Download identidad trigonométrica

Identidades trigonométricas





Identidades básicas.
Resolución de ecuaciones.
Identidad de suma y diferencia.
Identidades de múltiplo de un ángulo.
Suma de sinusoidal como una sinusoidal.
Matemática Básica(Ing.)
1
Introducción
En las sesiones anteriores estudiamos las
propiedades gráficas y geométricas de las
funciones trigonométricas. Ahora estudiaremos los
aspectos algebraicos de la trigonometría , es decir,
simplificación, factorización de expresiones y
resolución de ecuaciones que contienen funciones
trigonométricas denominadas ecuaciones
trigonométricas.
¿Cuáles son las herramientas básicas en el álgebra
de la trigonometría? _______________________
Una identidad trigonométrica es una ecuación que
contiene ________________________ que se
cumplen para todos los valores de la variable.
Matemática Básica(Ing.)
2
Identidades pitagóricas
y
t
P(cos t, sen t)
t
x
El número real t siempre está colocado en el punto
(cos t, sen t) sobre el círculo unitario.
Matemática Básica(Ing.)
3
Identidades pitagóricas
Se cumple que:
y
sen² t + cos² t = 1 (1)
t
Si dividimos (1) entre cos² t
sen t
t
cos t
x
tan² t + 1 = sec² t (2)
Si dividimos (1) entre sen² t
1 + cot² t = csc² t
Matemática Básica(Ing.)
(3)
4
Identidades trigonométricas básicas
Identidades recíprocas
csc x 

sen x

sen x 
csc x

cos x
cot x 

tan x

cos x 
sec x
tan x 

cot x
sec x 
Identidades cocientes
tan x 
sen x
cos x
Matemática Básica(Ing.)
cot x 
cos x
sen x
5
Identidades trigonométricas básicas
Identidades de cofunciones


sen  x   cos x
2



tan  x   cot x
2



cos  x   sen x
2



s ec   x   csc x
2



csc  x   sec x
2



cot   x   tan x
2

y las identidades par-impar
sen x    sen x
cos x   cos x
tan x    tan x
csc x    csc x
sec x   sec x
cot  x    cot x
Matemática Básica(Ing.)
6
Demostración de identidades
Estrategias generales:
1. La demostración empieza con la expresión en
uno de los lados de la identidad.
2. La demostración termina con la expresión del
otro lado de la identidad.
3. La demostración consiste en mostrar una
sucesión de expresiones, cada una de las cuales
pueda distinguirse fácilmente como equivalente
a la que le preceda.
Matemática Básica(Ing.)
7
Identidades de cálculo
1. cos3 x  (1  sen2 x)(cos x)
2. sec4 x  (1  tan2 x)(sec2 x)
1 1
3. cos x 
 cos 2 x
2 2
2
4. sen2 x cos5 x  (sen2 x  2sen4 x  sen6 x)(cos x)
Matemática Básica(Ing.)
8
Resolución de ecuaciones
1. Determine todos los valores de x en el intervalo
[0, 2) para la ecuación:
cos3 x
 cot x
sen x
2. Determine todas las soluciones de la ecuación
trigonométrica:
2 sen2 x  sen x  1
Matemática Básica(Ing.)
9
Identidades de suma y diferencia
y
COSENO
y
C
B
v

u

x
D
x
A
A(cos u, sen u)
C(cos , sen )
B(cos v, sen v)
D(1, 0)
Haciendo  = u – v, además como d(A; B) = d(C; D)
Matemática Básica(Ing.)
10
Identidades de suma y diferencia
d(A; B) = d(C; D)
(cos v  cos u )2  (sen v  sen u )2  (cos   1)2  (sen  0)2
simplificando:
cos u cos v  sen u sen v  cos
Como  = u – v:
cos(u - v) = cosu cosv + senu senv
Luego demuestre:
cos(u + v) = cosu cosv - senu senv
Matemática Básica(Ing.)
11
Identidades de suma y diferencia
SENO
Se parte del hecho que:

π

 
cos x  cos -( -x)  sen( -x)
2

2 2

 π

π
sen(u  v )  cos -(u  v )  cos ( -u)  v 

 2

2
sen x  cos( -x)
2
y
π
π
 cos( -u) cos v  sen( -u) sen v
2
2
sen(u  v )  senu cos v  cos u sen v
Luego demuestre:
sen(u - v) = senu cosv - cosu senv
Matemática Básica(Ing.)
12
Identidades de múltiplo de un ángulo
Identidades de ángulo doble
sen2u  2 senu cos u
cos2 u  sen2 u

cos 2u   2 cos2 u  1
 1  2 sen2 u

Identidades de reducción de potencias
1  cos 2 x
sen x 
2
1  cos 2 x
cos 2 x 
2
2
Matemática Básica(Ing.)
13
Suma de sinusoides como una sinusoidal
Sea una función f(x) = A.sen(x)+ B.cos(x)
Se desea expresar bajo la forma:
f (x)  k.sen(bx  )
f (x)  (k cos ) senbx  (ksen) cos bx
A
Donde:
B
Triángulo de referencia
ksen  B 
2
2
k  A B
k cos   A
b 1
B
Ф
A
Ф en cualquier cuadrante (en radianes)
Matemática Básica(Ing.)
14
Ley de senos
C
b
h
c
A
a
B
C
b
En cualquier ABC, con ángulos
A, B y C y los lados opuestos
a, b y c, respectivamente, se
cumple que:
a h
A c B
Matemática Básica(Ing.)
sen A senB senC


a
b
c
Es conocida como la
Ley de senos
15
Página 485 del Demana.
38. Pronostico del clima. Dos meteorólogos están
situados a 25 millas uno de otro en una carretera
este – oeste. El meteorólogo del punto A observa
un tornado en 38º este. El otro, en el punto B,
observa el mismo tornado en 53º oeste .
Determine la distancia de cada meteorólogo al
tornado y la distancia del tornado a la carretera.
N
N
C
b
38º
A
Matemática Básica(Ing.)
a
h
25 mi
53º
B
16
Ley de cósenos
C
y
a
b
c
A
y
B
C
b
A c B
En cualquier ABC, con ángulos
A, B y C y los lados opuestos
a, b y c, respectivamente, se
cumple que:
x
a2  b2  c 2  2bc cos A
b2  a2  c 2  2ac cos B
2
2
2
c  a  b  2ab cos C
a
x
Matemática Básica(Ing.)
Es conocida como la
Ley de cósenos
17
Página 495 del Demana.
38. Calculo de una dimensión. Tony debe
determinar la distancia entre dos puntos, A y B,
en lados opuestos de un lago, selecciona un
punto C que está a 860 pies de A y 225 pies de
B, como se muestra en la figura. Si la medida del
ángulo en C es 78º, determine la distancia entre
A y B.
B
A
Matemática Básica(Ing.)
C
18
Importante
Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro
texto guía.
Sección 5.1 – 5.6 Pág. 444 – 499.
Sobre la tarea,
está publicada en el AV Moodle.
Matemática Básica(Ing.)
19