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Potencias y raíz cuadrada
1
Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Potencias de exponente natural mayor que 1
En la expresión 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 se repite el
mismo factor 14 veces.
Para abreviar escribimos:
3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 314
314 es una potencia de base 3 y exponente 14:
314 = 4.782.969
exponente
314
base
234 = 23 · 23 · 23 · 23
La base es el factor que se repite.
El exponente indica el número de veces que se repite
23 cuatro veces
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados: 52 es el cuadrado de 5.
Las potencias de exponente 3 se llaman cubos: 103 es el cubo de 10.
103 = 1000
Otros ejemplos:
(a) 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 = 210 = 1.024
(b) 65 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6
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Potencias y raíz cuadrada
2
Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Potencias de base un número negativo
Si la base es un número negativo:
(–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3)4 = 81
Un número positivo.
(–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3)5 = –243
Un número negativo.
Pero
Si el exponente es 4, resulta un número positivo
Recuerda que (–) · (–) = +
porque hay un número par de signos negativos.
y que (–) · (–) · (–) = (–)
Si el exponente es 5, resulta un número negativo
porque hay un número impar de signos negativos.
¡Cuidado!
(–5)2 = 25, pero
En general:
–52 = –25
Las potencias de base negativa y exponente par son positivas.
Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas.
Otros ejemplos:
Son positivas:
(a) (–2)6 = 64
(b) (–4)2 = 16
(c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1) )·(–1)·(–1) = (–1)8 = 1
Son negativas:
(a) (–2)5 = –32
(b) (–4)3= –64
(c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1 )·(–1)·(–1) = (–1)7 = –1
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Potencias y raíz cuadrada
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Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Potencia de un producto
En la expresión (3 · 2 · 5)3
la base de la potencia es un producto.
es la potencia de un producto
Puede hacerse de dos modos:
Modo 1º
Efectuando antes el producto de la base y después la potencia:
(3 · 2 · 5)3 = 303
Modo 2º
27.000
Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente:
(3 · 2 · 5)3 = (3 · 2 · 5) · (3 · 2 · 5) · (3 · 2 · 5)
= (3 · 3 · 3) · (2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5) = 32 · 22 · 52
Luego,
(3 · 2 · 5)3 = 32 · 22 · 52
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.
Otros ejemplos:
(b) (5 · (–4))3 = 53 · (–4)3
(a) (4 · 8)2 = 322 = 1024
= (–20)3
= 42 · 82
(c) (2+3)3 = 53 = 125, pero 23 + 33 = 8 + 27 = 35
¡Ojo!
Es falso que
(2+3)3 = 23 + 33
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Potencias y raíz cuadrada
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Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Potencia de un cociente
En la expresión (32 : 8)3
la base de la potencia es un cociente.
es la potencia de un cociente
Puede hacerse de dos modos:
Modo 1º
Efectuando primero el cociente de la base y después la potencia:
(32 : 8)3 = 43
Modo 2º
64
Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente:
3
32768
32
32
32
32
·
32
·
32
32
3
 64
 3
(32 : 8)  · · 
512
8 8 8
8·8·8
8
La potencia de un cociente es igual al cociente de la
Luego, (32 : 8)3 = 323 : 83
potencia del dividendo y de la potencia del divisor.
4
6 4 1296
6
4
4
 81
(a) (6 : 2) = 3 = 81
O también:    4 
Otros ejemplos:
2
16
2
 
3
3
(15)
 3375
  15 

 125
 
(b) [(–15) : 3)3 = (–5)3 = –125 O también: 
27
33
 3 
(c) (32 – 8)3 = 243 = 13824, pero 323 – 83 = 32768 – 512 = 32256
¡Ojo! Es falso que (32 – 8)3 = 323 – 83
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Potencias y raíz cuadrada
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Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Producto de potencias de la misma base
Los factores del producto
4 2 · 45 · 43
son potencias que tienen la misma base.
Puede hacerse de dos modos:
Es un producto de potencias
de la misma base
Modo 1º
Directamente, multiplicando: 42 · 45 · 43 = 16 · 1024 · 64 = 1048576
Modo 2º
Escribiendo cada potencia como producto y agrupar después:
42 · 45 · 43 = (4 ·4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) · (4 ·4 ·4) = 42+5+3 = 410
Luego,
42 · 45 · 43 = 42+5+3
2, 5 y 3 factores
El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la
misma base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores.
–2 = (–2)1 o 61 = 6
1. (–2)4 · (–2) · (–2)2 = (–2)4+1+2 = (–2)7 = –128, utilizando la propiedad vista.
También es igual a:
16 · (–2) · 4 = –128, haciendo los productos de las potencias.
2. En forma de potencia, la expresión: (a) 9 · (–3)3 · (–3) = (–3)2 · (–3)3 · (–3) = (–3)6
Ejemplos:
Igualmente: (b) 16 · (–2)3 = (–2)4 · (–2)3 = (–2)7
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Potencias y raíz cuadrada
6
Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Cociente de potencias de la misma base
El dividendo y el divisor de 65 : 63
son potencias de la misma base
Es un cociente de potencias
de la misma base
Puede hacerse de dos modos:
6 5 7776
 36
Modo 1º Calculando las potencias y dividiendo: 3 
216
6
Modo 2º Desarrollando las potencias y simplificando:
5
6
6·6·6·6·6
2
52
5
3



6
·
6

6

6
65 : 63 = 65–3
6 :6
3
6·6·6
6
El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia con la misma base,
y con exponente la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.
Caso:
El cociente 54 : 54 = 1
Pero si aplicamos la propiedad 54 : 54 = 54–4 = 50
Se admite que:
50 = 1; (–7)0 = 1
Ejercicio: Escribe en forma de potencia: (a) 27 : 24 (b) (–5)6 : (–5)3
(a) 27 : 24 = 27–4 = 23
(b) (–5)6 : (–5)3 = (–5)6-3 = (–5)3
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Potencias y raíz cuadrada
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Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Potencia de una potencia
La expresión (52)4 es una potencia cuya base es otra potencia.
Se llama potencia de una potencia
Puede hacerse de dos modos:
Modo 1º
Directamente, haciendo la potencia de la potencia: (52)4 = (25)4 = 390625
Modo 2º
Escribiendo como producto de potencias y agrupar después:
(52)4 = 52 · 4
(52)4 = 52 ·52 · 52 · 52 = 52+2+2+2 = 52 · 4 = 58
La potencia de una potencia es igual a otra potencia con la
misma base, y de exponente el producto de exponentes.
Ejercicios
1. Calcula: [(–2)4]2
[(–2)4]2
2. Calcula: [(35)4]2
[(35)4]2 = 35·4·2 = 340
3. Calcula: {[(–1)3]9}7
{[(–1)3]9}7 = (–1)3·9·7 = (–1)189 = –1
=
(–2)4·2
=
(–2)8
= 64
340 es un número
enorme: tiene
20 cifras.
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Potencias y raíz cuadrada
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Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Cuadrados perfectos
Cuadrado de lado 1:
1 ficha cuadrada
12 = 1
Cuadrado de lado 2:
4 fichas cuadradas
22 = 4
Cuadrado de lado 3:
9 fichas
32 = 9
Cuadrado de lado 4:
16 fichas
42 = 16
Cuadrado de lado 5:
25 fichas
52 = 25
A los números:
1, 4, 9, 16, 25, 36, …
se les llama
cuadrados perfectos
Los cuadrados
perfectos se obtiene
elevando al cuadrado
los números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
100, 144 y 10000 son
cuadrados perfectos,
pues:
100 = 102, 144 = 122,
10000 = 1002
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Potencias y raíz cuadrada
9
Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Raíz cuadrada exacta
Sabemos que los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … son los cuadrados perfectos
de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
También se dice que 1, 2, 3, 4, 5, 6, … son la raíz cuadrada
de los números:
1, 4, 9, 16, 25, 36, … respectivamente.
Se escribe así:
1 1
42
9 3
16  4
Raíz cuadrada exacta de número es otro número
que elevado al cuadrado es igual al número dado.
25  5
La raíz cuadrada es
la operación opuesta de
elevar al cuadrado
Ejemplos:
1º. Como 100 = 102, se cumple que 10  100
2º. 144  12 y 10000  100, pues 12 2  14 y 100 2  10000.
3º. Ten en cuenta: Como 36 = 62 = (–6)2, 6 y –6 son raíces cuadradas de 36.
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Potencias y raíz cuadrada
10
Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Raíz cuadrada entera
Sabemos que:
49  7
25  5
36  6
¿Cuánto valdrá, por ejemplo:
o raíz de 43: 43 ?
29
Como 29 está entre 25 y 36, su raíz cuadrada será un número entre 5 y 6.
25 < 29 < 36
5  25  29  36  6
52 < 29 < 62
La raíz entera de 29 es 5, pero sobran 4. Escribimos:
Raíz entera de un número es el mayor número
entero cuyo cuadrado es menor que dicho número.
Ejemplos:
29  5 y resto 4.
El resto es la diferencia entre el número
dado y el cuadrado de su raíz entera.
43  6, resto 7 : 43  36  7.
62  7, (7 2  62  8 2 ), resto 13 : 62  7 2  13.
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Potencias y raíz cuadrada
11
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Cálculo de la raíz cuadrada por aproximaciones (I)
Paso 1º: Determinar el número de cifras de la raíz cuadrada del número dado.
Observa:
1 1
100  10
1 cifra
La raíz cuadrada de
cualquier número
comprendido entre
entre:
Así, por ejemplo:
De otra manera:
2 cifras
1 y 100
tendrá 1 cifra
1000000  1000
10000  100
100 y 10000
tendrá 2 cifras
3 cifras
4 cifras
10000 y 1000000
tendrá 3 cifras
95 tendrá 1 cifra
324 tendrá 2 cifras
8924 tendrá 2 cifras
39827 tendrá 3 cifras
Para averiguar el número de cifras de la raíz cuadrada de un número, basta con formar
grupos de dos cifras, empezando por la derecha (el último grupo puede estar formado por
una sola cifra).
La raíz cuadrada tendrá tantas cifras como grupos se hayan formado.
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Potencias y raíz cuadrada
12
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Cálculo de la raíz cuadrada por aproximaciones (II)
Paso 2º: Buscar dos cuadrados perfectos entre los cuales esté el número dado.
Por ejemplo:
12824
Tendrá 3 cifras: será un número entre 100 y 1.000.
Como 1002 = 10.000 < 12.824 < 40.000 = 2002
100  12824  200
· Para determinar la cifra de las decenas calculamos los cuadrados de 110, 120, 130, etc.
Como 1102 = 12.100 y 1202 = 14.400, 12.100 < 12.834 < 14.400
110  12824  120
· Para determinar la cifra de las unidades calculamos los cuadrados de 111, 112, 113, etc.
Como:
1112 = 12.321 < 12.834, 1122 = 12.544 < 12.834,
1132 = 12.769 < 12.834, 1142 = 12.996 > 12.834
Luego,
12824  113 (con resto 55, pues 12.824 – 1132 = 55).
Otro ejemplo:
3456
113  12824  114
Calcula por aproximación
(tendrá 2 cifras)
3456
Probamos con 402, 502, 602, etc.
Luego, 50  3456  60
Haciendo los cuadrados de 51, 52, …, se observa que:
402 = 1600
502 = 2500
3456
602 = 3600
3456  58, resto 92.
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Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Regla para el cálculo de la raíz cuadrada (I)
La regla tradicional para el cálculo de la raíz entera de un número
requiere una organización específica que indicamos a continuación.
Para calcular la raíz de un número, por ejemplo
118527
1º. Se divide el radicando en grupos de
dos cifras, empezando por la derecha.
11 85 27
2º. Se trazan líneas que faciliten la
aplicación de la regla.
11 85 27 Lugar para la raíz
3º. Esta regla tiene pasos parecidos a
los empleados en la división; también
se restará y se bajarán cifras, pero en
este caso por grupos de dos
4º. El último paso consistirá en la
comprobación: en la prueba de la
radicación:
Espacio
para
operar
Espacio para
pruebas y tanteos
resto
118527 = (raíz)2 + resto
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Potencias y raíz cuadrada
14
Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Regla para el cálculo de la raíz cuadrada (II)
Calculemos
118527
2º. Se hace el cuadrado
de 3 y se resta al primer
grupo: a 11
3º. Se baja el segundo
grupo de cifras: 85
5º. Se resta 285 – 256.
7º. Se baja el tercer
grupo de cifras: 27
11 85 27
3 4 4
–9
22 85
–2 56
29 27
–27 36
191
664 · 4 = 256
68
684 · 4 = 2736
9º. Se resta 2927 – 2736
El número 191 es el
resto de la raíz.
Por tanto,
118527  344, y el resto es 191
11º. Se hace la prueba:
3442 + 191 = 118336 + 191 = 118527
1º. Se calcula la raíz cuadrada
del primer grupo de cifras: de
11. Es 3
4º. Se toma el doble de 3 que
es 6: a su izquierda se coloca
otro número (6d), de modo
que (6d·d), dé un número lo
más próximo a 285, sin
superarlo
Ese número es 4: 64 · 4 = 256
6º. El número d (4) se coloca
a la derecha del 3: 34
8º. Se toma el doble de 34,
68, y se procede como en 4º
Ese nuevo d vale también 4.
Se multiplica: 684 · 4 = 2736.
10º. La cifra 4 se coloca a la
derecha de 34: 3 4 4
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Potencias y raíz cuadrada
15
Números 2001 - Matemáticas 1º ESO
Cálculo de la raíz cuadrada: ejemplo
Para practicar hagamos otra raíz:
2º. El cuadrado de 6 es
36. Se resta a 41.
3º. Se baja el segundo
grupo de cifras: 15
5º. Se resta 515 – 496.
7º. Se baja el tercer
grupo de cifras: 88.
41 15 88
–36
5 15
–4 96
19 88
– 12 81
707
1º. La raíz cuadrada del primer
grupo de cifras: de 41. Es 6.
6 4 1
124
12 · 4 = 496
1281 · 1 = 1281
128
9º. Se resta:
1988 – 1281 = 707
Por tanto,
411588  641; el resto es 707
4º. El doble de 6 es 12. A su
izquierda se coloca otro
número (12d), de modo
(12d·d), dé un número lo más
próximo a 515, sin superarlo
Ese número es 4, y el
producto 496.
6º. Se coloca 4 a la derecha
del 6: 64
8º. Se toma el doble de 64,
128. Se procede como en 4º
Cabe a 1: 1281 · 1 = 1281
10º. La cifra 1 se coloca a la
derecha de 34: 6 4 1
Prueba:
6412 + 707 = 410881 + 707 = 411588
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Potencias y raíz cuadrada
16
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Resolución de problemas
Problema: Se colocan fichas en filas y en columnas de modo que formen el mayor
cuadrado posible. Quedan sin colocar 43 fichas. Si se tuviera 22 fichas más se
podría formar un cuadrado sin que sobrara ninguna ficha. ¿Cuántas fichas hay?
Tantear para comprender mejor
Observamos que el número de fichas debe ser un cuadrado perfecto más 43 ( fichas sobrantes).
Si ese número fuese 28, se tendría: 282 + 43 = 784 + 43 = 827.
Sumando a ese número 22 (las fichas que faltan) deberá dar otro cuadrado perfecto.
Pero, 827 + 22 = 849 no lo es. Luego no puede haber 827. El número 28 no es válido.
Primero:
Hacer un dibujo
Con las fichas que sobran y faltan (43 + 22 = 65),
completaríamos un cuadrado de lado 1 unidad mayor.
Luego 64, que es 65 – 1, es el doble del lado.
(Quitamos 1 por que se repite.)
El lado valdrá la mitad de 64: 32.
El número de fichas será: 322 + 43 = 1067.
Segundo:
Tercero:
Sobran 43
Faltan 22
Comprobación.
Si a 1067 se le suman 22: 1067 + 22 = 1089, que es igual a 33 2.
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