3.3 Con el mismo vector de datos, calcular: rango intercuartílico, cuartiles 1, 2 y
3, percentiles 10, 25, 50 y 80, coeficiente de asimetría, kurtosis, momento de orden 2
centrado en el origen, e interpretar los resultados.
Solución.
>> q1=quantile(data, 0.25)% calcula el cuartil 1
q1 =
19
76
>> q2=quantile(data,0.50) % mcalcula el cuartil 2
q2 =
24.5000
>> q3=quantile(data, 0.75)% calcula el cuartil 3
q3 =
29
El cuartil 1, indica que una cuarta parte de los estudiantes tienen notas por debajo de 19
El cuartil 2, indica que la mitad de los estudiantes tienen notas por debajo de 24.5. Nótese
que el cuartil dos, corresponde a la mediana.
El cuartil 3, muestra que las tres cuartas partes de los estudiantes tienen notas por debajo
de 29.
El rango intercuartílico corresponde a la diferencia entre el cuartil 3 y el cuartil 1, o sea, el
50% de estudiantes están en ese rango, entre 19 y 29.
>> percentiles=prctile(data, [10 20 25 50 75 90]) %calcula los percentiles 10, 20, 25, 50, 75, y 90
percentiles =
14.5000 18.0000 19.0000 24.5000 29.0000 34.0000
El resultado anterior muestra:
p10 = 14.5
p20 = 18.0
p25 = 19.0
p50 = 24.5
p75 = 29.0
p80 = 34.0
de 34.
El 10% de los estudiantes tienen notas por debajo de 14.5
El 20% de los estudiantes tienen notas por debajo de 18.0
Observe que es el mismo cuartil 1
Observe que es la mediana, el cuartil 2 y el percentil 50
Observe que es el cuartil 3
El percentil 80 indica que el 80% de los estudiantes tienen notas por debajo
>> coefasimetria = skewness(data)% calcula el coeficiente de asimetr a
coefasimetria =
0.0186
El coeficiente sesgo o de asimetría es un número que mediante su signo se puede
determinar si los datos tienen distribución simétrica o sesgada.
77
El coeficiente de sesgo o de asimetría, se interpreta del siguiente modo7:
Si es igual a cero, entonces los datos se distribuyen de manera simétrica.
Si es mayor que cero, entonces los datos son sesgados a la derecha.
Si es menor que cero, entonces los datos son sesgados a la izquierda.
Para el caso de estudio, los datos son sesgados ligeramente a la derecha, como se ilustra
en la figura 3.8, mostrado a continuación.
FIGURA 3.8 Histograma y curva normal
>> histfit(data);colormap([1 1 0])
>> k=kurtosis(data)
k=
2.3859
FIGURA 3.9 Asimetrías
7
CHAO L. Lincoln. Estadística para las ciencias administrativas. McGraw Hill Latinoamericana. Bogotá, 1993. pp. 64-65
78
Fuente: http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm
El coeficiente k de curtosis se interpreta de la siguiente manera8:
Si k = 3 implica que los datos presentan forma de una normal estandarizada (ver polígono
de frecuencias y la curva normal).
Si k > 3 implica que los datos se presentan más empinados que los de la normal
estandarizada.
Si k < 3 entonces los datos se presentan más aplanados que los de la curva normal, como
es el caso de estudio: k = 2.3859.
>> moment(data,2)% momento de orden 2
ans =
55.0400
>> s2=var(data,1)% calcula la varianza
S2 =
55.0400
Obsérvese que el momento de orden 2 es la misma varianza.
FIGURA 3.10 Curtosis
Leptocúrtica
Mesocúrtica
Platicúrtica
Coeficiente de variación. También es una medida relativa de dispersión. Determina el
grado de dispersión de un conjunto de datos relativo a su media aritmética.
Si se ha realizado un estudio estadístico en dos poblaciones diferentes, y se quiere
comparar resultados, no se puede acudir a la desviación estándar para ver la mayor o
8
CHAO L. Lincoln. Op Cit. pp. 65-66
79
menor homogeneidad de los datos, sino a otro parámetro: el coeficiente de variación el
cual se define como el cociente entre la desviación estándar y la media aritmética.
CV =
Ejemplo 3.4 En una exposición de ganado se estudia un conjunto de vacas con una
media de 500 kilos y una desviación estándar de 50 kilos. Y se observa también un
conjunto de ovejas con una media de 40 kilos y una desviación estándar de 10 kilos.
¿Qué grupo de animales es más homogéneo?
Solución. Un razonamiento falso sería decir que el conjunto de ovejas es más
homogéneo porque su desviación estándar es más pequeña, pero si se calcula el
coeficiente de variación para ambos se notará que no es así:
CVV = 50/500 = 0.1 = 10%
CVO = 10/40 = 0.25 = 25%
Por tanto, es más homogéneo el conjunto de las vacas9.
Ejemplo 3.5 Quince estudiantes del grupo A de matemática I obtuvieron las siguientes
notas definitivas al final del periodo: 25 34 26 45 23 36 29 32 33 44 31 30 35 40 20 y el
grupo B de 20 estudiantes obtuvo las siguientes notas: 36 45 23 37 39 44 39 20 20 29 39
46 28 30 35 36 28 29 40 38 de la misma asignatura. El docente desea averiguar cuál de
estos dos grupos es más homogéneo (más parejo), teniendo en cuenta las notas
definitivas obtenidas.
Solución
>> x=[25 34 26 45 23 36 29 32 33 44 31 30 35 40 20];
>> y=[36 45 23 37 39 44 39 20 20 29 39 46 28 30 35 36 28 29 40 38];
>> stdx=std(x)
stdx =
7.2230
>> stdy=std(y)
stdy =
7.8168
>> xmedia=mean(x)
xmedia =
32.2000
>> ymedia=mean(y)
9
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/unidimensional_lbarrios/parametros_est.htm
80
ymedia =
34.0500
>> CV1=std(x)/mean(x)
CV1 =
0.2243
>> CV2=std(y)/mean(y)
CV2 =
0.2296
Promedio aritmético del grupo 1 es: 32
Promedio aritmético del grupo 2 es: 34
Coeficiente de variación del grupo 1 es 22.43%
Coeficiente de variación del grupo 2 es 22.96%
Se puede observar que: el grupo 1 tiene un promedio más bajo que el grupo 2, pero el
grupo 1 es más homogéneo que el grupo 2.
81
4. TEORÍA DE MUESTREO
Tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales, la mayoría del conocimiento
existente se debe a experiencias basadas en inferencias a partir de la observación y del
análisis de un número limitado de eventos.10
De la calidad y representatividad que ese número limitado de eventos (muestra) tenga,
dependerá la bondad o el defecto (la precisión o el error) del conocimiento generado y,
precisamente por esto, es relevante identificar cómo se debe seleccionar una buena
muestra11.
El primer paso para lograrlo, es tener claridad de que un muestreo es un proceso por
medio del cual se seleccionan probabilísticamente elementos de un universo o población
con la finalidad de estimar, con un determinado grado de precisión, algunas
características de la población en su totalidad12.
De manera que, la lógica del muestreo consiste en estimar parámetros de la población a
partir de estadísticos obtenidos de una muestra, aun cuando nunca se pueda afirmar con
absoluta seguridad cuáles son esos parámetros. Esto, que aparentemente es un
problema, realmente no lo es, ya que en la práctica lo importante es asegurar que el
parámetro se encuentre dentro de cierto rango y esto lo permite la denominada teoría de
la estimación que identifica la precisión de las estimaciones; es decir, identifica la
probabilidad de que el valor real del parámetro se encuentre dentro de unos límites
especificados13.
Es necesario es entender que la teoría del muestreo permite estimar tamaños adecuados
de muestra, indispensables para obtener una estimación con cierto grado de precisión.
Para lograrlo, es necesario definir qué es un intervalo de confianza, qué es un grado de
de significancia y qué es una distribución muestral.
El grado de confianza se refiere a la probabilidad de que el valor real de un parámetro, se
encuentre dentro de los límites especificados en la estimación que se quiere calcular14.
El intervalo de confianza corresponde a un intervalo de valores, dentro de los cuales se espera que
esté el parámetro con cierto grado de confianza o con riesgo de error conocido; para ello es
necesario determinar primero la estimación puntual.
Cuando de una población de tamaño N se toman, por ejemplo, muestras de tamaño n un
número infinito de veces, la distribución de cualquier estadístico calculado, por ejemplo de
10
VÉLEZ, Eduardo B. El Análisis de la Información. ICFES, Módulo 4. Serie Aprender a Investigar. Bogotá D.C. 1990. pp.
80.
11
Ibid. pp. 80
12
Ibid. pp. 81
13
Ibid. pp. 81
14
Ibid. pp. 81
82
su media aritmética, recibe el nombre de distribución de muestreo. Esto es importante,
porque la distribución de muestreo de muchos estadísticos se aproxima a la curva normal
y así se puede estudiarlos de manera adecuada15.
Un intervalo de confianza permite verificar las hipótesis planteadas acerca de parámetros
poblacionales. Existe intervalos de confianza bilaterales y unilaterales.
En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango
de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del
parámetro, con una probabilidad determinada.
La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo
construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de
equivocarse se llama nivel de significancia y se simboliza como . Generalmente, se
construyen intervalos con confianza 1- = 95% (o significancia =5%). Menos frecuentes
son los intervalos con = 10% o = 1%
Para construir un intervalo de confianza, se puede comprobar que la distribución normal
estándar cumple:
p(-1.96 < z < 1.96) = 0.95
Luego, si una variable x tiene distribución N( , ), entonces el 95% de las veces se
cumple:
Despejando
en la ecuación se tiene:
x - 1.96
El resultado es un intervalo que incluye a el 95% de las veces. Es decir, es un intervalo
de confianza al 95% para la media cuando la variable x es normal y
es conocido16.
En cuanto a definición de población, el concepto de población o universo en estadística,
va más allá de lo que comúnmente se conoce como tal. Una población, se precisa como
un conjunto finito o infinito de personas u objetos que presentan características comunes.
También, una población es un conjunto de todos los elementos que se están estudiando,
acerca de los cuales se intenta sacar conclusiones17.
Por ejemplo, si el elemento es una persona, se puede estudiar las características edad,
peso, nacionalidad, sexo, etc. Los elementos que integran una población pueden
corresponder a personas, objetos o grupos (por ejemplo, familias, fábricas, empresas,
etc). Las características de la población se resumen en valores llamados parámetros.
15
VÉLEZ, Eduardo B. Op Cit. pp. 82
http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/EPIANAL9.HTM
17
http://www.scribd.com/doc/5181091/Estadistica-y-poblacio-y-muestra
16
83
En cuanto a la muestra, la mayoría de los estudios estadísticos, se realizan no sobre la
población, sino sobre un subconjunto o una parte de ella, llamado muestra, partiendo del
supuesto de que este subconjunto presenta el mismo comportamiento y características
que la población. En general el tamaño de la muestra es mucho menor al tamaño de la
población, porque de esta manera ahorra un gran esfuerzo.
Los valores o índices que se concluyen de una muestra se llaman estadígrafos o
estadísticos y estos mediante métodos inferenciales o probabilísticos, se aproximan a los
parámetros poblacionales18.
A continuación se muestra la sintaxis de MATLAB con respecto a algunas funciones o
comandos relativos a los conceptos examinados anteriormente.
SINTAXIS MATLAB®
normfit19
[muhat,sigmahat] = normfit(data)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(data)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(data,alpha)
[...] = normfit(data,alpha,censoring)
[...] = normfit(data,alpha,censoring,freq)
[...] = normfit(data,alpha,censoring,freq,options
Descripción
>>[muhat,sigmahat] = normfit(data) %devuelve el estimativo de la media
>>[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(data) % devuelve el intervalo de confianza al 95%
para los
s estimados de la m
respectivamente. La primera fila de
s arreglos
y
contiene las cotas inferiores de los intervalos de
confianza para , la segunda fila contiene las cotas superiores. La primera fila de
contiene las cotas inferiores de los intervalos de confianza para , y la segunda fila contiene las
cotas superiores.
>>[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(datos,alpha) % devuelve el intervalo de confianza al
100(1 - alfa)%
stimado, donde alfa es un valor en el intervalo o rango [0 1],
18
http://www.scribd.com/doc/15268123/Conceptos-Basicos-de-Estadistica-I
1984-2008 The MathWorks, Inc. MATLAB®
19
84
,
especificando el ancho del intervalo de confianza. Por defecto, alfa es 0.05, lo cual corresponde
a un intervalo de confianza del 95%.
Ejemplo 4.1 El contenido de siete contenedores similares de un ácido son 9.8, 10.2 10.4,
9.8, 10, 10.2, 9.6 litros. Encuentre el intervalo de confianza del 95% para la media de
todos los contenedores si se supone que la distribución es aproximadamente normal.
Solución.
>> x=[9.8, 10.2 10.4, 9.8, 10, 10.2, 9.6 ]; %datos
>>alfa=0.05 %alfa por defecto es 0.05
>>[muhat,sigmahat,muci]=normfit(x,alfa) %
n-1
y muci: intervalo de confianza al 95%
muhat =
10
sigmahat =
0.2828
muci =
9.7384
10.2616
El intervalo en cuestión es: 9.7384 <
< 10.2616
4.1 INFERENCIA ESTADÍSTICA
Se basa en las conclusiones a la que se llega por la ciencia experimental basándose en
información incompleta (de una parte de la población). La inferencia estadística es una
parte de la Estadística que permite generar modelos probabilísticos a partir de un conjunto
de observaciones. Del conjunto se observaciones que van a ser analizadas, se eligen
aleatoriamente sólo unas cuantas, que es lo que se denomina muestra, y a partir de dicha
muestra se estiman los parámetros del modelo, y se contrastan las hipótesis establecidas,
con el objeto de determinar si el modelo probabilístico es el adecuado al problema real
que se ha planteado.
La utilidad de la inferencia estadística, consiste en que si el modelo se considera
adecuado, puede usarse para la toma de decisiones o para la realización de las
previsiones convenientes.
La inferencia estadística, parte de un conjunto de observaciones de una variable, y a partir
de estos da
infiere
modelo probabilístico; por tanto, la inferencia
85
estadística es la consecuencia de la investigación empírica, cuando se está llevando a
cabo, y como consecuencia de la ciencia teórica, cuando se están generando
estimadores, o métodos, con tal o cual característica para casos particulares. La
inferencia estadística es, en consecuencia, un planteamiento inductivo20.
4.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS
En ingeniería e investigación hay muchas situaciones donde uno tiene aceptar o negar
una hipótesis acerca de un parámetro. Una hipótesis estadística puede considerarse
como una aseveración sobre los parámetros de una o más poblaciones. Una población es
la totalidad de las observaciones de la cual se ocupa el investigador en el problema. Una
muestra es un subconjunto de una población. Desde que se utilizan distribuciones de
probabilidad para representar poblaciones, una hipótesis estadística puede considerarse
como una aseveración sobre la distribución estadística de la población21.
Por ejemplo, supóngase que se tiene un parámetro que ha sido obtenido de n muestras
de una población, y se está interesado en determinar si este parámetro es igual a o. El
procedimiento para la prueba de hipótesis requiere:
Formular una hipótesis, llamada hipótesis nula, Ho
La forma de prueba estadística apropiada, q o.
Seleccionar un nivel de confianza (tener en cuenta que: 100(1- )% es el nivel de
confianza para ).
Comparar la prueba estadística para un valor que corresponde a la magnitud de la
prueba que se puede esperar que ocurra naturalmente, q.
Basado en las respectivas magnitudes de qo y q, la hipótesis nula tiene dos posibilidades,
ser aceptada o rechazada. Si la hipótesis nula es rechazada, entonces se acepta la
hipótesis alternativa, la cual se denota como H1.
Hay tres casos posibles a considerar:
Ho :
Ha :
=
o
o
Ho :
Ha :
=
>
o
o
Ho :
Ha :
=
<
o
o
Existen dos tipos de errores que se pueden cometer en la prueba de hipótesis:
Error tipo I : Rechazar la hipótesis nula Ho cuando es verdadera.
Error tipo II : Aceptar la hipótesis nula Ho cuando es falsa; esto es, cuando realmente
1.
20
21
http://www.mitecnologico.com/Main/InferenciaEstadistica
86
=
SINTAXIS MATLAB®
ttest
22
h = ttest(x)
h = ttest(x,m)
h = ttest(x,y)
h = ttest(...,alfa)
h = ttest(...,alfa,tail)
h = ttest(...,alfa,tail,dim)
[h,p] = ttest(...)
[h,p,ci] = ttest(...)
[h,p,ci,stats] = ttest(...)
Descripción
>>h =ttest(x) %
varianza desconocida, frente a la
h = 0, indica un
error al rechazar la h
h=ttest(x,m)
y varianza desconocida, frente a la
alternativa de que la media no sea
.
h=ttest(x,y)
es la diferencia x-
rmal con media
0 y varianza desconocida, frente a la alternativa de que la media no sea 0. Se debe tener en
a) %ejecuta la prueba en (100*alfa)% nivel de significancia. Por defecto, cuando no
se especifica alfa, esta es de 0.05.
h=ttest(
22
,alfa,tail)
1984-2008 The MathWorks, Inc. MATLAB®
87
m). Se realiza por defecto, cuando la cola no se especifica. (prueba
de dos colas).
m) (prueba de cola derecha)
m) (prueba de cola izquierda)
h ttest(
,alfa,cola,dim)
-y para una prueba de par
de variables. Usar [] para pasar por defecto valores predeterminados para m, alfa, o tail.
[h,p] = ttest
o la
t=
Donde
m) es la media poblacional hipotética, s es la desviación
estándar muestral, y n es el tamaño de la muestra. Bajo la hipótesis nula, la prueba estadística
tendrá una distribución t de Student con n - 1 grados de libertad.
[h,p,ci]=ttest(...) % retorna un intervalo de confianza de 100*(1
alpha)% de la media poblacional
o de la diferencia de medias poblacionales para una prueba apareada.
[h,p,ci,stats]=ttest(...) %devuelve la estructura
con los siguientes campos:
tstat : Valor de la prueba estadística.
df : Grados de libertad de la prueba.
sd : Desviación estándar muestral.
Para probar la veracidad o no de una hipótesis acerca de la media poblacional, el
MATLAB® asume la distribución normal cuando es conocida la media poblacional y la
distribución t-student cuando no se conoce . Según esto, se utilizan las funciones ztest
o ttest para comprobar la hipótesis nula. La forma de utilizar estas funciones se hace de
la siguiente manera:
Ejemplo 4.1 Considérese los datos de dataFci. Se quiere determinar si existe alguna
diferencia estadísticamente significativa entre las medias de estas muestras con un 95%
de confianza. Así, la hipótesis es:
Ho: 1 = 2
H1:
2
Solución. Se usa ttest2 para determinar la validez de esta hipótesis. La función ttest2 es:
[h,p,ci]=ttest2(x1, x2, alfa)
88
Donde x1 y x2 son los datos, alfa = , h = 0 si Ho y h = 1 si H1, p = p-valor; esto es: p =
2*(1-tcdf(t0,n-1))
Para un intervalo de confianza de dos colas; t0 = to está definido en la cuarta columna del
caso 4, y ci(1) = l y ci(2) = u son los límites de confianza inferior y superior,
respectivamente. Así, el script es:
>> [x1,x2]=dataFci;
>> [h,p,ci]=ttest2(x1,x2,0.05)
h=
0
p=
0.6775
ci =
-0.7819
1.1724
Ejecutando el anterior script, se obtiene h = 0; esto es, que no se puede rechazar la
hipótesis nula, p = 0.6645, ci(1) = -0.7550, y ci(2) = 1.1855 son los límites de confianza
inferior y superior, respectivamente, de la diferencia entre las medias. Basado en el valor
de p, se ve que están solamente 100(1-0.6445)=35.55% de confianza
Basado en el valor de p, se ve que se está a sólo 100(1-0.6445) = 35.55% de confianza
en que existe una diferencia estadísticamente significativa entre los medios, el cual es
sustancialmente inferior al valor deseado de nivel de confianza del 95%. Por tanto, la
hipótesis nula no puede ser rechazada.
Ejemplo 4.2 El vendedor de cierta marca de automóvil afirma que el kilometraje medio del
modelo XW es de 45.425 Km por galón de gasolina. Un ente gubernamental de Pesas y
Medidas, cree que el vendedor está generando falsas expectativas a los clientes. Nueve
automóviles de este modelo son sometidos a prueba con un galón de gasolina y dan el
siguiente resultado de kilómetros recorridos:
45.425 Km 41.640 Km 37.854 Km 39.747 Km 43.532 Km 41.640 Km 47.318 Km
37.854 Km 39.747 Km.
¿Se rechazará o se aceptará la afirmación del vendedor? Utilizar un nivel de significancia
de 0.01 ( = 1%).
Solución.
Ho = 45.425 Km/galón
89
Ha
45.425 Km/galón
Formato: [h,sig,ci] = ttest(x, , , tail)
Entrada:
x : data (si es menor que 30 se utiliza t-student como en este caso)
: media poblacional (44.425 Km/galón)
: significancia (0.01)
both
right
left
0
>
<
0
0
Salida:
Si h = 0, entonces se acepta la hipótesis nula.
Si h = 1, entonces se rechaza la hipótesis nula.
ci : intervalo de confianza
sig : significancia
>> x= [45.425 41.640 37.854 39.747 43.532 41.640 47.318 37.854 39.747];
h=
1
sig =
0.0085
ci =
37.9730 45.3064
h = 1, significa que debe rechazarse la hipótesis nula, es decir, que lo que afirma el
vendedor no es creíble bajo una certeza del 99%
sig = 0.0085 es menor que 0.01 o 1% , luego se rechaza la hipótesis nula.
ci = [37.9730 Km/galón , 45.3064 Km/galón] es el intervalo en el que puede
desempeñarse el carro, respecto al kilometraje que afirma el vendedor del automóvil XW,
con una significancia del 1%
Como la media poblacional es 45.425 km, no cae dentro del intervalo de confianza 0.99
= 99% = (1- ), es así que se rechaza la hipótesis nula.
90
Ejemplo 4.3 Probar la hipótesis de que la distancia media requerida para poder frenar un
automóvil que va a 20 Km/h es de 25 metros. Con base en una muestra de 100
conductores se obtiene que la distancia media es 27.3 metros, con una desviación
estándar de s = 2.1 metros. Utilizar un nivel de significación de 5%.
Solución.
Entrada:
x: vector de 100 distancias con media 27.3
= 0.05
s = 2.5761
m = 25
Ho : = 25
Ha :
25
function d=dataset12
d=[30 30 28 26 26 24 22 30 31 29 29 26 28 26 30 25 31 30 29 26 30 29 23 34 24 30 26 24 23 28
28 23 28 31 27 24 31 28 25 28 25 26 30 24 27 30 27 32 35 29 28 29 26 27 28 29 30 24 29 28 25
24 26 30 29 28 24 28 30 23 26 27 25 24 27 29 30 24 25 28 28 28 30 26 27 25 24 25 31 26 24 30
27 28 25 26 24 27 26 28];
>> data=dataset12;
>> sigma=2.1;
>> alfa=0.05;
>> m=25;
Salida:
>> h = ztest(data,m,sigma,alfa,'both')
h=
1
Como h = 1, se rechaza la hipótesis nula, es decir, que la distancia media requerida para
frenar es diferente de 25 metros, a un nivel de significancia del 5%.
SINTAXIS MATLAB
ztest
23
23
The MathWorks, Inc. MATLAB® 1984-2008.
91
h = ztest(x,m,sigma)
h = ztest(...,alpha)
h = ztest(...,alpha,tail)
h = ztest(...,alpha,tail,dim)
[h,p] = ztest(...)
[h,p,ci] = ztest(...)
[h,p,ci,zval] = ztest(...)
Descripción
h = ztest(x,m,sigma)
Ejecuta una prueba de hipótesis z (normal), donde la data proviene de una distribución con
media m, y que devuelve el resultado de la prueba en términos de h. Cuando h = 0 indica que la
m
5%. Los datos se supone que provienen de una distribución normal con desviación estándar
sigma.
h=ztest(...,alpha) %Ejecuta una prueba de nivel de significancia del (100*alfa)%. Por defecto,
cuando no se especifica alfa da por sentado que alfa es 5% o 0.05.
h=ztest(...,alpha,tail) %Ejecuta la prueba contra la alternativa especificada por la string
Hay tres opciones para la string tail
both
especifica.
m (prueba de dos colas). Esto es por defecto, cuando la cola no se
'right' : La media es más grande que m (prueba de cola derecha).
'left' : La media es más pequeña que m (prueba de cola izquierda).
La cola debe ser una cadena simple, incluso cuando x es una matriz o un arreglo n-dimensional.
>>h=ztest(...,alpha,cola,dim) %
dim de x. Usar [] para pasar por
>>[h,p] = ztest(...) %devuelve el valor p de la prueba. El valor de p es la probabilidad, bajo la
.
z=
Donde
es la media muestral,
es la media poblacional hipotética,
es la desviación
estándar, y n es el tamaño de la muestra. Bajo la hipótesis nula, la prueba estadística tendrá una
distribución normal estandarizada N(0,1).
92
[h,p,ci]=ztest(...) % devuelve un intervalo de confianza 100*(1
alfa)% de la media poblacional
[h,p,ci,zval]=ztest(...) % devuelve el valor de l
Ejemplo 4.3 De una población con distribución normal, constituida por 500 fichas que se
encuentran en un archivador, se extrajo una muestra de 16 observaciones como sigue: 56
45 46 37 56 41 43 36 45 56 49 62 43 60 49 72 56. Se sabe que la
desviación estándar poblacional =10, pero es desconocida la media poblacional ( = 50
verdadera). Cometiendo un riesgo = 0.05 (nivel de significancia 5%), probar la hipótesis
de que la media poblacional sea igual a: (a) 40, (b) 49, (c) 50, (d) 51 y (e) 60.
Solución.
(a) Ho :
Ha :
= 40
40
= 0.05
= 10
>> x=[56 45 46
37
56
41
43
36
45
56
49 62 43 60 49 72 56];
>> m=40;
>> sigma=10;
>> alfa=0.05;
>> h = ztest(x,m,sigma,alfa,'both') %
h=
1
Como h = 1 se rechaza la hipótesis nula, es decir, que no es cierto que
(b) Ho : = 49
H1 :
49
= 0.05
= 10
>> m=49;
>> sigma=10;
>> alfa=0.05;
>> h = ztest(x,m,sigma,alfa,'both')
h=
0
93
= 40.
Como se sabe h = 0 significa que se acepta que
aceptando algo falso que es un error tipo II.
(c) Ho :
H1 :
= 49 y
verdadera es 50, se está
= 49
49
>> m=50;
>> h = ztest(x,m,sigma,alfa,'both')
h=
0
Aquí se acepta la hipótesis nula Ho = 50, lo cual es verdadero y no se está cometiendo
ningún error.
(d) Ho :
H1 :
= 51
51
>> m=51;
>> h = ztest(x,m,sigma,alfa,'both')
h=
0
Se acepta la hipótesis nula, por lo tanto se está cometiendo un error de tipo II porque se
sabe que la media poblacional verdadera es 50.
(e) Ho :
H1 :
= 60
60
>> m=60;
>> h = ztest(x,m,sigma,alfa,'both')
h=
1
Como h = 1, se rechaza la hipótesis nula y por tanto no se comete ningún error, ya que se
rechaza algo falso.
Ejemplo 4.4 Encuentre el intervalo de confianza para la media muestral al 95% de nivel
de confianza, según los datos dados en dataset10.
94
Solución. Si se tiene el nivel de confianza del 95%, entonces el programa para
determinar el intervalo de confianza de la media es:
function d=dataset10
d=[105 160 157 190 199 121 160 172 156 110 97 196 151 76 115 120 150 171 229 133 245 221
175 101 193 181 181 237 158 123 163 154 201 142 167 160 168 170 148 146 207 228 183 149
171 194 158 180 150 169 134 131 153 200 163 184 208 167 118 158 218 180 174 186 87 165
133 176 143 135 199 178 154 174 176 145 135 158 141 149];
clc
disp([' '])
meen=mean(dataset10);
L=length(dataset10);
q=std(dataset10)*tinv(0.975,L-1)/sqrt(L);
disp([' '])
disp([' Media muestral = ' num2str(meen)])
disp([' '])
disp(' Intervalo de confianza para la media muestral al 95% de nivel de confianza: ')
disp([' '])
disp([' ' num2str(meen-q) ' <= Media muestral <= ' num2str(meen+q)])
disp([' '])
Considere los datos en dataset10. Se quiere saber si existe una diferencia
estadísticamente significativa entre la muestra y un valor promedio de 168 ( 0 = 168) en
un 95% de nivel de confianza. Así, la hipótesis es:
Ho:
H1:
= 168
168
Se usa ttest para determinar la validez de la hipótesis.
[h,p,ci]=ttest(data,mucero,alfa)
Donde data son los datos, mucero =
0,
alfa = , h = 0 si Ho y h = 1 si H1, p = valor de p;
esto es:
95
p = 2*(1-tcdf(t0,n-1));
>> [h,p,ci]=ttest(dataset10,168,0.05)
h=
0
p=
0.1614
ci =
155.1466 170.1784
Así, en el presente caso, tras la ejecución, se encuentra que h = 0; es decir, no se puede
rechazar la hipótesis nula, p = 0.1614, ci(1) = 155.1466, y ci(2)=170.1784. Se observa que
= 162.6625 dado atrás y que el intervalo de confianza para el valor de 168 en el 95% de
nivel de confianza es
. Siendo que el valor hipotético de 168
para la media está dentro de este intervalo de confianza, se debe esperar que la
hipótesis nula no sea rechazada. De hecho, basado en su p-valor, se ve que se está a
sólo 100(1-0.1614) = 83,9% de confianza, que es menos que el nivel de confianza del
95% deseado.
Ahora, si se ejecuta:
>> [h,p,ci]=ttest(dataset10,175,0.05)
h=
1
p=
0.0016
ci =
155.1466 170.1784
Se obtiene h = 1; esto es, se puede rechazar la hipótesis nula y aceptar H1; p = 0.0016,
ci(1) = 155.1466, y ci(2) = 170.1784. En otras palabras, se puede tener 100(1-0.0016) =
99.84% de confianza que la media de los datos en dataset10 son diferentes del valor de la
media de 175.
Ejemplo 4.5 Determinar el intervalo de confianza para la razón de varianzas muestrales
al 95% de nivel de confianza.
Solución. Se consideran los datos almacenados en
function [set1,set2]=dataFci
96
, para desarrollar el ejemplo:
set1=[41.60 41.28 42.34 41.95 41.86 42.18 41.72 42.26 41.81 42.04];
set2=[39.72 42.59 41.88 42.00 40.22 41.07 41.90 44.29];
clc
disp([' '])
[data1,data2]=dataFci;
r=var(data1)/var(data2);
L1=length(data1);
L2=length(data2);
q2=r*finv(.975,L2-1,L1-1);
q1=r/finv(.975,L1-1,L2-1);
disp([' '])
disp(['Razon de varianzas muestrales = ' num2str(r)])
disp([' '])
disp('Intervalo de confianza para la razon de varianzas muestrales al 95% de nivel de confianza:
')
disp([' '])
disp(['' num2str(q1) ' <= Razon de la varianza muestral <= ' num2str(q2)])
disp([' '])
Después de la ejecución se obtiene:
Razon de varianzas muestrales = 0.051599
Intervalo de confianza para la razon de varianzas muestrales al 95% de nivel de confianza:
0.010698 <= Razon de la varianza muestral <= 0.21656
Ejemplo 4.6 Considere los datos de dataFci. Se quiere saber si existe alguna diferencia
estadísticamente significativa entre las variaciones de estas muestras con un 95% de
confianza. Así, la hipótesis es:
Ho :
=
H1 :
La prueba estadística es:
fo =
97
y el criterio de rechazo de la hipótesis nula es bien
f0 > f /2,n1-1,n2-1 ,Or, f0 < f1- /2,n1-1,n2-1
Solución. Se usa vartest2 para determinar la validez de esta hipótesis; esto es,
[h,p,ci] = vartest2(x1,x2,alfa)
Donde x1 y x2 son los datos, alfa = , h = 0 si Ho, y h = 1 si H1, p = valor de p, esto es:
p=2*(1-fcdf(f0,n1,n2))
para un intervalo de confianza de dos colas; f0 = f 0, y ci(1) = l y ci(2) = u son los límites de
confianza superior e inferior, respectivamente. El script es:
>> [x1,x2]=dataFci;
>> [h,p,ci]=vartest2(x1,x2,0.05)
h=
1
p=
6.5379e-005
ci =
0.0083
0.1674
Al ejecutar el anterior script, se encontró que h = 1; o sea, se niega la hipótesis nula, p =
6.5379 x 10-5, ci(1) = 0.0083, y ci(2) = 0.1674 que son los límites de confianza inferior y
superior, respectivamente en relación a las varianzas. Con base en el valor de p, se
observa que hay 100(1 - 6.5379 x 10-5) = 99.993 % de confianza que hay diferencia
estadísticamente significativa en sus varianzas.
98
5. AJUSTES DE CURVAS Y REGRESIÓN
5.1 INTRODUCCIÓN
Todas las fases científicas, y prácticas de ingeniería y servicios humanos implican la
obtención, procesamiento, e interpretación de datos. La puesta de datos experimentales a
una ecuación matemática se llama regresión. La regresión puede tener diferentes
adjetivos, según la forma matemática que se utilice para el ajuste y el número de variables
utilizada. Por ejemplo, la regresión lineal consiste en utilizar una línea recta, o ecuación
lineal para el ajuste requerido. Otro ejemplo puede ser, regresión múltiple que implica una
función de más de una variable independiente.
La regresión y correlación son las dos herramientas estadísticas más poderosas y
versátiles que se pueden utilizar para solucionar problemas comunes de investigación. Se
dice que una variable depende de la otra, o como en este caso, que y depende de x,
donde x e y son dos variables cualesquiera. Esto se puede escribir como: y = f(x). Se lee:
y es función de x.
5.2 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
El primer caso a considerar es el de un conjunto de datos bidimensionales (puntos en el
plano) en el que se selecciona la "mejor" línea recta o ecuación lineal que se ajuste, a los
datos correspondientes del problema. Esta recta podrá tener o no tener sentido para los
datos correspondientes, ello dependerá de su comportamiento en la realidad. Si esta
relación es evidente desde una simple inspección en que la variación es drásticamente
diferente de la de una ecuación lineal, el procedimiento puede dar resultados que tienen
muy poco sentido. Sin embargo, si la tendencia general de los datos parece aproximarse
a una línea recta, el procedimiento puede arrojar resultados significativos.
En el caso expuesto,
es la variable dependiente y
es la variable independiente. Es
importante en su momento identificar cuál es la variable dependiente y cuál la
independiente.
La variable dependiente es la variable que se desea explicar o predecir. A la variable
independiente se le denomina también como variable explicativa.
Se debe diferenciar entre regresión simple y regresión múltiple. En la regresión simple, se
establece que y es función de una sola variable independiente. A veces se le llama
regresión bivariada porque intervienen dos variables. En un modelo de regresión múltiple,
y es función de dos o más variables independientes y se nota: y = f(x1, x2, x3
n)
donde hay n variables independientes.
99
Es necesario también hacer distinción entre regresión lineal y regresión curvilínea (no
lineal). En el caso de la regresión lineal, la relación se representa mediante una línea
recta y en el caso de regresión curvilínea obviamente mediante una curva.
Si x e y se relacionan linealmente entonces a medida que x cambia, y cambia en forma
constante. Si existe una relación curvilínea y cambiará en cantidades diferentes a medida
que cambia x.
5.3 DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN
A simple vista se puede observar que en la figura 5.1 no existe relación alguna entre las
dos variables.
FIGURA 5.1 No existe relación entre los vectores de datos x e y
En la figura 5.2, la línea recta ajusta bien los datos
FIGURA 5.2 Relación lineal positiva
100
En la figura 5.3, la recta tiene una pendiente negativa y proporciona un buen ajuste.
FIGURA 5.3 Relación lineal negativa
En la figura 5.4, los puntos de los datos sugieren una relación curvilínea
FIGURA 5.4 Relación curvilínea
El modelo más elemental de regresión es aquel donde los puntos tienden a formar una
línea recta en el diagrama de dispersión. En este caso, la ecuación de regresión lineal
simple está dada por:
y= x+
donde
es la pendiente de la recta dada.
La siguiente función calcula los coeficientes de regresión y y el error cuadrático en el
ajuste de los puntos con respecto a la recta. La función de regresión es: f(x) = x +
101
function [a,b]=linefit(x,y)
n=length(x);
S1=sum(x);
S2=sum(y);
S3=sum(x.*x);
S4=sum(x.*y);
a=(n*S4-S1*S2)/(n*S3-(S1)^2);
b=(S3*S2-S4*S1)/(n*S3-(S1)^2);
for k=1:n
p1=a+b*x(k);
Error(k)=abs(p1-y(k));
end
Error=sum(Error.*Error)
Se entran primero los vectores x e y que deben ser de la misma dimensión y luego desde
el área de trabajo se llama de la siguiente manera:
>> x=[1 2 3 4 5];
>> y=[1 5 7 8 10]
>> [a b]=linefit(x,y)
Error =
147.9000
a=
2.1000
b=
-0.1000
>> z=a+b.*x;
>> plot(x,y,'*',x,z),grid
>> z=a.*x+b;
>> plot(x,y,'*',x,z),grid
FIGURA 5.5 Línea recta de ajuste por mínimos cuadrados
102
>> polyfit(x,y,1)
ans =
2.1000 -0.1000
>> x=[-3 -2 -1 0 1 2 3];
>> y=[8 5 2 0 1 3 10];
>> polyfit(x,y,1)%interpolaci
n de MATLAB
ans =
0.0357
4.1429
>> [a b]=linefit(x,y)
n lineal con la funci n creada
Error =
673.2232
a=
0.0357
b=
4.1429
>> z1=a.*x+b;
>> polyfit(x,y,2) %interpolaci n cuadr tica con la funci n de MATLAB
ans =
0.9643
0.0357
0.2857
>> z2=0.9643*x.^2+0.0357*x+0.2857
tica
z2 =
8.8573
4.0715
1.2143
0.2857
1.2857
4.2143
103
9.0715
>> plot(x,y,'*',x,z1,x,z2), grid
La función p=poly(r) da los coeficientes del polinomio p cuyas raíces son el vector r.
La función polyfit(x,y,n) da los coeficientes del polinomio de grado n que se ajusta a los
puntos (x,y)
FIGURA 5.6. Ajuste lineal y cuadrático
Ejemplo 5.1 Considere los datos dados de la tabla 5.1. Estos datos son colocados en un
archivo M de función llamado DataRegress1. Nótese sin embargo, que estos datos no
están ordenados. Siendo que esto es un inconveniente cuando llega el momento de
graficarlos con una línea recta conectada, se ordenan pues los datos en forma
ascendente. Ninguno, ni polyfit ni polyconf requieren del ordenamiento.
TABLA 5.1 Data de la variable independiente x, y la variable dependiente y
x : 2.38 2.44 2.70 2.98 3.32 3.12 2.14 2.86 3.50 3.20 2.78 2.70 2.36 2.42 2.62 2.80 2.92 3.04
3.26 2.30
y : 51.11 50.63 51.82 52.97 54.47 53.33 49.90 51.99 55.81 52.93 52.87 52.36 51.38 50.87 51.02
51.29 52.73 52.81 53.59 49.77
function [x,y]=DataRegress1
xx=[2.38 2.44 2.70 2.98 3.32 3.12 2.14 2.86 3.50 3.20 2.78 2.70 2.36 2.42 2.62 2.80 2.92 3.04
3.26 2.30];
yy=[51.11 50.63 51.82 52.97 54.47 53.33 49.90 51.99 55.81 52.93 52.87 52.36 51.38 50.87
104
51.02 51.29 52.73 52.81 53.59 49.77];
[x,index]=sort(xx); %los datos se ordenan pero deben preservarse las parejas
y=yy(index); %lo anterior se logra de esta manera
>> [x,y]=DataRegress1;
>> [c,s]=polyfit(x,y,1);
>> [yhat,w]=polyconf(c,x,s,0.005);
>> syy=sum(y.^2)-length(x)*mean(y)^2;
>> sse=syy-c(1)*(sum(x.*y)-length(x)*mean(x)*mean(y));
>> plot(x,yhat,'k-',x,yhat-w,'k--',x,yhat+w,'k--',x,y,'ks',[x;x],[yhat;y],'k-')
>> legend('Linea de regresion','95% intervalo de confianza de y','Location','SouthEast')
>> axis([2,3.6,48,57])
>> xlabel('x(Entrada)')
>> ylabel('y(Respuesta'))
>> coefdet=(1-sse/syy)
coefdet =
0.8774
El coeficiente de determinación está cerca de 1, lo cual refleja una correlación buena.
Se sabe que el coeficiente de determinación toma valores en el intervalo [-1,1]. Si el valor
es 1 existe una relación lineal positiva perfecta. Si es 0 indica que entre las dos variables
no existe relación lineal alguna (porque puede haber curvilínea). Si fuera negativa indica
que entre x e y existe una correlación lineal negativa perfecta.
FIGURA 5.7 Regresión lineal para la data del ejemplo 5.7 y límite de confianza de y
105
FIGURA 5.8 Gráfico de la distribución acumulativa normal de las desviaciones de la línea
que aparece adecuada en la figura anterior.
Ahora, se continúa adelante para investigar las desviaciones. Primero se calculan las
desviaciones y luego se grafica utilizando normplot para determinar si están normalmente
distribuidas. El script es:
>> [x,y]=DataRegress1;
>> normplot(y-polyval(polyfit(x,y,1),x))
106
Siendo que las desviaciones están muy cerca de la línea que representa la distribución
normal, se puede decir que las desviaciones están muy cercanamente distribuidas de
forma normal, por lo tanto, el modelo es adecuado.
Ejemplo 5.2 Una muestra de 10 estudiantes que ingresaron a la universidad con los
siguientes puntajes: 39, 43, 21, 64, 57, 47, 28, 75, 34, 52 sobre 100 obtuvieron las
siguientes notas en matemática I: 65, 78, 52, 82, 92, 89, 73, 98, 56, 75, respectivamente.
Solución.
function [x,y]=DataRegress2
xx=[39 43 21 64 57 47 28 75 34 52];
yy=[65 78 52 82 92 89 73 98 56 75];
[x,index]=sort(xx); %los datos se ordenan pero deben preservarse las parejas
y=yy(index); %lo anterior se logra de esta manera
>> [x,y]=DataRegress2;
>> [c,s]=polyfit(x,y,1);
>> [yhat,w]=polyconf(c,x,s,0.005);
>> syy=sum(y.^2)-length(x)*mean(y)^2;
>> sse=syy-c(1)*(sum(x.*y)-length(x)*mean(x)*mean(y));
>> plot(x,yhat,'k-',x,yhat-w,'k--',x,yhat+w,'k--',x,y,'ks',[x;x],[yhat;y],'k-')
>> legend('Linea de regresion','95% intervalo de confianza de y','Location','SouthEast')
>> axis([15,80,10,140])
>> xlabel('x(Examen de Entrada)')
>> ylabel('y(Def. Matematica I)')
>> coefdet=(1coefdet =
0.7052
El coeficiente de determinación, muestra una buena relación lineal positiva entre las
variables, porque está próximo a 1. Para el caso en cuestión, muestra que el puntaje
obtenido por los estudiantes al ingresar a la universidad, se ha visto reflejado en las notas
de matemática I.
Ahora, se se observan las desviaciones. Primero se calculan las desviaciones y luego se
grafica utilizando normplot para determinar si están normalmente distribuidas. Ver figura
5.10. El script es:
107
>> [x,y]=DataRegress2;
>> normplot(y-polyval(polyfit(x,y,1),x))
FIGURA 5.9 Recta de regresión estimada de las notas de Matemática I respecto al
puntaje de ingreso a la universidad
FIGURA 5.10 Gráfico de la distribución acumulativa normal de las desviaciones
108
Los datos se adaptan bien con los puntos de la normal.
(Curso II)
6. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
7. SERIES DE TIEMPO
8. ANÁLISIS DE VARIANZA
9. PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
109
APÉNDICE 1
>> theta1=linspace(-2.0*pi,2.0*pi,35);
>> theta2=linspace(-2.0*pi,2.0*pi,35);
>> [T1,T2]=meshgrid(theta1,theta2);
>> F=T2.^2/2-cos(T1);
>> meshc(T1,T2,F)
>> axis([-2.0*pi,2.0*pi,-2.0*pi,2.0*pi,-5,20])
>> xlabel('\theta_1')
>> ylabel('F(\theta_1,\theta_2)')
110
APÉNDICE 2
>> t=linspace(0,2*pi);
>>fill(t,sin(t),'m')
>>hold on
>>fill(t,0.5*sin(2*t),'y')
>>axis off
111
APÉNDICE 3
>> x=linspace(0,6,100);
>> hc=plot(x,cos(x),'k-');
>> hold on
>> hch=plot(x,1./cosh(x),'k--');
>> hcl=plot([4.73,4.73],[-1,1],'k');
>> [a,b]=legend('cos(x)','1/cosh(x)','location','SouthWest');
>> xlabel('\it\bfx','FontSize',14,'FontName','Times')
>> ylabel('Value of function','FontSize',14)
>> ylabel('Valor de la funcion','FontSize',14)
>> title('\bfMuestra la interseccion de las dos curvas','FontName','Courier','FontSize',14)
>> text(4.8,-0.1,'\itx \rm= 4.73','FontName','Times','FontSize',12)
>> set(hc,'LineWidth',4)
>> set(hch,'LineWidth',2.5)
>> set(hcl,'LineWidth',0.25,'color','g')
>> set(gca,'FontSize',14,'LineWidth',1.5)
>> set(b(1),'FontSize',10)
112
113
APÉNDICE 4
Modelo de Solución de problemas con MATLAB®
Se usan globos metereológicos para obtener datos de temperatura y presión a diferentes
alturas en la atmósfera. El globo se eleva porque la densidad del helio en su interior es
menor que la del aire que rodea al globo. Al subir el globo, el aire circundante se vuelve
menos denso, y el ascenso se va frenando hasta que el globo alcanza un punto de
equilibrio. Durante el día, la luz del Sol calienta el helio atrapado dentro del globo; el helio
se expande y se vuelve menos denso, y el globo sube más. Durante la noche, en cambio,
el helio del globo se enfría y se vuelve más denso, y el globo desciende a una altura
menor. El día siguiente, el Sol calienta el helio otra vez, y el globo sube. Este proceso
genera una serie de mediciones de altura con el transcurso del tiempo que se pueden
aproximar con una ecuación polinómica.
Suponga que el siguiente polinomio representa la altura en metros durante las primeras
48 horas después del lanzamiento de un globo metereológico:
h(t) = -0.12t4 + 12t3
380t2 + 4100t + 220
donde las unidades de t son horas. Genere curvas para la altura, velocidad y aceleración
de este globo usando unidades de metros, m/s y m/s 2. Además, determine y exhiba la
altura máxima y su hora correspondiente.
Planteamiento del problema
Usando el polinomio dado, determine la velocidad y aceleración que corresponden a la
información de altura. Grafique la altura, velocidad y aceleración. Además calcule la altura
máxima y su hora correspondiente.
Descripción de entradas/salidas
El siguiente diagrama de E/S muestra que el programa no tiene entradas externas. La
salida consiste en las curvas y la altura máxima con su correspondiente tiempo.
* Gráfica de valores de altura
No hay datos
externos de
entrada
* Gráfica de valores de velocidad
* Gráfica de valores de aceleración
114
Ejemplo a mano
Solamente se necesita calcular la velocidad y la aceleración derivando a mano la función
polinómica dada de la altitud. Los datos se graficarán y se determinará el valor máximo.
No obstante, es importante señalar que, al ser horas las unidades de t, se necesita
convertir m/h en m/s sustituyendo el tiempo en horas por el tiempo en segundos.
Solución con MATLAB®
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
%polinomico para la altura de un globo metereologico.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
t=linspace(0,48,480);
altitud=-0.12*t.^4+12*t.^3-380*t.^2+4100*t+220;
velocidad=-0.48*t.^3+36*t.^2-760*t+4100;
aceleracion=-1.44*t.^2+72*t-760;
%
subplot(2,1,1),plot(t,altitud),title('Altura del globo')
xlabel('t, horas'),ylabel('metros'),grid,pause
subplot(2,1,1),plot(t,velocidad/3600),title('Velocidad del globo')
ylabel ('m/seg'),grid
subplot(2,1,2),plot(t,aceleracion/(3600*60)),title('Aceleracion del globo'),xlabel('t, horas')
ylabel('metros/seg^2'),grid
%
clc
maxima_altitud=max(altitud)
for i=1:length(altitud)
if altitud(i)==maxima_altitud, t(i), break, end
end
clc
fprintf('La altura
en metros es: %8.2f El tiempo en segundos es: %6.2f
\n',maxima_altitud,t(i))
115
GLOSARIO
ANÁLISIS DE CORRELACIÓN. Es el conjunto de técnicas estadísticas empleado para
medir la intensidad de la asociación entre dos o más variables. El principal objetivo del
análisis de correlación consiste en determinar qué tan intensa es la relación entre dos o
más variables. Normalmente, el primer paso es mostrar los datos en un diagrama de
dispersión.
ANÁLISIS DE REGRESIÓN. Es una técnica estadística para el modelamiento e investiga
las relaciones entre dos o más variables. El modelo de regresión lineal simple tiene
únicamente una variable independiente24. Es la técnica empleada para desarrollar la
ecuación y dar las estimaciones.
ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN MÚLTIPLE. Consiste en estimar una
variable dependiente, utilizando dos o más variables independientes.
ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LA INFORMACIÓN. Disciplina que se define como la ciencia de la
recolección, análisis, interpretación y presentación de información que puede expresarse en forma
numérica.
COEFICIENTE DE CONFIANZA. Es la probabilidad de que un intervalo de confianza contenga el
parámetro que se estima.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN. Describe la intensidad de la relación entre dos
conjuntos de variables de nivel de intervalo. Es la medida de la intensidad de la relación
lineal entre dos variables.
El valor del coeficiente de correlación puede tomar valores desde -1 hasta 1, indicando
que mientras más cercano a 1 sea el valor del coeficiente de correlación, en cualquier
dirección, más fuerte será la asociación lineal entre las dos variables. Mientras más
cercano a 0 sea el coeficiente de correlación indicará más débil esta asociación entre
ambas variables. Si es igual a 0 se concluirá que no existe relación lineal alguna entre
ambas variables.
COVARIANZA. La covarianza de una variable bidimensional es la media aritmética de los
productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR. Se define como la raíz cuadrada de la varianza o como la desviación
cuadrática media.
DIAGRAMA DE DISPERSIÓN. Es aquel gráfico que representa la relación entre dos
variables.
24
116
ECUACIÓN DE REGRESIÓN. Es una ecuación que define la relación lineal entre dos
1x1
+b2x2 + b3x3
ECUACIÓN DE REGRESIÓN MÚLTIPLE. La forma general de la ecuación de regresión
múltiple con dos variables independientes es:
= a + b1x1 + b2x2
x1 y x2
Variables independientes
a
Coordenada del punto de intersección con el eje y
b1
Coeficiente de regresión (es la variación neta en y por cada unidad de
variación en x1)
b2
Coeficiente de regresión (es el cambio neto en y para cada cambio unitario
en x2)
ESTADÍSTICA. La Estadística es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una
determinada característica en una población, recogiendo los datos, organizándolos en tablas,
25
representándolos gráficamente y analizándolos para sacar conclusiones de dicha población .
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. Realiza el estudio sobre la población completa, observando una
característica de la misma y calculando unos parámetros que den información global de toda la
población.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL. Realiza el estudio descriptivo sobre un subconjunto de la población
26
llamado muestra y, posteriormente, extiende los resultados obtenidos a toda la población .
ESTADÍSTICO. Los datos o medidas que se obtienen sobre una muestra y por lo tanto una
estimación de los parámetros.
ESTIMADOR. Un estimador puntual utiliza un número único o valor para localizar una estimación
del parámetro. Un intervalo de confianza denota un rango dentro del cual puede encontrarse el
parámetro, y el nivel de confianza que el intervalo contiene del parámetro.
ESTIMADORES Y ESTIMACIONES. Un estimador es el proceso mediante el cual se obtiene la
estimación. Una estimación es el resultado numérico del estimador.
Se dice que un buen estimador debe ser:
Insesgado, es decir, que no tenga sesgo o error, cuando el valor del estimador es igual al
del parámetro.
Consistente, o sea, que al aumentar el tamaño de la muestra, converge en probabilidad al
parámetro que se estima.
25
26
http://www.scribd.com/doc/15268123/Conceptos-Basicos-de-Estadistica-I
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/unidimensional_lbarrios/parametros_est.htm
117
Eficiente, es decir, que el estimador tiene la menor varianza entre todos los estimadores
posibles.
Suficiente, o sea, cuando incluye toda la información que la muestra puede proporcionar
27
acerca del parámetro .
ESTIMADOR INSESGADO. Un estimador es insesgado si la media de su distribución muestral es
igual al parámetro correspondiente.
ESTIMADOR EFICIENTE. Dado un estimador insesgado, el estimador más eficiente es aquel que
tenga la varianza más pequeña.
ESTIMADOR CONSISTENTE. Un estimador es consistente si, a medida que n aumenta, el valor
del estadístico se aproxima al parámetro.
ESTIMADOR SUFICIENTE. Un estimador es suficiente si ningún otro estimador puede
proporcionar más información sobre el parámetro.
GRADO DE CONFIANZA. Se refiere a la probabilidad de que el valor real de un parámetro, se
encuentre dentro de los límites especificados en la estimación que se quiere calcular.
GRADOS DE LIBERTAD. El número de observaciones menos el número de restricciones
impuestas sobre tales observaciones.
GRÁFICO DE BARRAS. Son barras horizontales que representan el grado en que ciertas
características pueden existir a partir de la observación de casos o elementos.
GRÁFICOS CÍRCULARES O DE PASTEL (PIE). Son gráficas circulares divididas en sectores, que
representan fracciones del círculo total y que están asociadas con una característica específica.
HISTOGRAMAS DE FRECUENCIA. Son gráficos que presentan la información contenida en una
distribución de frecuencia.
HIPÓTESIS ESTADÍSTICA. Puede considerarse como la afirmación acerca de una característica
ideal de una población sobre la cual hay inseguridad en el momento de formularla y que, a la vez,
es expresada de tal forma que puede ser rechazada.
INTERVALO DE CONFIANZA. Corresponde a un intervalo de valores, dentro de los cuales se
espera que esté el parámetro con cierto grado de confianza o con riesgo de error conocido; para
ello es necesario determinar primero la estimación puntual.
MEDIANA. Es la observación de la mitad después de que se han colocado la data en una serie
ordenada. Se usa en variables medidas en escala ordinal, intervalo o de razón. Si la data está
agrupada, la mediana se define como el valor dentro del intervalo que divide la distribución en dos
partes iguales.
27
MARTÍNEZ B. Ciro. Op.Cit. pp. 315
118
MEDIA ARITMÉTICA. Se le llama también promedio. Es una medida de tendencia central que
consiste en la suma de las mediciones divididas por el total del número de mediciones. Se utiliza
en variables medidas en escalas de intervalo o de razón.
MEDIA GEOMÉTRICA. Proporciona una medida precisa de un cambio porcentual promedio en
28
una serie de números .
MEDIDA DE DISPERSIÓN. Miden qué tanto se dispersan las observaciones alrededor de su
29
media .
MÉTODO NO PARAMÉTRICO. O de distribución libre, es el análisis estadístico que no depende
del conocimiento de la distribución, ni de los parámetros poblacionales.
MODA. La moda de una distribución se define como el valor más frecuentemente encontrado, o la
mayor frecuencia. Se usa con mediciones en escala nominal, ordinal, de intervalo o de razón. Si se
trabaja con datos agrupados la moda se refiere al valor medio del intervalo que contiene la mayor
frecuencia.
MUESTRA. Es un subconjunto, extraído de la población (mediante técnicas de muestreo), cuyo
estudio sirve para inferir características de toda la población.
MUESTREO. Es la técnica utilizada en la selección de una muestra a partir de una población.
MUESTREO NO PROBABILÍSTICO. Este tipo de muestreo, puede haber clara influencia de la
persona o personas que seleccionan la muestra o simplemente se realiza atendiendo a razones de
comodidad. Salvo en situaciones muy concretas, en la que los errores cometidos no son grandes,
debido a la homogeneidad de la población, en general no es un tipo de muestreo riguroso y
científico, dado que no todos los elementos de la población pueden formar parte de la muestra. Por
ejemplo, si se hace una encuesta telefónica por la mañana, las personas que no tienen teléfono o
que están trabajando, no podrán formar parte de la muestra.
MUESTREO PROBABILÍSTICO. En este tipo de muestreo, todos los individuos de la población
pueden formar parte de la muestra, tienen probabilidad positiva de formar parte de la muestra. Por
lo tanto es el tipo de muestreo que se debe utilizar en las investigaciones, por ser el más riguroso y
científico.
M.A.S. Es un muestreo aleatorio simple, donde todos los individuos tienen la misma probabilidad
de ser seleccionados. La selección de la muestre puede realizarse a través de cualquier
mecanismo probabilístico en el que todos los elementos tengan las mismas opciones de salir.
PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. Son las medidas que se obtienen sobre la distribución de
probabilidades de la población, tales como la media, la varianza, la proporción, etc.
Pueden ser de dos tipos:
28
29
WEBSTER, Allen L. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. McGraw-Hill. Bogotá D.C. 2000. pp. 44.
WEBSTER, Allen L. Op. Cit. pp. 47.
119
PARÁMETROS DE CENTRALIZACIÓN. Son datos que representan de forma global a toda la
población. Entre ellos se estudian: la media aritmética, la moda y la mediana.
PARÁMETROS DE DISPERSIÓN. Son datos que informan de la concentración o dispersión de los
datos respecto de los parámetros de centralización. Por ejemplo el rango, la desviación media, la
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varianza y la desviación estándar .
PERCENTILES. Es una medida de dispersión utilizada para calcular el valor que tiene P % de las
mediciones por debajo del percentil P y (100-P %) por encima.
POBLACIÓN. Es el conjunto de todos los elementos que son objeto del estudio estadístico.
Algunos autores también le llaman Universo.
POLÍGONOS DE FRECUENCIA. Son gráficos en la forma de una serie de líneas rectas
conectadas entre sí y que unen puntos medios de intervalos a lo largo del eje horizontal.
PRINCIPIO DE MÍNIMOS CUADRADOS. Es la técnica empleada para obtener la
ecuación de regresión, minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales
PRUEBA DE HIPÓTESIS. Se denomina también prueba de significación que tiene por objeto
principal evaluar suposiciones o afirmaciones acerca de los valores estadísticos de la población,
denominados parámetros.
RANGO. Medida de dispersión que identifica la distancia entre el valor máximo y el menor valor de
la distribución. O también se define como la diferencia entre el límite superior e inferior.
RANGO INTERCUARTÍLICO. Es otra medida de dispersión y se define como la diferencia entre el
cuartil superior y el inferior.
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TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL. Si de una población de tamaño N con media y varianza
se obtienen muestras al azar, la distribución de las medias de las muestras seleccionadas será
normal. Y más lo será en la medida en que se incremente el número de muestras seleccionadas y
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tendrá una media de y varianza /N .
VARIABLE. Al hacer un estudio de una determinada población, se observa una característica o
propiedad de sus elementos. Por ejemplo, con los y las estudiantes de la clase, se puede estudiar
el lugar de residencia, el número de hermanos, la estatura, etc. Cada una de estas características
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estudiadas se llama variable estadística .
Dependiendo de la característica se pueden distinguir varios tipos de variables:
VARIABLE CUALITATIVA. Es aquella característica que no se puede expresar con números y hay
que expresarla con palabras. Por ejemplo, el lugar de residencia.
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http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/unidimensional_lbarrios/parametros_est.htm
VÉLEZ, Eduardo B. El Análisis de la Información. ICFES, Módulo 4. Serie Aprender a Investigar. Bogotá D.C. 1990.
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http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/unidimensional_lbarrios/parametros_est.htm
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VARIABLE CUANTITATIVA. Es cualquier característica que se puede expresar con números. Por
ejemplo, el número de hermanos o la estatura. Dentro de esta variable se pueden distinguir dos
tipos:
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA. Es aquella variable que puede tomar únicamente un
número finito de valores. Por ejemplo, el número de hermanos.
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA. Es aquella variable que puede tomar cualquier valor
dentro de un intervalo real. Por ejemplo, la estatura.
VARIABLE DEPENDIENTE. Es la variable que se predice o calcula, cuya representación
puede ser y.
VARIABLE INDEPENDIENTE. Es la variable que proporciona las bases del cálculo, cuya
representación puede ser: x1, x2
VARIANZA. El promedio de las observaciones respecto a su media elevados al cuadrado.
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BIBLIOGRAFÍA
ARAÚJO, Ulisses F. y SASTRE, Genoveva. El Aprendizaje Basado en Problemas. Una nueva
perspectiva de la enseñanza en la universidad. Gedisa Editorial. Barcelona, 2008.
ARBOLEDA Q. Dairon y ÁLVAREZ J. Rafael. MATLAB. Aplicaciones a las Matemáticas Básicas.
Sello Editorial Universidad de Medellín, 2008.
BLAIR, Clifford R. and TAYLOR, Richard A. Bioestadística. Pearson Prentice Hall. México D.F.
2008.
BOWERMAN, Bruce L. y otros. Pronósticos, Series de Tiempo y Regresión. Un enfoque Aplicado.
CENGAGE Learning. México, 2007.
BROCKWELL, Peter J. and DAVIS, Richard A. Time Series: Theory and Methods. Springer Series
in Statistics. Springer. New York, 2006.
CHAPMAN, Stephen J. MATLAB® Programming for Engineers. CENGAGE Learning. International
Student Edition. Stanford, 2008
CHAO L. Lincoln. Estadística para las Ciencias Administrativas. Mc Graw-Hill. Bogotá D.C. 1998.
GIL RODRÍGUEZ, Manuel. Introducción Rápida a MATLAB y SIMULINK PARA CIENCIA E
INGENIERÍA. Díaz de Santos. Madrid, 2003.
HAIR, ANDERSON et al. Análisis multivariante. Prentice Hall. Madrid, 2000.
HANSELMAN, Duane and LITTLEFIELD, Bruce. Mastering MATLAB 7. Pearson Prentice-Hall. New
Jersey, 2005.
INSTITUTO DE NORMAS TÉCNICAS Y CERTIFICACIÓN. Trabajos escritos: presentación y
referencias bibliográficas. ICONTEC. Bogotá D. C. 2009.
KREYSZIG, Erwin. Introducción a la Estadística Matemática. Principios y Métodos. Editorial
LIMUSA S. A. Méxido D.F. 1990.
MILLER, Irwin y FREUND, John E. Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Prentice Hall.
México D.F. 1990
PÉREZ, César. MATLAB® y sus aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería. Prentice Hall. Madrid,
2002.
PÉREZ, César. Econometría de las Series Temporales. Pearson. Prentice Hall. Madrid, 2006.
Prentice Hall. New Jersey, 2010.
MARTÍNEZ BENCARDINO, Ciro. Estadística y Muestreo. ECOE Ediciones. Bogotá D.C. 2003.
122
SMITH, David M. Engineering Computation with MATLAB®. Addsison Wesley. Boston, 2010.
STANLEY, WillIam D. Technical Analysis and Applications with MATLAB®. THOMPSON Delmar
Learning. Canada, 2005.
VÉLEZ, Eduardo B. El Análisis de la Información. ICFES, Módulo 4. Serie Aprender a Investigar.
Bogotá D.C. 1990
WALPOLE, Ronald y otros. Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Prentice Hall. Pearson
Educación. Addison Wesley. México D.F. 1998.
WEBSTER, Allen L. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. McGraw-Hill. Bogotá D.C.
2000.
ZIMMERMANN, Francisco José P. Estadística para Investigadores. Universidad de la Sabana.
Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Bogotá D.C. 2004.
123
FUENTES DE INFORMACIÓN ELECTRÓNICA
Conceptos Básicos de Estadística [en línea]. http://www.scribd.com/doc/15268123/ConceptosBasicos-de-Estadistica-I
Correlación [en linea]. <http://es. Wikipedia.org/wiki/Correlacion>
Coeficiente de Correlación de Pearson [en línea].
<http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_correlación_de_Pearson>
Estadística Inferencial. [en línea] <http://es.wikipedia.org/wiki/Estadistica_inferencial >
Estadística, población y muestra. [en línea]. http://www.scribd.com/doc/5181091/Estadistica-ypoblacio-y-muestra
Hipótesis nula. [en línea]. <http://es.wikipedia.org/wiki/Hipótesis_nula>
Inferencia Estadística. [en línea]. http://www.mitecnologico.com/Main/InferenciaEstadistica
Intervalo de confianza. [en línea]. http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/EPIANAL9.HTM
Parámetros estadísticos. [en línea].
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/unidimensional_lbarrios/param
etros_est.htm
Pronóstico Estadístico. [en línea]. <http://es.wikipedia.org/wiki/Pronóstico_(Estadística)>
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