Download Trigonometría en el triángulo rectángulo.

U. D. 7 * 4º ESO E. AP.
SEMEJANZA
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
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U. D. 7.5 * 4º ESO E. AP.
TRIGONOMETRÍA
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AP.
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Trigonometría
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TRIGONOMETRÍA
La palabra trigonometría proviene del vocablo griego trígono –triángulo-, y
metron –medida-, que se refiere a las medidas de los ángulos de un
triangulo.
•
La trigonometría es la rama de las matemáticas que intenta establecer las
relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo, para así poder
resolverlos.
•
Así entonces resolver un triangulo significa encontrar el valor de sus tres
lados, y el de sus tres ángulos.
Para esto nos valdremos del teorema de Pitágoras para encontrar el valor
de un lado, si es que ya conocemos dos; y de las razones
trigonométricas para conocer el valor de los ángulos internos, si
conocemos como mínimo un lado.
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Y así posteriormente podremos combinar las razones trigonométricas con
el teorema de Pitágoras para poder resolver problemas de mayor dificultad.
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Razones trigonométricas
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TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES
Sean los triángulos rectángulos ABC (de lados a, b y c) y A’B’C’ (de lados
a’, b’ y c’). Al estar en posición de Thales ambos triángulos son semejantes
y se cumple:
• a
b
c
• ---- = ---- = --- = r
B’
• a’
b’
c’
• Siendo r la razón de
semejanza.
a’
B
• Eso es así con
independencia de las
Hipotenusa
medidas de catetos o
B
de hipotenusas.
c’
c
a
A=90º
C
A’
b’
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A
b
C=C’
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Razones trigonométricas
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Tenemos por semejanza de triángulos rectángulos:
a
b
c
---- = ---- = --- = r  De donde podemos obtener las siguientes igualdades:
a’
b’
c’
• c’
c
• b’
b
• c’
c
• ---- = ---• ---- = ---• ---- = ---B’
• b’
b
• a’
a
• a’
a
a’
•
B
Hipotenusa
c’
c
B
a
A=90º
A’
b’
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A
C
b
Estas igualdades
siempre se cumple y
cuando los triángulos
son rectángulos su
valor sólo depende del
ángulo agudo. Son las
llamadas razones
trigonométricas
C=C’
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Razones trigonométricas
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•
El valor de las razones trigonométricas sólo depende del ángulo.
Sen 30º = 0,5 = b / a
Cos 30º = 0,866 = c / a
Tag 30º = 0,5774 = b / c
a
a
a
b
α = 30º
c
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b
α = 45º
c
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b
α = 60º
c
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Razones en un triángulo
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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
•
El seno de un ángulo agudo, C, es la
razón entre el cateto opuesto a dicho
ángulo, c, y la hipotenusa, a.
Se escribe sen C
•
•
•
•
•
El coseno de un ángulo agudo, C, es la
razón entre el cateto adyacente a dicho
ángulo, b, y la hipotenusa, a.
Se escribe cos C
La tangente de un ángulo agudo, C, es la
razón entre el cateto opuesto a dicho
ángulo, c, y el cateto adyacente, b.
Se escribe tg C
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Ejemplos
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Hallar las razones trigonométricas
en el triángulo rectángulo cuyos
lados miden: a=5, b=4, c=3
sen C=c/a=3/5 = 0,6
cos C=b/a=4/5 = 0,8
tag C=c/b=3/4 = 0,75
B
Hipotenusa
B
c
A=90º
A
•
•
•
•
Hallar las razones trigonométricas
en el triángulo rectángulo cuyos
lados miden: a=13, b=12, c=5
sen C=c/a=5/13 = 0,3846
cos C=b/a=12/13= 0,9231
tag C=c/b=5/12 = 0,4167
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a
C
b
C
• IMPORTANTE
• Como un cateto siempre es
menor que la hipotenusa:
• sen α ≤ 1
• cos α ≤ 1
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Aplicaciones
•
En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 10 cm y uno de los ángulos
agudos mide 30º. Hallar los catetos.
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•
•
•
Sea C = 30º  sen C = c / a  sen 30º = c / 10
Calculadora: sen 30º = 0,5  0,5 = c / 10  c = 5 cm
Sea C = 30º  cos C = b / a  cos 30º = b / 10
Calculadora: cos 30º = 0,866  0,866 = b / 10  b = 8,66 cm
•
En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y el ángulo agudo opuesto
a dicho cateto mide 60º. Hallar el otro cateto y la hipotenusa.
•
•
•
•
Sea C = 60º  sen C = c / a
Calculadora: sen 60º = 0,866
Sea C = 60º  cos C = b / a
Calculadora: cos 60º = 0,5
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 sen 60º = 8 / a
 0,866 = 8 / a  a = 9,24 cm
 cos 60º = b / 9,24
 0,5 = b / 9,24  b = 4,62 cm
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Aplicaciones
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En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 cm y uno de los ángulos
agudos mide 45º. Hallar los catetos.
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•
Sea C = 45º  sen C = c / a  sen 45º = c / 5
Calculadora: sen 45º = 0,7071  0,7071 = c / 5  c = 3,5355 cm
Sea C = 45º  cos C = b / a  cos 45º = b / 10
Calculadora: cos 45º = 0,7071  0,7071 = b / 5  b = 3,5355 cm
•
En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y el ángulo agudo opuesto
a dicho cateto mide 60º. Hallar el otro cateto y la hipotenusa.
•
•
•
•
Sea C = 60º  tag C = c / b  tag 60º = 8 / b
Calculadora: tag 60º = 1,7321  1,7321 = 8 / b  b = 4,62 cm
Sea C = 60º  cos C = b / a  cos 60º = 4,62 / a
Calculadora: cos 60º = 0,5
 0,5 = 4,62 / a  a = 9,24 cm
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Algunas razones muy utilizadas
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RAZONES MUY UTILIZADAS
•
Conviene saberse de memoria las siguientes
razones trigonométricas, al objeto de conseguir
rapidez y exactitud:
•
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•
Sen 30º = 1 / 2 = 0,50
Cos 30º = √3 / 2 = 0,866
Tg 30º = √3 / 3
•
•
•
Sen 45º = √2 / 2 = 0,707
Cos 45º = √2 / 2 = 0,707
Tg 45º = 1
√2
45º
30º
√3/2
•
•
•
60º
Sen 60º = √3 / 2 = 0,866
Cos 60º = 1 / 2 = 0,50
Tg 60º = √3
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½
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½
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EL RADIAN
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•
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SISTEMA SEXAGESIMAL
Cada una de las 360 partes iguales en
que queda dividida la circunferencia se
llama grado sexagesimal. Cada grado
se divide en 60 minutos y cada minuto
a su vez se divide en 60 segundos.
A
Radio =r
EL RADIAN
En trigonometría se utiliza como
unidad fundamental el Radian, que se
define como aquel ángulo cuyos lados
comprenden un arco cuya longitud es
igual a la del radio.
Para deducir el valor de un radian
partiremos de la fórmula para calcular
el perímetro de una circunferencia.
P = 2.π.r
Sabemos que el giro completo de una
circunferencia vale 360°:
2.π rad = 360º
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Arco AB = r
B
360
 57, 29577951...º
2
1rad  57º17 ' 44"
1rad 
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Equivalencias
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Tenemos que π radianes es igual a 180°.
Y gracias a estos quebrados podremos obtener las siguientes
equivalencias
Rad.
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
Grados
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
Rad.
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
Grados
210°
225°
240°
270°
300°
315°
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π
180°
11π/6 2π
330°
360°
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