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El nacimiento del álgebra: Egipcios y Babilónicos
Desde los comienzos del desarrollo de la humanidad surgió la necesidad de medir y calcular.
Cuando la producción de alimentos de los grupos humanos fue superior a sus necesidades
apareció, primero el trueque, y posteriormente el comercio; cuestión que condujo
paulatinamente al desarrollo de la aritmética. Cuando hubo que resolver problemas de
repartición de tierras, medición de terrenos, del cálculo de áreas, del cálculo de volúmenes,
etcétera, surgió la geometría. En algún momento de las necesidades del hombre, fue
necesario plantearse y resolver ecuaciones: así nació el álgebra .
El antes…
… y el ahora
Drosophila melanogaster
ratón de laboratorio
Cyperus papyrus
El papiro, en la historia de la evolución de la matemática, es como el ratón y la
mosca en la historia de la evolución del hombre.
Papiro de Ahmes. Fue escrito por el escriba Ahmes aproximadamente en 1650 a. C., a
partir de escritos de doscientos años de antigüeda.
Contiene 87 problemas
matemáticos con cuestiones
aritméticas básicas, fracciones,
cálculo de áreas, volúmenes,
progresiones, repartos
proporcionales, reglas de tres,
ecuaciones lineales y trigonometría
básica.
En él encontramos el tratamiento de
las fracciones. Los antiguos
egipcios no realizaban el cálculo de
fracciones como lo conocemos hoy,
pues escribían los números
fraccionarios como suma de
fracciones unitarias (las de la forma
1/n con n natural) distintas. Este
tipo de sumas son conocidas hoy
como fracciones egipcias.
Tomado literalmente de Wikipedia
Los demás valores se expresaban con la repetición del
símbolo, el número de veces que fuera necesario
Numeración egipcia
fracciones egipcias
Cualquier fracción que escribimos con un numerador no unitario, los egipcios
la escribían como suma de fracciones unitarias distintas. De ahí que las
sumas de fracciones unitarias se conozcan como "fracciones egipcias".
Los antiguos egipcios calculaban utilizando fracciones unitarias, como
1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …
Problema: ¿Cómo podría usted escribir 19 / 20 como suma de fracciones
egipcias?
0 1/ n
1/ 4
1/ 3
1
1/ 2
0
a
1
b
¿Cómo determinar la mayor fracción egipcia que es menor a
a
?
b
b
1   k  resto  k  1
a
Primera fracción
egipcia
1
a

k 1 b
a
1
a
1

 
b k 1 
b
k
1
buscamos nuevamente la mayor fracción
egipcia que es menor a este resultado.
Se detiene el proceso cuando el “resto” sea cero (que indica la última
fracción egipcia)
Ejemplo del algoritmo “voraz”
19
20
1 19

2 20
19 1 9
 
20 2 20
20
 2  resto  3
9
Es la mayor “fracción egipcia” que es
menor a la fracción “propia”
19 1 9
 
20 2 20
20
 1  resto  2
19
1 9

3 20
19 1 1 9 1 1 1 7
  
   
20 2 3 20 3 2 3 60
60
 8  resto  9
7
1 7

9 60
19 1 1 7 1 1 1 7 1
  
   

20 2 3 60 2 3 9 60 9
19 1 1 1 1
   
20 2 3 9 180
Numeración babilónica: Un sistema sexagesimal
30
La tablilla YBC 7289
1, 24,51,10
42, 25, 35
¿Qué significan estos tres
números en el contexto del
cuadrado dibujado en la arcilla?
2  302  42.4264
42, 25, 35



42  25  60 1  35  60 2



42.42638888
1, 24,51,10


1
2
3
1

24
 60
51
60

 60

10

1.414212962
2  1.414213562
Entre 1800 A.C. y 1600 A.C calculaban con muy buena aproximación la
diagonal de un cuadrado. ¿Aplicaban el teorema de Pitágoras los babilónicos?
En el problema 14º del papiro de Moscú se pide
calcular el volumen de un tronco de pirámide de base
cuadrangular. El escriba egipcio expone los pasos…
a
a
a =2
b
h =6
b
¿Cuál es la fórmula usada por el escriba?
a
b= 4
h
…eleva al cuadrado 2 y 4 , multiplica 2 por 4 , suma
los anteriores resultados, y multiplica por un tercio
de 6; finaliza diciendo: “ves, es 56, lo has calculado
correctamente”
b
Plimpton 322
El contenido principal de la tablilla Plimpton 322 es una matriz de números, con cuatro
columnas y quince filas, en la notación babilonia sexagesimal. La cuarta columna es
solamente el número de la fila, de 1 a 15. Las segundas y terceras columnas son
completamente visibles en la pastilla que sobrevive. Sin embargo, el borde de la
primera columna ha sido roto, y hay dos interpretaciones coherentes que explicarían
los dígitos que falta; estas interpretaciones se diferencian sólo en si realmente cada
número comienza o no con un dígito adicional igual a 1. Con las extrapolaciones que
se diferencian mostradas en el rectángulo rojo, estos números son:
Uno de los catetos
de un triángulo
rectángulo
97
65
72
La hipotenusa
del triángulo
rectángulo
.. O sea que 1500 años antes que
Pitágoras naciera los babilonios no
solo sabían el teorema de Pitágoras
sino que además sabían trigonometría,
pues para construir la primera columna
de la Plimpton 322 tuvieron que
calcular el cuadrado de la “secante”
En estricto rigor, la tablilla de Plimpton 322 es
esencialmente una tablilla de ternas
pitagóricas.
Una terna pitagórica consiste en tres enteros positivos a, b, c que cumplen que a² + b² = c².
El nombre deriva del teorema de Pitágoras, el cual plantea que cualquier triángulo
rectángulo con una longitud entera de sus lados forma una terna pitagórica. Lo inverso
también es verdadero, cualquier terna pitagórica forma un triángulo rectángulo.
Lo que se propone es que podrían conocer el algoritmo siguiente (aunque no en esta
notación algebraica actual): (p2 - q2, 2pq, p2 + q2). Siendo p > q, ambos primos entre sí y
positivos. En la hoja de cálculo se pueden encontrar las parejas (p, q) que generarían las
ternas (ma, mb, mc), donde “m” es un múltiplo común (y que coinciden con las ternas
prsentadas en la tablilla Plimpton 322)
Nota: El programa en EXCEL “linkeado” en estos apuntes fueron obtenidos de la página Blog personal
de Eugenio Manuel Fernández Aguilar, físico de formación, profesor de profesión y divulgador de
vocación. Su blog es: http://eumafeag.blogspot.com/