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Depto. Matemáticas – IES Elaios
Tema: Distribuciones
de Probabilidad
1. VARIABLES ALEATORIAS
Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando,
ampliando y adaptando las diapositivas de la Editorial SM
Variable aleatoria: idea intuitiva
Fenómeno aleatorio: lanzar tres monedas al aire.
E
CCC
3
R
CCX
CXC
2
XCC
CXX
XCX
1
XXC
XXX
0
La función "número de caras" asocia a cada elemento del espacio muestral un
número real, es una variable aleatoria.
Variable aleatoria: definición y clasificación
Se llama variable aleatoria a toda función definida en el espacio
muestral de un experimento aleatorio que asocia a cada elemento del
espacio un número real.
Según cómo sean los recorridos de las variables, estas se
pueden clasificar en:
• Discretas, solo puede tomar ciertos valores aislados.
• Continuas, pueden tomar, al menos teóricamente, todos los
valores posibles dentro de cierto intervalo de la recta real.
Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta
Se llama función de probabilidad de una
variable aleatoria discreta X a la aplicación
que asocia a cada valor xi de la variable su
probabilidad pi.
La función de probabilidad verifica:
1. 0 
pi  1 para todo i  1, 2,
n
2.
p
i 1
i
X
pi = p(X = xi)
x1
x2
…
xn
p1
p2
…
pn
1
, n.
 1.
3. P[a  X  b]  P[ X  a]  P[ X  a  1] 
4. P[ X  b]  1  P[ X  b].
 P[ X  b  1]  P[ X  b].
Recuerda: Media y varianza de una variable estadística
Ahora: Media o Esperanza y varianza de una variable aleatoria discreta
Media o
Esperanza
Varianza
   x i pi
σ 2   x i2  pi μ 2
Ejemplo: se lanza un dado
y se anota el resultado 
2
σ 2  91   21   2,917
6
 6 
xi
pi
xipi
xi2
xi2pi
1
1
6
1
6
1
1
6
2
1
6
2
6
4
4
6
3
1
6
3
6
9
9
6
4
1
6
4
6
16
16
6
5
1
6
5
6
25
25
6
6
1
6
6
6
36
36
6
1
21
6
μ
91
6
Apuntes:
En el caso de variables aleatorias continuas se presenta un problema que no
ocurre con las variables aleatorias discretas: no puede asignarse un número real
(valor de probabilidad) a cada uno de los infinitos valores del intervalo sobre el que
está definida la variable.
–
Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que, tomando un número al azar en el intervalo [0 , 1]
obtengamos 0,712?
Al aplicar la Regla de Laplace, sólo hay un caso favorable (el 0,712) y los casos posibles
son los infinitos números de ese intervalo.
La probabilidad de ese suceso es así prácticamente cero, pese a que no sea el suceso
imposible. Es una probabilidad difícil de cuantificar.
En estos casos no tiene interés conocer la probabilidad en un punto, siempre casi
nula, sino la probabilidad correspondiente a un intervalo. Esto se consigue
mediante la función de densidad.
Función de densidad de una variable aleatoria continua
Y
Una función f(x) es admisible como función de densidad
de una variable aleatoria continua si:
1. f(x) ≥ 0 en todo el dominio de definición.
2. El área limitada por la gráfica de f(x)
y por el eje OX es igual a 1.
c
X
d
d

P(c < X < d) = P(c  X  d) = f ( x)dx
c
Media y varianza de una variable aleatoria continua
Variable estadística
Variable aleatoria
discreta
n
n
x =  xihi
 =  xipi
i=1
i=1
—
n
s =  (xi - x) hi
2
i=1
— 2

n
 =  (xi - ) pi
2
2
i=1
Variable aleatoria
continua
b
 

b


a
x . f(x) dx
  (x - ) . f(x) . dx
a