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Centro de Instrucción Técnica de Helicópteros, s.l.
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MC-01, categorías B1 y B2.
TEMA 1
ARITMÉTICA
ÍNDICE
1. ARITMÉTICA. ................................................................................................................... 3
1.1.- NUMEROS NATURALES. .......................................................................................... 3
1.2. NUMEROS ENTEROS. ............................................................................................... 7
1.3. NUMEROS RACIONALES. FRACCIONES. NUMEROS DECIMALES. ........................... 14
1.4. RAZONES Y PROPORCIONES................................................................................... 37
1.5. PORCENTAJES ......................................................................................................... 49
1.6. MEDIDAS. PESOS .................................................................................................... 51
MATEMÁTICAS.
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1. ARITMÉTICA.
1.1.- NUMEROS NATURALES.
Los números naturales se emplean para contar los elementos de un conjunto
El conjunto de los números naturales se denota por N = { 0,1, 2, 3, 4,... }.
Están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta cuyo origen es el 0.
Entre los números naturales no se contemplan los valores negativos
Los números naturales se pueden sumar y multiplicar y el resultado de esas operaciones
es, también, un número natural. Sin embargo, no ocurre lo mismo con la resta y la
división.
1.1.1.- Relación de divisibilidad.
Es la relación que existe entre dos números cuando uno contiene al otro una cantidad
exacta de veces
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1.1.2.- Múltiplos y divisores.
Cuando existe una relación de divisibilidad entre dos números a uno lo llamamos
múltiplo y al otro divisor
a es múltiplo de b
ó
si la división a : b es exacta
b es divisor de a
Múltiplos de un número.
Se obtienen al multiplicar un número por cualquier otro número natural
Sea un número a y k un número natural
a
Divisores de un número.
Son todos los números que dividen a otro siendo la división exacta.
12 : 1= 12, 12 : 2 = 6, 12 : 4 = 3, 12 : 6 = 2, 12 : 12 = 1
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1, 2, 3, 4, 6, y 12 son divisores de 12
Si b es divisor de a, a:b = c es exacta
c es divisor de a, a:c = b
Propiedades de los múltiplos y divisores.
La suma de dos múltiplos de un número a, es otro múltiplo del mismo número a
m.a + n.a = (m+n).a
4 + 6 = 2.2 + 2.3 = (2+3),2 = 5.2
Si a un múltiplo de un número a se le suma un número que no es múltiplo de a,
el resultado no es múltiplo de a
Si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces a es múltiplo de c
24 = 6.4
6 = 3.2
24= 12.2
Si b es divisor de a, también lo es de todos los múltiplos de a
1.1.3.- Criterios de divisibilidad.
Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o en número par
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3
Un número es divisible por 5 si acaba en 5 o en 0
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Un número es divisible por 10 si acaba en 0
Un número es divisible entre 11si la diferencia entre la suma de las cifras que
ocupan los lugares pares y las cifras que ocupan los lugares impares es 0 ó
múltiplo de 11
1.1.4.- Números primos y compuestos.
Números primos.
Son aquellos distintos de la unidad que no se pueden descomponer en factores y sólo
pueden dividirse por ellos mismos y por la unidad.
Números compuestos.
Son aquellos que se pueden descomponer en factores.
Descomposición en factores primos.
Para descomponer un número en factores primos, se divide por el primer número
primo, el 2, tantas veces como sea posible, después por el 2º, el 3, luego por el 5 y así
sucesivamente por los siguientes números primos hasta obtener un cociente de 1
Mínimo común múltiplo de dos o más números.
Es el menor de sus múltiplos comunes. Para calcularlo:
Descomponemos los números en factores primos.
Se toman todos los factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor
exponente.
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60 y 45
60 2
30 2
15 3
5 5
1
45 3
15 3
5 5
1
60 = 22.3.5
45 = 32.5
m.c.m. = 22.32.5 = 180
Máximo común divisor.
Es el mayor de sus divisores comunes. Para calcularlo:
Descomponemos los números en factores primos
Se toman todos los factores primos, comunes , elevados al menor exponente
60 y 45
60
30
15
5
1
2
2
3
5
45 3
15 3
5 5
1
60 = 22.3.5
45 = 32.5
m.c.d. = 3.5 = 15
1.2. NUMEROS ENTEROS.
El conjunto de los números enteros es el formado por el conjunto de los números
naturales más los números negativos.
- 4.- 3,- 2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.
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Están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta
Valor absoluto de un número entero.
Es el número natural que resulta al quitar su signo.
|+5| = |-5|= 5, 5 es el valor absoluto de +5 y de -5
Opuesto de un número entero.
Dos números enteros son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y signo
contrario
+5 y -5 son dos números opuestos
1.2.1.- Operaciones con números enteros.
Suma.
Para sumar dos números enteros:
Si tiene el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo
Si tiene el distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone el mi signo del
que tiene mayor valor absoluto.
Reglas básicas para resolver expresiones con sumas de números enteros:
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Al suprimir un paréntesis precedido de un signo más, los signos interiores no
varían.
+ (5-7+8) = 5-7+8
Al suprimir un paréntesis precedido de un signo menos, los signos interiores
cambian de signo.
- (5-7+8) = -5+7-8
Para sumar varios números positivos y negativos:
Se suman los positivos por un lado y los negativos por otro
Se restan los resultados y se pone el signo del mayor
5+3-4-2+8 = (5+3+8)-(4+2) = 16-6 = 10
Resta.
Para restar dos números enteros, se suma al primero el opuesto de segundo
(-7) - (-4) = (-7) + op (-4) = (-7) + (+4) = -3
Multiplicación.
Calculamos el producto de sus valores absolutos, el signo será:
POSITIVO: Si los dos números tienen el mismo signo
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NEGATIVO: Si los dos números son de signos contrarios
(+3). (+5) = 15 (+3). (-5) = -15
(-3). (-5) = 15
(-3) . (+5) = -15
Regla de los signos:
+ ·+ = +
+ · - = -
- · - = +
- ·+ = -
División.
Para dividir conocer dos números enteros, hallamos el cociente de sus valores absolutos,
el signo será:
POSITIVO: Si los dos números tienen el mismo signo.
NEGATIVO: Si los dos números son de signos contrarios.
Regla de los signos:
+ : + = +
- : - = +
+ : - = -
Operaciones combinadas.
Regla de prioridad:
Las operaciones combinadas de números enteros hay que efectuarlas siguiendo un
orden:
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1º Se resuelven las operaciones dentro de los corchetes y paréntesis
2º Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen, de
izquierda a derecha.
3º Se efectúan las sumas y las restas en el orden en que aparecen, de izquierda a
derecha.
3. (5-2+4) + (3-6-2): (-5) = 3. (+7) + (-5): (-5) = 21 + 1 = 26
1.2.2.- Potenciación.
Es la operación aritmética que tiene por objeto hallar el producto de factores iguales.
El factor repetido se llama base.
El exponente es el número que indica cuántas veces se toma la base como factor.
an
a es la base
n es el exponente
3 3 = 3.3.3 = 27
Potencia de un producto.
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores
(a.b) n = a n .bn
(3.2) 2 = 3 2 . 2 2
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Potencia de un cociente.
Se elevan dividendo y divisor a dicha potencia
(a:b) n = a n : b n (a:b) - n = (b:a) n
(3:2) 2 = 3 2 : 2 2 (3:2) - 2 = (2:3) 2 = 22 . 32
Producto de potencias de una misma base.
Es otra potencia con la misma base y con el exponente igual a la suma de los exponentes
an. am = a n+m
3 2. 3 3= 3 2+3 = 3 5
Cociente de potencias de una misma base.
Es otra potencia con la misma base y con el exponente igual a la diferencia de los
exponentes
an : a m = a n-m
3 5 : 3 2 = 3 5-2 = 33
Potencia de una potencia.
Es otra potencia con la misma base y con exponente igual al producto de los exponentes
( a n ) m = a n.m
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( 3 3 ) 2 = 3 3.2 = 36
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Potencia de exponente cero.
Siempre vale uno sea cual sea la base
a0
50=1
Potencia de base negativa.
Si elevamos un número negativo a una potencia:
Si el exponente es par el resultado es positivo
(-a) n = a n
(-3) 2 = 3 2 = 9
Si el exponente es impar el resultado es negativo
(-a) n = -an
(-3) 3 = -3 3 = -27
Potencia de exponente negativo.
Es la inversa de la misma potencia con exponente positivo
a-n = 1/an
3 -2 = 1/ 32 = 1/9
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Potencia de exponente racional.
am/n =
3 2/3 =
Operaciones combinadas.
Regla de prioridad:
Las operaciones combinadas de números enteros hay que efectuarlas siguiendo un
orden:
1º Se resuelven las operaciones dentro de los corchetes y paréntesis
2º Potencias y raíces
3º Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen, de
izquierda a derecha.
4º Se efectúan las sumas y las restas en el orden en que aparecen, de izquierda a
derecha.
(-3)+[5-(-1)]2.2-
= (-3)+[5+1]2.2-
= (-3)+62.2-
= (-3)+36.2-5=(-3)+72-5 = 64
1.3. NUMEROS RACIONALES. FRACCIONES. NUMEROS DECIMALES.
El conjunto de los números racionales es el formado por todos los números enteros y
por todos los números fraccionarios
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1.3.1. Fracciones.
Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un
grupo de esas partes, se las denomina fracción.
Mediante las fracciones podemos expresar números fraccionarios
Un número fraccionario se expresa como cociente de dos números enteros a y b
a es el numerador y b es el denominador.
Fracciones propias e impropias.
Una fracción se llama impropia, cuando el numerador es mayor que el denominador.
Son mayores que la unidad
Una fracción se llama propia, cuando el numerador es menor que el denominador. Son
menores que la unidad
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Fracción mixta.
Consta de una parte entera y de una fracción propia.
3
Las fracciones mixtas se pueden expresar como fracciones impropias.
3
=
=
Fracciones equivalentes.
Dos fracciones son equivalentes si ambas expresan el mismo valor numérico
= 0.6
Si dos fracciones
= 0.6
y
= 0.6
son equivalentes si se cumple que a·d = b·c
Propiedad fundamental de las fracciones.
Si a una fracción multiplicamos su numerador y su denominador por un mismo número
se obtiene una fracción equivalente.
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=
=
=
Simplificación de fracciones.
Si dividimos los dos términos de una fracción por un mismo número la fracción no varia
=
=
=
Fracciones irreducibles.
Son fracciones que no se pueden simplificar más. Numerador y denominador son primos
entre sí.
=
=
=
=
Fracción irreducible
Para hallar rápidamente la fracción irreducible, hay que dividir por el m.c.d. de los dos
términos.
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18 = 2.32
24 =23.3
m.c.m. =2.3 = 6
Dos fracciones son equivalentes, cuando se simplifican dando lugar a la misma fracción
irreducible.
Reducción de fracciones a común denominador.
Para comparar, sumar y restar fracciones todas ellas tienen que tener el mismo
denominador.
Para reducir fracciones a un denominador común:
Hay que calcular el m.c.m, de los denominadores
Hay que multiplicar numerador y denominador por el número que
resulta de dividir el m.c.m. por el denominador correspondiente.
Por ejemplo:
Si tenemos las siguientes fracciones:
,
,
Y queremos ordenarlos de mayor a menor
9 = 32
12 = 22.3
m.c.m. = 22 . 32
18 = 2.32
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36:9 = 4
=
36:12 = 3
Luego
=
>
ahora podemos ordenarlas
>
>
>
1.3.1.1.- Operaciones con fracciones.
Suma y resta.
Para poder sumar o restar fracciones tenemos que reducir a común denominador y
luego operar
Por ejemplo:
-
+
6 = 2.3
10 = 2.5
m.c.m. = 2.3.5 = 30
15 = 3.5
-
+
=
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+
=
-
+
=
=
=
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Fracciones opuestas.
Dos fracciones son opuestas si su suma es cero
La fracción opuesta de
es
La fracción opuesta de
+
es
=0
pues
+
=
=
=0
Multiplicación de fracciones.
El producto de dos fracciones en otra fracción cuyo numerador es el producto de los
numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores
.
=
.
=
=
=
Fracción de una fracción.
Es el producto de ambas fracciones
de
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=
=
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Fracciones inversas.
Dos fracciones son inversas cuando su producto es la unidad
La fracción inversa de
es
.
La fracción inversa de
es
pues
=1
· =1
División de fracciones.
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda
:
=
.
=
:
=
.
=
=
Potencias de fracciones.
Para elevar una fracción a un exponente entero `positivo, se elevan numerador y
denominador a dicho exponente
Para elevar una fracción a un exponente entero negativo, se eleva su inversa al mismo
exponente cambiado de signo
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Las potencias de las fracciones se operan igual que las potencias de números enteros
De una misma base
De distinta base
Operaciones combinadas con fracciones.
Regla de prioridad:
Las operaciones combinadas de fracciones hay que efectuarlas siguiendo un orden:
1º Se resuelven las operaciones dentro de los corchetes y paréntesis, siempre se
empieza por los interiores
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2º Potencias y raíces
3º Se realizan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen, de
izquierda a derecha.
4º Se efectúan las sumas y las restas en el orden en que aparecen, de izquierda a
derecha.
Paso de número mixto a fracción impropia.
Para transformar en fracción un número mixto, se multiplica el entero por el
denominador y se suma al numerador, dando origen al numerador de la nueva fracción.
El denominador se mantiene.
a
=
2
=
=
Paso de fracción impropia a número mixto.
Para transformar en fracción impropia un número mixto, se divide el numerador por el
denominador. El cociente será el número entero, el resto será el numerador de la
fracción y mantendremos el mismo denominador.
Por ejemplo:
9: 4 = 2 y resto 1 luego la fracción será 2
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Fracción como operador.
Cuando una fracción
actúa como operador de una cantidad D, para obtener la
cantidad que resulta hay que multiplicar D por a y dividir el resultado por b.
de 1000 =
= 400
1.3.1.2.- Racionalización de fracciones.
Racionalizar una fracción, consiste en eliminar las raíces, si existen, del denominador,
obteniendo una fracción equivalente
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el
proceso es diferente.
Se pueden dar varios casos:
Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada.
En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz
cuadrada.
Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción
multiplicaremos numerador y denominador por
5
2
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5 2
2. 2
,
2
5 2
22
5 2
2
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Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos
hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del
denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.
Por ejemplo
7
7
5
3
5
5
3
3
7
5
3
5
5
2
3
7
3
5
2
3
5 3
7
5
3
2
Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se
multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una
potencia de exponente n.
Por ejemplo:
1
3
25
3
1
3
52
3
5
52 3 5
3
3
5
53
3
5
5
1.3.2. Números decimales.
Para expresar cantidades con unidades incompletas utilizamos también los números
decimales. Si dividimos el numerador por el denominador de un número racional
obtenemos un número decimal.
Están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta
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Entre dos números decimales siempre hay otro número decimal
Por ejemplo
4.4 < 4.45 < 4.5
Clases de números decimales.
Decimales exactos: Tiene un número limitado de cifras decimales
5.365
Decimales periódicos: Tienen infinitas cifras decimales que se repiten
periódicamente. Existen dos tipos:
o Periódicos puros: El periodo comienza después de la coma
o Periódicos mixtos: Entre la coma y el periodo hay una o varias cifra no
periódicas
Decimales no exactos y no periódicos: Tienen infinitas cifras decimales no
periódicas
= 1.4142135
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Algunos números decimales pueden ponerse en forma de fracción, son estos números
por tanto, números racionales igual que las fracciones. Estos números decimales son los
exactos y los periódicos.
Paso de decimal a fracción.
Decimal exacto a fracción.
Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de
diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga
el número.
Por ejemplo 0,045 =
Decimal periódico puro a fracción.
Los pasos a seguir son los siguientes:
En el numerador se anota la parte entera seguida de la parte periódica y se resta la
parte entera.
En el denominador tantos 9 como cifras tiene el periodo. Si se puede simplificar, se
simplifica.
2,6 =
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=
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Decimal periódico mixto a fracción.
En el numerador se anota la parte entera seguida de la parte no periódica y de
la parte periódica y se la parte enteras seguida de la parte no periódica.
En el denominador tantos 9 como cifras tiene el periodo seguido de tantos ceros
como cifras tiene la parte no periódica. Si se puede simplificar, se simplifica.
4.723 =
=
1.3.2.1.- Operaciones con números decimales.
Suma y resta.
Para sumar dos o más números decimales, se colocan en columna haciendo coincidir las
comas, después se suman como si fueran números naturales y se pone en el resultado la
coma bajo la columna de las comas
13.08 + 17.9
13.08
+ 17.90
+ 30.98
Para restar números decimales se colocan en columna haciendo coincidir las comas. Si
los número no tienen el mismo número de cifras decimales, se completan con ceros las
cifras que faltan. Luego se restan como si fuesen números naturales y se pone en el
resultado la coma bajo la columna de las comas
13.4 -1.39
13.40
- 1.39
+ 12.01
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Multiplicación.
Para multiplicar dos números decimales efectuamos la multiplicación como si fueran dos
números naturales. Después, en el producto, se pone la coma decimal de manera que
tenga tantos decimales como haya entre los dos factores.
4.23
x 0.4
1.692
Multiplicación por la unidad seguida de ceros.
Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma
a la derecha tantos lugares como ceros tenga la unidad
2.5 x 10 = 25
2.5 x 100 = 250
División.
División de un número decimal por otro natural
Se divide como si fueran números natrales, pero se pone una coma en el
cociente al bajar la primea cifra decimal
6.32
2
3.16
División de un número natural por otro decimal.
MATEMÁTICAS.
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Se suprime la coma del divisor y a la derecha del dividendo se ponen tantos
ceros como cifras decimales tenga el divisor. Luego se divide como si fueran
números naturales.
75:0,5
750
5
25
150
00
División de un número decimal por otro decimal
Se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendo tantos lugares
a la derecha del dividendo como cifras decimales tenga el divisor, si es necesario
se añaden ceros
21,66:3,8
216,6 38
266 5.7
00
División por la unidad seguida de ceros.
Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma a la
izquierda tantos lugares como ceros tenga la unidad
25: 10 = 2.5
25: 100 = 0.25
MATEMÁTICAS.
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1.3.2.2.- Raíz cuadrada.
Paso 1:
Se divide el número del radicando en dos cifras desde el punto decimal.
Desde el punto decimal de derecha a izquierda y los números decimales de izquierda
a derecha partiendo desde el punto decimal. Si del lado de los decimales hay un
número que ya no alcanza a completar un grupo de dos se agrega un cero, por el
contrario, si queda un número el lado entero se queda así
Paso 2:
Se busca un número que elevado al cuadrado, es decir multiplicado por sí mismo,
se aproxime o coincida con el número de las primeras dos cifras, este número no
tiene que ser superado. Una vez encontrado el número se agrega a la parte de la
raíz
Paso 3:
El número que está en el renglón se eleva al cuadrado y se le resta a las primeras
dos cifras. Una vez obtenido el resultado de la resta, se baja el siguiente grupo de
dos cifras y se multiplica por dos el número de la raíz y se agrega en el siguiente
renglón auxiliar
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Paso 4:
Se dividen las primeras dos cifras del resto entre el número del renglón auxiliar, el
resultado se agrega al número de la raíz y al del renglón auxiliar. Si el resultado de
la división sale con números decimales solo se toma el entero.
Paso 5:
Se multiplica el número obtenido de la división anterior por el número del renglón
auxiliar. El resultado es restado al primer resto. Una vez obtenido el resultado de la
resta se baja el siguiente grupo de cifras, si el siguiente grupo está después del
punto decimal se agrega un punto decimal al número de la raíz.
Paso 6:
Se multiplica por dos la cifra de la raíz y con el número resultante se divide el
formado por las tres primeras cifras del tercer resto. El resultado se agrega al
número del tercer renglón auxiliar y al de la raíz. Se multiplica el número obtenido
por el del tercer renglón auxiliar y se le resta al segundo resto. Una vez realizada la
resta se baja el siguiente grupo de cifras y se continúa el proceso, sólo que el
número a dividir entre renglón auxiliar y resto va aumentado.
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Paso 7:
Se continúa el mismo proceso, la raíz se vuelve a multiplicar por dos, si hay punto
decimal en la raíz se ignora y se multiplica como número entero. El resultado de la
multiplicación se agrega al tercer renglón auxiliar, se vuelve a dividir entre los
primeros cinco números del tercer residuo entre el resultado de la multiplicación, y
se obtiene la siguiente cifra para la raíz y el número del renglón auxiliar. Dicha cifra
se multiplica por el número del tercer renglón auxiliar y se le resta al tercer residuo.
Se continúa el proceso, si ya no hay más cifras la raíz ha terminado
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1.3.2.3.- Raíz cubica.
Paso 1
Para calcular la raíz cúbica de un número se comienza separando el número en
grupos de tres cifras, empezando por la derecha
lo separaríamos así: 16'387'064
Paso 2
A continuación se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo
más posible al número del primer grupo (empezando por la izquierda).
En nuestro ejemplo el primer número es 16 y el numero entero que elevado al
cubo se acerca más a 16 es 2.
2 es la primera cifra de la raíz.
Paso 3
Después se eleva al cubo esta cifra y se resta del número del primer grupo
En nuestro ejemplo 23 = 8 y restándolo del número del primer grupo que es 16,
sale 16 - 8 = 8
Paso 4
A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del siguiente
grupo.
En nuestro ejemplo nos quedaría 8387
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Paso 5
Después tenemos que calcular un número a que haciendo las operaciones
siguientes:
3 * (raíz obtenida hasta el momento)2 * a * 100 + 3 * (raíz obtenida hasta el
momento) * a2 * 10 + a3se aproxime lo más posible al número obtenido en el
punto 4.
El número a, es el siguiente dígito de la raíz.
En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 22 * 5 * 100 + 3 * 2 * 52
*10+53=7625
Paso 6
A continuación restamos este número al número obtenido en el paso 4.
En nuestro ejemplo: 8387 - 7625 = 762.
Paso 7
Repetimos el paso 4
En nuestro ejemplo: 762064
Paso 8
Repetimos el paso 5 y el número obtenido sería el siguiente número de la raíz.
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En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 252 * 4 * 100 + 3 * 25 * 42 *10 + 43 = 7
62064
Paso 9
Repetimos el paso 6
En nuestro ejemplo 762064 - 762064 = 0
Luego
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= 254
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1.4. RAZONES Y PROPORCIONES.
1.4.1.- Razón.
Es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado
como fracción.
Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el
dividendo y el consecuente es el divisor.
La razón de los números 3 y 4 es
Diferencia entre razón y fracción.
No hay que confundir razón con fracción.
Si
es una fracción, entonces a y b son números enteros
razón
los números a y b pueden ser decimales.
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1.4.2.- Proporción.
Una proporción es la igualdad de dos razones
=
; donde a y d son los
extremos y, b y c son los medios.
Las fracciones
y
son equivalentes.
Propiedades de las proporciones.
En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los
extremos.
a.d =b.c
2.10 = 5.4
En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los
antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una
cualquiera de las razones.
Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no
varía.
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Calculo del término desconocido de una proporción.
Para calcular el término desconocido de una proporción se aplica la propiedad:
Producto de extremos igual al producto de medios.
=
a-
=
=
10 - 7 = 2 .
x =
= 35
Cuarto proporcional.
Es uno cualquiera de los términos de una proporción.
Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos.
Medio proporcional.
Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio
proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los
extremos.
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Tercero proporcional.
En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los
términos desiguales
Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el
término desigual
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Proporcionalidad directa.
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la
otra en la misma proporción y al disminuir una, disminuye la otra en la misma
proporción, es decir, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la
otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.
Magnitud A
Magnitud B
a
x
b
y
c
z
Si son directamente proporcionales se verifica:
k es la constante de proporcionalidad directa.
Proporcionalidad inversa.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la
otra en la misma proporción
Magnitud A
Magnitud B
a
x
b
y
c
z
Si son inversamente proporcionales se verifica:
a.x =b.y = c.z = k
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k es la constante de proporcionalidad inversa.
Resolución de problemas de proporcionalidad.
Una de las formas de resolver este tipo de problemas es la regla de tres
Se ordenan los datos y la incógnita
Se forman las razones correspondientes
Se igualan ambas razones
Se calcula el valor de la incógnita
1.4.2.1.- Proporcionalidad simple.
Intervienen dos magnitudes. Puede ser:
Directa.
Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor
de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el
valor proporcional de la segunda magnitud.
Ejemplo
El precio de tres
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Inversa.
Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor
de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se dé a una magnitud calculamos el
valor proporcional inverso de la segunda magnitud
Ejemplo
En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días.
Si se compran 100 gallinas más ¿En cuánto tiempo comerán la misma cantidad de
grano?
1.4.2.2.- Repartos proporcionales.
Directos.
Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte
correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.
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Ejemplo
Un abuelo
proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno.
1º El reparto proporcional es:
2º Por la propiedad de las razones iguales:
3º Cada nieto recibirá:
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Inversos.
Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un
reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes.
Ejemplo
Tres hermanos ayudan al mantenimiento familia
sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente
proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?
1º Tomamos los inversos:
2º Ponemos a común denominador:
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3º Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: 24, 20 y 15.
1.4.2.3.- Proporcionalidad compuesta.
Interviene tres o más magnitudes. Al intervenir más de dos magnitudes las relaciones
proporcionales dos a dos de las magnitudes pueden ser distintas, es decir, si tenemos las
magnitudes A, B y C, la relación proporcional entre A y B puede ser directa o inversa y
entre B y C puede ocurrir lo mismo.
Proporcionalidad directa entre las magnitudes.
Para calentar 2 litros de agua desde 0ºC a 20ºC, se han necesitado 1000 calorías. Si
queremos calentar 3 litros de agua de 10ºC a 60ºC ¿Cuántas calorías son necesarias?
En este problema intervienen 3 magnitudes, la cantidad de agua, el salto térmico y la
cantidad de calorías. ¿Cuál es la relación entre las magnitudes?
Si se quiere calentar más cantidad de agua habrá que usar más calorías (relación directa)
Si se quiere dar un mayor salto térmico habrá que usar más calorías (relación directa).
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Proporcionalidad directa e inversa entre las magnitudes.
Se han necesitado 2000 calorías para calentar 2 litros de agua desde 10ºC a 50ºC. Si a 5
litros de agua a la misma temperatura inicial le suministramos 8000 calorías ¿Qué
temperatura alcanzarán? ¿Cuál es la relación entre las magnitudes?
A mayor cantidad de calorías más se calienta el agua (relación directa)
Con las mismas calorías a mayor cantidad de agua menos se calienta, menor salto
térmico (relación inversa).
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Proporcionalidad inversa entre las magnitudes.
Cuatro obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 9 días en hacer la estructura
de una nave industrial. Otra cuadrilla trabajando 6 horas diarias realiza el mismo trabajo
en 12 días ¿Cuántos obreros tiene la otra cuadrilla?¿Cuál es la relación entre las
magnitudes?
A mayor cantidad de horas hacen falta menos obreros (relación inversa)
A más días trabajando hacen falta menos obreros (relación inversa).
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1.5. PORCENTAJES
Un porcentaje supone una proporción. Es un tipo de regla de tres directa en el que una
de las cantidades es 100.
Para obtener un tanto por ciento se divide entre 100 y se multiplica por el tanto
Para calcular el a % de una cantidad C
Problemas de porcentajes.
Cálculo del total conocida la parte.
Sabemos la parte asociada a determinado porcentaje. Hay que averiguar el total
Ejemplo: En una clase hay 6 chicas lo que supone el 20% del número total de
alumnos. Averiguar el número total de alumnos de la clase
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Calculo del porcentaje conocido el total y la parte
Conocemos el total del que se ha tomado una parte determinada también
conocida. Hay que averiguar el porcentaje correspondiente
Ejemplo: En las elecciones para delegado de clase, han votado los 50 alumnos,
y el delgado elegido recibió 30 de los votos ¿Qué porcentaje apoyo su elección?
Aumentos porcentuales
Aumentar una cantidad en un a% equivale a calcular el (100+a) % de dicha
cantidad
Para calcular la cantidad final, se multiplica la cantidad inicial por el índice de
variación. El índice de variación es l más el aumento porcentual en forma
decimal.
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Ejemplo: Un disco d 18 euros aumenta su precio en un 20% ¿Cuál será su nuevo
precio?
Índice de variación 1+0.20 = 1.20
Precio inicial 20 euros
Precio final 20x1.20 = 24 euros
Disminuciones porcentuales
Disminuir una cantidad en un a% equivale a calcular el (100-a) % de dicha
cantidad.
Para calcular la cantidad final, se multiplica la cantidad inicial por el índice de
variación. El índice de variación es l menos la disminución porcentual en forma
decimal.
Ejemplo: Un libro cuesta 18 euros y lo rebajan un 30 % ¿Cuál será el precio
final del libro?
Índice de variación 1- 0.30= 0.70
Precio inicial 18 euros
Precio final 18 x0.70 = 12.60 euros
1.6. MEDIDAS. PESOS
Medida compleja.
Es aquella que expresa distintas clases de unidades:
3 k g 2 0 0 g , 5 km 1 2 0 m .
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Medida incompleja o simple
Se expresa únicamente con una clase de unidades.
3 . 2 k g , 5 .1 2 m .
Paso de medidas complejas a incomplejas.
Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las
unidades que tenemos en la que queremos obtener como resultado final.
Pasar a cm: 12 km 5 dam 42 cm.
12 km =12.100 000 = 1 200 000
5 dam = 5.1000
42 cm =
=
=
5 000
42
12 km 5 dam 42 cm= 1205042 cm
Paso de medidas incomplejas a complejas
Tenemos dos casos:
1º Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir.
5317 mm
MATEMÁTICAS.
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5317 1000
317
100
5m
17 10
3 dm
7 mm 1 cm
5317 mm = 5 m 3 dm 1 cm 7 mm
2º Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar.
2.325 = 2 km 325 m
1.6.1.- Medidas de longitud
La unidad principal para medir longitudes es el metro. Existen otras unidades para
medir cantidades mayores y menores, las más usuales son:
MATEMÁTICAS.
01.- ARITMÉTICA.
k i l ó m e t ro
km
1000 m
h e c t ó me t r o
hm
100 m
decámetro
dam
10 m
m e t ro
m
1 m
decímetro
dm
0.1 m
centímetro
cm
0.01 m
m i l í m et r o
mm
0.001 m
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Para convertir unas unidades en otras se multiplica o divide por la unidad seguida de
tantos ceros como lugares haya entre ellas.
Ejemplo:
50 m
cm
Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos
a pasar de una unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya
que entre el metro y el centímetro hay dos lugares de separación.
5 0 · 1 0 0 = 5 0 0 0 cm
4385 mm
m
Para pasar de milímetros a metros tenemos que dividir (porque vamos a pasar de
una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros, ya que hay 3
lugares de separación.
4385: 1000 = 4.385 m
1.6.2.- Pesos
La unidad principal para medir masas es el gramo. Existen otras unidades para medir
cantidades mayores y menores, las más usuales son:
MATEMÁTICAS.
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kilogramo
kg
1000 g
h e c t o gr a m o
hg
100 g
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d e c a gr a m o
dag
10 g
gramo
g
1 g
d e c i gr a m o
dg
0.1 g
c e n t i gr a m o
cg
0.01 g
miligramo
mg
0.001 g
Para convertir unas unidades en otras se multiplica o divide por la unidad seguida de
tantos ceros como lugares haya entre ellas.
E j e m p lo :
50 kg
dg
Tenemos que multiplicar, porque el kilogramo es mayor que el decigramo; por la
unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay cuatro lugares entre ambos.
5 0 k g · 1 0 0 0 0 = 5 0 0 00 0 d g
E j e m p lo
408 mg
dg
Tenemos que dividir, porque el miligramo es menor que el decigramo, por la unidad
seguida de dos ceros, ya que hay dos lugares entre ambos.
408 : 100 = 4.08 dg
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Otras unidades de masa
Tonelada métrica
Se utiliza para medir masas muy grandes.
1 t = 1000 kg
Quintal métrico
Utilizado en la agricultura.
q = 100 kg
1.6.3.- Medidas de capacidad
La unidad principal para medir capacidades es el litro.
También existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores:
k i l o l it ro
h e c t o li t r o
d e c a l it r o
litro
d e c i l it r o
centilitro
mililitro
MATEMÁTICAS.
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kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
1000 l
100 l
10 l
1 l
0.1 l
0.01 l
0.001 l
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Para convertir unas unidades en otras se multiplica o divide por la unidad seguida de
tantos ceros como lugares haya entre ellas.
E j e m p lo
5 0 Hl
2587 cl
c l 5 0 · 10 0 0 0 = 5 0 0 0 0 0 c l
l
2 5 8 7 : 1 0 0 = 2 5 .8 7 l
Otras unidades de volúmenes son:
k i l ó m e t ro c ú b i c o
h e c t ó me t r o c ú b i co
d e c á m e t r o c ú b i co
Metro
d e c í m e t r o c ú b i co
centímetro cúbico
m i l í m et r o c ú b i c o
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
1 000 000 000 m3
1 000 000m3
1 000 m3
1 m3
0.001 m3
0.000001 m3
0 . 0 0 0 0 0 0 00 1 m 3
Para convertir unas unidades en otras se multiplica o divide por la unidad seguida
de tantos ceros como lugares haya entre ellas, elevando esta cifra al cubo.
1.6.4.- Medidas de superficies
La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la
superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado.
MATEMÁTICAS.
01.- ARITMÉTICA.
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Referencia EASA ES.147.004
MC-01, categorías B1 y B2.
Otras unidades mayores y menores son:
k i l ó m e t ro c u a d r a do
h e c t ó me t r o c u a d r a do
d e c á m e t r o c u a d r a do
m e t ro c u a d r a d o
d e c í m e t r o c u a d r a do
c e n t í m e t r o c u a d r a do
m i l í m et r o c u a d r a do
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
1 000 000 m2
10 000 m2
100 m2
1 m2
0.01 m2
0.0001 m2
0.000001 m2
Para convertir unas unidades en otras se multiplica o divide por la unidad seguida de
tantos ceros como lugares haya entre ellas, elevando esta cifra al cuadrado.
E j e m p lo :
1 . 5 Hm 2
m2
Tenemos que multiplicar, porque el Hm2 es mayor que el m2; por la unidad seguida
de cuatro ceros, ya que hay dos lugares entre ambos.
1.5 · 10 000 = 15 000 m 2
1 5 0 0 0 mm 2
m2
Tenemos que dividir, porque el mm2 es menor que el m2, por la unidad seguida de
seis ceros, ya que hay tres lugares entre ambos.
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1 5 . 0 0 0 : 1 0 00 0 0 0 = 0 .0 1 5 m 2
1.6.5.- Medidas de superficie agrarias
Para medir extensiones en el campo se utilizan las llamadas medidas agrarias:
La medida fundamental es la hectárea.
La hectárea que equivale al hectómetro cuadrado.
1 Ha = 1 Hm 2 = 1 0 0 00 m ²
El área equivale al decámetro cuadrado.
1 a = 1 dam2 = 100 m²
La centiárea equivale al metro cuadrado.
1 ca = 1 m²
1.6.6.- Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa
Existe una relación muy directa entre el volumen y capacidad. 1 l es la capacidad que
contiene un recipiente cúbico de 1 dm de arista; es decir, la capacidad contenida en
un volumen de 1 dm3.
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También existe una relación entre el volumen y la masa de agua. 1 g equivale a 1
c m ³ de agua pura a 4° C .
MATEMÁTICAS.
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C a p a c id a d
V o l u me n
M a s a (de a g u a )
1 kl
1 m³
1 t
1 l
1 dm3
1 kg
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