Download Lógica Proposicional

Lógica de enunciados
(o lógica proposicional)
Ejemplos de enunciados
•
•
•
•
Cuba es una isla en el Pacífico
2+2=4
Vicente Fox es el presidente de Guatemala
Vicente Fox no es el presidente de
Guatemala y sí es el presidente de México
enunciado
• Secuencia de símbolos
(oración escrita o
emitida oralmente)
+ Proposición
(significado del
enunciado en virtud
del cual el enunciado
es verdadero o falso)
Enunciados simples
•
•
•
•
Tegucigalpa es la capital de Honduras
2+2=4
El Sol es una estrella
Vincente Fox es el presidente de México en
el año 2005
• La UNAM tiene más de 250 mil estudiantes
Enunciados complejos
• Tegucigalpa es la capital de Honduras y San José
es la capital de Costa Rica
• Juan sabe que Tegucigalpa es la capital de
Honduras
• Juan cree que San José es la capital de Costa Rica
• Necesariamente 2+2 = 4
• Es posible que Pedro no sepa que Tegucigalpa es
la capital de Honduras
Enunciados complejos
• Se distingue entre enunciados complejos
intensionales y enunciados complejos
extensionales
• La base de la distinción es el llamado “principio
de sustitución de equivalentes”
Tegucigalpa es la capital de Honduras y Managua la
capital de Nicaragua
• “Tegucigalpa es la capital de Honduras” es
equivalente a “Lima es la capital de Perú”
• Lima es la capital de Perú y Managua la capital de
Nicaragua
Paris es la capital de Honduras y Managua la capital
de Nicaragua
• “Paris es la capital de Honduras” es equivalente a
“Lima es la capital de Argentina”
• Lima es la capital de Argentina y Managua la
capital de Nicaragua
Juan cree que Tegucigalpa es la capital de Honduras
• “Tegucigalpa es la capital de Honduras” es
equivalente a
“Roma es la capital de Italia”
• Juan cree que Roma es la capital de Italia
Juan cree que Montevideo es la capital de Argentina
• “Montevideo es la capital de Argentina” es
equivalente a “San José es la capital de Chile”
•
Juan cree que San José es la capital de Chile
Principio sustitución de equivalentes
Sea C una oración compleja, A una
oración componente de C, B
cualquier oración, y C* el resultado
de substituir a A por B en C :
Si A tiene el mismo valor de verdad
que B, entonces C tiene el mismo
valor de verdad que C*.
Enunciados complejos
• Enunciados complejos extensionales
(respetan siempre el principio de sustitución de
equivalentes)
• Enunciados complejos intensionales
(no siempre respetan el principio de sustitución de
equivalentes)
Operadores
• Intensionales : forman enunciados
intensionales (ejemplos: “es necesario
que”, “es obligatorio que”)
• Extensionales: forman enunciados
extensionales (ejemplos: “y”, “o”, “no
es el caso que”
Operadores importantes del lenguaje coloquial
•
•
•
•
•
y
O
Si..., entonces
No es el caso que
Si y solo si
Usos que corresponden a funciones
lógicas diferentes
• “y” en “Juan y Pedro son hermanos” tiene
un función lógica diferente de la usada en
“Juan es alto y Pedro es bajo”
• “o” a veces se usa en sentido exclusivo y
otras en sentido inclusivo.
• “Si...entonces” tienen usos extensionales e
intensionales
Es necesario expresar en forma
precisa la función lógica de ciertos
usos de cada uno de los operadores
mencionados. Con este fin,
introduciremos un lenguaje formal,
el cual llamaremos LE
Lenguaje formal LE:símbolos básicos
• Parámetros de enunciados: letras
mayúsculas del alfabeto
• Símbolos lógicos : (, ), , , , , 
Semántica de símbolos lógicos de
LE
• Semántica informal: usando el lenguaje
coloquial para interpretar cada símbolo. Por
ejm., “” habrá de significar lo mismo que
“y”. Problema: ambigüedad y falta de
precisión de los operadores coloquiales
• Semántica formal: usando tablas de verdad
Reglas de construcción de
fórmulas de LE
• Todo parámetro de enunciado es una
fórmula de LE
• Si  es una fórmula de LE, entonces 
• Si  y  son fórmulas de LE, entonces ( 
), (  ), (  ) y (  ) son
fórmulas de LE
Ejemplos fórmulas de LE
•
•
•
•
•
(A  B)
( A  M)  (H R)
((D  B)  H)
(I   C)  ( A  M)
(A  B)  (C  H)
Tabla de conjunción


 
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Tabla de disyunción



V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Tabla de negación


V
F
F
V
Tabla de equivalencia material



V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Tabla de implicación material



V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Símbolo para consecuencia lógica

Ejemplo razonamiento en LE
AB
B
 A
Prueba de validez lógica por tablas de verdad
B
A
A
B
AB
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
P1
P2
C
Prueba de validez lógica de razonamientos en
lenguaje coloquial: procedimiento
• Traducir del lenguaje coloquial a LE
•
Determinar la validez de la traducción
mediante tablas de verdad
Un razonamiento en lenguaje coloquial
Si aumentan la inflación y quiebran algunas
empresas, entonces aumentará la criminalidad.
Aumentará la inflación y alguna empresas
quebrarán.
Por lo tanto, aumentará la criminalidad.
Traducción del razonamiento
• A: aumenta la inflación
• E: algunas empresas quiebran
• C: aumentará la criminalidad
• (A  E)  C
• AE
• C
Prueba de validez de la traducción
(A  E)
(AE)  C
A
E
C
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
C
P2
P1
Ámbito de confiabilidad del método
 Un razonamiento en lenguaje coloquial será válido intuitivamente,
si la traducción de ese razonamiento a LE es dictaminada por el
método como un razonamiento válido en LE.
Si un razonamiento es intuitivamente inválido, entonces ese
procedimiento siempre dictaminará su traducción a LE como
inválido.
Limitación del método
 Si un razonamiento en lenguaje coloquial es intuitivamente válido, es
posible que el método dictamine que la traducción de ese razonamiento a
LE es inválido
 Origen de esta limitación: el análisis de los razonamientos no penetra
en la estructura lógica interna de los enunciados simples, lo cual no
revela posibles relaciones lógicas entre las expresiones componentes de
los enunciados simples
Ejm. de razonamiento válido no cubierto
por el método
Todos los gatos son animales
Todos los animales son mortales
Por lo tanto, todos los gatos son mortales
Verdades lógicas de LE:
TODA FÓRMULA QUE RESULTA
VERDADERA BAJO CUALQUIER
ASIGNACIÓN DE VALORES A
LOS PARAMETROS DE
ENUNCIADOS COMPONENTES
DE LA FÓRMULA
Ejemplo de tautología
A
AA
V
V
F
V
Sistematización de razonamientos válidos y
tautologías de LE
• Mediante un sistema formal axiomático:
axiomas y reglas
• Mediante un sistema formal de reglas de
deducción natural: sólo reglas
En el caso de LE, se han construido sistemas
formales que
• Permiten derivar todas las tautologías
• Permiten derivar todos los razonamientos
válidos en LE
Y, por otro lado,
• Todo enunciado derivable de tales sistemas
formales es una tautología
• Todo razonamiento derivable de tales
sistemas es válido