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RESOLUCION
GRADO
DE
ECUACIONES
DE
Curso Propedéutico Virtual
Facultad de Ciencias Económicas
PRIMER
OBJETIVOS
• Definiremos
conceptos
relativos
a
Ecuaciones e Inecuaciones.
• Resolveremos ecuaciones de primer
grado.
• Resolveremos
problemas
usando
ecuaciones.
CONCEPTOS
• ECUACION: Es una igualdad en la que
hay una o varias cantidades desconocidas
llamadas incógnitas y que solo se verifica
o es verdadera para determinados valores
de la incógnita.
• Las incógnitas se representan por las
ultimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v, etc.
Ejm:
5 X + 2 = 17
7/2 Y = -5
• IGUALDAD: Es una expresión donde dos
cantidades o expresiones algebraicas tienen el
mismo valor.
Ejm.
a=b+c
3 X2 = 4 X + 15
• GRADO: es el mayor exponente que tiene la
incógnita en la ecuación.
– Ejemplo:
X2 + 4 = 20X es una ecuación de segundo grado.
2X + 10 = X es una ecuación de primer grado
Ecuación Vs. Identidad
• Cuando trabajamos con igualdades que se cumplen
para algunos valores, estás se llaman ecuaciones.
• Cuando las igualdades se cumplen para todos los valores
se llaman identidades.
Ecuación
Identidad
X + 5 = 20
(x + 2)2 = x2 + 4x + 4
Se cumple para x=15
Se cumple para
cualquier valor de x.
MIEMBROS
• Una igualdad tiene 2
miembros
• Se llama primer miembro
de una ecuación o de una
identidad a la expresión
que esta a la izquierda
del signo de igualdad o
de identidad, y segundo
miembro, a la expresión
que esta a la derecha.
Segundo miembro
3X=2X-5
Primer miembro
TERMINOS
• Son cada una de las cantidades que están
conectadas por el signo + o -.
– Ejemplo: En 3X – 5 = 2X
– Los términos son: 3X, 5 y 2X
• Términos semejantes: Se llama términos
semejantes a los términos con las mismas
variables y los mismos exponentes
• Reducción de términos semejantes: Significa
transformarlos en uno solo, efectuando
operaciones.
– Ejemplo:
25n + 12n = 37n
REGLAS APLICABLES A
ECUACIONES
• Si a los dos miembros de una ecuación se
suma o resta una misma cantidad, positiva o
negativa, la igualdad subsiste.
– Así
3=3
3+1=3+1
4=4
2X + 10 = X
2X + 10 – X = X - X
X + 10 = 0
REGLAS APLICABLES A
ECUACIONES
• Si los dos miembros de una ecuación se
multiplican o dividen por una misma cantidad,
positiva o negativa, la igualdad subsiste.
– Así
6=6
6/2=6/2
3=3
7/2 X = -5
(7/2 X)*2 = -5 *2
7 X = -10
REGLAS APLICABLES A
ECUACIONES
• Si los dos miembros de una ecuación se elevan
a una misma potencia o si a los dos miembros se
extrae una misma raíz, la igualdad subsiste
3=3
32 = 32
9=9
X1/2 = 15
(X1/2)2 = (15)2
X = 225
• SOLUCIONES: Son los valores de las
incógnitas que verifican o satisfacen la
ecuación, es decir que sustituidos en lugar
de las incógnitas, convierten la ecuación
en una identidad.
Resolver una
ecuación es
encontrar su
solución
RESOLUCION DE ECUACIONES ENTERAS DE
PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA
• Ejemplos:
Hallar la solución de:
5X-b= 2a
5X-b+b= 2a+b Sumando b ambos miembros
5X = 2a +b Reduciendo términos semejantes
5X= 2a+b dividiendo ambos miembros entre 5
X= (2a+b)/5
EJEMPLO 2
• RESOLVER: 2X-15=3(X-15)
• Solución:
2X-15= 3X – 45
2X-3X = 15 – 45
-X = -30
X=30
Lenguaje algebraico y expresiones
algebraicas
• El lenguaje algebraico expresa la
información utilizando números, letras
signos de operaciones matemáticas.
– Ejemplo: “El doble de un número aumentado
en 5” 2x+5
• Estos elementos se combinan para formar
expresiones algebraicas
Actividad 2
Escribe en lenguaje corriente las siguientes
expresiones algebraicas.
Observa el ejemplo:
a+3a = “un número mas el triple de ese número”
1) 2(a-5a)
2) a + a
2 3
Expresión de ecuaciones en
lenguaje algebraico
Para representar
números desconocidos
se usa letras a, b, c, x,
y, z
Ejemplo:
“El triple de la suma de un
número y dos es igual al doble
del numero”, se escribe:
3(x+2) = 2x
Actividad 3 Expresa en lenguaje
algebraico las siguientes
ecuaciones formuladas
1) A un número se le disminuye en 14 y se
obtiene 20
2) El doble de un número disminuido en siete da
como resultado el número
3) La mitad de la diferencia entre un número y
diez es igual a uno.
4) La tercera parte del doble de un número es el
triple del número
Procedimiento general para
resolver ecuaciones
1.
2.
3.
4.
5.
Se eliminan los paréntesis si existen.
En uno de los términos de la ecuación dejar los términos
semejantes
Se reducen los términos semejantes en cada miembro
Se despeja la incógnita y se encuentra la solución
Se verifica la solución para el valor numérico encontrado
-(-4x+32) = 8(3x+1)  eliminamos paréntesis
4x-32 = 24x + 8
 agrupamos términos semejantes
Ejemplo -24x +4x = 32+8  Reducimos términos semejantes
-20x = 40
 Multip. ambos miembros por (-1)
20x = - 40
 despejamos la incógnita
x=-2
Procedimiento para la resolución de
problemas con ecuaciones
1. Interpretar el problema e identificar la
incógnita
2. Plantear la ecuación
3. Resolver la ecuación y responder al problema
4. Verificar la solución
Ejemplo:
Problema: La edad de Carlos es cuatro veces la edad de José,
dentro de 10 años será el doble.¿Qué edad tiene cada uno?
Interpretamos el problema e identificamos la incógnita
Actualmente: la edad de José=x ; edad de Carlos=4x
Dentro de 10 años: Edad de José=x+10;
edad de Carlos =4x+10
Planteamos la ecuación: Recordemos que la edad de Carlos dentro
de 10 años será el doble que la de José.
4x+10=2(x+10)
Resolvemos la ecuación
X=5 entonces R. La edad actual de José es 5 años y la de Carlos 20
años.
Verificamos la solución
4x+10=2(x+10) 45+10=2(5+10) 20+10=2(15) 30=30
(correcto)
INECUACIONES
• A veces se dan unas condiciones en las que, en
lugar de aparecer el signo igual, hay que utilizar
otros signos llamados de desigualdad y que ahora
recordamos:
– < menor que
– > mayor que
• Las relaciones numéricas que se expresan con
estos signos se llaman desigualdades y las
relaciones algebraicas correspondientes se llaman
inecuaciones.
INECUACIONES Ejemplos
• Estos serían unos ejemplos de
desigualdades y de inecuaciones:
a) 3 + 7 > 6
b) 3 + 7 < 8
cierto
c) x - 1 < 5
Depende el valor de x
falso
d) x - 1 < x + 5
cierto
• Lo mismo que ocurre con las igualdades,
las desigualdades pueden ser ciertas o
falsas.
Ejercicios
1. Expresar algebraicamente todos los
números mayores a 3. Representarlos
en la recta real.
– Si representamos por n a todos los números
mayores a 3 tenemos la siguiente
inecuación:
n>3
0
1
2
3
Ejercicios
2. Expresar los números mayores que 3,
pero que no sobrepasen a 7.
Representarlos.
– Si representamos por n a todos los números
que cumplen la condición de ser mayor a 3
y que no sobrepasen a 7 se tiene la
siguiente relación.
3<n<7
0
1
2
3
4
5
6
7
Bibliografía
 Matemáticas 7 de primaria
edición 2008, texto: Filiberto
Espejo, Editorial Santillana S.A.