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Distribuciones de probabilidad
Matemáticas aplicadas
a las CCSS II
Ana Pola
IES Avempace
Ley de los grandes números
Al repetir, en condiciones estables, un
gran número de veces un mismo
experimento, las frecuencias relativas
correspondientes a cada uno de los
sucesos tienden a estabilizarse en un
determinado valor.
 Este valor recibe el nombre de
probabilidad.

Del modelo experimental al modelo teórico
xi
Suma
fi
fr i
xi
fi
fr i
xi
fi
fr i
pi
xi
1
14
0,117
1
173
0,144
1
736
0,153
1 1/6=0,166…
2
16
0,133
2
201
0,168
2
806
0,168
2 1/6=0,166…
3
18
0,150
3
221
0,184
3
835
0,174
3 1/6=0,166…
4
29
0,242
4
177
0,148
4
766
0,160
4 1/6=0,166…
5
20
0,167
5
202
0,168
5
825
0,172
5 1/6=0,166…
6
23
0,192
6
226
0,188
6
832
0,173
6 1/6=0,166…
120
1
1200
1
4800
1
Suma
Suma
Variable estadística
Suma
1
Variable aleatoria
120 lanzamientos
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
1
2
3
4
5
6
1200 lanzamientos
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
1
2
3
4
5
6
4800 lanzamientos
0,300
0,250
0,200
0,150
0,100
0,050
0,000
1
2
3
4
5
6
Variable aleatoria


Es una variable numérica cuyo
valor viene determinado por el
azar.
Es una función tal que a cada
suceso elemental del espacio
muestral le asigna un número
real.
Se lanza tres veces una moneda.
Contamos el número de caras
E
R
XXX
XXC
0
XCX
CXX
XCC
1
2
CXC
CCX
CCC
3
Función de probabilidad

Llamamos función de probabilidad P de una variable aleatoria X, o
distribución de probabilidad de esa variable, a una función que
hace corresponder a cada valor de la variable su probabilidad:

Como la variable aleatoria recorre todos los sucesos del espacio
muestral, la suma de las probabilidades asociadas debe ser 1:
Distribuciones discretas de
probabilidad 1

Una variable aleatoria es discreta cuando toma un número de
valores finito.

Ejemplo 1:

Se tira un dado. Se define la variable aleatoria: puntuación obtenida.
1
5/6
Suceso: s
1
2
3
4
5
6
X(s)=x i
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
p(x i)=P(X=x i)
2/3
1/2
1/3
1/6
Distribución uniforme
0
1


2
3
4
A cada valor de la variable aleatoria se le asocia su probabilidad.
P(X = x1)+P(X = x2)+P(X = x3)+P(X = x4)+P(X = x5)+P(X = x6) =
= 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1
5
6
Distribuciones discretas de
probabilidad 2

Ejemplo 2:

Se tira tres veces una moneda. Se define la variable aleatoria: número de
caras.
Suceso: s
X(s)=x i
p(x i)=P(X=x i)
XXX
XXC
XCX
CXX
XCC
CXC
CCX
CCC
0
1
2
3
1/8
3/8
3/8
1/8
Distribución no uniforme
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
1

2
3
4
P(X = x1)+P(X = x2)+P(X = x3)+P(X = x4) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.
Valor esperado

Llamamos valor esperado o esperanza matemática de la variable aleatoria
X al valor:

La expresión valor esperado alude a los juegos de azar. Es la ganancia
que se espera recibir, en promedio, por jugar a una sola opción en dicho
juego.



Si E(X) = 0  no existe ventaja para el jugador ni para la “banca”
Si E(X) > apuesta  el juego es favorable al jugador
Si E(X) < apuesta  el juego es desfavorable al jugador
Dos ejemplos

En el experimento del lanzamiento de 3 monedas:
 = 0·1/8 + 1·3/8 + 2·3/8 + 3·1/8 = 12/8 = 1,5
Es decir, por término medio, se espera que la mitad de las veces salga cara y la otra mitad cruz.

En una rifa de 10000 números, se vende cada uno a 10€ y hay la
posibilidad de ganar un coche valorado en 12000€.
La función de probabilidad es
y la esperanza matemática es
Sucesos
perder
ganar
X
0
12000
P(X)
9999/10000
1/10000
Es decir, la ganancia media del jugador es 1,2 €.
Para que la rifa fuera justa, cada número debería venderse a 1,2 €-
Varianza y desviación típica

Dada una variable aleatoria discreta X, con su correspondiente
distribución de probabilidad, definiremos la varianza de esa distribución
como:

Se puede demostrar que esta fórmula es equivalente a esta otra:

Llamaremos desviación típica de esta variable aleatoria a la raíz cuadrada
de su varianza:
Un juego de azar con apuesta

Una urna contiene 5 bolas: 3 rojas y 2 azules. Extraemos dos bolas.
Ganamos 100 € cuando salen 2 bolas rojas. Perdemos 20 € cuando salen
de distinto color y 150 € cuando salen las azules.
2/4
3/5
2/5
r
P(rr) = 3/5·2/4 =3/10
r
2/4
a
P(ra) = 3/5·2/4 =3/10
3/4
r
P(ar) = 2/5·3/4 =3/10
1/4
a
P(aa) = 2/5·1/4 =1/10
Suceso: s
rr
ra
ar
X(s)=x i
100
-20
p(x i)=P(X=x i)
3/10
3/5
a
En cada jugada esperamos ganar 3 €. Por tanto, en 100 jugadas la ganancia esperada sería de 300 €.
El juego es arriesgado porque en una jugada la pérdida o ganancia se sitúa, muy probablemente, en el
intervalo:
[3 - 74.03 , 3 + 74.03] = [-71.03 , 77.03]
rr
-150
1/10