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Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
1
6-3
Variables aleatorias
• Una variable aleatoria es un valor numérico
determinado por el resultado de un
experimento.
• EJEMPLO 1: considere un experimento
aleatorio en el que se lanza tres veces una
moneda. Sea X el número de caras. Sea H el
resultado de obtener una cara y T el de
obtener una cruz.
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Distribución de Probabilidades
2
6-4
EJEMPLO 1
continuación
• El espacio muestral para este experimento
será: TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH,
HHT, HHH.
• Entonces, los valores posibles de X (número de
caras) son x = 0, 1, 2, 3.
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Distribución de Probabilidades
3
6-5
EJEMPLO 1
•
•
•
•
•
continución
El resultado “cero caras” ocurrió una vez.
El resultado “una cara” ocurrió tres veces.
El resultado “dos caras” ocurrió tres veces.
El resultado “tres caras” ocurrió una vez.
De la definición de variable aleatoria, la
X
definida en este experimento, es una
variable aleatoria
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Distribución de Probabilidades
4
6-6
Distribuciones probabilísticas
• Una distribución probabilística es la
enumeración de todos los resultados de un
experimento junto con las probabilidades
asociadas. Para el
,
EJEMPLO
1
Número de
Probabilidad y Estadística
caras
Probabilidad de
los
0
1/8 = .125
1
3/8 = .375
2
3/8 = .375
3
1/8 = .125
Total
8/8 = 1
Distribución de Probabilidades
resultados
5
6-7
Características de una distribución probabilística
• La probabilidad de un resultado siempre debe
estar entre 0 y 1.
•
La suma de todos los resultados mutuamente
excluyentes siempre es 1.
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Distribución de Probabilidades
6
6-8
Variable aleatoria discreta
• Una variable aleatoria discreta
es una variable
que puede tomar sólo ciertos valores diferentes
que son el resultado de la cuenta de alguna
característica de interés.
•
EJEMPLO 2:
seaX el número de caras
obtenidas al lanzar 3 veces una moneda.
Aquí los valores de X son
x
Probabilidad y Estadística
= 0, 1, 2, 3.
Distribución de Probabilidades
7
6-9
Variable aleatoria continua
• Una variable aleatoria continua es una variable
que puede tomar un número infinito de
valores.
• Ejemplos: la altura de un jugador de
básquetbol o el tiempo que dura una siesta.
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Distribución de Probabilidades
8
6-10
Media de una distribución probabilística discreta
• La media:
· indica la ubicación central de los datos.
· es el promedio, a la larga, del valor de la
variable aleatoria.
· también se conoce como el valor esperado,
E(x), en una distribución de probabilidad.
· es un promedio ponderado.
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Distribución de Probabilidades
9
6-11
Media de una distribución probabilística discreta
• La media se calcula con la fórmula:
M
= E( x) = [x * P( x)]
• donde M representa la media y
P(x) es la
probabilidad de los diferentes resultados x
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
10
6-12
Varianza de una distribución probabilística discreta
• La varianza mide la cantidad de dispersión
(variación) de una distribución.
• La varianza de una distribución discreta se
denota por la letra griega s 2 (sigma cuadrada).
• La desviación estándar se obtiene tomando la
raíz cuadrada de s 2
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
11
6-13
Varianza de una distribución probabilística discreta
• La varianza de una distribución de
probabilidad discreta se calcula a partir de la
fórmula
s = S[( x - m ) * P( x )]
2
Probabilidad y Estadística
2
Distribución de Probabilidades
12
6-14
EJEMPLO 2
• Dan Desch,
propietario de
College Painters,
estudió sus registros
de las últimas 20
semanas y obtuvo
los siguientes
números de casas
pintadas por
semana:
Probabilidad y Estadística
# de casas
pintadas
Semanas
10
5
11
6
12
7
13
2
Distribución de Probabilidades
13
6-15
EJEMPLO 2
continuación
• Distribución probabilística:
Número de casas
pintadas, X
10
Probabilidad, P(X)
11
.30
12
.35
13
.10
Total
1
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
.25
14
6-16
EJUEMPLO 2
•
continuación
Calcule el número medio de casas pintadas por
semana:
m = E( x) = S[ xP( x)]
= (10)(.25) + (11)(.30) + (12)(.35) + (13)(.10)
= 113
.
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
15
6-17
EJEMPLO 2 continuación
• Calcule la varianza del número de casas
pintadas por semana:
s
2
= S [( x - m ) 2 P ( x )]
= . 4225 + . 0270 + .1715 + . 2890
= . 91
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16
6-18
Distribución probabilística binomial
• La distribución binomial tiene las siguientes
características:
Un resultado
de un experimento se clasifica en una
·
de dos categorías mutuamente excluyentes -éxito o
fracaso.
· los datos recolectados son resultados de contar.
· la probabilidad de éxito es la misma para cada
ensayo.
· los ensayos son independientes.
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17
6-19
Distribución probabilística binomial
• Para elaborar una
distribución binomial ,
sea
· n el número de ensayos
· x el número de éxitos observados
· p la probabilidad de éxito en cada ensayo
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Distribución de Probabilidades
18
6-20
Distribución probabilística binomial
• La fórmula para la distribución de probabilidad
binomial es:
n!
x
n- x
p (1 - p )
P( x) =
x !( n - x )!
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
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6-21
EJEMPLO 3
• La Secretaría del Trabajo del estado de
Alabama reporta que 20% de la fuerza de
trabajo en Mobile está desempleada. De una
muestra de 14 trabajadores, calcule las
siguientes probabilidades con la fórmula de la
distribución binomial ( n=14, p =.2, ):
·tres están desempleados:
P( x=3)=.250
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
20
6-22
continuación
éstos también son ejemplos de
distribuciones probabilísticas acumulativas
tres
o
más
están
desempleados:
·
P(x  3)=.250 +.172 +.086 +.032
+.009 +.002=.551
· al menos un trabajador está desempleado:
P(x  1) = 1 - P(x=0) =1 - .044 = .956
· a lo más dos trabajadores están desem
pleados: P(x 2)=.044 +.154 +.250
=.448
Probabilidad y Estadística
http://faculty.vassar.edu/lowry/binomialX.html
Distribución de Probabilidades
21
6-23
Media y varianza de la distribución binomial
• La media
está dada por:
m = np
• La varianza está dada por:
s = np (1- p )
2
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
22
7-3
Distribución probabilística normal
• La curva normal tiene forma de campana con
un solo pico justo en el centro de la
distribución.
• La media, mediana y moda de la distribución
aritmética son iguales y se localizan en el pico.
• La mitad del área bajo la curva está a la
derecha del pico, y la otra mitad está a la
izquierda.
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
23
7-4
Características de la distribución
probabilística normal
• La distribución normal es simétrica respecto a
su media.
• La distribución normal es asintótica- la curva
se acerca cada vez más al eje x pero en
realidad nunca llega a tocarlo.
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Distribución de Probabilidades
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r
a
l
i
t r
b
u
i o
n
:
m
=
0
,
s2
=
1
Características de una distribución normal
0
. 4
. 3
0
. 2
En teoría,
la curva se
extiende hasta
infinito
f ( x
0
La curva
normal es
simétrica
0
. 1
. 0
- 5
a
La media, mediana y
moda son iguales
x
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Distribución de Probabilidades
25
7-6
Distribución normal estándar
• Una distribución normal que tiene media
igual a 0 y desviación estándar igual a 1 se
denomina distribución normal estándar.
• Valor z: la distancia entre un valor
seleccionado, designado como X , y la
población media m , dividida entre la
desviación estándar de la población
, s
z =
Probabilidad y Estadística
X
- m
s
Distribución de Probabilidades
26
7-7
EJEMPLO 1
• El ingreso mensual que una corporación
grande ofrece a los graduados en MBA tiene
una distribución normal con media de $2000 y
desviación estándar de $200. ¿Cuál es el valor
z para un ingreso de $2200? y ¿cuál para uno
de $1700?
• ParaX = $2200, z = (2200- 2000) /200
= 1.
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
27
7-8
EJEMPLO 1 continuación
• ParaX = $1700,z = (1700- 2000) /200
= - 1.5
• Un valor z igual a 1 indica que el valor de
$2200 es mayor que la desviación estándar de
la media de $2000, así como el valor z igual a
-1.5 indica que el valor de $1700 es menor que
la desviación estándar de la media de $2000.
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Distribución de Probabilidades
28
7-9
Áreas bajo la curva normal
• Cerca de 68% del área bajo la curva normal
está a menos de una desviación estándar
respecto a la media.m ± 1s
• Alrededor de 95% está a menos de dos
desviaciones estándar de la media. m ± 2s
• 99.74% está a menos de tres desviaciones
estándar de la media. m ± 3s
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
29
r
a
l
i
t r
b
u
i o
n
:
m
=
0
,
s2
=
1
Áreas bajo la curva normal
0
. 4
. 3
0
. 2
0
. 1
f ( x
0
Entre:
1.68.26%
2.95.44%
3.99.74%
. 0
- 5
m - 2s
m - 3s m - 1s
x
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m
m + 2s
m + 1s
Distribución de Probabilidades
m + 3s
30
7-11
EJEMPLO 2
• El consumo de agua diario por persona en
New Providence, Nueva Jersey tiene una
distribución normal con media de 20 galones
y desviación estándar de 5 galones.
• Cerca de 68% del consumo de agua diario
por persona en New Providence está entre
cuáles dos valores.
• m ± 1s = 20 ± 1(5). Esto es, cerca de 68% del
consumo diario de agua está entre 15 y 25
galones.
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
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7-12
EJEMPLO 3
• ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de
New Providence seleccionada al azar use
menos de 20 galones por día?
• El valor z asociado es z = (20- 20) /5 = 0. Así,
P( X<20) = P( z <0) = .5
• ¿Qué porcentaje usan entre 20 y 24 galones?
•El valor z asociado conX = 20 es z = 0 y con X
= 24, z = (24 - 20) /5 = .8. Así, P(20<X<24) =
P(0<z<.8) = 28.81%
http://www.math.csusb.edu/faculty/stanton/probstat/normal_distribution.html
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Distribución de Probabilidades
32
r
. 4
0
. 3
0
. 2
0
. 1
l
i
EJEMPLO 3
t r
b
u
i o
n
:
m
=
0
,
P(0 < z < .8)
= .2881
f ( x
0
a
0 < X < .8
. 0
- 5
-4
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-3
-2 -1
x
0
1
Distribución de Probabilidades
2
3
4
33
7-14
EJEMPLO 3 continuación
• ¿Qué porcentaje de la población utiliza entre
18 y 26 galones?
• El valor z asociado conX = 18 es z =(18
- 20) /5 =-.4, y paraX = 26, z = (26 - 20) /5 =
1.2. Así, P(18<X<26)
= P(-.4<z<1.2) = .1554 + .3849 = .5403
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
34
7-15
EJEMPLO 4
• El profesor Mann determinó que el promedio final
en su curso de estadística tiene una distribución
normal con media de 72 y desviación estándar de
5. Decidió asignar las calificaciones del curso de
manera que 15% de los alumnos reciban una
calificación de A. ¿Cuál es el promedio más bajo
que un alumno puede tener para obtener una A?
•Sea X el promedio más bajo. Encuentre X de
manera que P( X >X) = .15. El valor z
correspondiente es 1.04. Así se tiene
(X - 72) / 5 = 1.04, o X = 77.2
Probabilidad y Estadística
Distribución de Probabilidades
35
r
. 4
0
. 3
0
. 2
0
. 1
l
i
EJEMPLO 4
t r
b
u
i o
n
:
m
=
0
,
s2
=
1
Z=1.04
f ( x
0
a
15%
. 0
-
0 1 2 3 4
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Distribución de Probabilidades
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7-17
EJEMPLO 5
" La cantidad de propina que un mesero recibe por
turno en un restaurante exclusivo tiene una
distribución normal con media de $80 y desviación
estándar de $10. Shelli siente que ha dado un mal
servicio si el total de sus propinas del turno es menor
que $65. ¿Cuál es la probabilidad de que ella haya
dado un mal servicio?
" SeaX la cantidad de propina. El valor z asociado con
X = 65 es z = (65 - 80) /10 =-1.5. Así P( X <65) =
P(z<-1.5) =.5- .4332 = .0668.
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Distribución de Probabilidades
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6-24
EJEMPLO 4
• Del EJEMPLO 3, recuerde que p =.2 y n=14.
• Así, la media= n p = 14(.2) = 2.8.
• La varianza = n p (1 - p ) = (14)(.2)(.8) =2.24.
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¿Qué hemos visto?

Distribución de Probabilidad
 Variable Aleatoria
 Población de estudio

Distribución de Probabilidad Discreta
 Media
 Varianza
 Desviación Estándar
 Distribución Binomial

Distribución de Probabilidad Continua
 Distribución Normal
 Características de la Distribución Normal
 Cálculo de valores de Z
 Probabilidad entre dos puntos
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Distribución de Probabilidades
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MENSAJES OCULTOS
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