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Matemática Básica para
Economistas MA99
Unidad 4
Clase 4.3
Matrices: Definiciones, matrices
especiales y operaciones con
matrices
Objetivos:
El alumno será capaz de:
Explicar la definición de una matriz.
Identificar la posición de los elementos de una matriz.
Identificar y clasificar los diversos tipos de matrices.
Realizar operaciones con matrices: suma, resta,
multiplicación.
Aplicar las propiedades en las operaciones entre
matrices.
Introducción:
Las matrices son de suma importancia en las ciencias, como
la ingeniería, la economía y otras ciencias aplicadas.
Son útiles para representar datos en forma ordenada, para
modelar problemas y resolver sistemas de ecuaciones, para
indicar las interrelaciones que existen en los diferentes
sectores de la economía (Matriz Insumo – Producto), entre
otras.
Matriz
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos
(números reales) ordenados en filas y columnas:
 a11
a
 21
A   a31

 
am1
a12
a13

a22
a23

a32
a33




am 2
am 3

a1n 
a2 n 
a3 n 

 
amn 
aij es el elemento situado en la i-ésima fila y en la
j-ésima columna. La matriz tiene m filas y n
columnas.
3 1  8 5 0
B

5 2 4 0 1 2 x 5
 B es una matriz de orden 2x5.
Igualdad de matrices
Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si todos
sus elementos correspondientes son iguales.
   
Amxn  Bmxn  aij  bij
Matrices especiales: Matriz fila y matriz columna
Las matrices filas son las de orden 1xn y las matrices columnas
son las de orden mx1 (vectores)
A  a11 a12  a1n 
 A es una matriz fila.
 b11 
b 
21   B es una matriz

B
   columna.
 
bm1 
Matrices especiales: Matriz diagonal
Es la matriz cuadrada
Anxn = [aij] definida por:
aij =
i si i = j
0 si i ≠ j
i Є R
1 0
0 
2

A 0 0

 
 0 0
0

0

3 


0

0
0 
0


n 
Matrices especiales: Matriz identidad
Es un caso particular de la matriz
diagonal, en la cual los elementos
de la diagonal principal son todos
iguales a 1.
1
0

I n  0


0
0 0  0
1 0  0
0 1  0

   
0 0  1
Matrices especiales: Matriz Triangular
Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada
cuyos elementos situados por encima de la
diagonal principal son todos iguales a cero.
aij  0, i  j
Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada
cuyos elementos situados por debajo de la
diagonal principal son todos iguales a cero.
aij  0, i  j
Matriz transpuesta
Dada una matriz Amxn = [aij], llamaremos matriz transpuesta
de A a la matriz que resulta de intercambiar en A las filas por
columnas. Esta matriz estará denotada por Atnxm = [aji].
2 1 
A  5 3 
1  1
2 5 1 
A 

1
3

1


Propiedades:
t
 
1) A
t t
A
2) kA  kAt , k  R
t
3)  A  B   At  B t
t
4)  A.B   B t . At
t
Matrices especiales: Matriz simétrica y antisimétrica
Una matriz cuadrada A se llama simétrica si
At = A y antisimétrica si At = -A.
2 1 5


A 1 4 6
5 6 9
0
 1
B
4

 3
1 4 3 
0 7 2 
 7 0  6

2 6 0 
 A es una matriz simétrica, pues At = A.
 B es una matriz antisimétrica, pues Bt = -B.
Adición y sustracción de matrices
Dadas las matrices Amxn = [aij] y Bmxn = [bij] del
mismo orden, la suma (A+B) o diferencia (A-B) es
una matriz cuyos elementos son las sumas o
diferencias de cada uno de los elementos
respectivos de las matrices.
A + B = [aij + bij]
;
A – B = [aij – bij]
Multiplicación de un escalar por una matriz
El producto de un escalar k por una matriz es
otra matriz kA que se obtiene multiplicando cada
elemento de A por k.
2 4
A
5  2
3
 8 16 12
si k  4se tiene : kA  

1 
20

8
2
2


Ejercicios:
Ejercicio: Construya una matriz A = [aij], si A es
de orden 3x2 donde aij = 4i + 2j
Ejercicio 6.1 – Prob. 12 (pág. 230)
Construya la matriz B = [bij] si B es de orden
2x2 y bij = (-1)i+j(i2 + j2)
Ejercicio 6.1 – Prob. 13 (pág. 230)
Si A = [aij] es de orden 12x10, ¿cuántas
entradas tiene A? Si aij = 1 para i = j y aij = 0
para i ≠ j, encuentre a33, a52, a10,10 y a12,10
Ejercicios:
Dadas las matrices:
A=
1
2
0
-1
7
0
B=
1
3
4 -1
C=
1
0
1
2
D=
Ejercicio 6.2 – Probs. 29, 30 y 34 (pág. 238)
Calcule:
 3AT + D
 (B – C)T
 (D – 2AT)T
1
2
-1
1
0
2
Aplicaciones:
Ejercicio 6.1 – Prob. 29 (pág. 230)
La compañía Widget tiene sus reportes de ventas mensuales
dados por medio de matrices cuyos renglones (filas), en orden,
representan el número de modelos regular, de lujo y extra lujo
vendidos, mientras que las columnas dan el número de
unidades rojas, blancas, azules y púrpuras vendidas. Las
matrices de enero (E) y febrero (F) son:
E=
2
6
1
2
0
1
3
5
2
7
9
0
F=
0
2
8
4
2
3
3
2
4
0
2
6
a) En enero, ¿cuántas unidades de los modelos de extra lujo
blancos se vendieron?
b) En febrero, ¿cuántos modelos de lujo azules se vendieron?
c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras?
d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de
unidades en ambos meses?