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Las Medallas Fields y los
problemas del Milenio
por Julio Bernués
Medallas Fields en Matemáticas
2006
Ceremonia inaugural del
International Congress of Mathematicians
(ICM).
Palacio Municipal de Congresos.
Madrid, 22 de Agosto de 2006, 10,30h.
www.icm2006.org
International Congress of Mathematicians,
2006. Madrid, 22-30 de Agosto.
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Dividido en 20 secciones.
1 Charla Plenaria por cada sección.
+- 10 Charlas de sección.
1000+ comunicaciones.
Españoles en el ICM:
1 (de sección) en 1994. 1+10 en 2006.
International Congress of
Mathematicians
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Primer ICM. Zurich, 1897.
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Celebración cada 4 años.
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Desde 1920 organizado por la International
Mathematical Union (IMU).
Se otorga Medalla Fields, Nevalinna Prize, Gauss
Prize.
Medallas Fields en Matemáticas
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Primer ICM fuera de Europa en Toronto
(Canadá) en 1924.
J.C. Fields propone creación de una
medalla que premie los logros
matemáticos de un autor.
Primeras medallas en el ICM de Oslo,
1936.
Medallas Fields en Matemáticas
John Charles Fields
Canadá, 1863-1932.
Medallas Fields: el Nobel de las matemáticas
Alfred Nobel
1833-1896
John Charles Fields
1863-1932
Francia, 1888
“El mercader de la
muerte, ha muerto”
Alfred Nobel
1833-1896
Premios Nobel
Nobel (en 1895) legó su fortuna para
crear una fundación que otorgara premios
anuales entre aquéllos que durante el año
precedente hubieran realizado inventos o
descubrimientos al mayor beneficio a la
humanidad.
Premios Nobel
Nobel
Nobel
Nobel
Nobel
Nobel
de
de
de
de
de
Física
Química
Medicina
Literatura
la Paz
Nobel de Economía desde 1969.
Premio Abel desde 2003.
Premios Nobel vs Medallas Fields
Inicio: 1901-1902
Inicio: 1936 (ICM,1897)
Proponen: Academias
Proponen: IMU
Premio Anual
Cada 4 años
Sin límite de edad
Menor de 40 años
Hasta 3 por premio
De dos a cuatro.
Premio:+- 1.000.000$
Premio: Una medalla
Arquimedes
RTM, MCMXXXIII
Transire suum pectus
mudoque potiri.
Congregati ex toto
orbe mathematici ob
scripta insignia
tribuerunt
El medallero
Estados Unidos, 12
Francia, 8
Gran Bretaña, 7
Rusia, 6
Japón, 3
Bélgica, 2
Alemania, Finlandia, Italia, Noruega, Nueva
Zelanda, Suecia, 1
International Mathematical Union
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Africa, 6 naciones
América, 10 naciones
Asia, 16 naciones
Europa, 33 naciones
Oceanía, 2 naciones
TOTAL, 67 naciones asociadas.
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GRUPO 1 (un voto, 1): 31 naciones.
GRUPO 2 (dos votos, 2): 16 naciones.
GRUPO 3 (tres votos, 4): 4 naciones.
GRUPO 4 (cuatro votos, 7):
Brasil, España, Holanda, India, Suecia, Suiza.
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GRUPO 5 (cinco votos, 10): Alemania,
Canadá, China, Estados Unidos, Gran
Bretaña, Israel, Italia, Japón, Rusia.
La quiniela del 2006
Terence Tao
Andrei Okounkov
Australia, 1975- Rusia
(Princeton, Ucla) (Princeton)
Grigori Perelman
Rusia
(S. Petersburgo)
Perelman PARECE
haber resuelto la
Conjetura de
Poincare.
Grigori Perelman
Los problemas del Milenio
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Clay Mathematics Institute, USA.
www.claymath.org
Propuestos en el 2000 (año mundial de las
matemáticas a imagen de los
23 Problemas de Hilbert, ICM 1900.
Premio: 1.000.000$ cada uno.
Los problemas del milenio
1. La Conjetura de Poincare.
2. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
3. La conjetura de Hodge.
4. La teoría de Yang-Mills.
5. Las ecuaciones de Navier-Stokes.
6. La hipótesis de Riemann.
7. P vs NP.
1. La conjetura de Poincare.
Ejemplo en dimensión 2:
Variedades cerradas
Simplemente conexa
No simplemente conexa
Dos variedades son “homeomorfas” si una
es una “deformación continua” de la otra
(sin romper ni rasgar ni pegar).
Conjetura de Poincaré: Toda variedad
cerrada de dimensión 3 es homeomorfa a
una esfera (de dimensión 3).
n=1,2 conocidos
n>4. Smale (Medalla Fields 1966)
n=4 Freedman (Medalla Fields 1986)
2. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
Ternas pitagóricas, números naturales que
cumplen
x2+y2=z2
32+42=52,
62+82=102,
z=5
x=3
y=4
52+122=132…
Triángulo rectángulo
x2+y2=z2
z
x
y
n
n
x +y =z
n
Paraboloide de Revolución
Teorema de Fermat. (Wiles, 1995)
3. La conjetura de Hodge.
Se pregunta si cierta
familia de objetos
matemáticos
abstractos son
realmente objetos
geométricos.
(Topología algebráica,
geometría)
William Hodge, 1903 - 1975
4. La teoría de Yang-Mills.
Las leyes de la mecánica cuántica rigen el mundo
de las partículas elementales de la misma manera
que las leyes de Newton de la mecánica clásica
rigen el mundo macroscópico. Hace un siglo, Yang
y Mills presentaron un nuevo marco para describir
las partículas elementales usando estructuras que
solo aparecen en geometría. La teoría cuántica de
Yang-Mills es actualmente la base de la teoría de
partículas elementales y sus predicciones se han
comprobado de manera experimental en
laboratorios, pero sus fundamentos matemáticos
permanecen oscuros.
5. Las ecuaciones de Navier-Stokes.
Son las ecuaciones diferenciales que
describen el movimiento de líquidos o gases:
-
-
Clima
Corrientes oceánicas, corrientes en tubos
Sustentación
Movimiento de estrellas en una galaxia
Werner Heisenberg: “Cuando me encuentre con Dios, le haré dos
preguntas: ¿Por qué la relatividad? y ¿por qué la turbulencia?.
Estoy seguro de que me sabrá contestar a la primera.
Conocer la solución a la ecuación de Navier-Stokes NO
significa que, por ejemplo, se pueda predecir el clima.
t=tiempo
P(t),T(t),H(t)
Atractor de Lorentz
6. La hipótesis de Riemann.
Número primo: Sus divisores son 1 y él
mismo: 2, 3, 5, 7…. (4, 6, 9 no son primos).
Cualquier número es producto de primos.
Los primos se distribuyen en los naturales
muy irregularmente.
En 1859, B. Riemann observó la relación
entre la distribución de los primos y los
ceros de la función
ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ...
Bernhard Riemann,
1826-1866
HR: ¿Cuándo es ζ(s) =0?.
Primos y claves públicas.
BANCO
P x Q -Mensaje-
Primo P de 100 cifras
Primo Q de 100 cifras
7. P vs NP.
Problemas cuya solución puede ser calculada (por
algún algoritmo) en tiempo exponencial.
Ejemplo: Dado un número de N cifras hallar su
descomposición en números primos.
A día de hoy, necesito +-10N operaciones
(Tiempo exponencial).
- N=64 cifras, necesito +-1064 operaciones
1064 es (+-) el número de átomos del universo!!!
7. P vs NP.
P = Problemas cuya solución puede ser calculada
(por algún algoritmo) en tiempo polinomial.
Para un número de N cifras se necesitan +-N2
(+-N3…) operaciones. (642=4096…)
Ejemplo:
- El máximo común divisor de dos números.
- Saber si un número es primo.
7. P vs NP.
NP= Problemas que cuyas soluciones pueden ser
verificadas (Si/No) en tiempo polinomial.
Ejemplo: Dado un número de N cifras hallar su
descomposición en números primos.
Dado un número N,
¿Es P x Q x R x S … una factorización de N?
(Si/No) es casi instantáneo.
7. P vs NP.
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Siempre un problema P, es NP.
La cuestión ¿P = NP? dice: si las
soluciones a un problema SI/NO pueden
ser verificadas rápidamente (tiempo
polinomial) pueden ser calculadas las
soluciones rápidamente (tiempo
polinomial)?