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Filosofía de la Ciencia: el conocimiento
La situación a principios del s. XIX
Immanuel Kant (Königsberg 1724-1804).
 La mente humana no es una simple receptora de
percepción sino que la origina activamente. La
representación hace posible el objeto, no al revés. Uno
ve lo que quiere ver.
 La percepción debe ser procesada y reconocida o no
sería nada para nosotros.
 Podemos adquirir un conocimiento científico aunque
no conocemos “la cosa en sí”
 Conocimiento “sintético a priori” matemático, de
espacio y tiempo
 Esto va a contrastar con geometrías no euclidianas
(Poincaré)
Filosofía de la Ciencia: el conocimiento
Johann Carl Friedrich Gauss (Brünswick 1777
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Gotinga 1855). El príncipe de las matemáticas
Niño prodigio. Llegó a ser uno de los matemáticos más
importantes de todos los tiempos
Estudia en la Universidad de Gotinga.
Construcción de 17-ágono regular con regla y compás.
Doctorado de Universidad de Helmstedt: DisertaciónTeorema Fundamental del Álgebra.
Trabaja en Astronomía (órbitas de asteroides)
En Geografía, proyecciones, mapas y geodesia
(geometría diferencial- análisis aplicado a la geometría)
En Física se interesa por mecánica, magnetismo y
fluidos
Maestro de muchos matemáticos
Filosofía de la Ciencia: el conocimiento
Johann Carl Friedrich Gauss (Brünswick 1777
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Gotinga 1855).
Desde temprano se interesa en la geometría noeuclidiana que niega el 5° postulado
Se cuenta que midió los ángulos internos de un
triángulo entre picos de los Alpes para comprobar si
realmente miden 180°
Nunca publicó al respecto porque temía “el clamor de
los boecios”
Pero incentivó a Bolyai a trabajar en ella
Sólo porque póstumamente se encontraron cartas de él
sobre la geometría no euclidiana, ésta gana
respetabilidad la entre comunidad matemática
“Geometrías de la imaginación”
Axiomas o postulados de Euclides (~300 a.C)
1.
2.
3.
4.
5.
Toda línea puede ser extendida infinitamente.
Por dos puntos distintos pasa una y sola una
línea.
Una y solamente una circunferencia puede ser
construida si conocemos su centro y su radio.
Todos los ángulos rectos son congruentes.
Dada una línea y un punto exterior a ella,
podemos construir una y solamente una
paralela a la línea dada que pasa por el punto.
“Geometrías de la imaginación”
Versión original del 5° Postulado
5. Si una recta secante intercepta a un par de rectas de
manera que los ángulos del mismo lado de la recta
secante e interiores al par de rectas suman menos
que dos ángulos rectos, entonces si prolongamos
esas líneas rectas del mismo lado de los ángulos
mencionados, se cortarán.
a
b
“Geometrías de la imaginación”
5° Postulado = Axioma de las paralelas



¿Es posible demostrar el 5° Postulado a partir
de las nociones comunes y demás postulados
de Los Elementos?
Si se puede demostrar, es dependiente de los
otros y se puede quitar (sobra)
Si no, es independiente
“Geometrías de la imaginación”
5° Postulado: ¿Qué pasa si se niega (si se dice que
es falso?
 Por el teorema del ángulo externo, que dice
que en un triángulo los ángulos externos son
mayores que los ángulos internos remotos
 No puede haber un triángulo con dos ángulos
rectos
 Luego, dada una línea y un punto exterior a
ella, podemos construir una paralela a la línea
dada que pasa por el punto.

Pero, podría haber más de una
“Geometrías de la imaginación”
5° Postulado: Antecedentes
 En Los Elementos, éste aparece por primera vez en la
proposición 29 prescindiéndose de él en las 28
anteriores. Lo tratan de demostrar:
 Proclo (Griego del siglo V )
 Nasir ed Din et Tusi (Nasiraddin) (Persa siglo XIII)
 Wallis (Inglés, 1616-1703)
 G. Saccheri (Italiano 1667-1733)
 Lambert (Alemán 1728-1777)
 Legendre (Francés 1752-1833)
 Otros.
“Geometrías de la imaginación”
Encuentran resultados que parecen imposibles si
se niega el 5° Postulado

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
Paralelas que no son equidistantes (Proclo)
Los triángulos semejantes tienen que ser congruentes
(Wallis)
No existen ni rectángulos ni cuadrados (Saccheri)
Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo
puede no cortar el otro lado (Legendre)
La suma de los ángulos de un triángulo es menor a dos
rectos (Legendre)
No existen triángulos de áreas arbitrariamente grandes
(Gauss)
“Geometrías de la imaginación”
Encuentran resultados que parecen imposibles si
se niega el 5° Postulado
 Saccheri fue el primero en dar una demostración
por reducción al absurdo. Fallida.
 Lambert emprendiendo el mismo camino no
encontró contradicción lógica. No proclamó
haberlo demostrado.
 Legendre cae en la vieja equivocación: sustituir de
el postulado por uno equivalente
El amanecer de la
Geometría No
Euclidiana
Una idea finalmente se les ocurrió casi simultáneamente a
tres matemáticos: El quinto postulado de Euclides es independiente
de los demás, y al sustituirlo por un axioma contrario una geometría
nueva podría desarrollarse.
Padres de la Geometría No
Euclidiana
Carl Friedrich Gauss (Alemania, 1777-1855)
•Comenzó su estudio del postulado de las paralelas en 1792 a la
edad de los 15 años.
•Nunca publicó al respecto.
Janos Bolyai (Hungría, 1802-1860)
•En 1832 publicó sus resultados en el apéndice a un
tratado de Geometría de su padre Farkas Bolyai
Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (Rusia, 1792-1856)
•23 de Febrero de 1826 leyó una memoria sobre la teoría de las
paralelas en una sesión de la facultad de física y matemáticas.
•En 1829 publicó su contenido en una revista de la Universidad de
Kazán (Rusia)
•En 1930 publicó en la Academia de San Petersburgo.
Geometría Hiperbólica
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Paralelas que no son equidistantes (Proclo)
Los triángulos semejantes tienen que ser congruentes
(Wallis)
No existen ni rectángulos ni cuadrados (Saccheri)
Una recta perpendicular a un lado de un ángulo agudo
puede no cortar el otro lado (Legendre)
La suma de los ángulos de un triángulo es menor a dos
rectos (Legendre)
No existen triángulos de áreas arbitrariamente grandes
Geometría Hiperbólica

¿Qué implicaciones filosóficas tiene el
hecho de haber 2 geometrías igualmente
válidas lógicamente?
El disco de Poincaré
Geometría esférica (elíptica)
El
camino más corto entre
dos puntos sobre el globo
terráqueo está sobre una
círculo máximo.
Las
líneas “rectas” son
círculos máximos.
Todas
las “rectas” se
intersectan. No existen
paralelas.
Modelos
Curvatura positiva
Curvatura negativa
Curvatura cero
Relatividad General




El espacio tiene 4 dimensiones:
el espacio-tiempo
El recorrido de los rayos de luz
son “rectas”
La masa y la energía curvan el
espacio – tiempo.
Los planetas y demás cuerpos
viajan por líneas “rectas”
(geodésicas) en el espacio –
tiempo.
La forma del Universo
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
Universo cerrado:
Geometría esférica
Universo abierto:
Geometría hiperbólica
Universo plano:
Geometría euclidiana
El destino del Universo



Un universo cerrado podría colapsar en una
singularidad, un “Big Crunch.”
Un universo plano podría aproximarse a un
estado estático.
Un universo abierto podría tender a tener una
tasa de expansión constante, podría continuar
expandiéndose a una tasa exponencial por
siempre.
El rigor en el cálculo (Análisis)
Antecedentes

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


Problemas desde su nacimiento
Cantidades infinitesimales e infinitas
Curvas divididas en átomos o infinitesimales
indivisibles
Cantidades desvanecentes
D’Alembert apoya la noción de Newton sobre la
de Leibniz como límite de un cociente pero
habla de que 0/0 puede tomar cualquier valor.
El rigor en el cálculo (Análisis)
Antecedentes
Euler usa erróneamente la serie geométrica
1
1  x  x  x ... 
1 x
2
3
para afirmar que:



1
1  2  2  2 ... 
3
1
1  1  1  1... 
2
1 1
2
3
...  2   1  x  x  x ...  0
x
x
2
3
El rigor en el cálculo (Análisis)
Siglo XIX:
 Carl Gauss (Brunswick 1777-1855)
 Bernardo Bolzano (Praga 1781-1848)
 Agustin Cauchy (Paris 1789-1857)
 Karl Weierstrass (Ostenfelde 1815-1897)
El rigor en el cálculo (Análisis)

Ampliación del concepto de función




no necesita expresión analítica,
puede estar definida a trozos, discontinua
continua pero no diferenciable.
Bolzano y Cauchy: primeras definiciones de límite
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

definen derivada como el límite que conocemos hoy.
Cauchy define dy = y’ dx
Bolzano (1817) intenta demostrar el Teorema del Valor
Intermedio (le falta definición de los reales).
Cauchy insiste en definir la integral como límite de una suma

Primera demostración del teorema Fundamental del Cálculo
El rigor en el cálculo (Análisis)

Weierstrass
Límite: definición e-d (1841-56)
 muestra que una función continua alcanza su
mínimo en un conjunto cerrado y acotado


Series:
Gauss (1812) es de los primeros en investigar la
convergencia de series, .
 Cauchy: criterios de la raíz n-ésima y del cociente.
 Pero los matemáticos tendrán dificultad en dejar de
usar series divergentes en sus pruebas hasta finales
del siglo

Los números reales

Georg Cantor (S.Petersburgo 1845-1918 Halle)


1872 publica artículo donde define los irracionales como
sucesiones convergentes de racionales.
La publicación de Dedekind sobre los reales es del
mismo año

1873 (Bolzano 1851) Teoría de conjuntos de Cantor comienza a
dar fruto. Prueba que:




los racionales son enumerables
los reales no son enumerables
los algebraicos son enumerables (Liouville 1851 había probado que
existían los números trascendentes)
1880 Teoría de Conjuntos recibe oposición fuerte y enemistad
de Leopold Kronecker