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Distribución de Probabilidad
Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de los polígonos de
frecuencias. En el caso de una variable estadística continua consideramos el
histograma de frecuencias relativas, y se comprueba que al aumentar el número
de datos y el número de clases el histograma tiende a estabilizarse llegando a
convertirse su perfil en la gráfica de una función.
Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen mediante una
función y=f(x) llamada función de probabilidad o función de densidad.
Así como en el histograma la frecuencia viene dada por el área, en la función de
densidad la probabilidad viene dada por el área bajo la curva, por lo que:
•El área encerrada bajo la totalidad de la curva es 1.
•Para obtener la probabilidad P(aXb) obtenemos la proporción de área que hay
bajo la curva desde a hasta b.
•La probabilidad de sucesos puntuales es 0, P(X=a)=0
Parámetros en una distribución de probabilidad
Por analogía con las variables estadísticas podemos definir también
aquí la media m y la desviación típica s de la variable aleatoria.
•La media m, también llamada
esperanza matemática, es un valor
representativo de todos los valores
que toma la variable aleatoria X,
lo podemos imaginar como el punto
sobre el eje de abscisas donde al
poner una cuña la figura plana
definida por la función de densidad
quedará
en
equilibrio.
Para
calcularla hemos de hacer:
•La desviación típica s es una
medida de la dispersión de los
valores que toma la variable
aleatoria de la media. Como ocurría
con las variables estadísticas la
desviación típica será más pequeña
o más grande según la gráfica de la
función de densidad sea más
estrecha o más ancha en torno a la
media. En este caso se calcula:
Una distribución de probabilidad es un modelo matemático que asocia
valores de una variable aleatoria con sus respectivas probabilidades,
es decir: Probabilidad de x = Función de x
Las distribuciones se caracterizan por una fórmula que determina el tipo
de distribución y por un conjunto de parámetros, que son propios de cada
espacio muestral.
En el caso de una variable discreta , la distribución puede describirse
mediante una función de probabilidad, que para cada valor de x de la
variable X determina la probabilidad de ser asumido:
P( X= x) = p (x)
o bien por medio de una función de distribución de probabilidad acumulada o
simplemente función de distribución, la que, para cada valor provee la
probabilidad de no ser superado
evidentemente, el valor de la función de distribución es igual a la suma de todos
los valores de la función de probabilidad desde el extremo inferior del dominio de
la variable hasta x inclusive
Ejemplo: Al lanzar dos dados la suma de ambos puede asumir 11 valores
diferentes en 36 puntos muestrales
En este caso vemos que la distribución de p(x) obtenida es simétrica.
Para el caso de 1 solo dado, donde todos los valores tienen la misma
probabilidad de salir (1/6), obtendríamos una
distribución uniforme
Distribución Binomial
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
•En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A
(éxito) y su contrario Ā (fracaso).
•El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos anteriormente.
•La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía
de una prueba a otra. La probabilidad de Ā es 1- p y la representamos por q .
El experimento consta de un número n de pruebas.
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la
distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos
en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
Distribución Binomial
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores
0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.
Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k)
fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
Se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.
Función de probabilidad de la distribución Binomial
o también denominada función de la distribución de Bernoulli (para n=1).
Verificándose: 0  p  1
Probabilidad de obtener K éxitos
k
nk
n
p( X  k )     p  q
k
Distribución Binomial
Parámetros de la Distribución Binomial
Función de Distribución de la variable aleatoria Binomial
n
F ( x1 )  p( X  x1 )    
0
p
0
n
n
q  
1
1
p
q
n 1
n
 ....    
k
p
k
q
nk
Siendo K el mayor número entero menor o igual a xi
Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi, la probabilidad
de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.
Distribución Binomial
Resumen Distribución Binomial
Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.
Distribución Binomial
Ejemplo
La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la
probabilidad de que una vez administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad
b) Todos sufran la enfermedad
c) Dos de ellos contraigan la enfermedad
Solución :
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0'72)
Distribución de Poisson
Esta distribución aparece en algunos procesos que tienen una dimensión temporal
o espacial, y en fenomenos que tienen un alto número de experimentos (alto n) y
una baja probabilidad de que ocurran (baja p).
Ejemplos:
• número de llamadas telefónicas que recibe un servicio de atención a urgencias
durante un intervalo de tiempo determinado
•número de cultivos infectados por una plaga en una cierta región geográfica
La función de probabilidad de una variable aleatoria de Poisson con media l > 0,
que simplificamos con la notación P(l), es
siendo su función de distribución el sumatorio de cada uno de los valores
menores.
La media y varianza de X son ambas iguales a l,
E[S] = V[S] = l.
Distribución de Poisson
Ejemplo
El número de enfermos que solicitan atención de urgencia en un hospital durante un
periodo de 24 horas tiene una media de m = 43,2 pacientes. Unas obras en las
instalaciones mermarán las capacidades de atención del servicio, el cual se sabe que
colapsará si el número de enfermos excede de 50. ¿Cual es la probabilidad de que
colapse el servicio de urgencias del hospital?
Bajo las condiciones del modelo de Poisson, se trata de una distribución P(43,2).
La probabilidad solicitada es
Pr{X > 50} = 1 - Pr{X <= 50} = 1 - F(50) = 0.13.
El responsable del servicio deberá valorar si esta probabilidad es lo
suficientemente alta como para reforzar la atención de urgencias con más
efectivos, materiales, espacios, etc.
Distribución de Poisson
Ejemplo
Cierta enfermedad tiene una probabilidad muy baja de ocurrir, p=1/100.000. Calcular
la probabilidad de que en una ciudad con 500.000 habitantes haya más de 3 personas
con dicha enfermedad.
Calcular el número esperado de habitantes que la padecen.
Consideramos la v.a. X que contabiliza el número de personas que padecen la
enfermedad, es claro que sigue un modelo binomial, pero que puede ser muy bien
aproximado por un modelo de Poisson, de modo que
Así el número esperado de personas que padecen la enfermedad es
Existe una gran dispersión, y no sería extraño encontrar que en realidad hay muchas más
personas o menos que están enfermas. La probabilidad de que haya más de tres personas
enfermas es:
P=0.7365