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PROPORCIONALIDAD
2º ESO
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PROPORCIONALIDAD 2º ESO
1.-Razón de dos números
Hasta ahora, el cociente indicado de dos números, por ejemplo 8 y 7, era una
división, 8 : 7 y también una fracción, 8
7
Vamos a añadir un nuevo significado a ese cociente. Es el de razón de dos
números. Diremos que la razón de dos números es su cociente indicado. La
expresaremos en forma de fracción y la leeremos “8 es a 7”.
Ejemplo:
La razón de 5 y 8 es
5
8
“5 es a 8”
En la práctica, podemos considerar a razón y fracción como cosas similares si
los números son enteros.
Por ello podremos decir que la razón entre 15 y 20 es
fracción equivalente irreducible
15 o
20
3 , que es la
4
Cuando aplicamos la razón de dos números a cantidades estamos expresando la
relación que hay entre ellas. Es decir, si la razón de dos cantidades es 5 significa
8
que por cada 5 unidades de la primera hay 8 de la segunda. Las escalas de planos y
mapas son, en realidad, razones entre las medidas del papel y del terreno.
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2.- Proporción
Proporción es la igualdad de dos razones. Es decir, si dos razones son iguales, puedo
escribir esa igualdad y a la expresión que resulta la llamamos proporción.
3
1
y
son iguales. Puedo escribir por tanto
6
2
proporción y la leeremos: “1 es a 2 como 3 es a 6”
Las razones
1 3

2 6
. Es una
Al igual que en las fracciones equivalentes, también en una proporción puede haber
algún término desconocido. Lo calcularemos de la misma forma. Fíjate en los ejemplos:
3 6

4 x
x
4·6
8
3
4
x

x
9
x2  4 · 9  36
x 
36  6
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3.- Magnitudes directamente proporcionales y
magnitudes inversamente proporcionales.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar (o dividir) una de
ellas por un número, la otra también se multiplica (o divide) por el mismo número. Es
decir:
A doble en la primera magnitud, doble en la segunda
A mitad en la primera magnitud, mitad en la segunda
Ejemplos: . Número de personas que van en el autobús y recaudación del autobús
. Tiempo que está encendida una bombilla y consumo de energía
. Número de vacas que posee un granjero y pienso que gasta a la semana
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un
número, la otra se divide por el mismo número. Es decir:
A doble en la primera magnitud, mitad en la segunda
A mitad en la primera magnitud, doble en la segunda
Ejemplos: . Número de obreros y tiempo en hacer un trabajo
. Velocidad de un coche y tiempo en recorrer un trayecto
. Número de vacas y tiempo que durará el pienso
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4.- Tablas de proporcionalidad y proporciones
Propocionalidad directa
Naranjas
(kg)
Precio
(€)
2
4
3
6
4
8
5
10
Propocionalidad inversa
Operarios
2 4

3 6
3
6

5 10
En la proporcionalidad directa, la razón
de dos cantidades de una magnitud
forma proporción con la razón de las
cantidades correspondientes en la otra
magnitud.
Tiempo
(h)
2
12
3
8
4
6
6
4
2
8

3 12
3 4

6 8
En la proporcionalidad inversa, la razón
de dos cantidades de una magnitud
forma proporción con la razón inversa de
las cantidades correspondientes en la
otra magnitud.
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5.- Resolución de problemas de proporcionalidad
Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos:
1º.- Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa
2º.- Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de
cada magnitud en la misma unidad.
3º.- Escribir la proporción correspondiente
4º.- Hallar x
Fíjate en los siguientes ejemplos.
Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8
horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16
obreros?
(Es inversa porque a doble de obreros mitad de
tiempo)
Nº obreros
Tiempo (h)
10 --------- 8
16 --------- x
I
10 x

16 8
10 . 8
x
5
16
Solución
5 horas
Si por 12 camisetas pago 96 €, ¿cuánto pagaré
por 57 de esas camisetas?
( Es directa porque a doble de camisetas doble dinero)
Camisetas Dinero(€)
12 ------- 96
57 -------- x
12 96

57
x
D
x
57 . 96
 456
12
Solución
456 €
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6.- Problemas de proporcionalidad compuesta (1)
Son problemas de proporcionalidad compuesta aquellos en los que intervienen más de
dos magnitudes.
Para resolver un problema de proporcionalidad compuesta debes seguir los siguientes
pasos:
1º.- Plantea la regla de tres. Expresa las cantidades de la misma magnitud en la misma
unidad.
2º.- Compara cada magnitud con la que lleva la x para ver si la proporcionalidad entre
ellas es directa o inversa. Escribe D debajo de las directas e I debajo de las inversas.
3º.- Escribe una proporción de la siguiente forma: la primera razón con las cantidades
de la magnitud donde está la x , la segunda razón con el producto de las razones de las
otras magnitudes pero colocadas de la siguiente manera:
• si la relación es directa, de la misma forma que la de la incógnita, y
• si la relación es inversa en orden inverso respecto de la que tiene la incógnita.
4º.- Haz las operaciones y calcula x.
Fíjate en el siguiente ejemplo.
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6.- Problemas de proporcionalidad compuesta (2)
Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1 000 piezas.
¿Cuántos días tardará en hacer 3 000 piezas trabajando 10 horas diarias?
Nº Piezas
Días
1000
--------
5
-------- 8
3000
--------
x
--------- 10
D
Horas día
(A doble de horas diarias, mitad de días)
I
5 1000 10

·
x 3000 8
x
(A doble de piezas, doble de días necesarios)
5 · 3000 · 8
 12
1000 · 10
5 1000 · 10

x 3000 · 8
Tardará 12 días