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Los conceptos trigonométricos en las diferentes culturas.
Una breve historia impresionista de la Trigonometría: de Babilonia a la India
Según el Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española, la trigonometría es: “Estudio
de las relaciones numéricas entre los elementos que forman los triángulos planos y esféricos”.
Etimológicamente, la palabra procede del griego clásico y significa medición de triángulos. La
importancia de esta rama, radica, fundamentalmente, en la medición de campos, la ubicación
de barcos en el mar o, más recientemente, posicionamiento por satélite, e, incluso, la
medición de distancias entre estrellas próximas en la astronomía.
En este artículo vamos a hacer un breve repaso histórico sobre los orígenes y usos de esta, que
se remontan a las matemáticas de la antigüedad. El calificativo de impresionista viene porque
vamos a ir viendo su evolución, en forma de pequeñas pinceladas, por los distintos pueblos y
culturas donde se ha ido desarrollando. En esta primera parte, vamos a recorrer la historia de
la medición de ángulos desde los antiguos babilonios hasta los matemáticos hindúes.
Babilonia.
Tablilla Plimpton 322
Hace la friolera de 3500 años, los babilonios ya empleaban los ángulos de un triángulo y las
razones trigonométricas en sus quehaceres (no tan) diarios.
Los babilonios utilizaban estas razones para realizar medidas en agricultura. De hecho,
podemos ver en la tablilla Plimpton 322 (cf. Ternas Pitagóricas II: Plimpton 322 del blog Ciencia
en el XXI) que ya los babilonios manejaban las ternas pitagóricas, es decir, ternas de números
que son catetos e hipotenusa de triángulos rectángulos. Incluso eran conscientes de las
relaciones que existían entre los lados de triángulos semejantes.
La trigonometría (o mejor dicho, los primeros retazos de la misma) también fue aplicada por
los babilonios en los primeros estudios de astronomía para el cálculo de la posición de cuerpos
celestes y la predicción de sus órbitas, en los calendarios y el cálculo del tiempo, y por
supuesto en navegación para mejorar la exactitud de la posición y de las rutas.
Egipto.
Papiro de Rhind
En fechas similares a las babilonias, y de forma más o menos independiente, los egipcios
también toman conciencia del problema de la medición de ángulos. Fueron ellos quienes
establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos, criterio que se ha
mantenido hasta nuestros días, y utilizaron la medición de triángulos en la construcción de las
pirámides. De hecho, en el Papiro de Ahmes (también conocido como Papiro de Rhind), se
puede leer el siguiente problema relacionado con la trigonometría:
Si es una pirámide de 250 codos de alto y el lado de su base de 360 codos de largo, ¿cuál es su
seked (inclinación)?
Grecia antigua.
Hiparlo de Nicea
Los conocimientos de los pueblos anteriores pasaron a la Grecia clásica, donde destacó el
matemático y astrónomo Hiparco de Nicea en el S.II a.C., siendo uno de los principales
desarrolladores de la trigonometría, no en vano se dice que es el padre de la trigonometría.
Hiparco construyó las tablas de cuerdas (cord(θ)=2sen(θ/2) con nuestro moderno lenguaje
trigonométrico) para la resolución de triángulos planos, que fueron las precursoras de las
tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. En ellas iba relacionando las medidas
angulares con las lineales. Para confeccionar dichas tablas fue recorriendo una circunferencia
de radio r desde los 0º hasta los 180º e iba apuntando en la tabla la longitud de la cuerda
delimitada por los lados del ángulo central y la circunferencia a la que corta. No se sabe con
certeza el valor que usó Hiparco para el radio r de esa circunferencia, pero sí se conoce que
300 años más tarde el astrónomo alejandrino Claudio Ptolomeo utilizó r = 60, ya que los
griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal de los babilonios. Ptolomeo incorporó
también en su gran libro de astronomía Almagesto una tabla de cuerdas con un error menor
que 1/3.600 de unidad. Junto a ella explicaba su método para compilarla, y a lo largo del libro
daba bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de
un triángulo a partir de los conocidos. Además de eso Ptolomeo enunció el llamado Teorema
de Menelao, utilizado para resolver triángulos esféricos, y aplicó sus teorías trigonométricas
en la construcción de astrolabios y relojes de sol. La trigonometría de Ptolomeo se empleó
durante muchos siglos como introducción básica para los astrónomos.
India.
Aryabhata
Al mismo tiempo que los griegos, los astrónomos de la India, con Aryabhata a la cabeza,
desarrollaron también un sistema trigonométrico, pero basado en la función seno en vez de en
cuerdas. Aunque, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, esta función no era una
proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triangulo rectángulo de
hipotenusa dada. Además, estudiaron otras razones trigonométricas como el coseno y el
verseno (1-coseno), y tabularon estos datos en intervalos de 3,75º desde 0º hasta 90º.
Por último, otro matemático hindú, Varahamihira, gracias a los trabajos previos de Aryabhata,
comenzó a utilizar una de las fórmulas más famosas de la trigonometría moderna,
sen2(x)+cos2(x)=1.
Los Árabes.
La matemática árabe y, en particular, la trigonometría, se alimentó fundamentalmente de la
Grecia clásica por un lado y de la India por el otro.
De hecho, la mayor parte de los trabajos hindúes fueron no sólo traducidos por matemáticos
árabes y persas, sino que también extendieron muchos resultados, alejando la trigonometría
de las meras aplicaciones, que era lo que fundamentalmente se hacía hasta esos momentos.
Una de sus aportaciones más singulares fue la de tomar r=1 en la circunferencia goniométrica,
a diferencia de los antiguos griegos que usaban r=60. De hecho, algunos historiadores apuntan
a que en este momento “aparece por primera vez la trigonometría real, en el sentido que el
objeto de estudio pasan a ser los triángulos esféricos o planos y los ángulos y lados que los
componen”.
A principios del siglo IX, Al-Kwarizmi construye las primeras tablas exactas del seno y el coseno
y, por primera vez, tabula los valores de la tangente. Poco después otro matemático árabe, AlMarwazi, produce la primera tabla de cotangentes.
Pero quizás el matemático árabe que más aportaciones ofreció a la trigonometría fue
Al-Battani, quien, además de definir las razones trigonométricas recíprocas (secante y
cosecante) y sus tablas, indagó en varias relaciones trigonométricas (ahora clásicas),
estableciendo, por ejemplo, que tan(a)=sen(a)/cos(a) o sec2(a)=1+tan2(a).
Ya en el siglo X, los matemáticos árabes y, en particular, Abu al-Wafa, ya utilizaban las 6
razones trigonométricas clásicas (que como bien cantaban Les Luthieres eran: seno, coseno,
tangente y secante y la cosecante y la cotangente). Éste matemático árabe consiguió compilar
tablas del seno de hasta 8 decimales de precisión y con intervalos de cuarto de grado.
Fórmulas de duplicación del seno o el Teorema de los Senos para trigonometría esférica,
fueron otras de las aportaciones de al-Wafa.
Y no podemos terminar el apartado sobre trigonometría árabe dejar sin hablar del matemático
andalusí, procedente de la actual Jaen, Al-Jayyani, quien con su Libro de los arcos esféricos
desconocidos, escribe el primer tratado conocido sobre trigonometría esférica.
Teorema del Coseno, tablas de las razones trigonométricas con más de 8 cifras decimales
exactas, métodos de triangulación, mediciones del tamaño de la tierra y de distancias entre
lugares… todos estos logros también fueron sucesivamente alcanzados por los matemáticos
árabes en su afán por ahondar en las entrañas de la trigonometría.
China.
En un primer momento, la trigonometría en China no pasaba de ser meros cálculos tabulados
traducidos de los matemáticos hindúes. Sin embargo, este estado embrionario de la
trigonometría china comenzó a cambiar cuando se dieron cuenta de la necesidad de
desarrollar la trigonometría esférica para un correcto manejo de los calendarios y las
posiciones astronómicas. Así, por ejemplo, el matemático chino Shen Kuo (1031-1095) utiliza
las funciones trigonométricas para resolver problemas relacionados con cuerdas y arcos y
encuentra una fórmula que permite aproximar la longitud “s” de un arco de circunferencia en
función del diámetro de la circunferencia “d”, la longitud “c” de la cuerda del arco y la sagita
“v” (distancia entre el punto medio del arco y su cuerda) s=c+2v2/d.
Esta última fórmula parece ser que fue la base sobre la que trabajó otro matemático chino
Guo Shoujing para desarrollar sus trabajos sobre trigonometría esférica, mediante los cuales
fue capaz de calcular la duración del Año Solar, con un error menor que 26 segundos. Sin
embargo, a pesar de los esfuerzos de Guo en esta materia, el interés por la misma desapareció
de China hasta que en el siglo XVI se publicaran los Elementos de Euclides.
Europa Occidental: Trigonometría clásica
La trigonometría llega a Europa a partir del siglo XII a través de la cultura árabe. Pero no es
hasta el siglo XV cuando se realizan los primeros trabajos de importancia sobre este tema.
Quizás el primer matemático europeo que se adentró en el campo de la trigonometría fue
Johann Müller, conocido como Regiomontano debido a la traducción al latín de su ciudad de
origen: Königsberg. Su obra fundamental es De Triangulis Omnimodis, en la que, con una
estructura similar a los Elementos de Euclides, trata sobre las definiciones básicas relacionadas
con la trigonometría, establece el Teorema de los Senos y otros 55 teoremas más y los aplica a
la resolución de triángulo, ofrece una fórmula para calcular el área de un triángulo en función
de 2 de sus lados y el ángulo que forman, y, finalmente, se ocupa de diversos aspectos de la
trigonometría esférica.
Quizás fue en el Opus palatinum de triangulis de Rheticus (siglo XVI), alumno de Copérnico, en
donde se definen, por primera vez, las razones trigonométricas en función de triángulos
rectángulos y no a través de circunferencias como venía siendo habitual hasta esos momentos.
Asimismo, proporcionó tablas, con una exactitud de 10 segundos, de las seis funciones
trigonométricas.
El último gran aporte a la trigonometría clásica fue la invención de los logaritmos por el
matemático escocés John Napier en 1614. Sus tablas de logaritmos facilitaron en gran medida
el arte de la computación numérica, incluyendo la compilación de tablas trigonométricas.
Europa Occidental: Trigonometría analítica
En el siglo XVII comienza a cambiar el carácter geométrico de la trigonometría, inclinándose
hacia aspectos más algebraicos y analíticos, y principalmente dos descubrimientos ayudaron
en este proceso: el álgebra simbólica, con François Viète a la cabeza; y la geometría analítica,
con Fermat y Descartes como principales paladines. De hecho, Viette comprueba que algunas
ecuaciones algebraicas pueden resolverse en términos de razones trigonométricas.
Pero la herramienta que definitivamente dotó a la trigonometría de su moderno aspecto
actual es la invención del Cálculo Infinitesimal a cargo de Newton y/o Leibniz (según quiera el
lector, claro). En particular, Newton establece el desarrollo en series de potencias del seno y
del coseno, aunque parece que parte de estos desarrollos eran ya conocidos por el
matemático hindú Madhava, y previamente, James Gregory en 1671, obtiene el desarrollo en
series de potencias de la función arco tangente, consiguiendo, de paso, una bonita relación
entre p y los número naturales:
π = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + ⋯
La aparición de los números complejos supuso en definitivo impulso a la nueva trigonometría.
En particular, Abraham de Moivre en 1722 establece la conocida fórmula
(cos(a)+i sen(a))n=cos(na)+i sen(na)
en la que algebra y geometría se dan la mano a través del binomio de Newton. Pero fue el
gran
matemático Leonhard
Euler quien
estableciera
la
inseparable
relación
entre
trigonometría y variable compleja con su conocida fórmula eia =cos(a) + i sen(a), de la que se
puede derivar La Fórmula Preferida del Profesor o Identidad de Euler
eiπ + 1= 0
en la que se relacionan de una forma maravillosamente simple los 5 números más importantes
de toda la historia.
Con la introducción de la función exponencial los límites de la trigonometría son
insospechados. A partir de aquí, no se puede decir que haya habido aportaciones muy
importantes a la trigonometría en sí, sino que este campo pasa a ser una herramienta analítica
más que los matemáticos y científicos de todo el mundo utilizamos para innumerables
situaciones: desde series de Fourier hasta mecánica cuántica.