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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
MEDIDAS DE VARIABILIDAD
Psic. Gerardo A. Valderrama M.
¿QUÉ ES VARIABILIDAD?
Variabilidad se refiere a qué tan alejados de la media
aritmética están los datos.
2.
Las medidas de variabilidad cuantifican la magnitud de
la dispersión de los datos con relación a la media
aritmética
3.
Tipos de medidas de variabilidad:
3.1. LAS QUE NO CONSIDERAN LA MEDIA

Amplitud

Percentiles
3.2. LAS QUE CONSIDERAN A LA MEDIA

La desviación media

Varianza

Desviación estándar
1.
MEDIDAS DE VARIABILIDAD QUE NO
PARTEN DELA MEDIA ARITMÉTICA
1.




LA FLUCTUACIÓN
Se trata de la diferencia entre el puntaje
mayor y el puntaje menor de la muestra
Se le suma 1 para considerar la
corrección por continuidad
Fórmula:
F = Xma – Xme + 1
Fortalezas y debilidades
LOS PERCENTILES
1.
2.
3.
4.

Se refiere a un puntaje que deja por
debajo de si a cierto % de la distribución
Para su cálculo se requiere que los datos
estén organizados de menor a mayor
Es una medida de Posición por lo cual se
requiere que se encuentre el lugar
Fórmula:
Px = Li + (%n - ∑fa) (i)
fi
I
5-9
10-14
f
3
8
Fa
3
11
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
16
17
12
7
5
4
2
2
1
1
78
27
44
56
63
68
72
74
76
77
78
Px = Li + (%n - ∑fa) (i)
fi
1.
2.
3.
4.
5.
6.
¿Cuál es el valor del P40 ?
Lugar(%n): (0.40) (78) = 31.2
Li = 19.5
fa = 27
fi = 17
ti = 5
P40 = 19.5 + (31.2 – 27) (5)
17
P40 = 19.5 + 1.24 = 20.74
MEDIDAS DE VARIABILIDAD QUE
TOMAN EN CONSIDERACIÓN A LA
MEDIA ARITMÉTICA

LA DESVIACIÓN DE LOS DATOS
1.
2.


Los puntajes de desviación nos indican
que tan lejos está el dato en bruto con
respecto a la media de la distribución
La desviación (d):
X–X
Puntaje de desviación de datos
muestrales
X-
Puntajes de desviación de
datos poblacionales
LA DESVIACÍÓN MEDIA
1. DM: medida de variabilidad que parte de la
media aritmética
2. Definición: promedio de desviaciones absolutas
alrededor de la media aritmética
3. Fórmula para datos no agrupados:
DM = ∑! X – X ! = ∑! d !
n
n
4. Fórmula para datos agrupados en intervalos
DM = ∑f (!pm - X!) = ∑(f!d!)
n
n
I
F
Pm
!d!
f(d)
65-69
2
67
27,64
55,28
70-74
1
72
22,64
22,64
75-79
4
77
17,64
70,56
80-84
9
82
12,64
113,76
85-89
8
87
7,64
61,12
90-94
17
92
2,64
44,88
95-99
5
97
2,36
11,8
100-104
8
102
7,36
58,88
105-109
5
107
12,36
61,8
110-114
4
112
17,36
69,44
115-119
5
117
22,36
111,8
120-124
2
122
27,36
54,72
∑ = 70
X
94.64
∑= 736.68
1.
2.
3.
4.
5.
Calcule la media
Reste cada PM de
la media: l d l
Multiplique cada d
por su frecuencia:
fd
Sume la columna
fd
Calcule la DM:
DM = ∑ l fd l
n
DM = 736.68
78
DM = 9.44
MEDIDAS DE VARIABILIDAD QUE
PARTEN DE LA MEDIA
LA VARIANZA
1. Representación simbólica de la varianza
 Para datos poblacionales: 2
 Para datos muestrales : S2
2. Fórmulas para su cálculo:
 2 = ∑(X - )2 / N (datos no agrupados)
 S2 = ∑(X – X)2 / n (datos no agrupados)
 ∑(X –X )2 = Suma de cuadrados
1.2 = ∑(X - )2 / N
SC / N
• SC = ∑(X – M)2
• Sc = ∑X2 – (∑X)2
N
2.S2 = ∑(X – X)2 / n-1
• SC = ∑(X – X)2
• Sc = ∑X2 – (∑X)2
n
SC /n-1
DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Para poblaciones
 = √ ∑(X - )2 / N
=
√SC / N
2.
Para muestras

S = √∑(X – X)2 / n-1
S = √SC / n
1.


S2 y S para muestras organizadas en
Tablas de Frecuencias
1.
VARIANZA : S2
S2 = ∑(fpm2) - X2
n
2. DESVIACIÓN ESTÀNDAR: S
S2 =
∑(fpm2) - X2
n
S2 y S PARA MUESTRAS SIMPLES
X
X–X
18
19
24
25
28
26
28
30
22
21
-6.1
-5.1
-0.1
0.90
3.9
1.9
3.9
5.9
-2.1
-3.1
X = 24.1
(X – X)2
37,21
26.01
0.01
0.81
15.21
36.1
15.21
34.81
4.41
9.61
179.39
1. Calcule la media de los
datos: 24.1
2. Determine la D: (X-X ) de
cada puntaje tomando
en consideración los
signos
3. Eleve al cuadrado cada
diferencia: (X – X)2
4. Calcule la Suma de
Cuadrados (SC) :
∑ (X – X)2 = 179.39
5. Calcule la S2 = 179.39
9
S2 = 19.943
6. Calcule la S: √ 19.93
S = 4.46
I
f
pm
fpm
fpm2
65-69
2
67
134
8978
70-74
1
72
72
5184
75-79
4
77
308
23716
80-84
9
82
738
60516
85-89
8
87
696
60552
90-94
17
92
1564
143888
95-99
5
97
485
47045
100-104
8
102
816
83232
105-109
5
107
535
57245
110-114
4
112
448
50176
115-119
5
117
585
68445
120-124
2
122
244
29768
6625
638745
Total
∑ = 70
1. Calcule la media muestral:
94.64
2. Multiplique cada frecuencia
por el punto medio: fpm
3. Multiplique cada fpm
nuevamente por el pm: fpm2
4. Sume la columna fpm2 :
638,745
5. Calcule la S2 :
S2 = 638,745 - (94.64)2
70
S2 = 168.20
6. Calcular la S :
S = √ 168.20 = 12.97
•
PROPIEDADES DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR:
1.Proporciona una medida de dispersión de los
puntajes con respecto a la media aritmética
2.La desviación estándar es sensible a cada uno
de los datos de la distribución
3.Igual que la media, la desviación estándar es
estable con respecto a las variaciones debidas
al muestreo
4.Al igual que la media aritmética, puede
manipularse algebraicamente. Esto permite
realizar cálculos matemáticos con ellas para
utilizarlas en estadística inferencial.
ASIMETRÍA
SIMETRÍA es el grado de equilibrio que presentan
las puntuaciones a ambos lados de la tendencia
central

μ ≈ Md ≈ Mo: la distribución tiende a ser simétrica
2. ASIMETRÍA es la falta de equilibrio que presentan las
puntuaciones a ambos lados de la tendencia central

μ ≠ Md ≠ Mo: la distribución tiende a ser asimétrica
3. Los datos que provienen de las muestras son
asimétricos, o sea, que sus medidas de tendencia
central serán diferentes
4. Unicamente en la CURVA NORMAL existe simetría, o
sea: μ = Md = Mo
1.
ASIMETRÍA
TIPOS DE ASIMETRIA
SIMÉTRICA
Asimetría positiva
Asimetría negativa
COEFICIENTE DE ASIMETRÍA
1.
La asimetría se puede calcular a través
del CA: coeficiente de asimetría de
Pearson

CA1: Media - Moda
S
CA2: 3(Media – Mediana)
S

CURTÓSIS

Al igual que en la asimetría, hay diversos métodos para
calcular la curtósis. A continuación presentamos uno de
ellos:
K= coeficiente de curtosis percentílico, cuya fórmula
es la siguiente:
K=
Q___
Donde:
P90 - P10
K = coeficiente de curtósis percentílico
Q = desviación intercuartil = Q3 – Q1
2
P90 : percentil 90

P10 : percentil 10





