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MODELOS PROBABILISTICOS
Modelos probabilísticos
Un modelo probabilístico, es la forma que pueden tomar un conjunto
de datos obtenidos de muestreos de datos con comportamiento que
se supone aleatorio.
Los modelos probabilísticos más típicos son:




Distribución Binomial.
Distribución Poisson.
Distribución T de Student.
Distribución Normal: usada ampliamente en muestras
mayores a 30 datos.
 Distribución Chi Cuadrado: usada en muestras pequeñas.
 Distribución F-Snedecor: usada para controlar la varianza de 2
distribuciones.
Variables Discretas.
Una distribución de probabilidades para una variable aleatoria
discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los
resultados numéricos posibles para esa variable aleatoria tal que
una probabilidad específica de ocurrencia se asocia con cada
resultado.
El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio
ponderado de todos los posibles resultados, donde las
ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada uno de
los resultados.
Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable discreta de interés.
P (Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X
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MODELOS PROBABILISTICOS
La varianza de una variable aleatoria discreta (s 2) se define como
el promedio ponderado de los cuadros de las diferencias entre cada
resultado posible y su media (los pesos son las probabilidades de
los resultados posibles).
Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable discreta de interés.
P (Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de X
Las distribuciones de probabilidades discretas más importantes son:
 Distribución Binomial.
 Distribución de Poisson.
DISTRIBUCION BINOMIAL
La distribución binomial es una distribución de probabilidades que
surge al cumplirse cinco condiciones:
1. Existe una serie de N ensayos,
2. En cada ensayo hay sólo dos posibles resultados,
3. En cada ensayo, los dos resultados posibles son mutuamente
excluyentes,
4. Los resultados de cada ensayo son independientes entre si, y
5. La probabilidad de cada resultado posible en cualquier ensayo
es la misma de un ensayo a otro.
Cuando se cumple estas condiciones, la distribución binomial
proporciona cada resultado posible de los N ensayos y la
probabilidad de obtener cada uno de estos resultados.
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Para este tipo de distribución de probabilidad, la función matemática
es la siguiente:
Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dados los parámetros n y p
n = tamaño de la muestra
p = probabilidad de éxito
1 – p = probabilidad de fracaso
X = numero de éxitos en la muestra (X = 0, 1, 2,…….. n)
El término
indica la probabilidad de obtener X éxitos
de n observaciones en una secuencia específica. En término
indica cuantas combinaciones de los X éxitos entre n
observaciones son posibles.
Entonces dado el número de observaciones n y la probabilidad de
éxito p, la probabilidad de X éxitos es:
P(X) = (numero de de secuencia posibles)
X (probabilidad de una secuencia específica)
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Ejercicios:
1. En el año 2005-06 en una granja de las proximidades de
Zaragoza, el 80% de las cerdas en celo fueron inseminadas con
éxito. ¿Cuál es la probabilidad de que inseminemos con éxito al
menos a 3, si cogemos un grupo de 10 cerdas al azar?
- Como nos dan la probabilidad de éxito, y el número de cerdas que
vamos a inseminar, sabemos que se trata de una Distribución
Binomial. B (10, 0'8)
- Por tanto sólo hemos de aplicar la fórmula, teniendo en cuenta que
nos piden la probabilidad de éxito en al menos 3 cerdas
inseminadas, es decir, la probabilidad de que tengamos éxito en
más de tres cerdas. Aplicamos la fórmula de la Distribución
Binomial en P(X>3).
P (X>3) = 1- P (X<3) = 1- [P (X=0) + P (X=1) + P (X=2) + P (X=3)] =
0.99
- Tenemos un 99% de probabilidad de que queden inseminadas
más de 3 cerdas.
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2. Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que
produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad
de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.
Solución:
Se trata de una distribución binomial de parámetros B (50, 0'007) y
debemos calcular la probabilidad p(X=1).
3. La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72.
Calcula la probabilidad de a que una vez administrada a 15
pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad
b) Todos sufran la enfermedad
c) Dos de ellos contraigan la enfermedad
Solución:
Se trata de una distribución binomial de parámetros B (15, 0'72)
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4. La probabilidad de que el carburador de un coche salga de
fábrica defectuoso es del 4 por 100. Hallar:
a) El número de carburadores defectuosos esperados en un lote de
1000
b) La varianza y la desviación típica.
Solución:
DISTRIBUCIÓN DE POISSON.
Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados
por unidad de área, tiempo, pieza, etc., etc.,
- # de defectos de una tela por m2
- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto,
etc., etc.
- # de bacterias por cm2 de cultivo
- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc.,
etc.
- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc.,
etc.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad
de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:
p( x , ) 
x 
x!
Donde:
p(x,) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número
promedio de ocurrencia de ellos es 
 = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o
producto
 = 2.718
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x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que
ocurra
Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos
que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al
azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro
intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área
dada y cada producto es independiente de otro producto dado.
Ejercicios:
1. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día,
¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro
cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos
en cualquiera de dos días consecutivos?
Solución:
a) a)
x = variable que nos define el número de cheques
sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0,
1, 2, 3,....., etc., etc.
 = 6 cheques sin fondo por día
 = 2.718
( 6 )4 ( 2.718 )6 ( 1296 )( 0.00248 )
p( x  4,  6 ) 

 0.13392
4!
24
b)
x= variable que nos define el número de cheques sin fondo
que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2,
3,......, etc., etc.
 = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan
al banco en dos días consecutivos
Nota:  siempre debe de estar en función de x siempre o
dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.
( 12 )10( 2.718 )12 ( 6.191736410 )( 0.000006151 )
p( x  10,  12 ) 

 0.104953
10!
3628800
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2. En la inspección de hojalata producida por un proceso
electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en
promedio por minuto. Determine las probabilidades de
identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos
imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección
en 15 minutos.
Solución:
a) a)
x = variable que nos define el número de
imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos = 0, 1,
2, 3,...., etc., etc.
 = 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3
minutos en la hojalata
p( x  1,  0.6 ) 
( 0.6 )1( 2.718 )0.6 ( 0.6 )( 0.548845 )

 0.329307
1!
1
b) X = variable que nos define el número de
imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos = 0, 1, 2,
3,...., etc., etc.
 = 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5
minutos en la hojalata
 ( 1 )0 ( 2.718 )1 ( 1 )( 2.718 )1 
 
p( x  2,3,4,etc....  1 )  1  p( x  0,1,  1 )  1  

0!
1!


=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416
c)
X = variable que nos define el número de
imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutos = 0,
1, 2, 3,....., etc., etc.
 = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones en promedio por cada
15 minutos en la hojalata
( 3 )0 ( 2.718 )3 ( 3 )1( 2.718 )3
p( x  0,1,  3 )  p( x  0,  3 )  p( x  1,  3 ) 


0!
1!
= 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106.
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Distribuciones Continuas.
Una va continua X es aquella que puede tomar cualquiera de los
infinitos valores existentes dentro de un intervalo, tiene un conjunto
infinito de valores no numerables; esto es, si para algún a < b,
cualquier número x entre a y b es posible.
Al considerar las variables continuas es probable que los datos
recabados no sean completamente exactos, o dos o más de ellos
no coincidan, por lo que se tiene que trabajar en intervalos.
 Distribución T de Student.
 Distribución Normal: usada ampliamente en muestras
mayores a 30 datos.
 Distribución Chi Cuadrado: usada en muestras pequeñas.
 Distribución F-Snedecor: usada para controlar la varianza de 2
distribuciones.
T de Student.
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una
distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la
media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño
de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la
determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y
para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia
entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la
desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir
de los datos de una muestra.
La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del
cociente:
Donde
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Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
V tiene una distribución chi-cuadrado con ν grados de libertad
Z y V son independientes



Si μ es una constante no nula, el cociente
es una variable
aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con
parámetro de no-centralidad μ.
Ejercicios:
1. Los valores de las matriculas de estudiantes de una universidad
privada tienen un comportamiento aproximadamente normal, donde
el promedio es de 2.100.000. Se seleccionan 8 liquidaciones,
siendo los valores siguientes: 1.950.000, 2.100.000, 2.250.000,
1.890.000, 2.250.000, 1.950.000, 2.050.000, 2.350.000. Determine
la probabilidad que:
a) El promedio sea menor de 2.000.000
b) El promedio se encuentre entre 2.000.000 y 2.200.000
c) El promedio sea mayor o igual a 2.500.000
Solución:
σ
μ
Sea x = Liquidación de matriculas
μ = 2.100.000; σ=?
= 2.098.750; s= 168.644.8085; n= 8
t 
X 
s
n
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a) P( <2.000.000)=
P(t<(2.000.000-2.100.000)/(168644.8085/2.8284)=P(t<-1.677)
La probabilidad se encuentre entra 0.9 y 0.95, según la tabla T, no
obstante, al T ser negativo, la probabilidad está entre 0.1 y 0.05, es
decir, los valores complementarios.
b) P(2.000.000<
< 2.200.000)=P(
2.200.000)-P(
<=
2.000.000)
Tipificamos: P (t<3.35)-P (t<-1.677)=0.995-0.075=0.92
Existe una alta probabilidad que el promedio de las matriculas se
encuentre entre 2.000.000 y 2.200.000
c) P(
>2.500.000)=P(t>6.70)=1-P(t<6.70)=1-1=0
Dado que el valor de 6.70 es mucho mayor que el ubicado en la
tabla de 3.49 y corresponde a 0.995, es claro, entonces, que para
valores mayores de 3.49, la probabilidad será de 1.
Por lo tanto, la probabilidad que el promedio de matricula sea
superior a 2.500.00 es cero.
2. Los puntajes de un grupo de estudiantes se comportan normal,
con promedio de 50, sin embargo, no se conoce la desviación. Se
tomó una muestra aleatoria de 9 estudiantes encontrando una
varianza de 36 y un promedio de 52. Cual es la probabilidad que el
promedio:
a) Sea mayor de 54?
b) Sea menor de 54?
c) Esté comprendido entre 48 y 52 puntos?
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Solución:
Sea x = Puntaje estudiantes
Μ = 50 puntos; σ=?
=52; S2=36; s=6; n=9
a) P ( >54)=1-P (t< (54-50)/ (6/3))= 1-P (t<2)= 1-0.9625=
0.0375
La probabilidad que el promedio del puntaje de los estudiantes
sea mayor de 54 es muy baja, 0.0375.
b) P (
<54)=P(t<(54-50)/(6/3))=P(<2)=0.9625.
Por el contrario de lo anterior, es muy probable que el promedio
del puntaje de los estudiantes sea menor de 54, esta
probabilidad equivale al 0.9625.
c)P(48< <52)= P( <52)-P( 48)=P(t<(52-50)/(6/3))-P(t<(4850)/(6/3))= P(t<1)-P(t<-1)=0.825-(1-0.825)=0.65
La probabilidad es de 0.65, se aprecia que al ser simétrica la
distribución t, se calcula la probabilidad utilizando el inverso.
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Distribución Normal
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones
estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización,
justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos
fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta
distribución.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de
densidad cuya gráfica tiene forma de campana.
En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo
B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez
mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a
una curva en "forma de campana".
En resumen, la importancia de la distribución normal se debe
principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos
naturales que siguen el modelo de la normal







Caracteres morfológicos de individuos (personas,
animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas,
pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...
Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una
misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad
de abono.
Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto
producto por un mismo grupo de individuos,
puntuaciones de examen.
Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente
intelectual, grado de adaptación a un medio,...
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson
son aproximaciones normales, ...
Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de
muchos factores.
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FUNCIÓN DE DENSIDAD
Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el
modelo de la función de densidad que corresponde a tales
distribuciones viene dado por la fórmula
Representación gráfica de esta función de densidad.
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La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media
y su desviación típica y la representamos así
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN




Puede tomar cualquier valor (- ¥, + ¥)
Son más probables los valores cercanos a uno central que
llamamos media m
Conforme nos separamos de ese valor m , la probabilidad va
decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es
simétrica).
Conforme nos separamos de ese valor m, la probabilidad va
decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de
un parámetro s, que es la desviación típica.
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F(x) es el área sombreada de esta gráfica
TIPIFICACIÓN
Por tanto su función de densidad es
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y su función de distribución es
Siendo la representación gráfica de esta función
a la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva
de su función de densidad curva normal tipificada.
Característica de la distribución normal tipificada (reducida,
estándar)





No depende de ningún parámetro
Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica
es 1.
La curva f(x) es simétrica respecto del eje OY
Tiene un máximo en este eje
Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1
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Aproximación de la Binomial por la Normal (Teorema de De
Moivre):
Demostró que bajo determinadas condiciones (para n grande y
tanto p como q no estén próximos a cero) la distribución Binomial
B(n, p) se puede aproximar mediante una distribución normal
Debemos tener en cuenta que cuanto mayor sea el valor de n, y
cuanto más próximo sea p a 0.5, tanto mejor será la aproximación
realizada. Es decir, basta con que se verifique
Gracias a esta aproximación es fácil hallar probabilidades
binomiales, que para valores grandes de n resulten muy laboriosos
de calcular.
Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta
transformación de una variable discreta (binomial) en una variable
continua (normal) es necesario hacer una corrección de
continuidad.
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Ejercicios:
1. En una ciudad se estima que la temperatura
máxima en el mes de junio sigue una distribución
normal, con media 23° y desviación típica 5°.
Calcular el número de días del mes en los que se
espera alcanzar máximas entre 21° y 27°
2. La media de los pesos de 500 estudiantes de un
colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg.
Suponiendo que los pesos se distribuyen
normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:
a) Entre 60 kg y 65 kg.
b) Más de 90 kg.
c) Menos de 64 kg.
d) 64 kg.
e) 64 kg o menos.
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Solución:
a)
Entre 60 kg y 65 kg.
b) Más de 90 kg.
C) Menos de 64 kg.
d) 64 kg.
e) 64 kg o menos.
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3. Tras un test de cultura general se observa que las
puntuaciones obtenidas siguen una distribución una
distribución N (65, 18). Se desea clasificar a los
examinados en tres grupos (de baja cultura general, de
cultura general aceptable, de excelente cultura general)
de modo que hay en el primero un 20% la población, un
65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de
ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al
otro?
Solución:
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 Baja cultura hasta 49 puntos.
 Cultura aceptable entre 50 y 83.
 Excelente cultura a partir de 84 puntos.
Distribución Chi Cuadrado
En estadística, la distribución χ² (de Pearson) es una distribución de
probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados
de libertad de la variable aleatoria:
Donde Zi son variables de distribución normal, de media cero y
varianza uno. El que la variable aleatoria X tenga esta distribución
Se representa habitualmente así:
.
Es conveniente tener en cuenta que la letra griega χ se transcribe al
latín como chi1 y se pronuncia en castellano como ji.2 3
La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia
estadística, por ejemplo en la denominada prueba χ² utilizada como
prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en
la estimación de varianzas. También está involucrada en el
problema de estimar la media de una población normalmente
distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de
regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student,
y participa en todos los problemas de análisis de varianza, por su
papel en la distribución F de Snedecor, que es la distribución del
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cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución
χ².
Ejercicios:
Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 5
2
observaciones, de una población normal con varianza  = 1, tenga
una S2 .265.
Solución
Establecer datos
Con los cinco datos muéstrales que nos dan calcular la varianza
muestral:
n=5
S2 = 0.2650
2= 1
Determinar la variable aleatoria relacionada
2 
S2 (n 1 )
2
Elaborar gráfica del problema
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P (S2  0.2650) = ?
2
Encontrar el valor de 
 
2
S 2 ( n 1)

2
=
.2650 (5 1)
 1.06
1
Encontrar la probabilidad
2
P (   1.06) = 0.90
Se tiene una probabilidad de 0.90 que el valor de la varianza
muestral sea mayor o igual a 0.265.
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Distribución F-Snedecor
Es una distribución de probabilidad de gran aplicación en la
inferencia estadística , fundamentalmente en la contrastación de la
igualdad de varianzas de dos poblaciones normales, y ,
fundamentalmente en el análisis de la varianza , técnica que
permite detectar la existencia o inexistencia de diferencias
significativas entre muestras diferentes y que es, por tanto esencial ,
en todos aquellos casos en los que se quiere investigar la
relevancia de un factor en el desarrollo y naturaleza de una
característica.
La distribución se plantea partiendo de dos variables X e Y tales
que:
es decir una chi2 con m grados de libertad
es decir una chi2 con n grados de libertad;
de manera que si establecemos el cociente
, es decir el
cociente entre ambas chi2 divididas a su vez, por sus
correspondientes grados de libertad tendremos que la función F
corresponde a una distribución F de Snedecor con m y n grados de
libertad ; es decir una
Queda claro por tanto que la distribución F de Snedecor tiene dos
parámetros, que son m y n; grados de libertad del numerador,
grados de libertad del denominador.
Dado que se trata de un cociente entre dos chi2 su forma (gráfica
de la función de densidad)será parecida a la de ésta distribución ,
por lo que estará sólo definida para el campo positivo de la variable
y su apariencia variará según los grados de libertad ; estando más
próxima la densidad de probabilidad a los valores próximos a cero
de la variable , cuando los grados de libertad ( sus parámetros)
sean bajos.
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La función de densidad de la F de Snedecor viene dada por
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Siendo m y n los parámetros de la función (distribución) y
función gamma de Euler
la media de la distribución es
varianza cuando n> 4
la
si n > 2 siendo la
Lógicamente si
su inversa
lo que ayuda al
cálculo de probabilidades para distintos valores de la variable
mediante la utilización de tablas , caso que no es el nuestro pues
estos los realizamos mediante un programa que incluimos , no
obstante ,a modo de ejemplo , plantemos:
Si X
resultado es 0,13
Luego
y nos interesa el cálculo de
dicho
luego
Como curiosidad tenemos que una F con un grado de libertad en el
numerador y n en el denominador, no es más que el cuadrado de
una t de student con n grados de libertadad dado que:
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Dado que:
Una
luego una:
Siendo una
una
Ejercicio:
1. Si
y
representan las varianzas de muestras aleatorias
independientes
poblaciones
de
tamaño
normales
con
y
varianzas
,
tomadas
de
y
respectivamente, encuentre
Solución:
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