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Identidades trigonométricas Identidades básicas. Resolución de ecuaciones. Identidad de suma y diferencia. Identidades de múltiplo de un ángulo. Suma de sinusoidal como una sinusoidal. Matemática Básica(Ing.) 1 Introducción En las sesiones anteriores estudiamos las propiedades gráficas y geométricas de las funciones trigonométricas. Ahora estudiaremos los aspectos algebraicos de la trigonometría , es decir, simplificación, factorización de expresiones y resolución de ecuaciones que contienen funciones trigonométricas denominadas ecuaciones trigonométricas. ¿Cuáles son las herramientas básicas en el álgebra de la trigonometría? _______________________ Una identidad trigonométrica es una ecuación que contiene ________________________ que se cumplen para todos los valores de la variable. Matemática Básica(Ing.) 2 Identidades pitagóricas y t P(cos t, sen t) t x El número real t siempre está colocado en el punto (cos t, sen t) sobre el círculo unitario. Matemática Básica(Ing.) 3 Identidades pitagóricas Se cumple que: y sen² t + cos² t = 1 (1) t Si dividimos (1) entre cos² t sen t t cos t x tan² t + 1 = sec² t (2) Si dividimos (1) entre sen² t 1 + cot² t = csc² t Matemática Básica(Ing.) (3) 4 Identidades trigonométricas básicas Identidades recíprocas csc x sen x sen x csc x cos x cot x tan x cos x sec x tan x cot x sec x Identidades cocientes tan x sen x cos x Matemática Básica(Ing.) cot x cos x sen x 5 Identidades trigonométricas básicas Identidades de cofunciones sen x cos x 2 tan x cot x 2 cos x sen x 2 s ec x csc x 2 csc x sec x 2 cot x tan x 2 y las identidades par-impar sen x sen x cos x cos x tan x tan x csc x csc x sec x sec x cot x cot x Matemática Básica(Ing.) 6 Demostración de identidades Estrategias generales: 1. La demostración empieza con la expresión en uno de los lados de la identidad. 2. La demostración termina con la expresión del otro lado de la identidad. 3. La demostración consiste en mostrar una sucesión de expresiones, cada una de las cuales pueda distinguirse fácilmente como equivalente a la que le preceda. Matemática Básica(Ing.) 7 Identidades de cálculo 1. cos3 x (1 sen2 x)(cos x) 2. sec4 x (1 tan2 x)(sec2 x) 1 1 3. cos x cos 2 x 2 2 2 4. sen2 x cos5 x (sen2 x 2sen4 x sen6 x)(cos x) Matemática Básica(Ing.) 8 Resolución de ecuaciones 1. Determine todos los valores de x en el intervalo [0, 2) para la ecuación: cos3 x cot x sen x 2. Determine todas las soluciones de la ecuación trigonométrica: 2 sen2 x sen x 1 Matemática Básica(Ing.) 9 Identidades de suma y diferencia y COSENO y C B v u x D x A A(cos u, sen u) C(cos , sen ) B(cos v, sen v) D(1, 0) Haciendo = u – v, además como d(A; B) = d(C; D) Matemática Básica(Ing.) 10 Identidades de suma y diferencia d(A; B) = d(C; D) (cos v cos u )2 (sen v sen u )2 (cos 1)2 (sen 0)2 simplificando: cos u cos v sen u sen v cos Como = u – v: cos(u - v) = cosu cosv + senu senv Luego demuestre: cos(u + v) = cosu cosv - senu senv Matemática Básica(Ing.) 11 Identidades de suma y diferencia SENO Se parte del hecho que: π cos x cos -( -x) sen( -x) 2 2 2 π π sen(u v ) cos -(u v ) cos ( -u) v 2 2 sen x cos( -x) 2 y π π cos( -u) cos v sen( -u) sen v 2 2 sen(u v ) senu cos v cos u sen v Luego demuestre: sen(u - v) = senu cosv - cosu senv Matemática Básica(Ing.) 12 Identidades de múltiplo de un ángulo Identidades de ángulo doble sen2u 2 senu cos u cos2 u sen2 u cos 2u 2 cos2 u 1 1 2 sen2 u Identidades de reducción de potencias 1 cos 2 x sen x 2 1 cos 2 x cos 2 x 2 2 Matemática Básica(Ing.) 13 Suma de sinusoides como una sinusoidal Sea una función f(x) = A.sen(x)+ B.cos(x) Se desea expresar bajo la forma: f (x) k.sen(bx ) f (x) (k cos ) senbx (ksen) cos bx A Donde: B Triángulo de referencia ksen B 2 2 k A B k cos A b 1 B Ф A Ф en cualquier cuadrante (en radianes) Matemática Básica(Ing.) 14 Ley de senos C b h c A a B C b En cualquier ABC, con ángulos A, B y C y los lados opuestos a, b y c, respectivamente, se cumple que: a h A c B Matemática Básica(Ing.) sen A senB senC a b c Es conocida como la Ley de senos 15 Página 485 del Demana. 38. Pronostico del clima. Dos meteorólogos están situados a 25 millas uno de otro en una carretera este – oeste. El meteorólogo del punto A observa un tornado en 38º este. El otro, en el punto B, observa el mismo tornado en 53º oeste . Determine la distancia de cada meteorólogo al tornado y la distancia del tornado a la carretera. N N C b 38º A Matemática Básica(Ing.) a h 25 mi 53º B 16 Ley de cósenos C y a b c A y B C b A c B En cualquier ABC, con ángulos A, B y C y los lados opuestos a, b y c, respectivamente, se cumple que: x a2 b2 c 2 2bc cos A b2 a2 c 2 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C a x Matemática Básica(Ing.) Es conocida como la Ley de cósenos 17 Página 495 del Demana. 38. Calculo de una dimensión. Tony debe determinar la distancia entre dos puntos, A y B, en lados opuestos de un lago, selecciona un punto C que está a 860 pies de A y 225 pies de B, como se muestra en la figura. Si la medida del ángulo en C es 78º, determine la distancia entre A y B. B A Matemática Básica(Ing.) C 18 Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Sección 5.1 – 5.6 Pág. 444 – 499. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle. Matemática Básica(Ing.) 19