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Transcript
RAFAEL SOTO BAYLÓN
Mi más sincero agradecimiento a Isela de Pablo Porras, Norma Jiménez Carlos, Luz María
Rascón, Ma. del Carmen Arellanes, Lidia Córdova, Melissa Sicairos, Brenda Sánchez, Enrique
Pallares R., Esteban Gasson, David Gaytán Cabrera y a Victor Hugo Domínguez por sus
invaluables sugerencias, estímulos, apoyos, consejos, colaboraciones y correcciones que
mejoraron notablemente el resultado final y la presentación de este diccionario.
Asimismo, a Amaury y Alexandra quienes, a pesar de ignorar por completo la lógica, sin
colaborar como correctores o capturistas o impresores, fueron elemento importante para que este
trabajo se viera por fin terminado.
PROLOGO
Condillac decía que la ciencia es un
lenguaje bien hecho. De la lógica
hubiera podido decir más: el que está
mejor hecho de los lenguajes. Más que
ningún otro se aproxima a un ideal
inasequible: ser un lenguaje perfecto.
FERRATER MORA & H. LEBLANC.
Hace tiempo, un grupo de estudiantes de la licenciatura en Filosofía -de la Facultad de
Filosofía y Letras de la Universidad Autónoma de Chihuahua- interesados en la lógica y yo,
formamos un equipo de investigación con el propósito de elaborar un diccionario de la ciencia
señalada. La justificación del proyecto era la siguiente: "la lógica moderna, o simbólica,
matemática, formal o simplemente logística, ha sostenido un desarrollo tan grande que los diez
siglos precedidos (cuando Aristóteles formalizó el silogismo), son incomparables cuantitativa y
cualitativamente a los últimos ciento veinte años, desde el momento en que Frege, Peano, De
Morgan y otros matemáticos construyeron una lógica capaz de satisfacer las necesidades de
una justificación lógica a las matemáticas. Hoy la lógica matemática es una herramienta
indispensable para todo aquel que pretenda la consistencia y la coherencia en su pensamiento
racional ya sea filosófico, tecnológico o científico. Es pues, un aparato conceptual básico para
el hombre moderno.
"Pero, el estudio de la lógica es visto por buena parte de los estudiantes como
una disciplina dificil. Se les dificulta comprender términos básicos como `validez',
`enunciado', `proposición', `fórmulas bien formadas', `tautología', etc., y representan
obscuridad a quien se inicia en el estudio de esta ciencia formal." Fueron estos los
moviles de la inquietud de elaborar un diccionario de lógica. Como primera reacción,
nos percatamos de varias dificultades de índole formal y de contenido, pero el reto era
por demás atractivo. No conocíamos por ese entonces ningún diccionario en español
de la materia y creímos necesario elaborarlo.
El plan de trabajo continuaba diciendo que "por ello surgió la necesidad de
presentar a los estudiantes de nivel medio superior y a quienes ingresan a la carrera de
filosofía o áreas afines y se enfrentan por vez primera al estudio de esta disciplina, un
diccionario de términos lógicos elementales en el que puedan encontrar de manera
sistemática y sencilla, el significado y la aplicación y al final una bibliografía básica en
donde puedan encontrar mayor profundidad en el estudio de cada concepto. Es
importante remarcarlo: este diccionario decepcionará a quien domina el tema, pero
será útil a quien se inicie en el estudio de la lógica tanto a nivel preparatoria como en
los primeros semestres de nivel superior. Su finalidad es eminentemente didáctica.
"No se pretende enmarcar en esta investigación todos los conceptos o términos
que se usan en lógica. Es un intento de sistematizar en un diccionario los términos
lógicos más usuales.
El inicio fue de lo más estimulante y nos dimos de inmediato a la tarea de
diseñar el proyecto. Por fin comenzamos a trabajar con entusiasmo. El equipo no
logró, a pesar de nuestros múltiples esfuerzos, llegar a convertirse en un grupo de
trabajo sólido y compacto. El proyecto tuvo que esperar mejores tiempos. Sus primeros
alumnos investigadores ya egresaron y se dedican a sus actividades profesionales.
El abandonado bosquejo contaba con un avance de apenas un 10 o 15 por
ciento según las expectativas iniciales y esperaba, en algún rincón de mi escritorio, a
quien lo hiciera renacer. Invité entonces a otros estudiantes de filosofía quienes
aceptaron e iniciamos otro intento. En poco tiempo mostraron interés y trabajamos
entusiastamente. Los equipos de trabajo son difíciles de integrar y más de conservar.
Durante diez meses, su dedicación dió frutos. Logramos hacer avanzar el proyecto a
casi la mitad de lo propuesto.
Fue la iniciativa del Sindicato del Personal Académico de la Universidad
Autóonoma de Chihuahua, de publicar obras inéditas el que dió el espaldarazo final. Al
conocer la convocatoria, me dí a la tarea tanto de corregir el material a la mano así
como de definir los facilmente más de cien conceptos que faltaban por precisar y es
este el producto final. Sólo espero sea de utilidad.
Chihuahua Chih., Mayo de 1996.
J.R.S.B.
SIMBOLOS EMPLEADOS EN ESTE DICCIONARIO.
CONJUNCION
&
DISYUNCION
v
CONDICIONAL
--
BICONDICIONAL
--
NEGACION
-
MAYOR QUE

¬
^
~
>
MENOR QUE
<
VÉASE
[v]
BREVE
DICCIONARIO DE LÓGICA SIMBÓLICA.
A
Abelardo, Pedro. (Abailard, Pierre) (1079-1142) Nació en Pallet, En el Condado de
Nantes, Francia. Estudió el análisis lógico de la predicación,
advirtiendo que predicar algo de una multiplicidad, es función
que ejercen los vocablos, los cuales convienen con varias
entidades.
Consideró que la verdad y falsedad son
intercambiables en una misma proposición, de acuerdo con
las circunstancias, hace ver que la proposición expresa la
existencia de una cosa o una relación entre cosas; introduce
la cópula como expresión técnica de la lógica, definiéndola
como un enlace intransitivo. También distingue entre la
negación de los términos de una proposición y la negación de
la proposición entera. Formuló una síntesis dialéctica -en el
viejo problema de los universales [v]- de la oposición entre el
realismo y el nominalismo de los conceptos que le valió el
repudio de los seguidores de ambas posiciones. Por ello su
frase más famosa "La lógica me hizo odioso".
Adición, regla de la. Regla de inferencia [v] que establece que a cualquier fórmula
es posible adicionarla con otra cualquier sin modificar su valor de verdad sea el
disyunto[v] que se agrega, falso o verdadero, proque siendo verdadero el primer
disyunto, garantiza la verdad de la fórmula entera. Ejemplos:
p
---pvq
r&s
---------------(r & s) v (m --> g)
p --> q
------(p -->q) v t
p <--> r
-----------(p <--> r) v (p & r)
Algebra de Boole. En el álgebra de los números, cualquier ecuación puede
transformarse de maenraque a uno de sus lados temamos '0'. En el A. de B.
cualquier ecuación puede transformarse de modo que a uno de sus lados
tengamos
Analítica, Filosofía. Si bien los positivistas lógicos [v Positivismo lógico]
practicaron el Análisis Filosófico, e influyeron en la filosofía analítica, no deben
ser confundidas ambas tendencias filosóficas pero sí debe determinarse la
influencia del primero hacia el último. Con las siguientes consideraciones: a)
Existían ya filósofos analíticos antes de que los positivistas lógicos hicieran su
aparición en el mundo de la filosofía. b) Alrededor de los positivistas lógicos se
desarrollaron
seguidores
de
Bertrand
Russell,
de
Moore,
de
las
de
Wittgenstein,
de los analistas cantabrigenses, de los formalistas y todos aquellos cultivadores
de
la
llamada
"filosofía
del
lenguaje
ordinario".
Si los positivistas lógicos detestaba toda metafísica, y si bien esta posición sigue
siendo conservada por algunos filósofos analíticos, otros pensadores piensan
que un sistema filosófico es intolerable sólo cuando pretenda poseer la verdad
absoluta. Los elementos esenciales del pensamiento de los filósofos analíticos
son: 1) es una actividad clasificadora ejercida sobre el único tema que todos los
filósofos están siempre dispuestos a debatir: el lenguaje. 2) se interesan por éste
como medio a través del cual se lleva a cabo el Análisis. 3) es razonable
identificar el análisis filosófico con el análisis lingüístico. 4) el lenguaje común
presenta problemas importantes. 5) el significado puede ser de Símbolos, de
Significaciones, o de Conceptos. puede ser o no formalista, etc. 6) Quinton divide
la filosofía analítica en dos grandes grupos: Tipo 1. Filósofos que han aceptado
las insinuaciones lógicas y metafísicas del lenguaje, y han inferido ciertas
conclusiones sobre el pensar y sobre el mundo a base de las propiedades
gramaticales de las frases usadas con el fin de describirlos. (Formalistas: el
primer Russell, el joven Wittgensten, los atomistas lógicos, los positivistas
lógicos, algunos construccionistas, Carnap y Goodman y diversos lógicos y
filósofos del lenguaje como Quine [v]). b) Tipo 2 es el análisis practicado por
quienes denuncian a los filósofos que por haber considerado el lenguaje como
sirvienta del pensamiento, lo han tratado con desdeñosa falta de respeto
(Filósofos lingüistas. Los filósofos del lenguaje corriente: Moore, el último
Wittgensten y seguidores: Wisdom Malcolm, Anscombe, los filósofos de Oxford
como Ryle, Strawson, Austin, Hare, Warnoch y varios más). Los formalistas
subrayan la importancia de la lógica y tienden a practicar un lenguaje lo más
cercano al usado por los hombres de ciencia. Los lingüistas se apartan del
análisis estrictamente lógico y tienden a practicar un lenguaje semejante usado
por cualquier persona.
Andrónico de Rodas. (-70-50) Filósofo griego que vivió durante el siglo I antes de
Cristo. Peripatético, décimo escolarca del Liceo. Enseñó en Roma. En
colaboración con el gramático Tyranión de Amisos ordenó y dió a la luz una
edición de las obras aristotélicas y de las de Teofrastro, llevadas a Roma por
Sila, que constituyen el cuerpo del aristotelismo actual. Andrónico agrupó en
tratados de estructura unitaria (física, metafísica, política, moral, psicología, etc.)
obras pertenecientes al mismo tema pero que figuraban en tratados sueltos
hasta la época alejandrina. Andrónico, al clasificar las obras del estagirita [v.
Aristóteles] encontró las pertenecientes a las de filosofía primera. Por meras
cuestiones de ordenación las situó después de la física, y las denominó
`metafísica'. Dió con ello el inicio de una nueva disciplina filosófica con objetivos
muy distintos a los de Aristóteles.
Analíticos, enunciados. Un enunciado (o proposición) analítico es aquella que se
supone verdadera -o falsa- exclusivamente en referencia al significado de los
signos que la expresan. Todos los enunciados de la lógica y las matemáticas son
de este tipo sin ser válidas sólo para ellas. También son aplicables a enunciados
o proposiciones semánticas [v] llamadas tautonimias. Así "((p --> q) & p) --> q" y
"5 + 7 = 12" son enunciados o proposiciones analíticas verdaderas dada su
naturaleza formal [v. Ciencias formales]. En cambio "ningún calvo tiene cabello"
o "todos los solteros son hombres no casados" son enunciados analíticos
verdaderos por el significado de "cabello", "calvo", "solteros" y "casados". Otra
de sus característica es que para determinar su verdad -o falsedad- no se
requiere acudir a la experiencia.
Argumento. Son una serie de enunciados [v] o fórmulas [v. fórmulas bien
formadas] que se desempeñan, unos como premisas y otros como conclusiones.
De la o las primeras se infieren [v. inferencia] una o varias conclusiones [v.
conclusión]. Los argumentos deductivos pueden ser válidos [v] o inválidos [v].
Ejemplo: "
[1] Todos los hombres son mortales;
[2] Sócrates es hombre;
[3] por tanto, Sócrates es mortal".
1 y 2 son las premisas [v] y 3 es la conclusión [v].
también es un argumento:
Si estudio, entonces obtendré buenas calificaciones. Estudiaré. Luego, obtendré
buenas calificaciones.
Argumentum ad Baculum. (Apelación a la fuerza) Falacia de atinencia que se
comete cuando se apela a la fuerza o a la amenaza del uso de ésta, para obligar a
la aceptación de una conclusión. "La fuerza hace el derecho" bien podría ser su
lema. su grado de sutileza puede variar. Un padre puede hablarle así a su hijo
"Deberás aceptar mis decisiones, pues no debes olvidar quién manda en esta
casa y no quisiera verte lejos de aquí".
Argumento Contingente. [v. Contingencia lógica]
Argumento Contradictorio. [v. Contradicción lógica]
Argumentum ad hominem. (ofensivo) Falacia de atinencia dirigido contra la
persona y no contra sus argumentos. En vez de refutar la verdad de lo afirmado
por la contraparte, se arremete contra quien la defiende. "Claro que estás en
contra de lo dictado por la Iglesia, pues eres un ateo y toda tu familia lo es
también" es un ejemplo clásico.
Argumentum ad ignorantiam. (Argumento por la ignorancia) Falacia de atinencia
cometida cuando se acepta la veracidad de una afirmación porque no ha podido
demostrarse lo contrario. Así, los creyentes en los OVNIS admiten la existencia
de vida extraterrestre porque simplemente nadie ha podido demostrar que no
existe. Si alguien razona que los "Extraterrestres no existen porque nadie ha
demostrado lo contrario" propondría una posición irreconciliable. Lo falaz es el
sustento que se pretende dar al argumento "nadie ha demostrado lo contrario".
Podemos imaginar el infinito número de entidades que deberíamos aceptar como
existentes porque no ha sido posible demostrar lo contrario: hobres de cinco
metros de altura, fantasmas, el abominable hombre de las nieves; el monstruo
del lago Ness, etc..
Argumentum ad misericordiam. (Llamado a la piedad) Falacia de atinencia
cometida cuando se apela a la piedad, compasión, clemencia o misericordia. En
los diarios, no es difícil leer casos de personas llevadas ante la justicia acusadas
de robo "cuando su delito no es el hurto, sino es definitivamente culpable de ser
pobre, ignorante, desdichado, infeliz por la falta del cariño que sólo una madre
puede dar y que ningún infeliz huérfano sabe qué significa" escribe el reportero.
Argumentum ad verecundiam. (Apelación a la autoridad) Falacia de atinencia
fundamentada en el respeto que siente -o debe sentir- cualquier persona por
personajes o instituciones a las cuales se les supone por encima de cualquier
opinión contraria. Debe distinguirse el apoyo bibliográfico -por ejemploefectuando citas de especialistas en la materia en trabajos de investigación. Lo
incorrecto es defender tal o cual tesis sólo porque una persona, por la cual
sentimos respeto, cree en ella. Sobremanera cuando esa autoridad está fuera del
esquema de su especialidad. "Los extraterrestres existen, porque Jaime Missan,
un gran reportero, cree en ellos". Algunos comerciales, sutilmente, cometen esta
falacia porque se argumenta se nos invita a vestir determinada marca de ropa,
porque un artista, de éxito e indudable talento, lo hace (o al menos lo dice que lo
hace en el anuncio).
Argumento válido, estructura lógica de un. La estructura lógica de un argumento
es válida si y sólo si las premisas implican tautológicamente [v. tautología] la
conclusión, y consecuentemente, si esta es oracionalmente válida.
Ejemplo Si llueve entonces hará frío. Llueve, luego, hace frío. Es un ejemplo
tipico de Modus Ponendo Ponens [v]. Su forma lógica es
[(p --> q) & p] --> q
v v v vv v v
v f f fv v f
f v v ff v v
f v f ff v f
donde no es posible que la conclusión sea falsa y las premisas verdaderas.
Aristóteles. (-384/3-322) Nació en Estagira de Tracia. Hijo de Nicómaco, médico
del rey de Macedonia Amintas II. Fue discípulo de Platón a lo largo de veinte
años, es decir, hasta la muerte del discípulo más distinguido de Sócrates.
Ingresó a la edad de diez y siete o dieciocho años a la Academia inclinado por el
estudio de las ciencias naturales. Dice la tradición Platón lo llamaba "El lector y
la inteligencia de la escuela" Sin embargo, a la muerte de Platón abandonó la
institución posiblemente por al emnos una de éstas tres razones: a) por
desaprobar el énfasis que se daba a las matemáticas y el descuido hacia la
filosofía natural y b) contrariado porque Platón, moribundo, designara a su
sobrino como su sucesor, persona poco distinguida en el mundo intelectual y c)
La enemistad entre Atenas yMacedonia y el temor del estagirita por llegar a ser
considerado promacedonio. Emprendió un viaje particularmente a Asia Menor.
Ahí contrajo matrimonio con Pitia, hermana de su amigo Hermias, tirano de
Atarneo y de Assos. Fundó el Liceo en 335 a. de C. donde se les dió a sus
discípulos el mote de peripatéticos. Este centro de estudio fue instalado en las
afueras de la ciudad, cerca de un jardín consagrado a Apolo Licio y a las musas,
de ahí su nombre. Enseñaba retórica, historia, política y ciencias naturales,
afirmaba que todo hombre libre de poseer todos estos conocimientos. Sus obras
fueron recopiladas y ordenadas por Andrónico de Rodas [v], clasificación de la
cual puede afirmarse que la división de su pensamiento es así: en primer lugar la
filosofía teorética, cuya finalidad es lograr el conocimiento en cuanto tal y no un
objetivo práctico. Suele ser dividido en su Física o filosofía natural, matemáticas
y metafísica. En segundo sitio encontraremos la filosofía práctica, cuya principal
preocupación es la ciencia política, de la cual surgen como subsidiarias y
dependientes la economía y la retórica. En tercera instancia se encuentra la
filosofía poética, que habla sobre la producción, que es el objeto de la filosofía
práctica. El lugar del silogismo [v] dentro de su producción epistémica guarda
un lugar importante. El estagirita, al contrario de como ocurre en otras
disciplinas, la creó prácticamente de la nada. Del silogismo desprendió la
llamada lógica primera o formal, la cual determinaba la validez de los
argumentos; y la lógica segunda o teoría del conocimiento, la que podríamos
entender como el aspecto material del silogismo. Cabe señalar que el maestro
Aristóteles, en lo que se refiere a su sistema lógico, sólo consideró tres figuras,
la cuarta fue descubierta durante la edad media [v. lógica, historia de la].
Alejandro Magno se expresó así de él "Debo más a Aristóteles, mi maestro, que a
Filipo, mi padre, pues aunque éste me dió la vida y un reino, aquel me enseñó el
arte de vivir y de gobernar". De esta relación, Asimov declaró "tenemos aquí el
espectáculo del soldado más grande del mundo antiguo siendo alumno del mejor
pensador". Andrónico de Rodas hizo la primera -y tal vez la más importanteedición completa de sus obras, pero no fue el único, y que gracias a ellos hasido
posible establecer e interpretar los textos aristotélico. Sus obras lógicas fueron
consideradas por Alejandro de Afrodisias (m. 205) Analytica priora. Porfirio (203388) In Categorias. Dexipo (m. 430) In Categorias. Amonio (m. 485) In Analytica
priora, In Categorias e In de Interpretatione. Elías (Siglo vi) In Categorias.
Olimpiodoro (Siglo vi) In Categorias. Simplicio (m. 549) In Categorias.
Maimónedes (1135-1204) Vocabularium logicae y Pacio (Siglo xvi) editor y
comentador del Organon.
Asociación, ley de la. Regla de reemplazo que establece la equivalencia lógica [v]
de fórmulas cuyos conectivos son o todos de disyunción o todos de conjunción,
si son intercambiados los paréntesis:
[p v (q v r)] <--> [(p v q) v r]
[p & (q & r)] <--> [(p & q) & r]
Axioma (sistema axiomático de la lógica). Son enunciados elegidos de la teoría
lógica como punto de partida y que a partir de ellos se generan otros enunciados
denominados teoremas [v], mostrando que son lógicamente implicados por los
axiomas [v. Leyes del pensamiento]. Aristóteles lo definió como una "proposición
que se impone inmediatamente al espíritu", que, ha diferencia de los teoremas no
necesitan ser demostados. En al lógica se le entiende como "enunciados
primitivos" (en ocasiones llamados "postulados" ) aceptados como verdaderos
sin probar su validez.
B
Bicondicional. Una oración o fórmula [v fórmula bien formada] es bicondicional o también llamada doble implicación o equivalencia- si dos o más fórmulas u
oraciones [moleculares o compuestas] por medio de la expresión `si y sólo si' y
se las denomina respectivamente, el primero y el segundo miembro de la
equivalencia.
Ejemplo:
"el hierro se dilata si y sólo si se le administra calor". Si consideramos el primer
oración con la proposición `p' y el segundo con la proposición `q', obtendremos:
p si y sólo si q
que se representa en términos lógicos:
p <---> q
Estas afirmaciones son equivalentes a:
si p entonces q, y si q entonces p.
"si administramos calor al hierro entonces se dilata y si el hierro se dilató
entonces le administramos calor". Una oracion bicondicional es verdadera si y
sólo si sus oraciones o fórmulas [v. fórmulas bien formadas] componentes son
todas verdaderas o todas falsas.
p <--> q
v v v
f v f
(p & q) <---> (r v s)
vvv v vvv
fff
v fff
La tabla de verdad del bicondicional es:
p <--> q
v v v
v f f
f f v
f v f
Un bicondiconal es verdadero cuando las proposiciones atómicas componentes
son todas falsas o todas verdaderas. En caso contrario su valor de verdad es
falso.
Boeccio (o Boecio). (480-524/5) Nació en Roma, perteneciente a una noble
familia, ciudad aquella donde alcanzó el puesto de cónsul. Es usual considerarlo
como un neoplatónico cristiano, pero tal vez sea más correcto denominarlo
filósofo ecléctico. Boeccio tendió a una conciliación entre el pensamiento
platónico y el aristotélico. En sus obras lógicas -con fuentes griegas y de los
trabajos de M. Victorino-elaboró el grueso de la obra aristotélica, pero también
partes considerables de los tratados lógicos escritos por comentaristas de
Aristóteles [v] y de los estoicos. Ejemplo de lo anterior lo son sus obras sobre el
silogismo hipotético [v]. Todas esas obras ejercieron una gran influencia la
filosofía de la edad media, sobremanera a partir del siglo xi. Es importante
señalar que la influencia de Boeccio no puede ser reducida a la transmisión y
elaboración de doctrinas antiguas, sino que consiste en la creación de una
terminología filosófica latina. Su obra magna fue un tratado de filosofía -escrita,
curiosamente, en la cárcel- titulado Consolación de la Filosofía., en donde
discute sobre la virtud y el libre albedrío. Ultimo gran escritor romado conocedor
del griego, a él se debe la divulgación, gracias a sus traducciones y comentarios,
de la obra de Aristóteles. Fueron sus trabajos la única fuente que emplearon los
europeos de su época -Baja Edad Media- para adentrarse en la ciencia griega
hasta que las obras árabes fueron traducidas al latín, seis siglos después de
Boeccio.
Boole, George. (1815-1864) Nació en Lincoln, Inglaterra. Descendiente de una
familia pobre, por lo cual, él hubo de trabajar desde joven para salir adelante de
sus dificultades económicas. A los diez y seis años enseñaba en un colegio
privado y más adelante fundó uno propio. Luego fue profesor de matemáticas en
Queen's, College, de Cork, donde encontró cierta seguridad financiera.
Permaneció ahí hasta su muerte. Ha sido considerado por los historiadores de la
lógica como uno de los fundadores de la lógica simbólica. Publicó sus obras
lógicas más importantes durante 1847 y 1854. Boole desarrolló trabajos sobre
todo en el área del álgebra lógica. El cálculo de clases es llamado habitualmente
álgebra booleana. su contribución consistió el afirmar la aplicación de una serie
de símbolos a operaciones lógicas y que por elección cuidadosa hacer que éstos
símbolos puedan ser manipulados según reglas fijas que producirían los mismos
resultados.
Su obra más importante es Investigación de las leyes del
pensamiento. (An investigation of the laws of Thought).
Buridán, Juan. (1300-1385) Nació en Paris, Francia. A él se le atribuyen las
invensiones del "pons asinorum" con el cual fue posible el descubrimiento del
término medio silogístico [v. silogismo] pero se opuso en parte de las teorías
físicas del estagirita. Estudió, asimismo, las condiciones de validez de la
consecuencia, tomando en cuenta la situación significada por el antecedente y el
consecuente. Formuló de manera clara la propiedad distributiva de la negacion
de la conjunción respecto a la disyunción.
C
Cálculo Cuantificacional. (Cálculo funcional o cálculo de cuantores) Una fórmula
cuantificacional está formada por relaciones y predicados [v] y sujetos o
individuos. Los primeros se simbolizan con letras mayúsculas y los segundos
con letras minúsculas. Existen dos cuantificadores: el cuantificador universal y
el cuantificador existencial. El C. U. se traduce como "para toda x" y se expresa
"(x)". El C. E. se traduce como "existe al menos una x". El enunciado "Todos los
hombres son mortales se traduce a notación lógica como (x) (Hx --> Mx) (se lee
"para toda x, si x es H (Hombre), entonces x es M (Mortal). El enunciado Algunos
hombres son inteligentes se traduce a notación lógica como (3x) (Hx & Ix) (se lee
"existe al menos una x tal que x es H (Hombre) y x es I (Inteligente). El cálculo
cuantificacional puede ser un cálculo cuantificacional elemental (c. funcional) en
el cual se cuantifican solamente las letras argumentos yt el cálculo
cuantificacional superior (c. funcional superior), en el que se cuantifican también
las letras predicados. Existen un número infinito de cálculos cuantificacionales
monádicos, los de primer orden, los de segundo orden, los de tercer orden, etc..
[v. Cuantificación, reglas de]
Cálculo proposicional (o sentencial). Está conformado por proposiciones
expresadas por letras (mayúsculas o minúsculas) que pueden o no ser
interpretadas por enunciados. El enunciado "si llueve hará frío" es traducido a
notación lógica de esta manera:
p equivale a "llover"
q equivale a "hará frío"
entonces "si p entonces q" y si empleamos los conectivos lógicos [v] se
expresará como "p --> q" [v. Fórmulas bien formadas].
Cantor, George. (Marzo 3 de 1845- 6 de enero de 1918) Nació en San Petersburgo
de una familia de origen judío, aunque de madre católica y padre protestante.
Con ellos, se trasladó a Alemania a los once años de edad. Realizó sus estudios
en la Universidad de Berlín con Karl Weierstrase, en la cual se doctoró en 1867.
Cantor es el creador de la teoría de los conjuntos [v]. Ella suscitó gran oposición
en algunos matemáticos, quienes atacaron sus ideas. Asi mismo, suscitó
debates en matemáticos, lógicos y filósofos, que se han dividido a veces entre
"infinitistas" y "finitistas" ("anti-cantorianas"). Construyó una estructura lógica
completa, postulando que una serie completa de números transfinitos
representaba diferentes órdenes de infinitos. Así, le fue posible establecer una
igualdad a la serie de números enteros, pero no así los números racionales más
los irracionales. David Hildeber fue uno de los más acérrimos defensores de
Cantor. Una proporción muy considerable de la matemática y de la lógica del
siglo xx se basa en la noción cantoriana de conjunto, que ha sido
considerablemente refinada especialmente mediante las teorías axiomáticas de
que hablamos en conjunto.
Carnap, Rudolf. (1891-1970) N. En Rundsdorf. Profesor de Viena, Praga, Chicago
y los Angeles. Son cinco los aspectos de su trbajo lógico, filosófico y semiótico
correspondientes a cinco rubros: a) el critico-filosófico b) análisis de
laconstitución c) el de la sintaxis lógica del elnguaje d) el semántico y e) el del
examen de la inducción. En el análisis de la constitución se ordenan los
diversos sistemas de objetos o conceptos según grados, esta reducción debe
entenderse en sentido lógico-sistemático y no metafísico. La teoría de la
constitución es una ontología de base lógica en el cual se caracterizan los
objetos mediantes propiedades estructurales o "por ciertas propiedades lógicoformales de relaciones o tramas de relaciones". En el Círculo de Viena [v.
Positivismo lógico], como uno de sus grandes figuras la teoría de la constitución
es una de sus principales orientaciones. Intimamente ligada a ella están sus
posiciones acerca de su fisicalismo, su crítica de la metafísica y la elaboración
de la sintaxis lógica del lenguaje. Acepta que las proposiciones metafísicas son
seudoproposiciones porque carecen de referentes objetivos que parecen a
simple vista tener. Definió la filosofía como el "análisis lógico del lenguaje". en
sus últimos años, se ocupó de la elaboración de un sistema de lógica inductiva
fundamentada en un examen de la probabilidad como grado de cofirmación. Esta
lógica es antipsicologista sin presuponer doctrinas que las lógicas clásicas o
tradicionales consideraban indispensbles (la regularidad de los fenómenos
naturales. Sus obras principales son "El Espacio, Contribución a la teoría de la
ciencia", "La Estructura lógica del mundo", "La superación de la metafísica por
medio del análisis lógico del lenguaje" y "Sintaxis lógica del Lenguaje".
Ciencia Fáctica. De acuerdo a su objeto de estudio, las ciencias se clasifican en
formales [v. ciencia formal y fácticas]. Los enunciados de las ciencias fácticas,
(o factuales, o empíricas, o acerca de hechos -de la realidad-) se refieren a
hechos que ocurren en el mundo (físico, psicológico, cultural, histórico,
subatómico, macrocósmico etc.) y, por consiguiente, tienen que apelar a la
experiencia para verificar sus enunciados o hipótesis. Las ciencias fácticas
suelen ser divididas, también empleando como criterio su objeto de estudio, en
ciencias fácticas naturales (física, química, biología, antropología individual,
psicología individual, etc.) y en ciencias fácticas culturales (ciencias políticas,
sociología, antropología cultural, psicología social, historia de las ideas,
economía, etc.)
Ciencia Formal. De acuerdo a su objeto de estudio, las ciencias se clasifican en
formales y fácticas [v. ciencia fáctica]. Las ciencias formales son aquellas que
son autosuficientes en su método de prueba y contenido; la validez o verdad de
sus fórmulas [v. fórmulas bien formadas], proposiciones o enunciados no
dependen de la realidad factual. Sus fórmulas pueden demostrarse basándose
en principios o axiomas [v. independencia de los axiomas]. Los enunciados de
las ciencias formales son llamados enunciados analíticos [v] en contraposición a
los enunciados sintéticos [v]. Ciencias formales: Lógica y Matemáticas.
Conclusión. Es la resultante de una o varios enunciados, proposiciones o
fórmulas que se desempeñan como premisas [v]. El proceso que se lleva a cabo
para su obtención se denomina prueba. Algunas expresiones que se utilizan para
conectar las premisas con la conclusión son: `luego', `por tanto', `en
consecuencia', `se infiere', `se concluye', `se deduce', etc.
Ejemplo: En
Todos los hombres son mortales.
Sócrates es hombre.
-------------------------------
Por lo tanto, Sócrates es mortal
la expresión `Sócrates es mortal' es la conclusión. No necesariamente ésta debe
ir al final, el mismo argumento podemos estructurarlo de diferente manera:
"Sócrates es mortal, puesto que todos los hombres son mortales y Sócrates es
hombre" o bien "De todos los hombres son mortales se infiere que Sócrates es
mortal, puesto que Sócrates es hombre". En todas `Sócrates es mortal' es la
conclusión y los otros dos enunciados participan como premisas.
Condicional. De oraciones unidas por la expresión `si... entonces...' obtenemos
una oración condicional Ejemplo:
"Si el dinero hace felices a los hombres, entonces el dinero hace buenos a los
hombres" si `p' es la proposición "el dinero hace felices a los hombres" y `q' "el
dinero hace buenos a los hombres" tendremos:
si `p' entonces `q'
en términos lógicos:
`p --> q'
La condicional es falsa solamente en el caso en que el antecedente, es
decir, `p' sea verdadero y el consecuente, es decir, `q' falso. En todos los demás
casos es verdadera. En el ejemplo presentado, si "el dinero hace felices a los
hombres" es un enunciado verdadero y "el dinero hace buenos a los hombres"
también lo es, entonces el condicional es verdadero. Si "el dinero hace felices a
los hombres" es falsa y "el dinero hace buenos a los hombres" es verdadero,
entonces el condicional es verdadero. Si "el dinero hace felices a los hombres
es falsa" y "el dinero hace buenos a los hombres" también lo es, el condicional
es verdadero. En cambio, si "el dinero hace felices a los hombres" es falsa y "el
dinero hace buenos a los hombres" también lo es, el condicional sigue siendo
verdadero. Tal vez para el sentido común esto no resulte del todo claro, pero
establezcamos la regla lógica que si el antecedente del condicional es falsa, el
condicional es verdadero en su conjunto.
p --> q
v
v
f
f
v
f
v
v
v
f
v
f
Un condicional es falso cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente falso, en todos los demás casos es verdadero.
En un condicional `si p entonces q' (p --> q) p es una condición suficiente [v.
condición necesaria y condición suficiente] de q.
El conectivo `-->' es
denominado condicional o implicación (aunque algunos lógicos precisan el uso
de condición y el de implicación) y se lee (cuando se trata de una implicación) `p
implica a q' en el sentido de que `p' es un conjunto de premisas y `q' es la
conclusión. En cambio, (cuando es un condicional) `si... entonces...'
representadas de la siguiente manera:
p solamente si q
q si p
q siempre que p
p es condición suficiente de q
q es condición necesaria de p
Conectivo lógico. Es cualquiera de los conectivos oracionales
"y", "si,
entonces", "si y sólo sí", "o" y "no" que unen expresiones moleculares [v] [v.
conectivo oracional].
Conectivo Oracional. Es la expresión que afecta a enunciados atómicos (también
conectan a fórmulas [v. fórmulas bien formadas] o enunciados moleculares) para
conformar los enunciados o fórmulas atómicas [v] en enunciados o fórmulas
moleculares [v].
Nombre
Símbolo Locución en
Lógico. lenguaje usual
Condicional -->
si, entonces...
Ejemplo
si le aplicamos calor
al metal, entonces se
dilata
Símbolización
Lógica.
p-->q
Disyunción v
Conjunción &
Negación
-
Bicondicional <-->
... o ...
... y ...
no
si y sólo si
habrá inflación o
reapunte económico
pvq
habrá reapunte
económico y desarrollo
compartido.
p&q
no habrá hiperinflación
-p
el metal se dilata con
el calor si y sólo sí
se le aplica calor.
p<-->q
Distintas expresiones atómicas o simples se encuentran unidas por los
conectivos antes mencionados; pero no son los únicos. También son conectivas
`o...o', `a menos que', `aunque...', `solo si...', `porque', `a excepción de', etc.. que
pueden ser traducidas por las cinco citadas anteriormente.
Conectivo principal. [v. fórmula bien formada]
Conjunción. Dícese que una fórmula [v. fórmula bien formada] es una conjunción
cuando se combinan dos o más enunciados o fórmulas (atómicas o moleculares)
con el conectivo `&'. El lenguaje coloquial lo interpreta como `y'.
Ejemplo:
`Julio César fue un emperador romano y Sócrates un filósofo griego'
Si representamos `Julio César fue un emperador romano' con `p' y `Sócrates [fue]
un filósofo griego' con `q', representaremos simbólicamente ese enunciado de la
siguiente manera:
`p & q'
Si el enunciado es:
`Si Julio César fue un emperador romano, entonces Sócrates un filósofo griego y
si Napoleón fue un militar entonces G. Washington fue presidente de los Estados
Unidos.' Representado con `r' como `Napoleón fue un militar' y con `s' como 'G.
Washington fue presidente de los Estados Unidos', obtendremos la fórmula:
`(p --> q) & (s --> r)'
Donde el conectivo principal [v] es la conjunción ya que une, en este caso, a dos
conyuntos [v] que son implicaciones o condicionales [v].
Ejemplo:
`(t --> w) & (k <--> l)'
f f v f
f
v
v
Es una fórmula cuyo conectivo principal [v], la conjunción es verdadera
porque ambos conyuntos (la condicional [v] y la equivalencia [v]. son verdaderas
aún y cuando las fórmulas atómicas sean falsas) lo son. Cuando sea el caso de
conjunción entre dos fórmulas moleculares. En cambio, si se trata de dos
fórmulas o proposiciones atómicas [v] o simples:
`f & g'
v v
v
ambos conyuntos deben ser verdaderos si la conjunción es verdadera. (Algunos
autores no emplean el símbolo `&' para representar la conjunción, sino `^' o `.').
Una conjunción es verdadera cuando todos y cada uno de los conyuntos sea
verdadero. La tabla de verdad de la conjunción es
p
v
v
f
f
&
v
f
f
v
q
v
f
v
f
Conjunción, Ley de la (Conj.). Regla lógica de inferencia que postula: dado el
caso que dos premisas [v] cualesquiera son verdaderas (o al menos las
presuponemos así) es posible entonces obtener una oración [v] o fórmula
conjuntiva con las oraciones u fórmulas [v. conjunción infinita, ley de la] que
deseemos. Ejemplo:
1) p
2) q
\\ p & q
1) p v q
2) s --> l
\\ (p v q) & (s --> l)
Conjunción infinita, ley de la. Quine [v] establece esta ley para probar la
completitud del sistema. Se le conoce también con el nombre de lema de
infinitud de König o el terema del abanico de Brower. Una clase infinita de
esquemas veritativo-funcionales es consistente, si l oes cada una de sus
subclases finitas. La ley estipula que una conjunción infinita de esquemas
veritativo-funcionales es consistente si lo es también cada una de las
conjunciones infinitas que se pueda formar a partir de miembros de la primera.
"Una clase -escribió Quine- de esquemas veritativo-funcionales recibe el
calificativo de consistente, si existe una asignación de valores de verdad a las
letras oracionales que convierta a todos los esquemas de la clase en
verdaderos".
Conmutación, regla de la. La conmutatividad se presenta entre dos expresiones
cuando la alteración o inversión de los términos de que se compone una
expresión lógica no sufre alteración alguna en su función de valor de verdad.
Esta regla se emplea exclusivamente en los conectivos de conjunción [v] y
disyunción [v]. Su forma lógica es la siguiente:
(p v q) <--> (q v p)
y
(p & q) <--> (q & p)
Consecuencia lógica. [v. válido]
Consistencia de las premisas. Un conjunto de premisas [v] es consistente si y
sólo sí no es posible intepretarlas de manera que alguna de ellas sea una fórmula
falsa.
Ejemplo:
1) p --> q En el cual, si interpretamos el conjunto de
2) q --> r premisas en manera que sus fórmulas atómicas
3) r --> s componentes `p', `q', `r', y `s' sean todas ellas
verdaderas, todas las premisas lo serán; y si las interpretamos como
todas falsas, también las premisas resultarán verdaderas. El hecho de que un
conjunto de premisas sea consistente, no garantiza la validez del razonamiento.
Importante. En la prueba de consistencia de las premisas no se toma en cuenta a
la conclusión.
1) p --> q En cambio, en este conjunto de premisas no es
2) q --> r posible interpretarla de manera tal que todas y
3) -r & p cada una de ellas resulten verdaderas. Por tanto
es un conjunto de
premisas inconsistentes. De un conjunto de premisas inconsistentes es posible
deducir una contradicción.
4) -r
simpl. 3
5) p --> r s. h. 1,2
6) p
simpl. 3
7) -p
m. t. 4,5
8) p & -p conj. 6,7
9) p v r adic. 6
10) r
s. d. 7,9 Lo importante en la determinación de la consistencia de las
premisas es que de un conjunto de premisas inconsistente podemos deducir
cualquier fórmula. Es decir, un conjunto de premisas inconsistente siempre será
una fórmula tautológica [v]. Así, nótese que `r' no aparece ni siquiera en el
conjunto de premisas, pero, al ser éstas inconsistentes, es posible deducirla.
Contingencia. Designa una de las modalidades del juicio; en sentido amplio
significa la modalidad opuesta a `necesidad'. Un argumento es lógicamente
contingente cuando no es posible establecer que la conclusión se desprenda
necesariamente [v. necesidad lógica] de las premisas [v. contingencia lógica].
Contingencia Lógica. Una fórmula o enunciado molecular o compuesto,es
contingente si y sólo si, al realizar la combinación de los valores veritativos de
sus proposiciones atómicas [v] o simples componentes, el resultado de valores
de su conectivo principal [v] es en al menos un caso verdadero y en al menos un
caso falso.
Ejemplo:
[(p --> q) & q]--> p
v v v v v v v
v f f f f v v
f v v v v f f
f v f f f v f
Contradicción lógica. Una fórmula [v fórmula bien formada] o enunciado
molecular [v] o compuesta es una contradicción si y sólo si, al realizar la
combinación de los valores veritativos de sus proposiciones atómicas [v] o
simples componentes, el resultado de valores de su conectivo principal [v] es en
todos los casos falsa. Es importante señalar que existe una prueba de la
consistencia de las premisas [v]; ya que de un conjunto de premisas
inconsistentes puede deducirse cualquier fórmula.
Ejemplo:
p & -p
v f f
f f v
p <--> -p
v f f
f f v
Constantes proposicionales. son un numero infinito de letras mayósculas -o
minósculas, segón el autor- usualmente de las primeras del alfabeto y cuya
interpretación es en la que el sistema se destina para expresar proposiciones no
compuestas. Ejemplo de ellas: A, B, C, D, E, ... P, Q, R, S, y en caso de necesidad
A', B', C', D', E', ... P', Q', R', S',
Conyuntos. Son cada una de las fórmulas [v. fórmulas bien formadas] que
intervienen en una conjunción [v]. Ejemplo: en `p & q' `p' y `q' son conyuntos.
Completitud de un sistema axiomático. Se determina la completitud de un
sistema axiomático si cada una de sus expresiones <<válidas>> (es decir,
siempre verdaderas) es también en él demostrable. Este tipo de completitud que
se busca para los sistemas que axiomatizan la lógica. En cambio, cuando un
sistema axiomático se construye simplemente para formalizar cierta teoría
deductiva relativa a un determinado universo de entidades, se dice que el
sistema es completo respecto a esa interpretación, cuando todas las
proposiciones verdaderas según esta interpretación son derivables de sus
axiomas [v. independencia de los axiomas].
Completo, exclusivamente. Un sistema deductivo formal es expresivamente
completo cuando es posible asignar significados a sus términos inndefinidos de
modo que toda proposición respecto a esa materia pueda expresarse como una
fórmula del sistema.
Cuantificador, alcance del. El alcance de un cuantificador en una fórmula
cualquiera, es el cuantificador junto con la fórmula mínijma que le sigue a éste.
Asím una variable es libre si y solamente si cuando menos una incidencia de la
variable queda sin ser alcanzada por el cuantificador y una variable está ligada
en cualquier fórmula si y sólo si cuando menos una incidencia de la variable es
libre. Así
(x) [(Px --> (Rx & Tx)]
(x) (y) (z) [(Pyx & Mzx) v -Pyz]
todas las variables que intervienen están ligadas o están alcanzadas por el
cuantificador. En cambio
(x) Px --> Rx Sólo Px está ligada y Rx permanece libre por carecer de paréntesis.
Cuantificadores, Intercambio de. Las reglas de cuantificación [v. cuantificación,
reglas de] no pueden ser empleadas si el cuantificador está negado (Ejemplos: (x) Px (no todas las x tienen la propiedad P) o -(x) Rx (no todas las x son R). Si no
es posible realizar especificaciones universales o existenciales, es imposible
proporcionar una prueba de validez. Así la expresión "Ningún hombre es
racional" tiene su estructura lógica "-(3x) (Hx & xR)" es equivalente
intuitivamente a "Todos los Hombres son no racionales" "(x) (Hx --> -Rx) (Para
toda x, si x es H, (Hombre), entonces x es no R (racional)". Pero es posible
demostrar la equivalencia de las fórmulas que contienen cuantificadores.
Podemos suponer que el cáculo cuantificacional es posible establecerlo con un
sólo cuantificador: (3x) Px (Existe al menos una x tal que x es P) Así, empleando
el signo primitivo "-" Negación es posible definir el cuanticador universal "-(3x) Px" (no existe ninguna x tal que x no sea P), es decir, todas las x son P "(x) Px".
Es posible deducir la fórmula lógica equivalente intercambiando cuantificadores.
1. (x) (Px --> Qx)
Premisa
/// -(3x) (Px & -Qx)
Hipótesis-conclusión.
2) -(3x) - (Px --> Qx)
Intercambio de cuantificador.
3) -(3x) - (-Px v Qx)
Implicación material línea 2
4) -(3x) ( - - Px & - Qx)
T. de De Morgan línea 3.
5) -(3x) (Px & -Qx)
Doble negación línea 4. Por tanto, la hipótesis
conclusión queda debidamente demostrada.
Así, el intercambio de
cuantificadores funciona de la misma manera que la equivalencia:
1 -(x) Px
(3x) Px
Una fórmula con un cuantifidador universal, es
posible deducir su equivalencia lógica con el 2
intercambio de cuantificadores a una fórmula con
cuantificador existencial.
-------
Una fórmula con un cuantificador existencial
negado, es posible deducir su equivalencia lógica 2
con el intercambio de cuantificador a una fórmula
con cuantificador universal. Como son equivalencias en
ambos caso es posible intercambiar cuantificadores de 1 a 2 y también de 2 a 1.
En el ejemplo de deducción, sólo se invierte el orden donde el 5 es la premisa y 1
es la hipótesis conclusión.
1 -(3x) Px
------(x) - Px
Cuantificación, reglas de. Son cuatro las reglas de cuantificación (Px es
cualquier fórmula bien formada en el cáculo de cuantores).
1) Especificación Universal
o Instanciación Universal.
E. U.
2) Especificación Existencial
o Instanciación Existencial
E. E.
(x) Px
-----Pa
(3x) Px
------Pa
3) Generalización Universal
G.U.
4) Generalización Existencial
o Generación Existencial. G.E.
Pa
Pa
-----(x) Px
-----(3x) Px
[v. cuantificadores, intercambio de]
D
De Morgan, Augustus. (1806-1871) Nació en Madura, India. Realizó sus estudios
en Inglaterra. Tanto a él como a Pierce [v] se les reconoce como los fundadores
del álgebra de relaciones, que fue la manera como desarrollaron un álgebra de la
lógica similar a la de Boole. Sus más importantes aportaciones a la lógica son
sus dos leyes o teoremas [v. teoremas de De Morgan] aún y cuando Guillermo de
Occam ya había trabajado sobre ellos.
Demostración Condicional, Regla de. Se aplica sólo a argumentos cuyas
conclusiones son enunciados condicionales o que pueden tener esa estructura
por las reglas de equivalencia. Se justifica con el Principio de Exportación y
Correspondencia [v]. A todo argumento le corresponde un enunciado condicional
cuyo antecedente es la conjunción de las premisas y cuyo consecuente es la
conclusión. Si el argumento tiene un enunciado condicional como conclusió "a
--> c" y si simbolizamos la conjunción de sus premisas como p, el argumento es
válido si y sólo si el condicional p --> (a --> c) es una tautología. Por el principio
de exportación es lógicamente equivalente a (p & a) --> c. Si deducimos la
conclusión del segundo argumento c, de las premisas conjuntas en p & a, por
una sucesión de agumentos válidos, se demostrará que su enunciado
condicional asociado es una tautología.
Como ambos argumentos son
lógicamente equivalentes, se demuestra que el primer argumento es una
tautología y concluimos que el argumento original, con una premisa menos y la
conclusión condicional a ---> c es también válido. La R.D.C. no permite inferir la
validez de cualquier argumento. La R.D.C. se construye suponiendo el
antecedente de su conclusión como una premisa.
1) (a v b) --> (c & d)
2) (d v e) --> f
/// A ---> f
3) a
d.C.
4) A v b
5) c & d
6) d & c
7) d
8) d v e
9) f
adicion
1,4 mp
5 conmutativa
6 simplificación
7 adición
2,8 m.p.
la linea número 9 nos señala que f se deduce de a. La R.D.C. puede aplicarsele
más de una vez en el curso de una misma deducción. En cada uso del método
condicional deberá ser señalado con una diagonal adicional y un signo de "por
lo tanto"
1) a --> (b --> c)
2) b --> (c --> d)
...A --> (b --> d)
3) a
...B --> d [d.C.]
4) B
...D
[d.C.]
5) B --> c
1,3 mp
6) c
5,4 mp
7) c -->d
2,4 mp
8) d
7,6 mp
la R.D.C. permite construir demostraciones más breves y establecer validez de
argumentos cuya validez no podría demostrarse con referencia a la lista original
sola.
a --> b
/// a --> (a & b)
no se puede demostrar utilizando la lista original
de las 19 reglas. Se demuestra facilmente, con la R.D.C.
1) a --> b
/// a --> (a & b)
2)a
...a & b d.C.
3)b
1,2 m.P.
4)a & b 2,3 conjunción. [v. Demostración Condicional Reforzada, regla de]
Demostración Condicional Reforzada, regla de. Se adoptará un nuevo método de
escritura de las demostraciones que utilizan el método condicional.
1) A --> b
... A --> (a & b)
- 2) a
supuesto
| 3) b
1,2 m.P.
4) a & b 2,3 conjunción
5) a --> (a & b) 2,3,4, R.D.C.
Este renglón se infiere de la secuencia 2, 3, 4 que constituyen una deducción
válida del renglón 4 a partir de los renglones 1 y 2. Esta inferencia se justifica
notando la secuencia de renglones a los que se recurre, y usando las letras
R.D.C. para demostrar que se está usando el principio de demostración
condicional. La segunda de las demostraciones en el renglón 2 -la hipótesistiene a los renglones 3 y 4 como dependientes. El renglón 5 no depende del
renglón 2, sino del renglón 1. El 5 está fuera del alcance [v Cuantificador,
alcance del] del supuesto que se hace en 2. Nunca debe extenderse el alcanza
hasta el último reglón. Se introduce una notación para seguir la pista de los
supuestos y sus alcances. Se usará una flecha doblada. Solamente un renglón
inferido por el principio de demostración condicional termina el alcance de un
supuesto, y que todo uso de la regla de demostración condicional [R.D.C.] Sirve
para determinar el alcance de un supuesto. Cuando se ha terminado el alcance
de un supuesto, se dice que el supuesto ha sido liberado y ningún renglón
subsecuente podrá justificarse con referencia al supuesto o con referencia a
ningún renglón que se encuentre entre el mismo y el renglón inferido por la regla
de demostración condicional que lo libera. Después de haber liberado un
supuesto de alcance limitado puede hacerse otro supuesto semejante y
liberársele después. O también puede hacerse otro supuesto de alcance limitado
dentro del alcance del primero. Si el alcance de un supuesto no se extiende hasta
el final de una demostración, entonces el renglón final de la demostración no
depende de ese supuesto, sino que se ha demostrado que se sigue de las
premisas originales. Cualquier proposición puede tomarse como supuesto de
alcance limitado, pues el renglón final que es la conclusión estará siempre más
allá de su alcance y será independiente del mismo.
1. (a v b) --> [(c v d) --> e]
... a --> [(c & d) --> e]
--> 2. a. 3. a v b
2. Adición
| 4. (c v d) --> e
1,3 mp
| -> 5. c & d
| | 6. c
5 simplificación
| | 7. c v d
6 adición
| | 8. e
4,7 mp
| |______________________________________________
| 9. (c & d) --> e
5-8 R.D.C.
|________________________________________________
10. a --> [(c & d) --> e] 2-9 c.P.
En una demostración condicional de validez, el alcance de cada premisa original
se extiende hasta el final de la demostración. Las premisas originales pueden
complementarse agregando supuestos adicionales siempre que los alcances de
éstos últimos sean limitados y no se extiendan hasta el final de la demostración.
Cada renglón de una demostración formal de validez debe ser o una premisa o
un supuesto de alcance limitado, o debe seguirse válidamente a partir de uno o
dos renglones precedentes por una regla de inferencia, o debe seguirse de una
secuencia de renglones que le preceda por el principio de demostración
condicional. La R.D.C. puede emplearse tanto el cálculo proposicional como
cuantificacional.
Dilema Constructivo, ley del (DC). Regla lógica de inferencia que postula: si
tenemos dos fórmulas [v. fórmulas bien formadas] u oraciones condicionales, y
en otra premisa los antecedentes afirmados de ambos condicionales en un
disyunción, podemos afirmar a ambos consecuentes [v] en una disyunción
también.
1) p --> q
2) s --> r
3) p v s
\\ q v r
1) (p --> q) & (s --> r)
2) p v s
\\ q v r
El dilema constructivo es una derivación del Modos Ponendo Ponens.
Dilema Destructivo, ley del (DD) Si tenemos dos fórmulas [v. fórmulas bien
formadas] u oraciones condicionales, y en otra premisa los consecuentes [v]
negados de ambos condicionales en una disyunción, podemos negar ambos
antecedentes en una disyunción también.
1) p --> q
2) s --> r
3) -q v -r
\\ -p v -s
1) (p --> q) & (s --> r)
2) -q v - r
\\ -p v -s
El dilema destructivo es una derivación del Modus Tollendo Tollens.
Distribución, regla de la. Regla de equivalencia o de reemplazo para transformar
una disyución en una conjunción
viceversa. En la primera acepción la fórmula
p v (q v r) es equivalente a
[(p v q) & (p v r)]
En la segunda, dadas las características de las reglas de reemplazo
[(p v q) & (p v r)] es equivalente a p v (q v r)
Disyunción exclusiva. En ella se afirma que sólo uno de los conyuntos es
verdaderos y los demás (o el otro, en caso de una disyunción de sólo dos
proposiciones) falsos. en este tipo de disyunción, llamada también alternativa,
no pueden ser todos sus miembros verdaderos ni todos falsos a la vez, sino que
uno y sólo uno de ellos es necesariamente verdadero. Del lenguaje coloquial la
frase `o...o...' representan una disyunción exclusiva. En la disyunción `o A, o B'
si A es verdadera entonces B es falsa y si B es falsa, A es verdadera, pero no
pueden ser ni verdaderos ni falsos todos los disyuntos exclusivos participantes
[v. Disyunción inclusiva].
Disyunción Inclusiva (DI.) Dícese que una fórmula [v. fórmula bien formada] es
disyuntiva (o alternación( cuando se combinan dos o más enunciados o fórmulas
bien formadas (atómicas o moleculares) con el conectivo `v'. Los enunciados así
combinados se llaman disyuntos (o alternativos).
Ejemplo:
`Napoleón fue un militar francés o Gandhi un pacifista hindú'
Si representamos `Napoleón fue un militar francés' con `p' y `Gandhi [fue] un
pacifista hindú' con `q', representaremos simbólicamente ese enunciado de la
siguiente manera:
`p v q'
`Si Napoleón fue un militar francés entonces Gandhi un pacifista hindú o Si
César cruzó el Rubicón, entonces Cervantes combatió en Lepanto'.
Representando con `r' `César cruzó el Rubicón' y con `s' `Cervantes combatió en
Lepanto', obtendremos la fórmula [v]:
`(p --> q) v (r --> s)'
Donde el conectivo principal [v] es la disyunción ya que une, en este caso, a dos
disyuntos [v] que son implicaciones o condicionales [v].
En la lógica bivalente [v], una disyunción es verdadera si y sólo si, al menos uno
de sus disyuntos, enunciados o fórmulas [v. fórmulas bien formadas] atómicas o
moleculares, es verdadero. (No implica de ninguna manera que lo sean todos,
pero tampoco lo impide).
Ejemplo:
f
`(t --> w) v (k <--> l)'
v
f f
v
v
f
la disyunción es verdadera porque la equivalencia lo es aunque la condicional
sea falsa. Nótese que `w', `k' y `l' son falsas.
Una disyunción es verdadera cuando al menos uno de los disyuntos lo . Si todos
los disyuntos son falsos, la disyunción lo será también. La tabla de verdad es
p v q
------v v v
v v f
f v v
f f f
Para algunos estudiosos de la filosofía de la lógica [v] son dos los símbolos
primitivos [v]: negación y disyunción. Los otros conectivos: implicación o
condicional [v], conjunción [v] y doble implicación, bicondicional o equivalencia
[v], son definibles de aquellos [v. Disyunción exclusiva].
Disyunción, ley de la. (Disy). Regla lógica de inferencia que postula: como cada
una de las premisas [v] es verdadera (o al menos la suponemos asi) y la
disyunción es verdadera cuando al menos uno de los disyuntos lo es, es posible
entonces, si una fórmula [v. fórmula bien formada] u oración [v] es verdadera,
formular una disyunción con cualquier otra fórmula u oración [v], no importando
si ésta última es verdadera o falsa.
1) p
\\ p v q
1) p & r
\\ (p & r) v (s --> l)
Disyuntos. Son cada una de las fórmulas [v. fórmulas bien formadas] que
intervienen en una disyunción [v] o (alternación). Ejemplo: en `p v q' `p' y `q' son
disyuntos (o alternativos).
Doble implicación. Véase Equivalencia.
Doble negación, regla de la. Si un enunciado es de la forma siguiente `es falso
que hoy no sea domingo' es equivalente a afirmar `hoy es domingo' porque la
primera fórmula niega el enunciado 'hoy no es domingo' por lo tanto `hoy es
domingo' es una afirmación verdadera. En cuando a las proposiciones una doble
negación [- - p ] equivale a la afirmación afirmada [ p ]. Si el número de
negaciones es par, la fórmula puede afirmarse sin negación alguna; y si es non,
es equivalente a la proposición con una sóla negación. Así, el enunciado `es
falso, no es cierto que hoy no sea domingo' `es falso' niega la verdad de `no es
cierto' quien a su vez niega que no sea domingo, Pero como la expresión `es
falso' ha determinado la falsedad de `no es cierto', entonces `hoy no es domingo'
es un enunciado verdadero. La fórmula [v. fórmula bien formada] - - - p es
equivalente a - p.
E
Entimema. Es un argumento expresado de manera incompleta, siendo
sobreentendida una parte del mismo. Es un razonamiento con una premisa
implícita. Así, es necesario tomar en cuenta las premisas suprimidas o tácitas
para determinar la validez del argumento [v. entimema de primer orden y
entimema de segundo orden].
Entimema de primer orden. Es aquel en el cual no se enuncia la premisa mayor
del silogismo. Ejemplo:
Conoce a su hijo, luego debe ser un padre sabio. Es un entimema de primer
orden. (Paráfrasis de "Es un padre sabio el que conoce a su hijo" del Mercader
de Venecia de W. Shakespeare)
El silogismo completo es así:
Todos los padres que conocen a sus hijos, son padres sabios.
El es un padre que conoce a su hijo.
Por tanto él es un padre sabio.
Entimema de segundo orden. Es aquel en el que sólo se enuncia la premisa
mayor y la conclusión. Ejemplo:
Todos los estudiantes se oponen a las nuevas disposiciones; luego todas las
alumnas se oponen a ellas.
El silogismo completo es así:
Todos los estudiantes se oponen a las nuevas disposiciones.
Todas las alumnas son estudiantes.
Luego todas las alumnas se oponen a las nuevas disposiciones.
Entimema de tercer orden. Es aquel en el cual se enuncian ambas premisas, pero
se deja implícita la conclusión. Ejemplo:
"Nuestras ideas no van más allá de nuestra experiencia; no tenemos experiencia
de atributos y operaciones divinas; no necesito concluir mi silogismo: puede
sacar la inferencia el lector mismo" de David hume "Diálogos sobre la religión
natural"
Enunciado. Es una frase afirmativa a la que pueden atribuírsele valores
veritativos de verdad [v] o falsedad. En la lógica bivalente [v], el enunciado es
verdadero o es falso, pero no ambos valores a la vez. Ejemplos: `hoy es sábado',
`todos los hombres son mortales', `Platón fue discípulo de Sócrates', `hoy no
llovió', `no aprobaré el examen', `Utopía es el nombre de una región de Marte', `el
acido sulfúrico es corrosivo', `Napoleón fue un militar', `2 es mayor que 1'; y
también son enunciados expresiones falsas: `2 es mayor que 3', `Cesar fue un
filósofo griego', `Aristóteles fue maestro de Sócrates', `Existen sólo 22
elementos', etc.. A pesar de la cientificidad de la lógica, los lógicos no han
logrado llegar a un acuerdo universal en cuanto a algunos términos: por
ejemplo, Quine rechaza las proposiciones, Ferrater Mora prefiere el término
`sentencia'; algunos piensan que proposición y enunciado es lo mismo, otros
prefieren a las oraciones; en este diccionario entenderemos -aunque a algunos
puristas lógicos les llegase a desagradar- `oración' y `enunciado' como
sinónimos, en un afán esclarecedor.
Enunciado atómico. Un enunciado es atómico si y sólo si no puede ser
descompuesto en otros enunciados y no contiene ninguno de los conectivos
siguientes: `no', `si, entonces', `si y sólo si', `y', `no'. [v. fórmula atómica]. O
traducciones de los mismos según el contexto.
Enunciado compuesto. Véase enunciado molecular.
Enunciado molecular. Un enunciado es molecular si y sólo si puede ser
descompuesto en enunciados atómicos [v] y contiene alguno o algunos de los
conectivos siguientes: `no', `si, entonces', `si y sólo si', `y', `no' [v. fórmula
molecular].
Enunciado simple. Véase enunciado atómico.
Epiquerema. Es un silogismo simple en el que se agrega a una o a las dos
premisas su propia demostración. Ejemplo:
El hombre es portal, porque tiene un cuerpo corruptible.
Sócrates es hombre.
Luego Sócrates es mortal.
Equivalencia. Véase Bicondicional.
Equivalencia material, regla de. Dos enunciados se dicen materialmente
equivalentes cuando tienen el mismo valor de verdad. Decir que dos enunciados
son materialmente equivalentes es afimar que materialmente uno implica al otro.
La regla se describe así:
(p <--> q) <--> [(p --> q) & (q --> p)]
y
(p <--> q) <--> [(p & q) v (-p & -q)]
Equivalencia tautológica. "Cuando dos oraciones se implican tautológicamente,
se dice que son tautológicamente equivalentes" según lo manifiesta Suppes.
Aunque éstas no cuentan con un papel esencial como el representado por la
implicación tautológica [v], son importantes, ya que manifiestan las mismas
proposiciones, enunciados o fórmulas [v. fórmulas bien formadas] con distinta
formulación.
Ejemplo:
"César cruzó el Rubicón y Cervantes combatió el Lepanto".
Si el primer enunciado lo representamos con la proposición `p' y el segundo con
`q', obtendremos:
p&q
el cual es equivalente a:
-(-p v -q)
"Es falso que Cesar no cruzara el Rubicón o es falso que Cervantes combatiera
en Lepanto" es su interpretación. [Véase Reglas lógicas de reemplazo].
Exportación, Ley de la. Regla lógica de equivalencia lógica que estipula: es una
fórmula formada por dos conectivos condicionales `(p --> (q --r)' por ejemplo,
puede convertirse en una fórmula cuyo conectivo principal sigue siendo el
condicional [v] pero el antecedente de la segunda fórmula es cambiado por una
conjunción, `(p & q) --> r'. Esta regla lógica de equivalencia puede justificarse por
medio de otras reglas lógicas:
1) (p & q) --> r
/// p --> (q --> r)
2) -(p & q) v r
3) (-p v -q) v r
4) -p v (-q v r)
5) p --> (-q v r)
6) p --> (q --> r)
Impl. material 1.
De Morgan
2.
Asociación 3.
Impl. material 4.
Impl. material 5.
F
Falacia. Un uso correcto de este término es el de una idea equivocada o creencia
falsa. Pero en la lógica se le entiende como una clase de argumentos inválidos o
de forma incorrecta que dan "la apariencia" de corrección y validez o que
psicológicamente persuasivos. Se dividen en Falacias de Atinencia [v] y de de
Ambigüedad [v].
Falacias de Ambigüedad. Falacia no formal llamada también Falacia de claridad.
En sus argumentos, aparecen palabras o frases ambigüas, las cuales, al oscilar
su significado, cambian el curso del razonamiento, comentiendo con ello una
falacia. Mencionaremos las más importantes: El equívoco [v], La anfibiología [v],
El énfasis [v], La composición [v] y La División [v].
Falacias de Atinencia. (o bien, falta de atingencia lógica) Estos argumentos
carece de relación, correspondencia, ligazón entre las premisas y la conclusión y
por tal motivo, es imposible establecer si la conclusión se desprende de las
premisas. Es una falacia no formal. El número en sí de las falacias es grande.
Aristóteles en "Refutaciones sofísticas" registró sólo trece de ellas. Aquí serán
mencionadas las más usadas: Argumentum ad baculum [v], Argumentum ad
hominem [v], Argumentum ad ignorantiam [v], Argumentum ad misericordiam [v],
Argumentum ad verecundiam [v], Pregunta Compleja [v]
Fenomenología. El movimiento fenomenológico surge como una reacción a un
marcado ambiente de idealismo que dominó la filosofía alemana. Para Husserl
[v], máximo expositor del pensamiento fenomenológico -quien llegó a la filosofía
vía matemáticas- le enigmaba el contraste entre las ciencias formales matemáticas, en este caso- y la filosofía. Primero porque aquellas eran sólidas,
precisas y segundo porque el filosofía ocurría lo contrario. Las diversas
corrientes filosóficas no sólo no coincidían en elementos esenciales, sino que se
contradecían unas a las otras. Animado por la experiencia de los filósofos
modernistas, intentó proporcionar a la filosofia un fundamento infalible capaz de
transformarla en una verdadera ciencia. El metodo está fundamentado en dos
premisas: a) Un principio negativo en el que se afirma la necesidad de prescindir
de todo dato supuesto "y considerar como nulo todo cuanto no esté basado en
demostración cierta y verídica" b) Un principio positivo. En él se afirma la
naturaleza del objeto asi captada, y es preciso ir hasta las cosas mismas, y eso
que nos ofrece una plenitud de evidencia irrecusable, son los fenómenos. El
fenómeno es "el hecho que se capta inmediatamente en todos sus aspectos".
Figura. [v. Silogismo, figuras del]
Forma Lógica inválida. Una forma lógica es inválida cuando sea posible
construir una interpretación oracional de la implicación cuyo antecedente es la
conjunción de las premias y cuyo consecuente es la conclusión, y que en esa
interpretación las premisas resulten verdaderas y la conclusión falsa. Es decir,
cuando se presente el caso que las premisas [antecedente del condicional] sea
verdadero y la conclusión falsa [consecuente del condicional].
Ejemplo. Si llueve entonces hará frío. Hace frio, por lo tanto, llovió. Resalta la
invalidez del argumento, dado que, puede hacer frío sin que necesariamente
llueva. Su forma lógica es
[(p --> q) & q] --> p donde es posible que la conclusión
v v v vv
v v sea falsa (p) y las premisas
v f f ff v v
verdaderas. Este tipo de argumentos f v v v v f f
son de los denominados falacias
f v f f f v f formales. Y es
posible construir una tabla de verdad que determine su invalidez.
Fórmula Atómica. Una fórmula [v fórmula bien formada] es atómica si y sólo si no
contiene ninguno de los cinco conectivos lógicos [v]. Ejemplo: `p', `q', `r', `s', etc.
[v. proposición atómica].
Fórmula bien formada. Una fórmula es una fórmula bien formada si y sólo si
cumplen las siguientes reglas lógicas de formación: (Para la lógica proposicional
[v. Cálculo proposicional]) 1) Cualquier fórmula atómica es una fórmula bien
formada; 2) Si p es una fórmula, entonces -p es una fórmula bien formada
también; 3) Si p y q son fórmulas bien formadas [v], entonces `p & q', `p v q',
`p --> q' y `p <--> q' son fórmulas bien formadas. (Para la lógica cuantificacional
[v. Cálculo cuantificacional]) 4) `(3x) Px', `(x) Px', `(3x) [(Px <--> Rx) & (Mx --> (Sx
v -Ux)', `(x)[Px --> -(Yx v (Tx <--> (Dx & Ex)))]. 5) En cualquier fórmula bien
formada es posible distinguir el conectivo principal.
Fórmula Molecular. Una fórmula [v. fórmula bien formada] es molecular o
compuesto, si y sólo si, es un conjunto de fórmulas bien formadas atómicas [v]
que se encuentran unidos por uno o varios conectivos lógicos [v]. [v.
proposición molecular]
Ejemplo.
`-p', `[p --> (r v -s)]', `[( t <--> s ) & (p v (m --> -l))]'
Frege, Friedrich Ludwing Gottlob. "(1848-1925) Es el fundador de la lógica
moderna y uno de los pensadores que más han contribuído a conformar la
filosofía de nuestro siglo, sobre todo a través de su influencia decisiva en
Russell [v], Carnap [v], Wittgenstein [v] y Husserl [v]. Pero en su tiempo no sólo
pasó desapercibida la importancia de su obra y quedaron sin eco sus ideas, sino
que ni siquiera encontraba editor para sus libros, teniendo que pagar de su
propio bolsillo la edición de su obra fundamental, Grundgesetze der Arithmetik.
Frege pasó la mayor parte de su vida como profesor de matemáticas en la
Universidad de Jena, pero nunca llegó a ser nombrado catedrático. Ni siquiera
se le concedió una distinción rutinaria que solía otorgarse a todos los profesores
al cumplir los 60 años, pues "su actividad académica carecía de interés para la
Universidad", según palabras del secretario de la misma. Frege tenía pocos
alumnos. Uno de ellos, Carnap nos cuenta que en 1913 sólo otras dos personas
(una de ellas un comandante retirado que estudiaba las nuevas ideas como
hobby) asistían con él a las clases de Frege. Durante toda su vida, Frege estuvo
preocupado por el problema de la naturaleza de los números naturales y la
fundamentación de la aritmética. Su objetivo final consistía en reducir la
aritmética (y el análisis) a la lógica, definiendo las nociones ariméticas a partir
de nociones puramente lógicas y deduciendo los axiomas aritméticos a partir de
ella. "Frege -contaba Wittgenstein, que le habían visitado varias veces- no
hablaba nunca más que de lógica y matemática; si yo empezaba a hablar de otro
tema, me cortaba con una frase cortés y en seguida volvía a llevar la
conversación a la lógica y la matemática. [...] Lo que hoy entendemos por lógica
se inicia en 1879 con la publicación de la obra de Frege titulada precisamente
Begriffsschrift. En esta obra aparecen por primera vez los cuantificadores [v] y
las variables ligadas [v], que permiten a Frege desarrollar la primera teoría
coherente de la cuantificación; por primera vez se distinguen claramente los
predicados [v] de los nombres [v], y los predicados de primer orden [v] y la de
segundo orden [v], se ofrece una descripción adecuada de su naturaleza y se
presenta un cálculo deductivo correcto (aunque no completo) para las dos
primeras. En resumen, por primera vez, y de golpe, aparecen los análisis,
conceptos y métodos característicos de la lógica actual. La segunda etapa gira
en torno a Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos de la matemática)
publicada en 1884 [...] Los números no se dicen de las cosas, sino de los
conceptos. [En] Die Grundgesetze der Arithmetik (publicada en dos volúmenes,
en 1893 y 1903, respectivamente) debía haber representado la culminación de la
obra de Frege y el éxito definitivo del programa logicista. Pero resulta que uno
de los pocos primeros lectores de la obra, Bertrand Russell, descubrió en ella
una contradicción, que comunicó a Frege por carta, cuando el segundo tomo se
estaba acabando de imprimir. Frege añadió rápidamente un epílogo, dando
cuenta de la contradicción descubierta por Russell y buscando modos de
solucionarla. El epílogo está impregnado de tristeza y melancolía. "Nada más
triste puede suceder a un escritor científico -escribe Frege- que ver cómo,
después de terminado su trabajo, una de las bases de su construcción se
tambalea". Frege no trató en modo alguno de defender su sistema, sino que
reconoció con gran naturalidad el error descubierto por Russell e
inmediatamente se puso a buscar vías de solución al nuevo problema. Casi al
final de su larga y fecunda vida, Bertrand Russell escribió: "Cuando pienso en
actos de gracia e integridad, me doy cuenta de que no conozco ninguno
comparable con la dedicación de Frege a la verdad. [...] al darse cuenta de que su
supuesto inicial era erróneo, reaccionó con placer intelectual, reprimiendo todo
sentimiento de decepción personal. Era algo casi sobrehumano y un índice de
aquello de lo que los hombres son capaces cuando están dedicados al trabajo
creador y al conocimiento, y no al crudo afán por dominar y hacer famosos"".
Tomado textualmente de la introducción -de Jesús Mosterín- del libro "Estudios
sobre semántica", de Frege cuya traducción es de Ulises Moulines,
Función proposicional. Llamada también proposición abierta. Es aquella en la
que intervienen sujetos que no están determinados, llamados variables y no es
posible determinar su valor de verdad. Las más usuales son x, y, z, w.
forma lógica
Ejemplo
x fue militar (alguien fue militar)
y>a
Alguien asesinó a Gandhi
Mx
Mya
Awg
G
Goodman, Nelson. (1906) Nació en Somerville, Massachussetts. Se doctoró en la
Universidad de Harvard y enseñó en la Universidad dde Pennsylvania y
posteriormente en la U. de Harvard. Sus más importantes contribuciones figuran
en su investigación sobre los condicionales contrafácticos; la inducción y sobre
la confirmación. El análisis de los condicionales contrafácticos no es un mero
ejercicio gramatical, de ellos dependen definiciones satisfactorias de Ley
científica, de la confirmación y de los términos disposicionales: Sus obras más
importantes son "La estructura de la apariencia" y "Los lenguajes del arte",
"Problemas y proyectos"
H
Husserl, Edmund. (1859-1938) N. En Prossnitz (Moravia). Estudió matemáticas
con Brentano en la Universidad de Viena (1884-86). Fue nombrado profesor de la
Universidad de Friburgo donde enseñó hasta su jubilación en 1928. Uno de sus
discípulos Eugen Fink, ha propuesto dividir el pensamiento de Husserl en tres
periódos: a) el de Halle (culminado con las "Investigaciones Lógicas", b) el de
Gottinga (culmina con las "Ideas") y c) el de Friburgo (culminando con "Lógica
Formal y trascedental"). Herbert Spiegelberg acepta las tres divisiones, pero él
las denomina a) periodo pre-fenomenológico, b) periodo fenomenológico y c) el
de la fenomenología pura. Husserl sostuvo la necesidad de la transformación de
la fenomenología [v] como psicología descriptiva en una fenomenología
trascedental. Su aspiración filosófica consistió en ver, lo cual él entendía como
"ver radicalmente", para conseguilo analizó variso conceptos fundamentales a la
vez lógicos y gnoseológicos para depurarlos no sólo de psicologismo y
subjetivismo sino también de todos los posibles supuestos naturalistas y para
denunciar inadvertidos supuestos ontológicos. Aspiró a liberar a la filosofía de
toda idea de confusión con una ciencia natural. Debe en cambio, ocuparse de un
"tercer reino" de lo algunos filósofos llaman "las significacaciones" y que él
concebió como el reino de las "esencias" en cuanto "unidades ideales de
significación". sus principales obras son "Filosofía de la aritmética", "La filosofía
como ciencia estricta" y "Experiencia y juicio. Investigaciones para la
fenomenología de la lógica".
I
Implicación. Frecuentemente se confunden o se toman como sinónimos los
términos `implicación' y `condicional' [v]. En un condicional se expresan
enunciados o fórmulas bien formadas [v] como:
p --> q
[1]`Si César cruzó el Rubicón, entonces Cervantes combatió en Lepanto'.
En contraparte, en una implicación se emplean nombres de enunciados como
por ejemplo:
`p' implica a `q'
si utilizamos el mismo ejemplo tendremos:
[2]`César cruzó el Rubicón implica que Cervantes combatió en Lepanto'.
La [1] es un condicional verdadero en tanto que [2] es una implicación falsa. Un
ejemplo de una implicación verdadera es:
`César cruzó el Rubicón implica `Cervantes combatió en Lepanto' implica
`Cervantes combatió en Lepanto' a la que corresponde el condicional
lógicamente verdadero:
`Si César cruzó el Rubicón, entonces si Cervantes combatió en Lepanto,
entonces Cervantes combatió en Lepanto'.
Ya desde los estoicos [v. lógica, historia de la] se diferenciaban claramente los
conceptos de implicación material [v] e implicación formal [v].
Implicación material. Algunos enunciados condicionales en el leguaje ordinario
afirman meramente como implicaciones materiales. Esta clase de condicional se
usa ordinariamente como un método enfático o lleno de humor con la finalidad
de negar la verdad de su antecente. Así "si tu tienes razón yo soy Superman"
contiene un enunciado notiria o ridículamente falso como consecuente.
Implicación material, regla de la. En algunos estudios de metalógica [v]
implicación material es la manera de definir el condicional a partir de
disyunción. Un condicional es equivalente a la negación del antecedente,
substitución del condicional por una disyunción y el consecuente pasa con
mismo valor de verdad como segundo disyunto.
la
la
la
el
(p --> q) <--> (-p v q)
Si alguna de las proposiciones atómicas componentes están negadas, los
valores de verdad varían.
(-p --> q) <--> (- - p v q) y utilizando la regla de doble negación en - - p , la fórmula
se transforma en
(-p --> q) <--> (p v q)
Implicación tautológica. Una oración [v] implica tautológicamente a otra si y sólo
si el enunciado [v] o fórmula `p --> q' es una tautología [v]. Ejemplo:
"César cruzó el Rubicón y Cervantes combatió en Lepanto" implica
tautológicamente a "Cervantes combatió en Lepanto".
si el primer enunciado es representado con `p' y el segundo con `q' obtendremos
su forma lógica:
(p & q) --> q
la cual es una tautología. Todas las reglas lógicas de inferencia son fórmulas
tautológicas.
Inconsistente, sistema. Un sistema es inconsistente si dos fórmulas, una de las
cuales es la negación o contradicción de la otra, puedan ambas demostrarse
como teoremas [v] dentro de un sistema.
Inconsistencia de las premisas. [v. consistencia de las premisas]
Independencia de los axiomas. Los axiomas de un sistema determinado se
llaman independientes cuando ninguno de ellos puede ser obtenido como
teorema a partir de los restantes o de manera semejante, se llama independiente
a un axioma P respecto de los otros si se obtiene un sistema consistente tanto si
se les añade P como si se les añade -P.
Inferencia. Es el resultado de la actividad en la que es posible afirmar un
enunciado u oración [v] o proposición sobre la base de otro u otros enunciados,
oraciones o proposiciones que han sido aceptados como punto de partida del
proceso. La inferencia puede ser de tres clases: inferencia inductiva [v],
inferencia deductiva [v] e inferencia analógica [v].
Inferencia analógica. En este tipo de inferencia, es posible obtener conclusiones
estableciendo comparaciones o analogías.
Sus conclusiones son tan
particulares o tan generales cuanto lo sean sus premisas.
Ejemplo:
"La ciudad y los perros" es una obra de Mario Vargas Llosa que atrajo
poderosamente mi atención. Por tanto "Pantaleón y las visitadores" es una obra
de Mario Vargas Llosa que atraerá poderosamente mi atención cuando la lea.
Inferencia deductiva. Son aquellos razonamientos en que se obtienen una o
varias conclusiones de manera necesaria [v. necesidad lógica]. Se estipulan
premisas aceptadas como punto de partida de la cual se extraen conclusiones.
(Tradicionalmente se afirmaba que la inferencia deductiva era el tipo de
razonamiento que partía de premisas generales hasta alcanzar conclusiones
particulares. Esta afirmación es válida para el silogismo [v] y para la lógica
proposicional [v. Cálculo proposicional], pero no para la lógica cuantificacional
[v. cálculo cuantificacional]).
Ejemplo:
Todas las obras de Mario Vargas Llosa atraen poderosamente mi atención.
"La tía Julia y el escribidor" es una obra de Mario Vargas Llosa.
Luego, "La tia Julia y el escribidor" atraerá poderosamente mi atención.
Si Alberto es hermano de Beatríz y Beatríz hermana de Carlos, luego Alberto es
hermano de Carlos.
Inferencia inductiva. A partir de la afirmación de que varios elementos de una
clase dada poseen determinada propiedad, se concluye que todos los miembros
de dicha clase la tienen. La inferencia inductiva parte de datos particulares hasta
alcanzar conclusiones generales.
Ejemplo:
"La ciudad y los perros" es una obra de Mario Vargas Llosa que atrajo
fuertemente mi atención cuando la leí.
"La guerra del fin del mundo" es una obra de Mario Vargas que atrajo
fuertemente mi atención cuando la leí.
"Pantaleón y las visitadoras" es una obra de Mario Vargas Llosa que atrajo
fuertemente mi atención cuando la leí.
Por tanto todas las obras de Mario Vargas Llosa atraerán fuertemente mi
atención cuando las lea.
Inválido. Categoría aplicable a los argumentos deductivos. Dícese que un
argumento deductivo [v. inferencia deductiva] es inválido cuando de sus
premisas no se sigue necesariamente la conclusión. Los argumentos inválidos
son de dos tipos: los argumentos contingentes [v] o indeterminados, y los
argumentos contradictorios [v]. La invalidez de un argumento se determina por
su estructura lógica [v. forma lógica inválida].
L
Leibniz, Gottfried Wilhelm. (1 de julio de 1646- 14 de noviembre de 1716). Niño
prodigio, diplomático, filósofo, escritor, político, psicólogo, físico, estableció los
fundamentos de la nueva lógica o lógica moderna, pero al darse cuenta de que
contradecía a los principios silogísticos, pensó que los errores debían deberse a
él y no a Aristóteles [v] y por ello no hizo públicos sus descubrimientos. Creyó en
la fortaleza y la necesidad de construir una lógica fuerte y consistente. Todos los
problemas, pensó, podrían solucionarse -desde los metafísicos hasta los
morales- con una simple palabra `Calculemos'. Como resultado de este intento
ideó la Characteristica Universalis donde desarrolló el cálculo de la identidad y la
inclusión, el cálculo de la similaridad y la congruencia y planeó la teoría de la
lógica matemática. En ésta desarrolló el álgebra lógica para formar conceptos,
juicios y razonamientos, estableció la ley de la tautología [v], los principios de
identidad [v] y de razón suficiente [v] y estableció una teoría de las
permutaciones. Inventó una máquina calculadora mejor que la de Pascal, puesto
que ya dividía y multiplicaba, además de sumar y restar. Sostuvo una
controversia por la invención del cálculo de fluxiones con Newton.
Leyes de De Morgan. [v. Teorema de De Morgan]
Ley de la separación. [v. Modus ponendo ponens]
Leyes del Pensamiento. [v. Principios Lógicos]
Ley lógica. [v. Reglas lógicas de inferencia].
Lógica, definición de la. Ciencia formal [v] que estudia los métodos [v] y
principios [v] usados para determinar la validez [v] o la invalidez [v] de los
argumentos [v].
Lógica Bivalente. Lógica de dos valores. Supuesto de que en la lógica de este
tipo, a las proposiciones [v] sólo pueden atribuírseles, dentro de la semántica, [v]
dos valores de verdad [v]: el valor de verdad verdadero y el valor de verdad falso.
Lógica, etimología de la palabra. La palabra `lógica' proviene del término griego
logos. Aunque normalmente entendemos esa palabra con el significado de
`tratado', `estudio' también tiene la acepción -muy clásica entre los griegos- de
`pensamiento', `idea', `espíritu', `razón', `palabra'. La etimología nos explica muy
poco del vocablo `lógica' como el nombre de una ciencia, pero como en otras
muchas actividades cognoscitivas, el sentido original ha sido abandonado.
Lógica, filosofía de la. [v. metalógica]
Lógica, historia de la. Lógica antigua. El nacimiento de la lógica se inicia sin un
fundamento o estudio previo como suele suceder con otras actividades
cognoscitivas. Aristóteles de Estagira [v], considerado el padre de la lógica, la
concibe prácticamente de la nada.
No se han encontrado indicios de
documentos en los cuales se pueda probar la existencia de estudios anteriores al
estagirita. Algunos historiadores se inclinan por aceptar que si existieron
trabajos acerca de la inferencia sobremanera en matemáticas y geometría. Pero
ese tipo de inferencia es distinto al estimulado por el estagirita. Este no usó el
nombre de lógica en la acepción que hoy entendemos. Los tratados de lógica
recopilados de sus obras son conocidos con el nombre de Organon [v], el cual
se compone de: Las Categorías; Peri-Hermeneias o de Interpretatione; Los
Primeros Analíticos, Los Segundos Analíticos; Los Tópicos y las Refutaciones
Sofísticas. Desde su época, la edad media, pasando por el renacimiento y
curiosamente aún en nuestros días por quienes rechazan los decubrimientos de
la lógica moderna y se adhieren con extraña tenacidad a un sistema anticuado
como el silogismo [v], la influencia de Aristóteles se dejó y se deja sentir. Edad
media. A mediados del siglo xii las únicas obras conocidas en lógica eran Las
Categorías y De Interpretatione de Aristóteles y La íntroducción de Porfirio [v]
junto con otros escritos de Boeccio [v] y Iacapella. Hacia la segunda midad del
siglo mencionado, renace el interés por el estudio de la lógica. Se efectúan
entonces traducciones de textos apropiados y el más importante es el Organon
del estagirita. La primera gran figura de la historia medieval es Pedro Abelardo
[v] de quien sobresale su punto de vista en torno a la discusión en boga en esa
épooca: Los Universales, controversia que se libraba entre los realistas [v] y los
nominalistas [v]. Pedro Abelardo no se adhería ninguna de las partes en disputa
y propuso una tercera posición que afirmaba, por ejemplo, que "los hombres
individuales son distintos entre sí, pero coinciden en que son hombres". Otra de
sus aportaciones fue la distinción entre los condicionales. Fue en este época
cuando se construyeron los poemas mnemotécnicos [v] para ser utilizados en el
silogismo. Pedro Hispano por su parte escribe un libro en el cual incluye más y
mejores versos mnemotécnicos. Guillermo de Occam [v] aporta las diferencias
entre las clases de términos. Su aportación más conocida es la llamada navaja
de Occam, tesis en la cual afirma que las entidadess no deben multiplicarse
innecesariamente. La colaboración de Juan Buridán [v] es el Pons Asinorum,
que sirvió para el descubrimiento del término medio [v]. Es en este periodo
cuando los escolásticos [v. escolástica] descubren la cuarta figura del silogismo.
Epoca moderna. La nueva lógica tiene su origen en Leibniz [v] quien es
considerado como el primer lógico matemático o al menos como quien por vez
primera desarrolló algunas ideas lógico-matemáticas. Aunque Leibniz [v] no
publicó sus trabajos porque se percató que contradecían al silogismo, siguió
acariciando la idea de construir una lingua philosophica o una characteristica
universalis. La historia de esta nueva ciencia comienza con Boole [v] y Augustus
De Morgan [v] quienes desarrollaron de manera casi simultánea los fundamentos
de la llamada álgebra booleana [v] y el de relaciones binarias [v]. Gottlob Frege
[v] es considerado como el más grande lógico de todos los tiempos y padre de la
lógica moderna. Su obra Begriffsschrift es comparada en importancia con el
Organon aristotélico. En ella aparece una exposición axiomática, completamente
fundamentada, consistente y completa del cálculo de enunciados. Se presenta
por vez primera un cálculo deductivo correcto (aunque no completo). Después
de su publicación se inicia lo que hoy entendemos por Lógica. Aparecen por vez
primera los cuantificadores[v] y las variables ligadas [v], se distinguen los
predicados de los nombres [v], los predicados de primer orden [v] y los de
segundo orden [v] y se presenta el cálculo deductivo correcto. G. Peano [v] y
Schröeder emprendieron la tarea de dar nueva forma a la lógica matemática.
Bertrand Russell [v] y con Alfred N. Whitehead [v] escriben la monumental obra
Principia Mathematica donde incorporan la teoría de los tipos [v]. Las
aportaciones de Alfred Tarski [v] abarca todo el campo de estudio de la lógica,
desde su aspecto filosófico hasta el más matemático. La filosofía, -gracias a la
influencia del positivismo lógico fue concebida como una parte de la lógica,
sobre todo en los trabajos de L. Wittgenstein [v] expuestos en el Tractatus
lógico-filosófico [v]. En el área de la semántica [v], ha logrado introducir
definiciones absolutamente precisas para muchos conceptos. Tarski abandona
el uso de `proposición' [v] y lo reemplaza por el de `oración' [v], pues no hay
oración que sea verdadero sino porque la realidad la hace verdadera. La lógica,
escribió P. Suppes "se ha convertido en una disciplina amplia y profunda" y para
Irving M. Copi puede ser aplicada a todo campo de las acciones (y creencias)
humanas. De ahí su importancia y utilidad [v. lógica, utilidad de la].
Lógica, objeto de estudio de la. El objeto de estudio, o campo de estudio de la
lógica, son toda la serie de argumentos [v] que se presenten, sean válidos [v.
validez] o inválidos [v. invalidez], y sin atender al contenido de los enunciados [v]
que forman el razonamiento o argumento.
Lógica, utilidad de la. El estudio de la lógica nos permite, en primer lugar,
obtener mayor capacidad para expresar ideas con conscisión y claridad. En su
segundo aspecto, un incremento en la destreza para la definición de términos; y
en tercera instancia una mayor posibilidad para formular argumentos [v] y
someterlos al rigor lógico.
M
Metalógica. Estudiar la lógica -o logística- es tarea de la metalógica. La
metalógica es un metalenguaje [v] que empleamos para referirnos a un lenguaje
objeto [v], esto es, la lógica. Es un lenguaje que habla acerca de la lógica y que
como todo metalenguaje tiene tres dimensiones: la sintáctica [v], la semántica [v
y también semanticamente consistente] y la pragmática [v]. La metalógica es una
parte de la semiótica que tien por objetivo el estudio de los signos lógicos en
general. Algunos autores afirman que el término correcto es el de filosofía de la
lógica y otros que es más apropiado llamarle metametalógica (M. L. Roure), pero
con ello se introducen demasiadas complicaciones linguisticas innecesarias.
Nosotros entenderemos `filosofía de la lógica' y `metalógica' como sinónimos.
Cuando la lógica se convierte en objeto de estudio, resumiendo, hacemos una
teoría de una teoría, es decir, una metateoría [v]. Hacer una metateoría de los
calculos lógicos es someterlos a consideración global para ver si responden a
ciertos requisitos y estos son fundamentalmente tres: la consistencia [v], el de
compleción o completud o completitud [v] y el de decidibilidad [v]. Algunos de
los cuestionamientos que la metalógica o filosofía de la lógica se plantea son:
qué son las leyes lógicas, verdades ontológicas o simples supuestos?, qué hace
a una fórmula ser una fórmula bien formada. Saber si existe una relación entre la
lógica y la realidad y de ser así, cómo se presenta, investigar acerca de la verdad
lógica, etc..
Método. Es un procedimiento regular, repetitivo, explícito para tratar un conjunto
de problemas, sean conceptuales o factuales.
Método lógico. Secuencia ordenada de operaciones formales para la
determinación de algún aspecto particular en una proposición (o secuencia de
proposiciones) o fórmulas bien formadas [v] (o secuencia de fórmulas [v.
fórmulas bien formadas]).
Mnemotécnico, poema. Relativo o perteneciente a la memoria. Es un sistema o
procedimiento arbitrado para ayudar a la memoria. Fueron empleados en la edad
media para resumir los modos y las figuras válidos del silogismo [v]. En la obra
de Guillermo de Shyreswood (m. 1249) aparecen dos poemas: El primero es para
reconocer la validez de los silogismos:
BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO
CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO
DARAPTI, DISAMIS, DATISI, FELAPTON, BOCARDO, FERISON
BRAMANTIP, CAMENES, DIMARIS, FESAPO, FRESISON
Así los modos válidos Se memorizaban cantando.
Ellos determinan los modos silogísticos válidos de las figuras. En ellos casi
todas las letras tienen algún significado: las tres primeras vocales caracterizan
los componentes del silogismo. De Barbara, por ejemplo, es el módo válido AAA
en la primera figura. Las consonantes dan instrucciones para reducir el modo
dado a uno de los cuatro primeros. La letra consonante inicial indica el modo
respectual al cual ha de efectuarse la reducción. (Baralipton, Baroco y Bocardo
se reducen a Barbara). La "s" significa que el enunciado denotado por la vocal
precedente ha de ser convertido simplemente, La letra "p" en alguna de las
palabras indica la conversión accidental en la proposición anterior a esa letra; la
letra "s" indica conversión simple para la proposición indicada en la vocal
anterior a dicha letra. Así, si se desea reducir a primera figura un silogismo del
modo Dabitis se debe efectuar una conversión simple en la premisa menor; la
"m" indica que las premisas han de ser intercambiadas y la "c" es parautilizar la
reducción indirecta.
El otro "poema" advierte que nuestros cuantificadores "todos" y "algunos"
pueden ser definidos con idéntica correción en términos de un cuantificador
"ninguno"
todo, ninguno-no, y no-alguno-no, son equivalentes+
Como lo son ninguno, no-alguno y todo-no;
Alguno, no alguno, y no-todo-no van asociados
Asimismo lo están alguno-no, no-ninguno-no, y no-todo.
Modus Ponendo Ponens (MPP). (Modo de poner poniendo) Si tenemos una
fórmula [v. fórmula bien formada] condicional y en otra premisa el antecedente
afirmado, podemos afirmar el consecuente.
Ejemplos:
1) [(p --> q)
2) p
\\ p
1. (p & q) --> (r v s)
2. (p & q)
\\ (r v s)
1) -p --> q
2) -p
\\\ q
1) -p --> q
2) -p
\\\ -q
Modelo. Es una forma de representación de alguna realidad o serie de realidades,
de un prceso o de una serie de procesos. En otros contextos se habla de modelo
como equivalente a teoría y también se sugiere que ésta puede tener diversos
modelos o puede moldearse de diversos modos.
Modo. En un silogismo categórico de forma tIpica [v] se determina por las formas
y el orden de las proposiciones categóricas de forma tIpica que contiene. En el
silogismo es la forma que toma de acuerdo con la cantidad y la cualidad de las
premisas Se representa cada modo por tres letras. La primera designa la forma
de la premisa mayor del silogismo. La segunda la forma de la premisa menor. La
tercera la de la conclusión. Los modos son
A Universal Afirmativo. Todos los hombres son mortales.
E Universal Negativo. Ningún hombre es cobarde.
I Particular Afirmativo. Algún hombre es cobarde.
O Particular Negativo. Algún hombre no es cobarde.
En el Silogismo
Ningún héroe es cobarde.
Algunos soldados son cobardes.
----------------------------Por tanto, algunos soldados no son héroes
el modo es EIO.
En el silogismo
Todos los hombres son racionales
Algún ser racional no es mortal
-------------------------------Por tanto Algún hombre no es mortal
su modo es AIO.
El modo y la figura [v] determinan la validez o la invalidez de un silogismo.
Modus Tollendo Tollens (MTT). (Modo de quitar quitando) Si tenemos una fórmula
condicional y en otra premisa el consecuente del mismo negando al antecedente
de la primera fórmula, podemos negar el consecuente de esa fórmula.
1) (p --> q)
2) -q
\\ -p
1) (p v q) --> (r <--> -s)
2) -(r <--> -s)
\\\ -(p v q)
1) -p --> q
2) -q
\\ p
1) p --> -q
2) q
\\ -p
N
Necesidad. Dícese que un estado de cosas es necesario si no puede entenderse
de un modo distinto. Existen tres formas distintas de entender el término
`necesidad': necesidad física, necesidad moral y necesidad lógica [v].
Necesidad lógica. Dícese de la relación que guarda la conclusión con las
premisas de un argumento que es lógicamente necesaria si el conjunto de
premisas es consistente y la negación de la conclusión
implica una
contradicción. La conclusión se deriva necesariamente de las premisas. Es
decir, si se da el caso que las premisas son verdaderas, el razonamiento válido,
entonces que la conclusión sea verdadera se desprende de manera "necesaria".
Negación. El conectivo lógico `-' se expresa insertando en el enunciado [v] o
fórmula atómica [v] o molecular [v] con el objetivo de negar al enunciado o a la
proposición.
Ejemplo:
`El azúcar produce caries' es un enunciado atómico [v] que puede
representarse en términos lógicos así:
`p'
La negación de esa afirmación en el lenguaje coloquial sería.
`El azúcar no produce caries'
Dentro del esquema lógico:
(es falso)(`El azúcar produce caries')
Si `p' es su traducción al contexto lógico, entonces, la negación del primer
enunciado se expresa de la siguiente manera:
`-p'
y se lee `no p' o `es falso p' o `no es cierto que p'
A pesar de su aparente simplicidad, todo enunciado o fórmula atómica [v], al ser
negada, se convierte en molecular porque la negación es un conectivo lógico.
También es posible negar fórmulas bien formadas [v] moleculares:
-[(p --> q) & -(r <--> -s)]
en la cual la primera negación afecta al conectivo `&' (conjunción [v]); la segunda
a `<-->' (equivalencia [v]) y la tercera sólo a la fórmula atómica [v] `s'.
Para algunos estudiosos de la filosofía de la lógica [v], son dos los símbolos
primitivos [v]: negación y disyunción. Los otros conectivos: implicación o
condicional `-->' [v], conjunción `&' [v] y doble implicación, bicondicional o
equivalencia `<-->' [v], son definibles de aquellos.
O
Occam. Guillermo de. (1280-1349). Llamado "Doctor Invicto", ingresó a la orden
franciscana, estudió en Oxford y ensenñó en esa misma institución de 1315-1319.
Uno de los últimos eruditos medievales. Encabezó una lucha ideológica contra el
sistema tomista. sostuvo que gran parte de la teología era una cuestión de fe y
no susceptible de tratamiento racional. Acusado de herejía por sus ideas y su
oposición a la autoridad papal, fue proceso de 1324 por Juan xxii. Huyo bajo la
protección del emperador Luis iv del Sacro Imperio Romano. Combatió el
concepto de los Universales [v] considerándolos simples nombres adhiriéndose
a corriente nominalista [v] alegando sólo la realidad de los objetos percibidos. La
conocida como la Navaja de Occam es la norma de que no se deben multiplicar
innecesariamente losentes. En la actualidad se interpreta como que de dos
teorías igualmente ajustadas a los datos o hechos de observación, debe
aceptarse aquella que requiera de un número menor de supuestos y es una regla
importante en la moderna filosofía de la ciencia.
Organon. Conjunto de tratados lógicos de Aristóteles [v]. En el orden consagrado
desde la ordenación realizada por su copilador, Andrónico de Rodas [v] son:
Categorías, Peri-hermeneias, Primeros Analíticos, Segundos Analíticos, los
Tópicos y las Refutaciones de los sofistas. Cada uno de los escritos presenta
problemas de tipo particular. Tal nombre de Organon no proviene del estagirita
pero este vocablo designa el instrumento mediante el cual el filósofo piensa
sobre lo real, luego, es el órgano o método natural de toda filosofía
P
Peano, Giussepe. (27 de agosto de 1858- 20 de abril de 1932). Nació en Cuneo,
Italia. Su preocupación fue el desarrollo de un sistema simbólico, trató de hacer
más amplio y rico el sistema de símbolos lógicos. Su principal trabajo fue
ampliar el sistema de símbolos lógicos mejorando los de Boole.Hizo un análisis
del proceso demostrativo de la matemática y estableció la formulación
axiomática de la aritmética. Distinguió entre el elemento y la inclusión de clases.
Construyó un sistema de axiomas que empezó con los conceptos sin definir de
"cero" , "número" y "el que sigue". En 1889 publicó "Una Exposición Lógica de
los Principios de Geometría".
Peirce, Charles Sanders. (1839-1914) Nació en Cambridge, Mass. profesó en la
Universidad de Harvard. Desarrolló escasa actividad literaria, y sus publicaciones
casi fueron realizadas en revistas principalmente en The Monist y Popular
Science Monthly. Su importancia e influencia no se cirscunscribe únicamente en
el pragmatismo [v] norteamericano sino como pensador que ha dejado sentir sus
conclusiones en los problemas centrales de la lógica. En ella, la amplió en todas
las direcciones manifiestando preferencia por los métodos y argumentos de la
filosofía inglesa. La filosofía, sostuvo, es una disciplina análoga a la ciencia, pero
de caracter universal y por ello es más difícil que cualquier otra ciencia pues
debe prestar atención a la vez a lo observable y a lo especulativo. En el campo
de la lógica combatió el psicologismo así como todas aquellas corrientes que
desvirtúan su caracter formal. Argumentó su caracter matemático. Entre sus
principales contribuciones a la lógica figuran la invención de varios simbolismos
y la lógica de las relaciones, como uno de sus fundadores. En el campo de la
semiótica [v] sostuvo la estrecha relación de ésta con la lógica porque es
definida como la ciencia de los signos.
Polisilogismo. Es un encadenamiento de silogismos en donde la conclusión del
primero sirve como premisa mayor del segundo, y así sucesivamente. Su
estructura general es así:
A -- B
C -- A
-----luego C -- B
D -- C
------
luego D -- B.
en el polisilogismo lo que se repite es una proposición.
Porfirio de Tiro. (232-304) En Atenas fue discípulo de Longino y en Roma de
Plotino. Fue traductor de las obras de Aristóteles [v] y Platón entre otras y autor
de numerosos tratados de matemáticas, astrología y lógica. La llamada Isagogue
o introducción tuvo relevante importancia al marcar el rumbo que tomó la
filosofia posterior, sobre todo en el problema de los universales. A mediados del
siglo xii las únicas obras conocidas en lógica en lógica eran Las Categorías y De
Interpretatione de Aristóteles y La Introducción de Porfirio.
Positivismo lógico. Ha sido uno de los movimientos filosóficos más importantes
del siglo xx. Designa el punto de vista de un grupo de filósofos, hombres de
ciencia y matemáticos que se denominaron a sí mismos Círculo de Viena.
Originarios de esta ciudad, algunos años después de la guerra, alcanzó madurez
en 1929 agitando al mundo filosofico mediante diversos pronunciamientos
revolucionarios. Carnap merece un tratamiento especial, Otto Neurath y Hahn
esbozaron el programa del Círculo. Se ganó la adhesión de filósofos de Holanda,
Polonia, Checoslovaquia, Inglaterra, Estados Unidos y países escandinavos.
Otros grupos se asociaron, como el grupo de Berlín, bajo el mandato de
Reichebach. Sus fundamentos son: 1) rechazo a la metafísica especulativa, 2)
rechazo a la metafísica del idealismo alemán 3) defensores del empirismo
inspirado por David Hume y de Ernest Mach. 4) se quejaron de la poca atención
que los empiristas tradicionales habían prestado a la lógica y la matemática 5)
Supeditaron la filosofía a la ciencia, afirmaron que el verdadero trabajo filosófico
radica en definir términos a ésta 6) Sólo tienen sentido los enunciados que
pertenezcan al dominio de la ciencia, los que no tendrán que ser descartados
como seudoproposiciones. 7) Los enunciados lógicos y matemáticos tales
enunciados son analíticos, tautologías, cuya verdad dependen únicamente de su
estructura formal. 8) La reducción de la matemática a la lógica, de modo que el
conocimiento consiste en enunciados empíricamente verificables formulados en
un lenguaje cuyas reglas sintácticas son fórmulados lógicas obtenibles por
medio de la reglas de inferencia y 9) Ninguna proposición tiene sentido a menos
de ser en principio empíricamente verificable, no es ella empíricamente
verificable, y por tanto carece de sentido. La expresión <<positivismo lógico>>
fue oportunamente sustituído por las expresiones <<enmpirismo lógico>> y
<<empirismo científico>>. En todo caso el positivismo lógico no permaneció
inmóvil e influyó notablemente en la filosofía analítica [v].
Pragmática. Es este el último paso en la interpretación de un cálculo. Escuando
se asigna significata o significaciones a sus constantes. Esto se efectúa
traduciendo las constantes en cuestión al lenguaje cotidiano y transifiriendo a
las constantes cualesquiera significaciones que su traducción tenga en el
lenguaje ordinario. Así a los conectivos lógicos [v] o los cuantificadores [v] se les
asigna significados del lenguaje cotidiano. Casi todos los lógicos están de
acuerdo en rechazar la identificación de las significaciones con las entidades
mentales. f Para un grupo de ellos, las significaciones las consideran entidades
abstractas expresadas mediantes constantes significativas llamados conceptos.
El concepto que expresa es calificado como el concepto de su designatum. Sin
embargo, existen signos que puedan expresar conceptos sin contener un
designatum. La teoría Frege-Church acerca de la significación relación
designata-significata, es decir, con la relación valores de verdad-conceptos de
valores de verdad o proposiciones; funciones proposicionales-conceptos
funcionalistas e individuos-conceptos individuales ha sido ampliamente
rechazada porque inundan la lógica con nuevas entidades abstractas. Las dos
opciones presentadas a la teoría F-Ch. son las siguientes: Una. Han
fundamentado su pragmática en la expresión "es sinónimo con" identificando la
significación de un signo con la clase de signos sinónimos con él. Así, los
nominalistas [v] han convertido las signficaciones en entidades abstractas ya
reconocido en la semántica.. Nelson Goodman [v] declara, coincidiendo con
bastantes teorías lingüísticas que no existen dos lucuciones sinónimas. Dos. Hay
quienes identifican la significación de un signo dado con la clase de reacciones
que suscita en quienes lo usan.
Pragmatismo. Los términos <<pragmatismo>> y <<operacionalismo>>, han
adquirido pleno sentido. William James es el padre del pragmatismo. Este
surgió con una disputa entre el filósofo antes mencionado y Peirce [v]. Su
desacuerdo era de índole de principios. Las intenciones de James fueron de
índole psicológica, ética y religiosas. Para Peirce lo eran de carácter lógico,
científico y metodológico. Para el pragmático, una teoría es verdadera o falsa
según el experimento científico la corrobore o no; salga bien o mal, tenga éxito o
no. Es introducido entonces el criterio de <<éxito>>, pilar del pragmatismo. Los
filósofos pragmáticos se dedicaron a actividades de diversa índole: unos se
propusieron bosquejar una teoría del significado; otros por sentar un criterio de
verdad; por encontrar un criterio de validez del juicio; otros más elaboraron el
pragmatismo como una teoría ontológica.
Predicado. En la lógoca clásica o tradicional [v. silogismo e lógica, historia de la]
es definido como el término que la cópula aplica al sujeto. El predicado
constituyen, junto con el sujeto, la material de la proposición. También es
definido como aquello que se enuncia del sujeto. En la lógica de inspiración
fenomenológica suele llamársele "concepto-predicado"
Pregunta Compleja. Falacia que se comete cuando se incluye de manera oculta
una premisa o bien se presupone como verdadera o bien se efectúan dos o más
preguntas en una. Así, los estilos varían cuando alguien pregunta a otro "¿Aún
engañas a tu esposa?" donde el aludido, de contestar no aceptaría que
anteriormente lo hacía, y si responde afirmativamente asiente haberlo hecho en
el pasado y aún el el presente. Otro "estilo" de pregunta compleja es cuando se
incluyen más de una pregunta: "¿Acaso estás en contra del Partido Conservador
y a favor del aborto, la promiscuidad sexual y de la corrupción?" El interrogado
debe, antes de contestar sí o no, reconocer las diversas preguntas y afirmar su
rechazo -por ejemplo- hacia la ideología
del partido conservador, aceptar el aborto, negar su adhesión hacia medidas que
estimulen la promiscuidad sexual y declararse en contra de la corrupción.
Premisa. Todo argumento está formado de premisas y conclusión [v]. La premisa
o premisas son enunciados [v] que sirven de fundamento a la conclusión o
conclusiones y que no están en tela de juicio ni su verdad es indecidible en el
contexto dado. En otras palabras, las premisas son aceptadas como verdaderas,
como punto de partida. Ejemplo:" [1] todos los hombres son mortales; [2]
Sócrates es hombre; [3] por tanto Sócrates es mortal", 1 y 2 son las premisas y 3
es la conclusión. Cabe destacar que las premisas no aparecen siempre al
principio del argumento ni la conclusión al final del mismo. Puede vérseles al
principio o enmedio. Ejemplos:"[1] Sócrates debe ser mortal, puesto que [2]
todos los hombres son mortales y [3] Sócrates es mortal", en el cual 1 es la
conclusión y 2 y 3 premisas. "[1] Si todos los hombres son mortales, [2] Sócrates
es mortal, ya que [3] Sócrates es hombre" en donde 1 y 3 son las premisas y 2 es
la conclusión.
Premisas, consistencia (inconsistencia) de las premisas. [v. consistencia de las
premisas]
Premisa mayor. [v] término mayor.
Premisa menor. [v] término menor.
Principio de Contradicción. Más propiamente, Principio de no Contradicción.
Ningún enunciado [v] puede ser verdadero [v. valor de verdad] o falso al mismo
tiempo. En la lógica bivalente [v] no es válido [v. validez] llegar a dos
consecuencias de la forma `A & -A' o `A <--> -A'. [v. contradicción].
Principio de Identidad. Postula que si un enunciado es verdadero, entonces es
verdadero. Se expresa en la forma "A es A", la cual indica que si A es un
enunciado verdadero, entonces A es verdadero y que todo enunciado semejante
es una tautología [v].
Principios Lógicos. En la lógica clasica [v. Lógica, historia de la], se considera
que son tres y sólo tres las leyes necesarias [v. condicional] y suficientes [v,
condicional] que rigen el pensamiento correcto y de las cuales se pueden derivar
todos los demás principios lógicos. Estos principios son: el Principio de
identidad [v], el Principio de Contradicción [v] (más propiamente Principio de no
contradicción [v]) y el Principio del Tercer Excluso (o Excluído) [v].
Principio [del] Tercer Excluso. O Principio del tercero excluído. La Lógica
bivalente [v] acepta que cualquier proposición [v] o enunciado [v] sólo puede ser
verdadero o falso. No hay lugar para ninguna otra opción.
Proposición. Es la unidad mínima del discurso. En la lógica bivalente sólo
pueden atribuírsele los valores de verdad verdadero y falso. Existen dos tipos
de proposiciones: variables proposicionales [v] y constantes proposicionales o
propositivas. Algunos autores insisten en afirmar diferencias entre `enunciado' y
`proposición'. Para ellos, el enunciado es la expresión en el idioma que se trate
mientras que la proposición corresponde al lenguaje lógico. Ferrater Mora
considera a las sentencias y no a las proposiciones. Sin embargo, otros lógicos
consideran sinónimos `enunciado' y `proposición'. A pesar de la cientificidad de
la lógica, los lógicos no han logrado llegar a un acuerdo universal en cuanto a
algunos términos: por ejemplo, Quine [v] rechaza las proposiciones, algunos
piensan que proposición y enunciado es lo mismo, otros prefieren a las
oraciones; en este diccionario entenderemos -aunque a algunos puristas lógicos
les llegase a desagradar- `oración' y `enunciado' como sinónimos, en un afán
esclarecedor.
Proposiciones atómicas. Una proposición es atómica cuando no se encuentra
enlazada a otra proposición por medio de los conectivos lógicos [v] `no', `si,
entonces', `si y sólo sí', `y', y `o'.
ejemplos de proposiciones atómicas.
forma lógica
enunciado
El ácido sulfúrico es corrosivo
p
El presidente de la república hizo un
llamado a la población para que haga
uso de las libertades políticas que le consagra la Constitución
q
en cambio, ejemplos de proposiciones que no son atómicas, denominadas
proposiciones moleculares [v]
enunciado
Llueve y hace frio
forma lógica
p&q
No hace frío
-p
Proposiciones moleculares. Una proposición es molecular cuando se encuentra
enlazada a otra proposición por medio de los conectivos lógicos [v] `no', `si,
entonces', `si y sólo sí', `y', y `o'.
ejemplos de proposiciones que no son atómicas [v], denominadas proposiciones
moleculares [v]
enunciado
Llueve y hace frio
No hace frío
forma lógica
p&q
-p
en cambio, estos son ejemplos de proposiciones atómicas.
enunciado
forma lógica
El ácido sulfúrico es corrosivo
p
El presidente de la república hizo un
llamado a la población para que haga
uso de las libertades políticas que le consagra la Constitución.
q
Prueba. Dícese que una secuencia ordenada de fórmulas bien formadas [v] es
una prueba formal de una fórmula S en un cálculo Z si y sólamente si es
suficiente deducir S por medio de las reglas lógicas de transformación [v] de Z.
[Véanse Prueba directa de validez, prueba de invalidez, prueba de consistencia
de las premisas].
Q
Quine, Willard van Orman. (1908) Nació en Akron, Ohio. Realizó sus estudios de
matemáticas y filosofía.
En la Universidad de Harvard fue discípulo de
Whitehead y de Lewis. Se doctoró cono una disertación sobre "La lógica de las
secuencias" en el Oberlin College. Catedrático posteriormete de ésta misma
Universidad ha llevado a cabo importantes trabajos en lógica matemática. Autor
de no menos de quince libros y muchos artículos. su obra inicial fue dedicada a
los problemas más técnicos de la lógica matemática interesándose siempre por
sus implicaciones filosóficas. Rechazó la base fenomenalista [v] y em cambio
aceptó el fisicalismo [v], negaándose a formular una clara distinción entre
ciencia y filosofía. En "Dos dogmas del Empirismo" rechaza la existencia de una
distinción fundamental entre proposiciones analíticas [v] y sintéticas [v] y el
dogma de que cada afirmación significativa es equivalente a algún constructo
relativo a términos que hacen referencia a la experiencia inmediata. Su objeción
la fundamenta en que carecemos de criterios para las sinonimia. Es posible
afirmar que las expresiones "solteros" y "hombres no casados" son sinónimas
si la afirmación "todos los solteros son hombres no casados" es analítica, pero
caemos entonces en un círculo podemos decir que ambas expresiones son
sinónimas si la afirmación de que todos los solteros son hombres no casados es
necesariamente verdadera, pero volvemos a caer en un círculo porque la función
de la palabra "necesariamente" implica que la afirmación que manda es analítica.
En cambio, propone una concepción epistemológica que consiste en concebir el
conjunto como un todo estructural que responde coo todo a la experiencia. Las
obras más conocidas de Quine son "La construcción lógica del mundo",
"Filosofía de la lógica" y "Sobre lo que hay".
R
Razonamiento. Este término es utilizado para designar un proceso específico de
inferencia en el sentido psicológico y algunos autores lo distinguen de
argumento [v]. Es decir. un razonamiento es el acto psicológico que enuncia un
argumento.
Reglas lógicas de inferencia. Son estructuras lógicas válidas que sirven de
criterio para establecer la validez de otras estructuras. Si el Modus Ponendo
Ponens es una estructura tautológica, entonces cualquier argumento con
estructura semejante será válido. Las reglas lógicas de inferencia o leyes lógicas
son: Modus Ponendo Ponens [v], Modus Tollendo Tollens [v], Silogismo
Hipotético [v], Silogismo Disyuntivo [v], Dilema Constructivo [v], Dilema
Destructivo [v], Simplificación [v], Conjunción [v], y Adición [v].
Regla de reemplazo. Son expresiones que pueden ser utilizadas indistintamente
porque son lógicamente equivalentes [v. equivalencia tautológica]. Cualquier
expresión puede ser reemplazada por su equivalencia lógica. El valor de verdad
del enunciado que resulta es el mismo que el del enunciado original. Las reglas
lógicas de reemplazo son: Teoremas de De Morgan [v], Conmutación [v],
Asociación [v], Distribución [v], Doble negación [v], Transposición [v],
Implicación material [v], Equivalencia material [v], Exportación [v] y Tautología o
identidad [v].
Russell, Bertrand. (1872-1970) Nació en Rovenscreft, en Inglaterra. Realizó
estudios en el Trinity College de Cambridge. Tuvo como profesores de filosofía a
Henry Sidwick, James Ward y G. F. Stout. Sus primeros intereses cognoscitivos
se inclinaron por las matemáticas y la ciencia, pero pronto entró en contacto con
filósofos, históricos y sociales. En 1952 recibió el Premio Nobel de literatura. La
evolución en el pensamiento filosófico de Russell es bastante compleja, dificil de
estudiar y de clasificar su pensamiento, sobre todo porque habiendo vivido casi
cien años, tuvo la oportunidad de cambiar de posición filosófica y de disciplina
en varias ocasiones y dedicarse incluso a analizar y participar en acciones
concernientes al desarme. Asi, en un principio consideró que el análisis lógico
poseía la suficiente fuerza para despejar la mayor parte de las incógnitas en la
teoría del conocimiento. Basó su tesis en que la lógica se encuentra en el
fundamento de toda filosofía. Contribuyó sobremanera la tendencia logicista en
la fundamentación de la matemática. El mismo lo definió de la siguiente manera:
"La filosofía por la cual abogo es considerada generalmente como una especie
de realismo, y ha sido acusada de inconsistencia a causa de los elementos que
hay en ella y que parecen contrarios a tal doctrina. Considero que la lógica, y
que las escuelas deberían caracterizarse por su lógica más bien que por su
metafísica. Mi propia lógica es atómica y este es el aspecto que deseo subrayar.
[...] prefiero describir mi filosofía como un atomismo lógico [v] más bien que
como un realismo con o sin adjetivo". A pesar de la enorme influencia tenida por
el positivismo lógico [v] a principios del siglo xx en todo el ambiente filosófico,
Russell combatió la posición lógica positiva de la verificación pero admitió
ciertos postulados del conocimiento empírico que puedan ser considerados
como un intento de mediación entre algunas posiciones tradicionales y las
tendencias neopositivistas.
Russell sostuvo que el análisis del lenguaje
ordinario no puede considerarse como una panacea que resuelva todos los
problemas. El análisis lógico -argumentó- y el uso de los lenguajes formalizados
es en muchas ocasiones indispensable para la filosofía. Entre sus obras más
importantes -en lo que a lógica se refiere figuran los Principia Mathematica,
escrita conjuntamente con Whithehead [v]. Russell fue uno de los primeros y
pocos lectores de la obra máxima de G. Frege [v] a quien le encontró lo que en la
lógica se denomina La paradoja de Russell.
S
Schröeder, Ernest. (1841-1902) Nació en Pforzheim. Sus contribuciones lógica se
centran en la forma del álgebra desarrollada por los lógicos (De Morgan [v] y
Boole [v]). Formuló varios procedimientos de decisión. También destacan sus
aportaciones al álgebra de relaciones y hace una presentacion sistemática de
trabajos de sus predecesores. Sus sistemas normales [v] colaboraron en el
análisis lógico y estudios metalógicos.
Semántica. Designa la disciplina, una de las partes de la semiótica [v] que se
ocupa del estudio de las significación de las palabras o enunciados. Otros
autores la definen como la ciencia del cambio de significación de las palabras.
Para Carnap [v], si hacemos abstracción del que usa el lenguaje y analizamos
únicamente las expresiones y sus designata, nos hallamos en el campo
semántico. Quine [v], por otra parte, propone la separación de la semántica en
dos: Una; la teoría de la significación donde se examinan los siguientes
conceptos: significación, sinonimia (o identidad de significación), significado (o
posesión de significación) y analiticidad. Dos; la teoría de la referencia examina
conceptos de verdad y denotación. Desde esta perspectiva, las paradojas
semánticas pueden considerarse como paradojas de la teoría de la referencia.
Para otros autores, la semántica debe dividirse en pura y descriptiva. La
semántica pura trata de la construcción de un sistema de reglas semánticas,
sean ya en relación con un lenguaje histórico dado o bien inventándolas
libremente. Las reglas de un sistema semántico S son una definición de
conceptos semáticos respecto a S. En contraposición con la semántica
descriptiva la semántica pura es enteramente analítica y sin contenidos fácticos.
La semántica descriptiva se refiere a los lenguajes históricos (francés, inglés,
castellano). Como síntesis se considera a la semántica como aquella ciencia que
se ocupa de sistemas de signos en relación con los objetos designados. Para
Tarski [v] "la semántica es una disciplina que trata de ciertas relaciones entre
las expresiones de un lenguaje y los objetos a los cuales se refieren tales
expresiones". [v. semántica lógica].
Semántica lógica. Estudia los problemas que plantea la interpretación de los
cálculos lógicos y por consiguiente, el problema de la designación.
Semiótica. Ciencia general de los signos. En la literatura lógica es considerada
como un metalenguaje [v]. Sus términos basicos son "intérprete" y organismo
para el cual algo es un signo; "intepretante" o disposición de un intérprete para
responder al estímulo provocado por un signo mediante ciertas secuencias.
Para Morris existen dos tipos de semiótica: la mentalista o psicológica según la
cual el intérprete del signo es el espíritu y el interpretante es un concepto y; la
conductista cuando el intérprete es un organismo y el interpretante es una
secuencia conductista. También propone dividir la semiótica en pura,(la que
elabora un lenguaje para hablar acerca de los signos) y la descriptiva, (la cual
estudia signos ya existentes). Tradicionalmente, la semiótica se divide en tres
disciplinas: sintaxis [v], semántica [v] y pragmática[v].
Semánticamente consistente. Un sistema es semánticamente consistente si sus
expresiones admiten un modelo. Hablando correctamente, es oportuno decir que
la verificación de una condición semántica (es decir, la existencia de un modelo)
comporta la de otra sintáctica, es decir, la consistencia [v], pero de todos modos
puede admitirse, aunque sólo sea por definición, la consistencia semántica [v.
Semántica lógica].
Silogismo. Quien realizó las primeras investigaciones y obtuvo los primeros
frutos en el establecimiento de un procedimiento para la demostración de
argumentos válidos, fue Aristóteles [v]. Esto lo logró prácticamente de la nada,
pues no se conoce ningún estudio anterior al del estagirita. El silogismo es un
razonamiento deductivo en el que es posible inferir válidamente una conclusión
[v] de premisas [v]. Las clases de silogismo son el S. Categórico [v] (o simple), y
los Silogismos Compuestos [v] y los Silogismos Irregulares [v].
Silogismo, axiomas del. La axiomatización del silogismo [v. axioma] facilitó su
comprensión y manejo. Los axiomas del silogismo categórico [v] se dividen en
dos clases: aquellos que tratan de de la cantidad o distribución de los términos
[v] y aquellos que tratan de la calidad de las proposiciones.
Axiomas de cantidad
1.- el término medio [v] debe estar distribuido por lo menos una vez.
2.- en la conclusión no puede figurar ningún término distribuido que no lo esté en
las premisas.
Axiomas de calidad
3.- de dos premisas negativas no se obtiene ninguna conclusión.
4.- Si una premisa es negativa, la conclusión debe ser negativa.
5.- Si ninguna de las premisas es negativa, la conclusión debe ser afirmativa.
Silogismo categórico. Es un razonamiento deductivo, que consiste en tres
enunciados categóricos que contienen exactamente tres términos: el término
mayor [v], el menor [v] y el término medio [v], cada uno aparece exactamente en
dos de las proposiciones que constituyen el razonamiento: dos premisas y una
conclusión. Un silogismo de forma típica es el que está formado por premisas y
conclusión con enunciados o proposiciones categóricas y están dispuestas en
un orden específico, a saber, en primer lugar la premisa mayor [v], luego premisa
menor [v] y por último la conclusión [v]. El silogismo tipico, bajo estas
condiciones sólo puede tener cuatro figuras [v]. El análisis de la conclusión es
determinante para conocer su forma [v] y figura [v] (Es importante señalar que
Aristóteles sólo concibió tres figuras. La cuarta fue descubierta en la edad
media) y cuatro modos [v]: A, Universal Afirmativo [v]; E, Universal Negativo [v]; I,
Particular Afirmativo [v] y O, Particular Negativo [v]. El estagirita empleó el
silogismo como fundamento de su pensamiento: por un lado se estableció
Analíticos Primeros, lógica primera o lógica formal, en la que se determinaba la
validez de los razonamientos; y los Analíticos Segundos, o lógica segunda o
teoría del conocimiento o lógica material en la que se aplicaba a la investigación
la lógica primera. (Aristóteles llamó a su trabajo `Analíticos". El vocablo
`Organon' significa `instrumento' o `recurso'. Ello responde a su propósito
fundamental de su concepción de lógica: su finalidad es el de establecer las
condiciones que debe cumplir todo pensamiento que busque obtener la verdad.
Para Aristóteles la ciencia debe ser el conocimiento demostrativo de las causas
de las cosas y tal conocimiento se obtiene por la deducción silogística partiendo
de premisas verdaderas. Las condiciones elementales para que un silogismo
categórico sea valido (la validez de un silogismo en particular depende de su
modo [v] y figura [v], existen reglas lógicas especiales para la determinación de
la validez de las Primera, Segunda, Tercera, y cuarta figuras válidas [v. cada una
de las figuras) se toman como reglas o axiomas y se dividen en dos clases: a)
Condiciones de cantidad, que tratan de la cantidad o de la distribución de los
términos, entre los cuales sobresalen las siguientes reglas: 1) el término medio
debe estar distribuido por lo menos una vez; y 2) en la conclusión no puede
aparecer ningún término que no lo esté en las premisas. b) Condiciones de
calidad: 3) de dos premisas negativas no se obtiene ninguna conclusión; 4) Si
una premisa es negativa, la conclusión también debe serlo y 5) Si ninguna
premisa es negativa, la conclusión debe ser afirmativa. De estos axiomas se
deducen teoremas silogísticos [v]. El silogismo de forma típica es sólo uno de
los aspectos del sistema aristotélico de deducción, existen los entimemas [v].
Silogismo Compuesto. Expresan alguna de sus premisas en forma de
proposición compuesta, ejemplos de éste son el silogismo condicional [v],
silogismo disyuntivo [v] y el dilema [v].
El silogismo condicional es una hipótesis o condición expresada en la premisa
mayor. su forma es
Si A, se sigue B
Es así que A
Luego, se sigue B.
Cuenta con dos reglas:
r1. De la afirmación del antecedente se sigue la afirmación del consecuente, pero
no viceversa.
r2. De la negación del consecuente se sigue la negación del antecedente, pero no
viceversa.
El S. Disyuntivo. La premisa mayor es una proposición disyuntiva y tiene la
siguiente forma:
O es A o es B
Es A
Luego no es B.
La disyunción debe ser radical (v. disyunción exclusiva)
encontrar otra opción.
y sea imposible
Esta proposición o es afirmativa o es negativa
No puede ser negativa
Luego debe ser afirmativa.
El dilema. Consta de tres premisas. La primera es una proposición disyuntiva,,
las otras dos son condicionales [v] Dilema constructivo.
Silogismo Disyuntivo, ley del (SD). Dado el caso que una fórmula u oración [v]
disyuntiva es verdadera cuando al menos uno de los disyuntos lo es, si uno de
los disyuntos es falsa, el otro necesariamente deberá ser verdadero:
1) p v q
2) -p
\\ q
1) p v q
2) -q
\\ p
1) (p v r) v (s --> d)
2) -(s --> d)
\\ (p v r)
Silogismo, figuras del. Las figuras del silogismo están determinadas por la
posición del término medio [v]. Aristóteles sólo mencionó tres figuras y se suele
atribuir la introducción de la cuarta figura a Galeno, por lo cual se le ha
denominado figura galénica
PRIMERA FIGURA
MP
SM
--SP
TERCERA FIGURA
MP
MS
--SP
SEGUNDA FIGURA.
PM
SM
--SP
CUARTA FIGURA
PM
MP
--SP
Silogismo hipotético, ley del. (S.H.) Regla lógica de inferencia que postula: si
tenemos un enunciado o fórmula condicional cuyo consecuente funge como
antecedente de una tercera fórmula o enunciado, el antecedente de la primera
fórmula u oración [v] implica al consecuente de la segunda fórmula o enunciado.
1.(p --> q)
2.(q --> r)
\\ (p --> r)
1. (p v q) --> (r & s)]
2. [(r & s) --> m]
\\ [(p v q) --> m]
Silogismo irregular. Cuando se ha suprimido alguna de las premisas [v
entimema]. Al agregársele a una o a las dos premisas su propia demostración [v.
Epiquerema]. Al encadenamiento de premisas [v. Sorites] o al encadenamiento
de silogismos [v. polisilogismo].
Silogismo, teoremas del. Los teoremas del silogismo son los enunciados que se
deducen y se demuestra su validez de los axiomas [v].
Teorema 1. El número de términos distribuidos en la conclusión debe ser menor
al número total de términos distribuídos en las premisas. Se prueba por los
axiomas 1 y 2 y por la definición de término medio [v].
Teorema 2. De dos premisas particulares no se obtiene ninguna conclusión. Se
prueba por los axiomas 1 y 3 y por el teorema 1.
Teorema 3. Si una premisa es particular, la conclusión debe ser particular. Se
prueba por los teoremas 1, 2, y los Axiomas 3 y 4.
Teorema 4. Si la premisa mayor es una proposición particular afirmativa y la
menor una proposición universal negativa, no puede haber conclusión. Se
prueba por los axiomas 2 y 4.
Silogismo, teoremas especiales del. De los axiomas y teoremas del silogismo, se
deducen, para cada una de las figuras teoremas especiales.
Teoremas especiales y modos [v] válidos de la primera figura.
Teorema l. La premisa menor debe ser afirmativa. Se prueba por los axiomas 2, 3
y 4.
Teorema ll. La premisa mayor debe ser universal. Se prueba por el axioma 1.
Modos y figuras válidas AAA, AAI, AII, EAE, EAO, EIO.
Teoremas especiales y modos válidos de la segunda figura.
Teorema l. Las premisas deben diferir en calidad. Se prueba por los axiomas 1 y
3.
Teorema ll. La premisa mayor debe ser universal. Se prueba por los axiomas 2 y
4 y por el teorema especial de la segunda figura l. Modos y figuras válidos son
AEO, AOO, EAE, EAO, EIO.
Teoremas especiales y modos válidos de la tercera figura.
Teorema l. la premisa menor debe ser afirmativa. Se prueba por los axiomas 2, 3
y 4.
Teorema ll. La conclusión debe ser particular. Se prueba por el axioma 2 y el
Teorema l. Modos y figuras válidos AAI, AII, AEO, EIO, IAI, OAO.
Teoremas especiales y modos válidos de la cuarta figura.
Teorema l. Si la premisa mayor es afirmativa, la menor es universal. Se prueba
por el axioma 1.
Teorema ll. Si cualquiera de las premisas es negativa, la mayor debe ser
universal. Se prueba por los axiomas 2 y 4.
Teorema lll. Si la premisa menor es afirmativa, la conclusión es particular. Se
prueba por el axioma 2 y por el teorema. Modos y figuras válidos AAI, AEE, AEO,
IAI, EAO, EAO.
Simplificación, ley de la. (Simpl.) Regla lógica de inferencia que postula: dado el
que en una oración [v] o fórmula conjuntiva [v] verdadera ambos conyuntos [v]
son verdaderos, es posible deducir válidamente cualquiera de los dos
conyuntos:
1. (p & q)
\\ p
1. (p & q)
\\ q
1. (p <--> l) & (m --> t) 1. (p <--> l) & ( m --> t)
\\ p <--> l
\\ m --> t
Sintácticamente completo. Un sistema se llama sintácticamente completo
cuando cualquier expresión cerrada resulta de él derivable o refutable (es decir,
cuando dada una expresión cerrada cualquiera P, es derivable en él P o -P). Esta
definición sólo es aplicable a los sistemas dotados del operador negación, y
además, no puede aplicarse a todos los cálculos. Otra definición que no implica
esa condición, establece que es sintácticamente completo un sistema de
axiomas [v. independencia de los axiomas], cuando se hace inconsistnte al
añadirle una expresión no demostrable en él.
Sintácticamente Consistente. Un sistema es sintácticamente consistente cuando
en él es imposible derivar una expresión determinada y también su negación.
Esta definición no es de utilidad verdaderamente universal, puesto que
evidentemente no es aplicable a los sistemas formales desprovistos del operador
negación -y, como se ha dicho, es perfectamente posible construirlos. Además,
esta definición no tiene un caracter exclusivamente sintáctico, en cuanto al
hablar de negación ha dado ya una interpretación determinada al menos a un
conector. Es ya de carácter puramente sintáctico y de uso general esta segunda
definición: un sistema axiomático es sintácticamente consistente cuando una
expresión cualquiera no es en él derivable.
Sintaxis. Parte de la semiótica. Se encarga del estudio de un determinado
sistema de signos o lenguajes despojándolos temporalmente de toda
significación tratándosele como un cálculo abstracto. Se ocupa de los signos
con independencia de lo designado por ellos y es entonces un estudio de las
relaciones de los signos entre sí. En primera instancia, analizar un cálculo C, se
deben definir los signos primitivos [v] de C. En segundo lugar deben definirse las
expresiones o fórmulas de C. En tercer sitio se define fórmula bien formada [v]
en C. La clase de fórmulas bien formadas de un cálculo C se definen de tal
manera que coincida con la clase de fórmulas que se declaren significantes una
vez asignada a C. La locución "x es una fórmula bien formada del cálculo
proposicional" [v] puede ser difinida así:
1. x está bien formada cuando x es una de las cuatro letras p, q, r, s, seguida de
una serie n donde n es igual o mayor que cero de acentos.
2. x está bien formada si x es el resultado de insertar fórmulas bien formadas en
los espacios en blanco de "<-->" y "(" y")".
La sintáxis comprende la investigación de los elementos de tod cálculo lógico y
matemático. Los siguientes son algunos de los problemas que corresponde a su
campo de estudio: ¿qué es un cálculo? ¿qué son los signos de un cálculo? ¿qué
son las fórmulas de un cálculo? ¿qué son -cómo son- las fórmulas bien
formadas, teoremas y reglas de inferencia de un cálculo? ¿qué es una prueba?
Sorites. Es un encadenamiento de premisas en donde el predicado de la primera
es el sujeto de la segunda; el predicado de la segunda es el sujeto de la tercera, y
así sucesivamente, hasta que en la conclusión se enlaza el primer sujeto con el
último predicado [v. Silogismo Hipotético) . Su estructura general sigue este
esquema
luego
A>B
B>C
C>D
----A>D
T
Tarski, Alfred. (1901) Nació en Varsovia. Profesó en la Universidad de Varsovia
de 1926 a 1939). Viajó a los Estados Unidos de América donde se desempeñó
como profesor de matemáticas en California. Sus trabajos están enfocados
primordialmente en matemáticas, teoría numérica, teoría de los conjuntos [v] y
álgebra y en la fundamentación de la matemática, la lógica, la metalógica [v] y la
semántica [v. también semánticamente consistente].
Sus investigaciones
metamatemáticas y semánticas, o semántico-formales son más fuerte influencia,
sin dejar de mencionar los relacionados a las nociones de modelo, decibilidad,
definibilidad y verdad. Influyeronó fuertemente sus estudios sobre las nociones
de modelo [v], decibilidad [v] y definibilidad [v]. Sin embargo, particularmente
importante, filosófica y lógicamente hablando, es su concepción semántica [v.
semánticamente consistente] de la verdad.
Tautología. Una fórmula molecular [v] o compuesta es una tautología si y sólo si,
al realizar la combinación de los valores veritativos de sus proposiciones
atómicas [v] o simples componentes, el resultado de valores de su conectivo
principal [v] es en todos los casos verdadero.
v
v
f
f
[(p --> q) & p] --> q
v v vv v v
f f fv v f
f v ff v v
v f ff v f
Todas las reglas lógicas de inferencia (o leyes lógicas) son tautológicas. [Véanse
`equivalencia tautológica' e `implicación tautológica'].
Teorema. Son enunciados cuya validez se somete a prueba; enunciados
derivados de enunciados denominados axiomas [v]. En una demostración formal
de validez las premisas cumplen la función de premisas. Una vez empleadas las
reglas de inferencia, todas las demás fórmulas cumplirían a su vez la función de
teorema.
Teoremas de De Morgan. Los teoremas o leyes de Augustus de De Morgan [v]
sirven, como equivalencias lógicas, para introducir la negación que afecta a los
conectivos [v] de conjunción [v] y de disyunción [v] como para, transformar las
fórmulas conyuntas o disyuntas en una fórmula negada que afecte a los
conectivos citados.
Ejemplo:
- (p v q) es equivalente a (-p & -q)
- (p & q) es equivalente a (-p v -q)
estas son fórmulas equivalentes, es decir, que podemos emplear, con el mismo
sentido cualquiera de las dos. Así
(-p & -q) es equivalente a - (p v q)
(-p v -q) es equivalente a - (p & q)
Si una o más fórmulas atómicas [v] se encuentran negadas, conservarían ese
estado más la negación que le correspondería por la aplicación de los teoremas
de De Morgan.
Ejemplo:
- (-p v q) es equivalente a (- - p & -q)
- (-p & -q) es equivalente a (- - p v - - q)
A ambas fórmulas de la derecha, es posible aplicarles la ley de la doble negación
(D.N.) [v] y obtendríamos:
- (-p v q) es equivalente a (p & -q) por De Morgan y D.N.
- (-p & -q) es equivalente a (p v q) por De Morgan y D.N.
Término. Es una expresión que nombre o describe algún objeto, o es el resultado
de un nombre o de una descripción de un objeto cuando las variables de la
expresión son sustituídas por nombres o descripciones.
Término mayor. En el Silogismo [v] es el Predicado de la conclusión. En el
argumento:
Todos los seres vivos son mortales
Todos los hombres son seres vivos
---------------------------------Todos los hombres son mortales
el predicado de la conclusión "mortales" es el término mayor porque la premisa
que contiene el término mayor determina la premisa mayor.
Término medio. En el Silogismo [v] el término medio sirve de enlace entre la
premisa mayor y la premisa mayor y no aparece en la conclusión. En el
argumento:
Todos los seres vivos son mortales
Todos los hombres son seres vivos
---------------------------------Todos los hombres son mortales
"seres vivos" sirve de enlace entre
ambas premisas y no aparece en la conclusión.
Término menor. En el Silogismo [v] es el Sujeto de la Conclusión.
argumento:
En el
Todos los seres vivos son mortales
Todos los hombres son seres vivos
---------------------------------Todos los hombres son mortales
el sujeto de la conclusión "hombres" es
el término menor porque la premisa que contiene el término menor determina la
premisa menor.
Transposición, ley de la. Regla lógica de equivalencia lógica que estipula: un
condicional `p --> q' por ejemplo, es equivalente a la fórmula en la cual el
consecuente pasa a ocupar el lugar del antecedente, pero de manera negada y el
antecedente de la primera fórmula pasa a consecuente de la segunda también
negada, es decir `-q --> -p'.
(p --> q) <--> (-q --> -p)
o si se prefiere
(-p --> -q) <--> (q --> p)
La regla lógica de transpoción puede justificarse a partir de otras reglas lógicas.
1) p --> q)
/// -q --> -p
2) -p v q Impl. material 1.
3) q v -p Conmutación 2.
4) -q --> -p Impl. material 3
V
Validez. Término que se aplica a los argumentos deductivos [v. inferencia
deductiva] para determinar si la inferencia es correcta o incorrecta. La validez
depende de la estructura lógica del razonamiento.
Validez Universal. [v. válido]
Válido. Categoría aplicable a los argumentos deductivos. Dícese que un
argumento deductivo [v. inferencia deductiva] es válido cuando de sus premisas
se sigue necesariamente la conclusión. La validez de un argumento es
determinada por su estructura lógica y no por la verdad o falsedad de los
enunciados que lo componen [v. tautología]. Suppes define la "validez universal,
la consecuencia lógica o implicación lógica y la consistencia" de la manera
siguiente: "Una fórmula es universalmente válida si y sólo si es verdadera toda
interpretación de la misma en todo dominio de individuos no vacío".
Variables libres y ligadas. [v. Cuantificador, alcance del)
Variable proposicional. Corresponde a un enunciado del lenguaje natural y son
las letras `p', `q', `r', `s'. En caso de insuficiencia en número: `p'', `q'', `r''
W
Whitehead, Alfred Nort. (15 de febrero de 1861- 30 de diciembre de 1947) Nació en
el Condado de Kent, en Inglaterra. Realizó estudios en el Trinity College de
Cambridge. Profesó tanto en Inglaterrá (de 1911 a 1924) como en los Estados
Unidos de América, específicamente en la Universidad de Harvard (de 1924 a
1947). Influído por Peano [v], Cantor [v] y G. Frege [v] escribió, al lado de
Bertrand Russell [v], "Principia Mathematica" [v] en la que establecen los
fundamentos de la lógica y la matemática moderna. En esa obra fundaron un
método lógico que aspiraba a superar los problemas de la naciente lógica
simbólica y de los axiomas de la geometría. Durante sus últimos años en los
E.U.A. pasó de la investigación lógica y matemática a la metafísica en la que
asumió una posición neoplatónica.
APÉNDICE.
¿QUÉ ES PARA QUÉ SIRVE LA LóGICA?
"Los seres humanos -escribieron Cohen y Nagel- llevamos a cabo la mayor parte de
nuestras actividades cotidianas sin reflexionar; es raro que se nos ocurra poner en tela de juicio
lo que se considera en general como verdadero". No acostumbramos utilizar el raciocinio y
sentimos cierta repulsión por mecanismos drásticos para probar que nuestras ideas están
sustentadas mas en criterios de autoridad, de tradición y en el peor de los casos, en sistemas
dogmáticos. Sentimos que debemos rechazar a priori todo aquello que se nos presente como
peligroso para nuestro pensamiento y sistema creencial. Uno de los procedimientos o métodos
para colocar nuestras ideas y colección de creencias en el banquillo de los acusados, es la lógica.
La lógica formal o matemática o moderna es una de las ciencias que más desarrollo ha
registrado durante los últimos ciento cincuenta años. Sus envidiables progresos han superado
con mucho a los dos milenios que le precidió el silogismo aristotélico-escolástico. La nueva
lógica sobrepasa en muchos aspectos a la tradicional, no sóolo por la solidez de sus bases y la
perfección de sus métodos, sino ante todo, debido a la riquezaen conceptos investigados y
teoremas descubiertos. Es ya una herramienta indispensable en el pensamiento científico y en
quien pretenda la racionalidad y la coherencia sean en la ciencia, sean en la filosofía.
Sin embargo, es precisamente el descomunal desarrollo de la lógica matemática y el
intento de aplicarla "a todo aspecto de los asuntos humanos" lo que impiden su completa
comprensión. No podemos descuidar que tanto los maestros como los libros nos olvidamos de
explicar el porqué de la cientificidad de la lógica y no es común hacer explícitos los fundamentos
axiomáticos que empleamos en clase.
En todo caso, la mayoría de los alumnos y profesores se contentan con aprender a
controlar las reglas de inferencia y de reemplazo. Podemos llegara ser doctos en la tarea de
simbolizar argumentos pero no en razonar y en hacer de la lógica nuestro campo de estudio y de
aplicación. La lógica, bien empleada, puede ser una útil herramienta en los estudios
interdisciplinarios.
En más de los casos, estudiamos la lógica de manera fría y calculadora. La vemos como
una amalgama de signos y mecanismos cómodos, seguros e inobjetables pero a la vez
incomprensibles e incomprendidos. Somos capaces de realizar cálculos en pocos minutos y
elaboramos pruebas de validez y consistencia en pocos minutos, pero aún no comprendemos el
por qué y el para qué o cómo se justifican las leyes y reglas de la lógica.
Para concluir, hagamos nuestras las palabras de Jesús Mosterín en nuestra intención de
que la lógica sea una ciencia aplicada a todo tipo de problemas:
"Sólo a los lógicos puros -que son muy pocos- interesa la lógica por sí misma. La mayoría de las
personas -filósofos, matemáticos, etc.- se interesan sobre todo por sus aplicaciones. Saber
aplicar la lógica, dominar la lógica como arte, consiste sobre todo en saber probar que una
sentencia dada es o no es una consecuencia de un conjunto dado de sentencias, es decir, en
saber hacer deducciones y pruebas de independencia. Y esto, más que una teoría, es una praxis,
que sólo se aprende aplicándola".