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La Función Exponencial
Potencias Enteras
Potencias Racionales e Irracionales
Propiedades de Potencias
La Constante Matemática e
La Función Exponencial
Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.
¿Potencias Generales?
Todos sabemos que:
22 = 2  2 = 4.
Pregunta
Inicial
¿Qué significa
2 ?
Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.
Potenciales Generalizadas
Para un número a, se definen las potencias de enteros positivos
como:
1.
a1 = a,
2.
a2= a  a,
3.
an+1 = a  an para n > 1.
1
Las potencias de enteros negativos se definen como a n  n
a
para n = 1, 2, ….
Suponiendo que a ≠ 0, se define a0 como a0 = 1.
Advertencia
00 es indefinido. No se puede asignar un valor a 00.
Este es un ejemplo de indeterminación.
Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.
Raíces
Sea n un entero positivo, y a > 0. Sea b un número positivo tal
que bn = a. Si b es positivo, la raíz es única.
Definición
Notación
Advertencia
El número b es la raíz positiva enésima del
número positivo a.
b
n
aa
1
n
Las raíces pares de números negativos no son
reales, es decir, no hay números reales cuyas
potencias pares sean números negativos.
Si n es un número par positivo y a es un número positivo, la
ecuación bn = a tiene siempre dos soluciones b y -b. Si n es
impar, la solución es única y positiva.
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Potencias de Exponentes Racionales
e Irracionales
Definición
Sea p un entero, y q un entero positivo. Sea a un entero positivo. Se
define la potencial racional ap/q como:
p
 1q 
a  a  .
 
 
La definición precisa de aρ para números irracionales ρ puede
darse aproximando un número irracional ρ por números
racionales p/q, y después aproximar la potencia irracional aρ por
potencias racionales ap/q. De este modo ax puede definirse para
todos los números reales x suponiendo que a > 0.
p
q
No entraremos en más detalles sobre esto. Estas consideraciones
pueden hacerse rigurosas. La potencia de exponente general puede
definirse también usando la integración. Emplearemos más adelante
este método para dar una definición precisa de las potencias de
exponente general .
Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.
Propiedades de las Potencias
Las siguientes propiedades de potencias son consecuencia de la
definición. Aquí suponemos que a es positivo.
1
ax  y  ax ay
2
3
 
4
5
Si 0 < a < 1, x > y  ax < ay.
6
1
x
 a  a
 
ax
y
 axy
a0  1
Si a > 1, x > y  ax > ay.
x
Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.
Funciones Exponenciales
Las funciones exponenciales generales son funciones de la
forma f(x) = ax para algunos números positivos a.
La figura de la derecha nos muestra las
gráficas de las funciones:
1. y = (1/2)x, la curva roja,
2. y = 1x, la recta negra,
3. y = (3/2)x, la curva azul, y
4. y = (5/2)x, la curva verde.
Observar que, si a > 1, la función y = ax es creciente. Cuanto
más grande sea el número a, más rápido crece el valor de la
función y = ax.
Si 0 < a < 1, la función y = ax es decreciente.
Si a ≠ 1 y a > 0, la función y = ax es biyección monótona entre
los números reales y números reales positivos, y:R  R+.
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El Número e
Es obvio que, cuando el parámetro a
crece, la pendiente de la recta
tangente de la gráfica de la función ax
en x = 0 crece.
a=5/2
a=1/2
a=3/2
a=1
Definición
La constante matemática e está definida
como el único número para el cuál la
pendiente de la recta tangente de la
gráfica de la función ex en x = 0 es 1.
e  2.718281828
La pendiente de una
recta tangente es la
tangente del ángulo
que forma dicha recta
con el eje x.
Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.
La Función Exponencial
Definición
La función y = ex es la función exponencial.
Como la constante matemática e es mayor que 1, la función
exponencial es una biyección creciente entre el conjunto de
números reales y el de números reales positivos.
La función exponencial es muy importante en cálculo. Aquí hemos
definido la constante matemática e empleando una condición
geométrica.
La constante e puede definirse de manera
más rigurosa
n
1
considerando la expresión: 
1


n 

para valores grandes del entero n. Se puede ver que, cuando n
crece, los números (1 + 1/n)n se aproximan a la constante
matemática e. Más adelante precisaremos este punto.
Funciones/Funciones Elementales/La función Exponencial.
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa