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•Linear algebra. Lang
•Linear algebra. Jim Hefferon
•Linear algebra. Hoffman y Kunze
•Calculus. Apostol
•Applied mathematics. Olver y Shakiban
•Calculus of vector functions. Williamson, Crowell y Trotter
•Mathematics for physicists. Dennery y Krzywicki
•Mathematical methods in physics and engineering. Dettman
•Mathematical methods for physicists. Arfken
•Sistemas de ecuaciones lineales
•Matrices
•Determinantes
•Espacios vectoriales
•Producto escalar. Espacios ecuclidianos
•Bases ortonormales
•Transformaciones lineales
•Valores y vectores propios
•Formas cuadráticas y formas hermitianas
El Álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia
los vectores, los espacios vectoriales, las transformaciones
lineales entre los espacios vectoriales y los sistemas de
ecuaciones lineales.
•Los espacios vectoriales son fundamentales en las matemáticas modernas; el
Álgebra lineal es ampliamente utilizada tanto en el álgebra abstracta como en el
análisis funcional.
•El Álgebra lineal tiene una representación concreta en la Geometría Analítica.
•Tiene aplicaciones importantes y vastas en las ciencias naturales y en las
ciencias sociales, ya que muchos modelos no lineales pueden ser aproximados
por modelos lineales
La historia del Álgebra lineal moderna se
remonta a los años de 1843 y 1844. En 1843,
William Rowan Hamilton (quien inventó el
nombre “Vector”) descubrió los cuaterniones.
En 1844, Hermann Grassman publicó su libro
Die lineale Ausdehnungslehre. Arthur Cayley en
1857, introdujo las matrices (2x2), una de las
ideas fundamentales del Álgebra Lineal.
Dados los n  m  m números complejos
a11 , a12 , a13 , ..., amn
y
b1 , b2 , b3 , ..., bm
podemos formar el siguiente sistema de
ecuaciones:
Sistema de ecuaciones lineales
a11 x1  a12 x2  a13 x3 ...  a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  a23 x3 ...  a2 n xn  b2
...
ai1 x1  ai 2 x2  ai 3 x3 ...  ain xn  bi
...
am1 x1  am 2 x2  am 3 x3 ...  amn xn  bm
n es el número de incognitas
m es el número de ecuaciones
Dadas las constantes complejas
a11 , a12 , a13 , ..., amn y
b1 , b2 , b3 , ..., bm
* ¿En qué condiciones existe un conjunto de
números complejos
x1 , x2 , x3 ,..., xn
que satisfacen simultaneamente las ecuaciones?
* ¿Cómo encontramos dicha solución?
Sistema de ecuaciones lineales
a11 x1  a12 x2  a13 x3 ...  a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  a23 x3 ...  a2 n xn  b2
...
ai1 x1  ai 2 x2  ai 3 x3 ...  ain xn  bi
...
am1 x1  am 2 x2  am 3 x3 ...  amn xn  bm
n es el número de incognitas
m es el número de ecuaciones
Finalmente la cosa se reduce a tratar con los
coeficientes:
 a11 a12 ... a1n 


a
a
...
a
21
22
2n 

 .



 .

 .



 am1 am 2 ... amn 
y
 b1 
 
b
 2
 . 
 
 . 
 . 
 
 bm 
Un arreglo de números complejos
 a11 a12 ... a1n 


a
a
...
a
21
22
2n 

 .


   aij 
 .

 .



 am1 am 2 ... amn 
es llamado una matriz m  n en C
La matriz tiene m renglones y n columnas
 a11

a
 21
 .
A
 .
 .

 am1
a12
...
a22
...
am 2
...
a1n 

a2 n 





amn 
A   aij  i  1, 2,..., m j  1, 2,..., n
A es una matriz m  n
Un vector
 x1 
 
.
 
 . 
 
.
 
x 
 n
es una matriz n  1
Un vector
 x1 ,..., xn 
es una matriz 1  n
 0 0 ... 0 


0
0
...
0


.



.

.



 0 0 ... 0 
aij =0 para todo    i, j
Todos sus elementos son cero
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
 .



 .

 .



 an1 an 2 ... ann 
a 
ij
i  1, 2,..., n
El orden de la matriz es n
j  1, 2,..., n
Tiene el mismo número de renglones y de columnas
La matriz identidad A   aij  n  n está definida como
aij  0 si i  j y aii  1 para i  1,..., n
1

0
.
In  
.
.

0

0
...
1
...
0
...
0

0





1

 a11

a
21

A
 a31

 a41
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
A   aij  i  1, 2, 3, 4
a14 

a24 
a34 

a44 
j  1, 2, 3, 4
Tiene 4 columnas, 4 renglones: 16 elementos
Sea A   aij  n  n una matriz cuadrada.
Los elementos
a11 , a22 , a33 ,..., ann
constituyen los elementos de la diagonal.
Sea A   aij  n  n una matriz cuadrada.
Se dice que es diagonal si todos los elementos
"fuera" de la diagonal son cero, es decir, aij  0 si i  j
 a11

 0
 .

 .
 .

 0
0
...
a22
...
0
...
0 

0 





ann 
* Toda matriz diagonal es simétrica
Sea A   aij  n  n una matriz cuadrada.
Se dice que es triangular si todos los elementos
"arriba ó abajo" de la diagonal son cero, es decir,
aij  0 si i  j
ó
aij  0 si i  j
0
1


3
i

4
2

 1 1  i
2
8

0

0
0 0

2 0 0

0 3 0 

4 i 2i 
0
0
Sea A   aij  una matriz m  n.
La matriz n  m denotada como B   b ji 
tal que
b ji  aij
es llamada transpuesta.
T
Se denota A .
Se intercambian renglones y columnas
 1 0.5 1 
A

 1 2 0.5 
1 
 1


T
A   0.5 2 
 1 0.5 


Una matriz A   aij  m  n es simétrica si es
igual a su transpuesta, es decir, si A  A .
T












Hay lo mismo arriba y abajo de la diagonal
Una matriz A   aij  m  n es antisimétrica
si es igual al negativo de su transpuesta,
es decir, si A   A .
T
Una matriz cuadrada A   aij  es simétrica
si
A A
T
Una matriz cuadrada A   aij  es antisimétrica
si
A  A
T
•La suma de dos matrices
•Multiplicación de una matriz por un
escalar
•Multiplicación de dos matrices
Solo se pueden sumar matrices de la misma
forma, es decir, que ambas sean m  n.
Sean A   aij  y B   bkl  dos matrices m  n,
la suma es
 A  B ij  aij  bij
para todo i, j
 a11

 a21
 .
A
 .
 .

 am1
a12
...
a22
...
am 2
...
 a11

 a21

A+B



 am1
a1n 

a2 n 





amn 
 b11

 b21
 .
B
 .
 .

 bm1
 b11
a12  b12
...
 b21
a22  b22
...
am 2  bm 2
...
.
.
.
 bm1
b12
...
b22
...
bm 2
...
a1n  b1n 

a2 n  b2 n 





amn  bmn 
b1n 

b2 n 





bmn 
Sea A   aij  una matriz m  n
y
r un escalar,
el producto rA se define como
 rA ij
 raij
para todo i, j
 ra11

 ra21
 .
rA  
 .
 .

 ram1
ra12
...
ra22
...
ram 2
...
ra1n 

ra2 n 





ramn 
rA   raij  i  1, 2,..., m j  1, 2,..., n
 a11 a12 ... a1n 


a
a
...
a
22
2n 
 21
 .

A

 .

 .



 am1 am 2 ... amn 
mn
 b11 b12 ... b1s 


b
b
...
b
2s 
 21 22
 .

B

 .

 .



 bn1 bn 2 ... bns 
ns
n
 AB ik   aijb jk
j 1
m s
n
 AB ik   aijb jk
j 1
m s
 La multiplicación no es conmutativa
 El número de columnas del primer factor
debe ser igual al número de renglones del
segundo factor
 1 2  0 2   2 8 




3

1
1

3

1
9


 

 0 2  1 2   6 2 



 

 1 3  3 1   8 1 

 1 2  0 2 



3

1
1

3



 0 2  1 2 



1

3
3

1




¡La multiplicación de matrices
no es conmutativa!
 3 
1 1    1 3   1 2   5
2
1 2 2 1
11
  31
 3 
  1 1   2 1
2
   
2  1 1 2
 3 1   3

 2  1   2
3

2 
2 2
 3 4
 1 5 

 1 3  


1
2


3

5



 1 1 

 1 5
 2 1 




3 2
22
3 2
 3 4
 1 3 


  1 2  
 1 1  2 1 


?
No se pueden multiplicar
El número de columnas del primer factor
debe ser igual al número de renglones del
segundo factor
Si A, B, C son matrices
A  B + C  = AB + AC
Si r es un número
A  rB   r  AB 
Claro, siempre y cuando las sumas y los
productos puedan realizarse
Si A, B, C son matrices tales que A y B pueden
ser multiplicadas y B y C pueden ser multiplicadas.
Entonces A, BC pueden ser multiplicadas.
También AB, C y se tiene
 AB  C = A  BC 
Sea A una matriz n  n
A es invertible o no singular si existe una
matriz B de rango n  n tal que
AB = BA = I n
 La matriz B se llama inversa de A y se denota A 1
 Cuando existe la matriz inversa es única
Sea A una matriz n  n
Se pueden formar los productos
A
AA
AA...A
Si m es un entero  1
A  AA...A
m
Se define A 0  I
Sistema de ecuaciones lineales
a11 x1  ...  a1n xn  b1
...
am1 x1  ...  amn xn  bm
A   aij  m  n
b   bi  m  1
Ax = b
x   x j  n 1
Toda matriz cuadrada n  n tiene asociado
un determinante que es un número complejo.
El determinante de la matriz A se escribe
det A  A 
a11
a12
...
a1n
a21
a22
... a2 n
an 2
...
.
.
.
an1
ann
det  A  
n
sgn    a   


S n
i 1
i,
i
La suma se calcula sobre todas las permutaciones 
de los números 1, 2,3,..., n y sgn   es  1 se la
permutación es par ó  1 si es impar.
det  A  
n
sgn    a   


S n
i 1
i,
i
La suma se calcula sobre todas las permutaciones 
de los números 1, 2,3,..., n y sgn   es  1 se la
permutación es par ó  1 si es impar.
*Permutaciones del 1 y el 2:
1, 2  ,  2,1
así que
det  A   a11a22  a12 a21
En el caso de una matriz cuadrada 2  2
el determinante es el número complejo
det A  A 
a11
a12
a21
a22
 a11a21  a21a12
det  A  
n
sgn    a   


S n
i 1
i,
i
La suma se calcula sobre todas las permutaciones 
de los números 1, 2,3,..., n y sgn   es  1 se la
permutación es par ó  1 si es impar.
Permutaciones del 1, 2 y 3
1, 2,3 , 1,3, 2  ,  2,1,3 ,  2,3,1 ,  3, 2,1 ,  3,1, 2 
así que
a11a22 a33  a11a23a32  a12 a21a33  a12a23a31  a13a22a31  a13a21a32
En el caso de una matriz cuadrada 3  3
el determinante es el número complejo
a11
a12
a13
det A  A  a21
a22
a23 
a31
a32
a33
 a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32
 a11a23a32  a12 a21a33  a13a22 a31
5
3
3
1
4
2
3
5

0  det  3
4
3

3
1
2
3 

0 

3 
Truco que solo sirve para matrices 3x3
1) Se duplican los renglones 1 y 2
5
3
3
3
1
0
4
2
3
5
3
3
3
1
0
2) Se multiplican diagonalmente hacía abajo con signo +
y diagonalmente hacía arriba con signo 3
3
3 1
0
5
4
2
5
3
3 1
 5 1 3   3 2  3   4  3 0  15  18  0

 12
3 
  3 3 3   5  2  0    4  1 3 27  0  12
3
0
1
0
2
0
2
4
1
5  det 4
1
5
2
3
2
3
2
1
0
2
4
1
5
2
3
2
1
0
2
4
1
5

2  24  0
0  15  4
1
2
11 2    4  3 2    2  0  5 

  4  0  2   1 3 5    2 1 2 
 33
1.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz son cero, entonces su determinante es cero
2.- Si todos los elementos de una fila o de una columna de
una matriz se multiplican por el mismo número k , entonces
su determinante se multiplica por k .
3.- Si una par de filas o de columnas de una matriz se
intercambian, el determinante cambia de signo
4.- Si una fila o una columna de una matriz es
proporcional a otra fila o a otra columna, el
determinante es cero.
5.- Si todos los elementos de una fila o de una
columna se pueden expresar como la suma de
dos términos, entonces el determinante puede
escribirse como la suma de dos determinantes,
cada uno de los cuales contiene uno de los
términos en la fila o columna correspondiente.
6.- Si a todos los elementos de una fila o de una columna
se le añade k veces el elemento correspondiente de otra
fila o columna, el valor del determinante no cambia.
Si la matriz A es triangular,
entonces
det  A   a11a22 a33 ...ann
es decir, el determinante es el
producto de los elementos
diagonales.
Usando las propiedades 1 a 6 expuestas
arriba, se lleva la matriz original a una
forma triangular cuyo determinante es
el producto de los elementos de la
diagonal
Sea una matriz A cuadrada n  n.
Eligimos una fila, la i,
entonces
n
det  A    aij  1
j 1
i j
M ij
donde M ij es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila i y la columna j
 a11

a
 21
 .
M ij  
 .
 .

 am1
a12
...
a22
...
aij
am 2
...
a1n 

a2 n 





amn 
Sea una matriz A cuadrada n  n.
Eligimos una columna, la j,
entonces
n
det  A    aij  1
i 1
i j
M ij
donde M ij es el determinante de la matriz
que resulta de quitar la fila i y la columna j
5
3
3
3 1
0 
4
3
2
1) Se escoge un renglón.
Elegimos el primero.
2) Se toman los elementos de ese renglón uno por uno.
Empecemos por el elemento 5.
3) Se crea un nuevo determinante quitando el renglón
y la colum na del elemento escogido, es decir
-1
0
2
3
A este determinante se le llama menor
5
3
3
3 1
0 
4
3
2
4) El determinante obtenido (el menor) se
multiplica por el elemento y se pone como
signo  -1
Número de columna+Número de renglón
En este caso  -1
1 1
5
-1
0
2
3
5
3
3
3 1
0 
4
3
2
5) Se hace lo mismo con todos los
elementos del renglón escogido.
5
3
3
3 1
0 
4
3
2
  1
11
5
1
0
2
3
  1
1 2
 3
3
0
4 3
  1
 5  3  3  9   3 10   15  27  30  12
1 3
 3
3 1
4
2

1
0
2
4
1
5 
2
3
2
  1
1 1

1
1
5
3
2
1
5
3
2
02
 13  20  33
  1
1 2
4
1
2
3
0
4 5
2
2
  1
1 3
  2  15   2 12  2  
 2 
4
1
2
3

 2 5 3 


1 1 3  det  1 1 3  
 2 2 0 
2 2 0


2
5 3
  1
11
 2
1 3
2
0
  1
1 2
5
1 3
2
0
 2  6   5  6   3  0   12  30  0  42
  1
1 3
 3
1 1
2 2

0
3
4
2
1
0
2
2
1
3
2
1
3
2
3
1
  1
11
0
0
2
3
2
1   1
2
3
1
1
  1
1 3
 4  1
3
1
 3 1
3
2

2
0
2
1 2
2
 3 1
3
2
1 4
1 
3
1
2
2
1
1  4 1
2
1  2 1
3
1
3
1
3
2
0
2 
3
2
3
2
3
2
 2  1
1
1
2
1
1   1
3
2
1
0
3
2
3
2
2 
3
1
2 2
1 2
1 1
3
3
1
1
0
2
1 3
1 1
3
2 1
1
0
1 3
3
2
2
2 1
3
2
1
3 1
3
  2 
1 1
 0
1 1
1
2 1
3
2
2 3
 0
3
3
1
1
1 2
3
3
  2 
1 2
  2 
1 3
  2 
3
3
2
3
1 3
3
 1 5   2  2   2  9   9
2
 1 1   0  2   2  7   13
 113   0  9   2  7   27
0
3
4
2
1
0
2
2
1
3
2
1
3
2
3
1
2
2
3
2
1   1
2
3
1
0
  1
11
0
1
  1
1 3

 4  1
3
1
1 2
2
2
1 
3
1
 3 1
3
0
2
3
1   1
2
1
1
1 4
 3  9   4 13  2  27   25
2
 2  1
3
0
2
3
2 
2
3
Escogemos un renglón, el primero
2
5 3
1 1 3 
2 2
  1
11
0
 2
1 3
2
0
  1
1 2
5
1 3
2
0
 2  6   5  6   3  0   12  30  0  42
  1
1 3
 3
1 1
2 2

Ahora escogemos el segundo renglón,
2
5 3
1 1 3
2 2
  1
2 1
0
 1
5 3
2
0
  1
22
1
2
3
2
0
  1
  6    6   3  4  10   6  6  3 14   42
23
 3
2
5
2 2
Ahora escogemos la tercera columna,
2
5 3
1 1 3
2 2
  1
1 3
0
 3
1 1
2 2
  1
 3  0   3 14   0  42
23
 3
2
5
2 2
  1
3 3
 0
2
5
1 1