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UNIVERSIDAD JUÁREZ AUTÓNOMA DE TABASCO
DIVISIÓN ACADÉMICA DE CIENCIAS BIOLÓGICAS
PENSAMIENTO MATEMÁTICO
LICENCIATURA:
BIOLOGÍA
TEMA:
Conjuntos y Funciones Lineales
TRABAJO QUE PRESENTA:
Laura Vázquez Álvarez
MATERIA A CARGO DE:
Maestro Filemón Baeza Vidal
INDICE
2.1 NOTACION DE CONJUNTO. NOTACION……………………………………4
2.2 ELEMENTOS DE UN CONJUNTO…………………………………………….5
2.3 SUBCONJUNTOS. IGUALDAD DE CONJUNTOS……………..…………...6
2.4 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS…………………………..……….....7
2.4.1 UNION…………………………………………………………….....…………7
2.4.2 INTERSECCION…………………………………………………….………...8
2.4.3 COMPLEMENTO…………………………………………………….………..9
2.4.4 PRODUCTO CARTESIANO…………………………...............................10
2.4.5 DIFERENCIA………………………………………………………………....10
2.5 CONJUNTO POTENCIA……………………………………………………....11
2.6 DIFINICION DE FUNCION……………………………………………………12
2.7 FUNCIONES LINEALES………………………………………………………12
CONCLUSION………………………………………………………………………14
REFERENCIAS……………………………………………………………………..15
2
INTRODUCCION
El presente documento tiene como objetivo profundizar en los temas de las funciones
algebraicas desde el análisis de diversos autores. Se espera que con esta
investigación se dé a conocer más sobre las matemáticas y que es de mucha utilidad
para nuestra carrera como profesionista
.
3
Noción de conjunto. Notación.
Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre
si, que se llaman elementos del mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A.
En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A.
Ejemplos de conjuntos:
Æ : el conjunto vacío, que carece de elementos.
N: el conjunto de los números naturales.
Z: el conjunto de los números enteros.
Q : el conjunto de los números racionales.
R: el conjunto de los números reales.
C: el conjunto de los números complejos.
Se puede definir un conjunto:
por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos.
por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los caracteriza.
Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define
por extensión,
o su propiedad característica, si se define por comprensión. Por ejemplo:
o
o
A := {1,2,3, ... ,n}
B := {pÎ Z | p es par}
Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A
es una parte de B),
y se denota A Í B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a Î A Þ a Î B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se denota A = B, si simultáneamente A Í B y
B Í A;
4
esto equivale a decir que tienen los mismos elementos (o también la misma
propiedad característica).
Para cualquier conjunto A se verifica que ÆÍ A y A Í A;
B Í A es un subconjunto propio de A si A ¹ Æ y B ¹ A.
El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A,
y se denota à (A).
Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A). Ejemplos:
Si A = {a,b} entonces à (A) = {Æ ,{a},{b},A}.
Si a Î A entonces {a} ÎÃ (A).
Cuando en determinado contexto se consideran siempre conjuntos que son partes de
uno dado U,
se suele considerar a dicho U como conjunto universal o de referencia.
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Elementos de un conjunto.
En teoría de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto (o familia de
conjuntos) es un objeto atómico que forma parte de ese conjunto (o familia). Al
escribir A = {1,2,3,4}, estamos diciendo que los elementos del conjunto A son los
números 1, 2, 3 y 4. Un grupo de elementos de A sería, por ejemplo, {1,2}, el cual es
un subconjunto de A.
Los elementos pueden ser conjuntos en sí mismos. Por ejemplo, consideremos el
conjunto B = {1,2,{3,4}}. Los elementos de B no son 1, 2, 3, y 4; en efecto, B tiene
sólo tres elementos: 1, 2 y el conjunto {3,4}.
Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, C = {rojo,
verde, azul}, es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo, verde y azul. El
número de elementos en un conjunto particular es una propiedad conocida
como cardinalidad, que informalmente se conoce como el tamaño de un conjunto.
Para los ejemplos anteriores, la cardinalidad del conjunto A es 4, mientras que la
de B y C es 3. Un conjunto finito es aquel con un número finito de elementos,
mientras que uno infinito, uno con una cantidad infinita de elementos. Los ejemplos
de arriba son todos de conjuntos finitos. Un ejemplo de conjunto infinito es el
conjunto de los números naturales,
.
Subconjuntos. Igualdad de conjuntos.
El conjunto A es igual al conjunto B si ambos tienen los mismos elementos, es decir,
si cada elemento de A es también elemento de B y recíprocamente. Luego, podemos
escribir:
(A = B) Û (" x)(x Î A Û x Î B).
3.1.1.2 Subconjuntos. Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de
un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Esta relación se
denomina relación
de
inclusión y
se
denota
como:
A Ì B.
Simbólicamente esto se puede expresar así:
6
A Ì B Û (" x)(x Î A Þ x Î B)
Esta relación también se puede leer: "A está contenido en B", "A es una parte de B".
Para expresar que A no está contenido en B, escribimos: A Ë B.
Con esta definición de subconjunto se puede dar de otra manera la definición de
igualdad de dos conjuntos, así:
(A = B) Û (A Ì B) Ù (B Ì A)
Puesto que todo conjunto A es subconjuto de si mismo, se dirá que A es un
subconjunto propio de B; si A es subconjuto de B y A no es igual a B. Más
brevemente, A es subconjuto propio de B si A Ì B y A ¹ B. Esta situación puede
representarse mediante un diagrama así:
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Operaciones entre conjuntos
Unión.
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto Unión de los dos, que se denota
como
el cual contiene todos los elementos de A y de B. De manera más
general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como
que sus elementos son todos los
es el caso especial donde
tales que
.
de manera
. De esta manera
Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a
es condición
necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos deB. Es
decir
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Entonces
Intersección
Los elementos comunes a
y
forman un conjunto
denominado intersección de
y , representado por
. Es decir,
es
el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:
.
Si dos conjuntos
y
son tales que
que son conjuntos disjuntos.
, entonces
y
se dice
8
Es claro que el hecho de que
para afirmar que
y
es condición necesaria y suficiente
. Es decir
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Entonces:
Complemento
El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a
algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por
. Es decir
El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que
estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el
conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares,
es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y
definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el
de las personas no rubias.
En vista de que
y
, entonces
,
de manera que
Pero también
9
de modo que
Producto cartesiano
En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de conjuntos.
En particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es
el conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece
a X y el segundo a Y:
El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de
la geometría analítica dio origen a este concepto.
Diferencia
Diferencia o diferente puede referirse a:
Lo contrario a la igualdad, tanto en términos matemáticos como sociales y otros
Lo contrario de la identidad, tanto en términos matemáticos como lógicos,
filosóficos, sociales y otros
Resta, una operación matemática.
Otros conceptos matemáticos:

Ecuación diferencial

Diferenciable ( Diferenciabilidad de una derivada)
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Conjunto potencia
En matemáticas, dado un conjunto S, el conjunto potencia o conjunto de
partes de S, escrito P(S) o 2S, es el conjunto de todos los subconjuntos de S. En la
teoría de conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del
conjunto potencia se establece por el axioma del conjunto potencia.
Por ejemplo, si S= {a, b, c} entonces la lista completa de subconjuntos de S es como
sigue:
1. { } (conjunto vacío);
2. {a};
3. {b};
4. {c};
5. {a, b};
6. {a, c};
7. {b, c};
8. {a, b, c};
y por lo tanto el conjunto potencia de S es
P(S) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Otro ejemplo más complejo es el siguiente: Sea A = { 2 , Ф }, Determinar P ( P(A)
), es decir, el conjunto potencia del conjunto potencia de A; Ф es el conjunto
vacío:
Primero hacemos:
P(A) = { Ф, {2}, {Ф}, A }
y luego hacemos P ( P(A) ) :
P ( P(A) ) = { Ф ,
{ Ф } , { {2} } , { {Ф} } , { A },
{ Ф, {2} } , { Ф, {Ф} } , { Ф, A }, { {2} , {Ф} } , { {2} , A } , { {Ф}, A },
{ Ф, {2}, {Ф} } , { Ф, {2}, A }, { Ф, {Ф}, A }, { {2}, {Ф}, A }
y P(A) }
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Cuando S es finito, si n = |S| es el número de elementos de S, en este caso 3,
entonces el respectivo conjunto potencia contiene |P(S)| = 2n elementos, en este
caso 23 = 8. En este caso también se puede establecer una biyección entre los
elementos del conjunto potencia con números de n-bits: el n-ésimo bit se refiere
a la presencia o ausencia del n-ésimo elemento de S. Hay 2n tales números.
Este argumento prueba la identidad de coeficientes binomiales:
La cardinalidad de un conjunto potencia siempre es mayor que la
cardinalidad del conjunto base, el argumento diagonal de Cantor demuestra
la afirmación para conjuntos infinitos, mientras que el hecho de que n < 2n la
prueba para conjuntos finitos.
El conjunto potencia de los números naturales, por ejemplo, se puede poner
en correspondencia uno a uno con el conjunto de números reales.
Usualmente se establece primero una biyección entre los números reales y
el intervalo cerrado [0,1], para luego, usando la expansión diádica de los
números reales, identificar cada elemento de [0,1] con la sucesión infinita de
ceros y unos dada por los coeficientes.
El conjunto potencia de un conjunto S, junto con las operaciones de
la unión, de la intersección y del complemento forman el ejemplo prototípico
de álgebra de Boole. De hecho, uno puede demostrar que cualquier álgebra
de Boole finita es isomorfa al álgebra booleana del conjunto potencia de un
conjunto finito. Para las álgebras booleanas infinitas esto no es verdad, pero
cada álgebra booleana infinita es subálgebra de una álgebra booleana de
partes.
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Definición de función
Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de
la variable independiente , le asocia un único valor de la variable dependiente ,
que llamaremos imagen de . Decimos que y es función de
y lo representamos
por
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o mas conjuntos entre si;
generalmente cuando tenemos la asociación dos conjuntos las función se define
como una regla de asociación entre un conjunto llamado dominio con uno llamado
codominio, también dominio e imagen respectivamente o dominio y rango. Esta regla
de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos
elementos del codominio.
Donde se dice que f : A  B (f es una función de A en B, o f es una función que
toma elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado codominio B)
Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el
conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado
codominio, generalmente cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de
valores que están sobre el eje de las X´s y que nos generan una asociación en el eje
de las Y´s.
El otro conjunto que interviene en la definición es el conjunto llamado codominio o
rango de la función, en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de
valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que
puede tomar la función o valores en el eje de las Y´s.
También, cuando se grafica en el plano cartesiano se tiene una relación de dos
variables, considerando como variable aquella literal que esta sujeta a los valores
que puede tomar la otra.
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Función lineal
Una aplicación lineal (también llamada función lineal, transformación
lineal u operador lineal) es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que
preserva las operaciones de suma de vectores y producto por un escalar. El
término función lineal se usa incorrectamente en análisis matemático y
en geometría para designar una recta, un plano, o en general una variedad lineal.
Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulación matemática de la
mecánica cuántica.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a
toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la
siguiente definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una
función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de
vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se
satisface que:
1.
2.
donde k es un escalar.
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CLASIFICACIÓN Y TIPOS DE FUNCIONES
Funciones Algebraicas:
Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de
operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y
radicación) aplicadas a la función identidad, f (x) =x, y a la función constante, f (x)
= k.
En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales,
racionales y las llamadas algebraicas explícitas.
Potenciales
Las funciones potenciales de exponente entero positivo las escribimos de la forma:
f(x)=xn. Dependiendo de los valores de n (par o impar), las características de las
funciones varían tanto en su dominio como en su recorrido.
En la siguiente escena representamos la función f(x) = k(x-a)n+c, variando pues los
valores de los parámetros k, n, a y c se obtienen diversas gráficas donde la paridad
del parámetro n divide en dos grupos de funciones bien diferenciados.
Polinomiales
El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.
Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función
polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo
grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado).
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Racionales
Una función racional es aquella que puede expresarse como el cociente de dos
funciones poligonales. Esto es, una función racional es de la forma
El dominio de la función racional consiste de todos los números reales, a excepción
de aquellos para los cuales
Q( x) 
f ( x)
g ( x)
Funciones irracional
son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical:
Donde g(x) es una función poli nómica o una función racional.
efectos de calcular el
dominio de f(x) que contenga un radical, habrá que imponer la condición anterior al
conjunto de la expresión f(x).
Funciones trascendentes
Una función trascendente es una función que no puede ser representada por una
ecuación poli nómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios, en comparación
una función algebraica sí satisface tal tipo de ecuación. Es decir una función de una
variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha
variable.
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Trigonométrica
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la
medición de los triángulos". Se deriva del vocablo griego τριγωνο < trígono >
"triángulo" + μετρον <metrón> "medida".1
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los
ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones
trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno, coseno;
tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las
demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se
requieren medidas de precisión.
Funciones trigonométricas inversa
Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de
sus lados, aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales
Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido
a que son funciones periódicas y por lo tanto no son invectivas pero restringiendo los
dominios se puede hallar la inversa.
Función exponencial
Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx, en donde la base b,
es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen
gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía,
química, física e ingeniería.
La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y
diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone,
debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función
constante f(x) = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma
f(x)=(-9)1/2 no tendrían sentido en los números reales.
El dominio de la función exponencial está formado por el conjunto de los números
reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos
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Función logarítmica
Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas.
Como la notación f-1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza
otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f 1(x), se escribe log (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación
logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión log b(x) un
logaritmo.
Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la
base b para obtener a y. Esto es, si b > 0 y b es diferente de cero, entonces
Logb y = x si y sólo si y = bx.
Nota: La notación logb y = x se lee “el logaritmo de y en la base b es x”.
Ejemplos:
1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya
que 52 = 25. Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente
lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2 es equivalente a
52 = 25. (Observa que un logaritmo es un exponente.)
Función especial
Una función especial es una función matemática particular, que por su importancia
en el campo del análisis matemático, análisis funcional, la física y otras aplicaciones,
posee nombres y designaciones más o menos establecidos.
No existe una definición general de las mismas, pero la lista de funciones
matemáticas contiene funciones que son generalmente aceptadas como especiales.
En particular, las funciones elementales son también consideradas funciones
especiales.
Muchas funciones especiales se originan como soluciones a ecuaciones
diferenciales o integrales de funciones elementales. Por lo tanto, las tablas de
integrales por lo general incluyen una descripción de funciones especiales, y tablas
de funciones especiales por lo menos, la representación integral de las funciones
especiales.
Lenguajes computacionales de cálculo analítico tales como Matemática por lo
general reconocen a la mayoría de las funciones especiales. Sin embargo no todos
los sistemas de cálculo poseen algoritmos eficientes de evaluación, especialmente
en el plano complejo.
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Conclusión
Como alumna comprendí que las matemáticas son de mucha utilidad para nuestra
vida diaria también el funcionamiento que tiene en cada una de las materias cuya
finalidad fue exponer hechos, analizarlos y demostrar determinadas hipótesis en el
planteamiento
BIBLIOGRAFIA
http://usuarios.multimania.es/JuanBeltran/id412.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Función_lineal
http://es.wikipedia.org/wiki/Teoría_de_conjuntos#Operaciones_con_conjuntos
http://huitoto.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/conjuntos.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_conjunto
http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones.htm
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