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SAETA
ALGEBRA
INDUCCÍON
Bienvenido al mundo maravilloso, de las literales y los números, en este
material autoinstruccional encontraras el que y el por que de las
incógnitas además las formas de explicar mas fácilmente, las operaciones
matemáticas con las cuales convives.
La antología está estructurada de tal forma que te resultará fácil el uso,
en ella encontrarás al principio de cada unidad una o varias secuencias
didácticas, las cuales de manera personal desarrollaras, cada unidad
tiene una pequeña inducción al tema de estudio, desarrollo, actividades
de aprendizaje, autoevaluación, y en algunos casos actividades
remédiales. Pon mucha atención en cada uno de los aspectos y si
tuvieras alguna duda consúltalo inmediatamente con tu asesor. Para
profundizar más en tus conocimientos consulta la bibliografía que se te
presenta al final de la unidad.
Finalmente, el éxito o fracaso de este trabajo se sustentará en la
obtención de resultados y en la relevancia de los cambios que se
generen, asimismo en la adquisición de habilidades y destrezas
evidenciadas en el desarrollo de tus capacidades.
¡ TODOS
TENEMOS
HABILIDADES
MATEMÁTICAS,
DESCUBRÁMOSLAS JUNTOS
Ahora tienes en tus manos una de las herramientas más importantes en
tu formación. Al conocerla te darás cuenta de su utilidad, práctica y sobre
todo lo ameno que te parecerá. Con la seguridad de tu dedicación y
empeño
demostrado
como
estudiante
del
SAETA,
te
decimos
solamente...
¡SI SE PUEDE ¡ LOS SAETOS NOS DIVERTIMOS CON EL ALGEBRA ¡
0
SAETA
ALGEBRA
ALGEBRA
PROPÓSITO.
Sentar las bases que te permitan apropiarte de los
conocimientos del Álgebra, para aplicar modelos
matemáticos en apoyo a otras disciplinas y en la solución
de problemas reales.
ÁLGEBRA
 b  b 2  4ac
x
2a
SAETA
El razonamiento diferencia al hombre de los
Demás seres vivos, la base del razonamiento
Son las matemáticas.
C. E. N. C.
1
SAETA
ALGEBRA
ÁLGEBRA
x
 b  b 2  4ac
2a
SAETA
Cuando las cantidades son representadas por medio de letras para lograr la
generalización, se habla de Álgebra. El hombre al contextualizar abstractamente el
número, después de muchos siglos que empezara a medir y contar, crea las bases
para la formación de la ciencia algebraica.
Se pretende, que te familiarices poco a poco con conocimientos más abstractos del
número, partiendo de los antecedentes preliminares para el conocimiento y resolución
de problemas en donde se presenten valores por medio de letras.
En la vida diaria es frecuente el uso de símbolos para simplificar anotaciones y facilitar
las operaciones. Como el signo $ que significa pesos, el símbolo  que significa que
nos aproximamos a una curva, el símbolo °, que significa grados y otros que vemos
en cada momento; pero los más usados son simples abreviaturas en las que la
primera letra de una palabra reemplaza a toda la palabra, por ejemplo m (metro), l
(litro), r (radio), c.p. (código postal), Ha (hectárea), P.M. (pasado meridiano) y varios
más que son de uso común.
A continuación observarás el total de contenidos que aprenderás, representados en el
siguiente diagrama:
2
SAETA
ALGEBRA
ÁLGEBRA
.
ÁLGEBRA
ECUACIONES
LENGUAJE
ALGEBRAICO
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
 Terminología
 Lenguaje
común
 Lenguaje
algebraico
OPERACIONES
FUNDAMENTALES
 Suma y resta
de polinomios
 Exponentes y
radicales
 Multiplicación
y división
 De de
polinomios
 Productos
notables
 Factorización
ECUACION
ES
LINEALES
 Ecuacion
es
de
primer
grado
 Despeje
de
formulas.
ECUACIONES
CUADRÁTICA
S
 Métodos
de
solución
SISTEMA DE
ECUACIONES
 Sistema de
ecuaciones
con 2 y 3
incógnitas
de primer
grado
 Métodos
de solución
INECUACIONES
 Notación
 Propiedades
de las
desigualdade
s
 Solución de
inecuaciones
3
SAETA
ALGEBRA
TERMINIOLOGÍA
Las expresiones separadas por un signo (más ó menos), se le llama término, los
términos sólo contienen productos y cocientes de números y de letras.
Como podemos ver, cada término en una expresión algebraica está formado por
varios elementos, por ejemplo:
- 7 m2, si lo separamos en sus elementos, ¿Cuántos obtendrías? ____________,
efectivamente 4 y son: - , 7, m, 2, en donde cada uno recibe un nombre específico: el
signo, coeficiente numérico, parte literal y exponente. No necesariamente en un
término algebraico tienen que aparecer todos los elementos, puesto que algunos se
sobre entienden
Averigua que representa cada uno de los elementos (signo, coeficiente, exponente,
literal o base).
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
I. Indica el número de términos que contiene cada expresión algebraica.
a) 8c
____________________
b)
____________________
4f + f y - 1 + z
2
c) 8p + 4n2
d) 11x - 1
4f
____________________
+ 2x2
____________________
Las expresiones algebraicas las podemos clasificar según el número de términos que
posean:
a) Monomio: Expresión algebraica que consta de un sólo término, ejemplos:
-8p3,
1 m3 n2,
4z3, etc.
3
3w
b) Binomio: Expresión algebraica de dos términos, ejemplos:
5x - 1, 3x2 + 2mx, 4z2 + 5x2, etc.
3
y2
c) Trinomio:
Expresión algebraica de tres términos, ejemplo:
2x + 3y - 5, 3x2 - 5x + 17,
1 m2 + 3 mn - n2,
16
4
etc.
d) Polinomio: Expresión algebraica de más de un término, ejemplos:
x + 2,
7y2 + 4x -y3,
4m -7n - 5 mn + 1,
4
etc.
4
SAETA
ALGEBRA
LENGUAJE COMUN
TEMA INTEGRADOR: DEL LENGUAJE COMUN A ALGEBRAICO.
OPERACIONES DE APERTURA:
En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en
proposición con lenguaje algebraico,
1. Comprender el lenguaje escrito para pasarlo al lenguaje algebraico
2. analizar materiales escritos y relacionarlos con el lenguaje algebraico, haciendo
la expresión algebraica correspondiente.
3. Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes, hacer planteamientos sencillos de
lenguaje coloquial o común a lenguaje algebraico.
4. Utilizar los signos de agrupación en expresiones algebraicas sencillas
PROBLEMA:
Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras
relacionadas por los símbolos de operación suma, resta, multiplicación, división,
potencia, raíces, etc.; que sirva como modelo para representar algunos problemas de
la vida real. Realiza las expresiones algebraicas siguientes:
EXPRESIÓN VERBAL
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
1. El peso de tu Profesor
2. La suma de dos números
3. La diferencia de dos números
4. El producto de dos números
5. La mitad de un número más otro número
6. La tercera parte de la suma de dos números
7. El cuadrado de la diferencia de dos números
8. El cociente de dos números
5
SAETA
ALGEBRA
5. En forma individual determina
una estrategia de solución para conocer la
expresión algebraica de cada frase en lenguaje común.
6. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando
coincidencias y diferencias.
7. Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo
8. Presenta la estrategia al grupo.
9. Discusión del grupo por la estrategias y resultados obtenidos en el problema.
ACTIVIDADES DE DESARROLLO:
1. Analizar los materiales escritos en lenguaje común y pasarlos
al lenguaje
algebraico y con los contenidos que puedan corresponder al tema integrador
por equipo como son:
a) Lenguaje algebraico.
b) Expresión algebraica
c) Signos de agrupación
2. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados, con el material
analizado.
3. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios utilizados
en la
solución del problema.
4. Ejemplificación de procedimientos de representación de enunciados en forma
Algebraica y operaciones con expresiones algebraicas.
ACTIVIDADES DE CIERRE:
1.
Plantear por equipos las diferentes formas de representar el lenguaje
algebraico y de realizar problemas similares
.
1. Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución.
6
SAETA
ALGEBRA
2. Resolver los ejercicios propuestos por el profesor
3. Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
I. INSTRUCCIONES.- Escribe en lenguaje algebraico dentro del rectángulo de la
derecha, las siguientes expresiones verbales.
a) El precio de 1m. de tela
b) La leche que da una vaca
c) La leche que dan 5 vacas
d) El maíz que produce una hectárea de terreno, 2 hectáreas y 9
hectáreas - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - e) La suma de dos números
f)
La suma de dos números al cuadrado
g) La 1/5 parte de la producción total de huevo en una granja avícola.
II. INSTRUCCIONES: Identifica la expresión algebraica que corresponda a cada una
de las expresiones verbales.
El doble del cubo de un número:
(
)
b) 2a3
a) 2 a
c)
a/
2
Un número más el cuádruplo del mismo número es igual a 25:
a) x + 4x = 25
b) x + x
(
)
c) x + x/4 = 25
= 25
El cuadrado de un número disminuido en 8 es igual a la tercera parte de otro número.(
a) 2m - 8
= 3n
b) ( 2m - 8 ) =
n/
3
c)
m2
-8 =
La mitad de un número más otro número
a)
a/
2
+ a
b) a/2 - c
c)
a/
2
a/
2
+ a
b) a2 + a2
)
3
(
)
(
)
+ m
El cuadrado de un número más su mitad
a)
n/
c) a2 + a/2
7
SAETA
ALGEBRA
El cubo de un número más el cuadrado de otro número
a) c3 + a/2
b) c3 + c2
(
)
c) c3 + a2
- LENGUAJE ALGEBRAICO
TEMA INTEGRADOR: DEL LENGUAJE ALGEBRAICO A COMUN
OPERACIONES DE APERTURA:
En álgebra es muy importante comprender perfectamente las expresiones algebraicas
en una proposición con lenguaje coloquial o común y viceversa.
1. Comprender el lenguaje algebraico para pasarlo al lenguaje escrito
2. analizar las expresiones algebraicas y relacionarlos con el lenguaje común,
haciendo la expresión verbal correspondiente.
3. Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes, hacer planteamientos sencillos de
lenguaje algebraico a lenguaje común.
4. Utilizar los signos de agrupación en expresiones algebraicas sencillas
PROBLEMA:
Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras
relacionadas por los símbolos de operación suma, resta, multiplicación, división,
potencia, raíces, etc.; que sirva como modelo para representar algunos problemas de
la vida real. De las expresiones algebraicas siguientes, pásalas a lenguaje común:
a)
a/
+ b =
__________________________________________________
b) 3ª - h =
__________________________________________________
c)
2x =
__________________________________________________
d) 3 (a – b) =
__________________________________________________
2
e)
x/
f)
2m – 4n =
__________________________________________________
g)
( a – c )2 =
__________________________________________________
4
+
y/
3
=
__________________________________________________
8
SAETA
ALGEBRA
5. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer lo que
nos dice la expresión algebraica y expresarla en lenguaje común o coloquial.
6. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando
coincidencias y diferencias.
7. Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo
8. Presenta la estrategia al grupo.
9. Discusión del grupo por la estrategias y resultados obtenidos en el problema.
ACTIVIDADES DE DESARROLLO:
1. Analizar los materiales escritos en lenguaje algebraicos y pasarlos al lenguaje
común y con los contenidos que puedan corresponder al tema integrador por equipo
como son:
a) Lenguaje algebraico.
b) Expresión algebraica
c) Signos de agrupación
2. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados, con el material
analizado.
3. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios utilizados
en la solución del problema.
4. Ejemplificación de procedimientos de representación de enunciados en forma
Algebraica y con las expresiones comunes.
ACTIVIDADES DE CIERRE:
1) Plantear por equipos las diferentes formas de representar el lenguaje
algebraico y
de realizar problemas similares.
2) Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución.
3) Resolver los ejercicios propuestos por el profesor
4) Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.
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SAETA
ALGEBRA
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
I.- INSTRUCCIONES:
algebraicas.
a)
a/
Escribe en lenguaje verbal las siguientes expresiones
+ b =
__________________________________________________
b) 3a - h =
__________________________________________________
c)
2x =
__________________________________________________
d) 3 (a - b) =
__________________________________________________
2
e)
x/
f)
2m - 4n =
__________________________________________________
g)
( a - c )2 =
__________________________________________________
+
4
y/
3
=
__________________________________________________
II. INSTRUCCIONES: Identifica la expresión verbal que corresponde a cada una de
las siguientes expresiones algebraicas, colocando dentro del paréntesis la letra que
corresponda a la respuesta correcta.
(Valor 2 cómputos
c/u )
1.
m/
(
2
a) El doble
número.
de
un
b) El cuadrado de un
número.
2. 2x + c
a) El doble de la suma de
dos números.
b/
3.
4
- 5
a) La cuarta parte de un
número disminuido en 5.
4.
5.
b) El cuádruplo de un
número disminuido en 5.
a/
2
+ b/2
)
c) La diferencia de la cuarta
parte de dos números.
(
b) El doble de un número
más su mitad
)
c) La suma del doble de dos
números.
(
2a + a2
a) El doble de un número
más el mismo número
c) La mitad de un número.
(
b) El doble de un número
aumentado en otro.
)
)
c) El doble de un número
más su cuadrado
(
)
a) La suma de la mitad de b) la suma del cuadrado de c) La mitad de un número
dos números
dos números
más otro número
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SAETA
ALGEBRA
NOTACION ALGEBRAICA
TEMA INTEGRADOR: ELEMENTOS DE UN TERMINO.
OPERACIONES DE APERTURA:
En álgebra, a cada una de las siguientes expresiones separadas por un signo (más ó
menos), se le llama término, los términos sólo contienen productos y cocientes de
números y de letras.
1) analizar las expresiones algebraicas que se te indican y definir cuantos
términos tienen.
2) Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes, hacer planteamientos sencillos de
lenguaje algebraico con pocos términos
3) Utilizando los signos de agrupación hacer expresiones algebraicas sencillas.
PROBLEMA:
Cuatro elementos máximo pueden formar un término: el signo, coeficiente
numérico, parte literal y exponente. No necesariamente en un término algebraico
tienen que aparecer todos los elementos, puesto que algunos se sobre entienden.
Indica el número de términos que contiene cada expresión algebraica.
a) 5x
b)
3x + x2 y - 1/3 + z
________________________________
________________________________
c) 7y + 2m2
________________________________
d) 8m - 7/4n + 2x2
________________________________
4) En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuántos
términos tiene cada expresión algebraica.
5) Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando
coincidencias y diferencias.
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SAETA
ALGEBRA
6) Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo
7) Presenta la estrategia al grupo.
8) Discusión del grupo por las estrategias y resultados obtenidos en el problema.
ACTIVIDADES DE DESARROLLO:
1. Analizar los materiales escritos en lenguaje algebraicos y pasarlos
lenguaje común
al
y con los contenidos que puedan corresponder al tema
integrador por equipo como son:
a) Definición de término algebraico
b) Elementos de un término
c) Tipos de Expresiones algebraicas
d) Signos de agrupación
2. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados, con el material
analizado.
3. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios utilizados
en la solución del problema.
4. Ejemplificación de procedimientos de representación de términos algebraicos y
el nombre de las expresiones algebraicas de acuerdo al número de términos
que tienen
ACTIVIDADES DE CIERRE:
1) Plantear por equipos las diferentes formas de representar los términos
algebraicos y realizar problemas similares.
2) Plantear por equipos los nombres de los elementos de cada término algebraico
y definir en grupo el nombre que recibe de acuerdo al número de términos que
tiene
3) Resolver los ejercicios propuestos por el profesor
4) Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
I.- INSTRUCCIONES: Coloca sobre las líneas de cuantos términos están formadas
cada una de las siguientes expresiones algebraicas
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ALGEBRA
a). -8p3,
__________________
1 m3 n2,
3
_________________
d)
e) 3x2 + 2mx
5x - 1
__________________
c). 4z3,
3w
_______________
b).
_________________
g) 2x + 3y - 5
__________________
j) x + 2
_________________
f) 4z2 + 5x2,
3
y2
________________
h) 3x2 - 5x + 17
_________________
i)
1 m2 + 3 mn - n2
16
4
________________
k) 7y2 + 4x -y3
l) 4m -7n - 5 mn + 1
4
_________________
________________
II.- INSTRUCCIONES: Indica el número de ELEMENTOS que contiene cada término
algebraico.
a) 5x2
_____________________________________
b)
3x + x2 y - 1/3m + z
_____________________________________
c) 7y + 2m2
_____________________________________
d) 8m - 7/4n + 2x2
_____________________________________
e) 7y2 + 4x -y3
______________________________________
f) wxb
______________________________________
g) mx + y
_______________________________________
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SAETA
ALGEBRA
LENGUAJE ALGEBRAICO
BLOQUES
Desarrollo
ACTIVIDADES
Recolecta una serie de productos que contengan sal de diversos
tipos, Elabora un listado de alguna similitud entre los componentes
de las sustancias.
Cuando haya sido identificada la sal, escribe varios ejemplos de
usos de la sal.
Ahora escribe como representarías las diferentes sustancias con
símbolos.
Investiga
por tu cuenta la representación simbólica de las
sustancias.
Durante la asesoría compara tus respuestas con la de tus
compañeros y elabora conclusiones sobre lo que expresan los
símbolos y que tipo de lenguaje representan aquellos donde se
utilizan números y letras
Lee cuidadosamente el contenido de tu antología sobre el
significado de lenguaje algebraico y su terminología.
En la lectura identifican los conceptos que integran el lenguaje
algebraico.
Elabora una tabla presentando los principales conceptos del
lenguaje algebraico y su definición para que lo expongas durante la
asesoría.
Observa las diferentes exposiciones para identificar ideas que no
hayan considerado en su definición.
La parte de las matemáticas que se encarga de generalizar y simplificar las
cuestiones relativas a los números representándolos por medio de letras es el
álgebra. El álgebra se desarrolló a partir de las reglas y operaciones de la aritmética.
En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en
proposición con lenguaje algebraico, observa como las literales sustituyen a los
conceptos.
Por ejemplo: Un productor agrícola siembra 5 hectáreas de frijol, 8 hectáreas de maíz
y 3 hectáreas de calabacitas, tendríamos: 5f + 8m + 3c, esta es una expresión
algebraica compuesta por signos numéricos y letras, de donde:
5f representa las 5 hectáreas de frijol.
8m representa las 8 hectáreas de maíz.
3c representa las 3 hectáreas de calabacitas.
“ALGO PRÁCTICO”
Supón que un solar en forma rectangular tiene una superficie (área) de 4 500 m2.,
sabiendo que el ancho mide 30 m. ¿Cuánto mide el largo?
14
SAETA
ALGEBRA
Como es sabido, para calcular el área de un rectángulo empleamos la fórmula: área,
es igual, al producto del largo por el ancho, de aquí surge la necesidad de utilizar un
lenguaje más práctico para una expresión verbal a una expresión con símbolos, por
ejemplo, en el caso anterior quedaría
A = (L) (a) donde:
A = representa el área.
L = representa el largo.
a = representa el ancho.
De esta misma forma existen muchas situaciones en las que se emplean literales para
expresar cantidades.
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras relacionadas por los
símbolos de operación suma, resta, multiplicación, división, potencia, raíces, etc. ; que
sirva como modelo para representar algunos problemas de la vida real.
SECUENCIA DIDÁCTICA
BLOQUES
Apertura
Desarrollo
ACTIVIDADES
Dar la bienvenida a los alumnos de SAETA
Después de haber leído el tema de expresión algebraica
Contesta las siguientes preguntas:
De acuerdo al análisis y ejemplos presentados en la lectura
anterior
1) ¿Cómo definen la palabra álgebra?
2) ¿De que manera aplican el álgebra en su vida cotidiana,
mencionen un ejemplo?
3) ¿Mencionen cual es el uso que le darían a los signos de mas
(+), menos (-), Multiplicación (X), división ( /) en tu vida diaria?
Explica tu respuesta
4) ¿Por qué crees que son importantes las letras y los números en
álgebra,? Explica tu respuestas.
5) A continuación se presenta una vivencia real con tres amigas
(Laura, Maria y Lupita) que van a graduarse y necesitan comprarse
su aguar. Por lo que se requiere saber por medio de una encuesta
cuantos artículos compro cada una de ellas y de que manera se
puede representar algebraicamente las compras realizadas.
a) Laura la más pobre únicamente, le alcanzo para comprarse un
vestido de 250 pesos de color rosa y bordado.
b) Maria se compro el vestido de color rojo con valor de 300 pesos
y las zapatillas doradas con valor de 200 pesos.
c) Lupita se compro un vestido con valor de 500 pesos, zapatos de
300 pesos, además se compro dos accesorios, aretes con valor de
15
SAETA
ALGEBRA
100 pesos y un collar de perlas con valor de 300 pesos.
El asesor en todo momento aclarara dudas de los estudiantes así
mismo mencionara la importancia de álgebra, las expresiones
algebraicas y su notación.
Cierre
Durante la asesoría compararas tus respuestas con la de tus
compañeros y lo expondrás en una plenaria general y se
realizaran ejercicios propuestos.
EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
EXPRESIÓN VERBAL
1.
2.
3.
4.
5.
6.
La producción de trigo
La suma de dos números
La diferencia de dos números
El producto de dos números
La mitad de un saco de frijol
La tercera parte de la suma de dos números
x
a+b
x-y
m. n
X/2
r + h
3
(m - n) 2
f/g
7. El cuadrado de la diferencia de dos números
8. El cociente de dos números
9. Un gavilán vio un grupo de palomas volando y les dijo:
+ 1= 100
“Adiós cien palomas “, a lo que una de ellas, respondió: “No X + X + X +X
2
vamos cien pero, nosotras más nosotras, más la mitad de
nosotras juntas y usted sumamos cien “.
Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras relacionadas por los
símbolos de operación suma, resta, multiplicación, división, potencia, raíces, etc.; que
sirva como modelo para representar algunos problemas de la vida real.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:
I. INSTRUCCIONES: Identifica la expresión algebraica que corresponda a cada una
de las expresiones verbales.
1. El doble del cubo de un número:
(
)
a) 2 a
b) 2a3
c) a
2
2. Un número más el cuádruplo del mismo número es igual a 25:
a) x + 4x = 25
b) x + x
= 25
(
)
c) x + x = 25
4
3 El cuadrado de un número disminuido en 8 es igual a la tercera parte de otro
número.
(
)
a) 2m - 8 = 3n
b) ( 2m - 8 ) = n
c) m2 - 8 = n
3
3
16
SAETA
ALGEBRA
II. INSTRUCCIONES: Identifica la expresión verbal que corresponde a cada una de
las siguientes expresiones algebraicas.
1.
m
2
(
a) El doble de un número.
b) El cuadrado de un
número.
2. 2x + c
a) El doble de la suma de
dos números.
b - 5
4
a) La cuarta parte de un
número disminuido en 5.
b) El doble de un número
aumentado en otro.
3.
c) La mitad de un número.
(
)
c) La suma del doble de
dos números.
(
b) El cuádruplo de un
número disminuido en 5.
)
)
c) La diferencia de la
cuarta parte de dos
números.
La familia López González esta integrada por cuatro personas: Juan Carlos, Julián,
Carmen Alicia y Lucia. Si lo clasificamos algebraicamente tenemos que:
López González es la expresión algebraica.
Juan Carlos
Julián
Carmen Alicia
Lucía
Son los términos de la expresión.
Si tomamos un término de la familia por ejemplo: Juan Carlos López González este
está formado por cuatro elementos que son:
Juan, Carlos, López y González.
¡Ahora bien! ¿Cuántos elementos encontramos en Julián, Carmen Alicia y en Lucia?
___________________________________________________________
Para determinar el grado de una expresión algebraica se procede de la siguiente
forma:
a) Si es monomio: se suman todos los exponentes de la parte literal del término, por
ejemplo: el grado de 8x2 y es del tercer grado porque 2 + 1 = 3.
17
SAETA
ALGEBRA
b)
Si es un polinomio: Es el correspondiente al término de mayor grado cuyo
coeficiente sea distinto de cero, por ejemplo: 4x2 y3 + 3xy4 - 2x4 y2 son 5, 5 y 6,
respectivamente, por consiguiente, el grado del polinomio es 6.
LENGUAJE COMUN
BLOQUES
Apertura
Desarrollo
Cierre
ACTIVIDADES
Comentar sobre la contaminación ambiental.
En que lugar se encuentra el basurero publico, si saben y
Conocen los derechos de la fábrica que existen en el pueblo.
Hay basura tirada en su casa.
Buscar puntos de contaminación
Identificarlo
Indagar lugares contaminados.
Presentación textual de trabajos
En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en
proposición con lenguaje algebraico, observa como las literales sustituyen a los
conceptos.
Por ejemplo: Un productor agrícola siembra 5 hectáreas de fríjol, 8 hectáreas de maíz
y 3 hectáreas de calabacitas, tendríamos: 5f + 8m + 3c, esta es una expresión
algebraica compuesta por signos numéricos y letras, de donde:
5f representa las 5 hectáreas de fríjol.
8m representa las 8 hectáreas de maíz.
3c representa las 3 hectáreas de calabacitas.
LENGUAJE ALGEBRAICO.
Es aquel donde las literales sustituyen a los conceptos. Y donde los números se
representan por medio de letras.
18
SAETA
BLOQUES
Apertura
Desarrollo
Cierre
ALGEBRA
ACTIVIDADES
1. Presentar por escrito o verbalmente una anécdota como la
siguiente: “Doña Juanita va de compras muy tempranito al
supermercado del puesto de Don Lupe, y, se encuentra con
que los granos están mezclados. Cuando Doña Juanita le
pide, 1 kg de arroz, 3 kg de frijol y 4 kg de trigo , al dueño del
puesto se le dificulta poder despachar rápidamente”.
2. Dar respuesta a las preguntas formuladas en el escrito, en
forma individual.
¿Por qué?
¿Cómo le ayudarías a resolver este problema?
3. Presentar y discutir las soluciones individuales para
compararlas y analizarlas y se llegue a una en común durante
tu asesoría.
4. pregúntate ¿Habrá alguna forma de poder clasificar y
representar los objetos y las cantidades?
5. Escribe las posibles soluciones para presentarlas en tu
asesoría ante el grupo.
6. Recuperar saberes mediante consenso grupal.
1. Investiga la historia del álgebra y notación algebraica para
su análisis en forma individual.
2. Compara los lo que sabes con el análisis de las lecturas.
3. Anota las coincidencias y diferencias utilizados en la solución
del problema.
4. Representan la información del problema planteado en forma
algebraica.
1. Redacta enunciados en lenguaje algebraico.
2. Escribe problemas similares para presentarlos al grupo
durante la asesoría para su solución.
5. Enlistar diferentes alternativas para resolver los problemas.
6.
1. Resolver ejercicios propuestos en la antología.
3. Elaborar un mapa conceptual y presentarla al grupo.
4. Presentar al facilitador un trabajo escrito el cual contendrá
desarrollo, procedimiento y conclusiones.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
I. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales.
h)
i)
j)
k)
El precio de 1m. de tela
La leche que da una vaca
La leche que dan 5 vacas
El maíz que produce una hectárea de terreno, 2 hectáreas y 9
19
SAETA
ALGEBRA
hectáreas
l) La suma de dos números
m) La suma de dos números al cuadrado
n) La 1/5 parte de la producción total de huevo en una granja
avícola.
II. Escribe en lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas.
a) a + b =
__________________________________________________
2
b) 3a - h =
__________________________________________________
c) 2x =
__________________________________________________
d) 3 (a - b) =
__________________________________________________
e) x + y =
__________________________________________________
4
3
f) 2m - 4n =
__________________________________________________
g) ( a - c )2 =
__________________________________________________
NOTACION ALGEBRAICA
TEMA INTEGRADOR: TERMINOS SEMEJANTES
OPERACIONES DE APERTURA:
Distinguir los términos semejantes es muy importante, porque en álgebra sólo
podemos efectuar las operaciones de suma o resta, cuando los términos sean
semejantes.
1. Comprender que es un término semejante.
2. analizar las expresiones algebraicas y definir cuales son los términos
semejantes
existentes en ella.
3. Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes, hacer planteamientos sencillos de
términos semejantes.
20
SAETA
ALGEBRA
4. Utilizar términos semejantes y hacer su reducción
PROBLEMA:
Distinguir los términos semejantes es muy importante, porque en
álgebra sólo podemos efectuar las operaciones de suma o resta, cuando los términos
sean semejantes, a esto se le llama reducción de términos semejantes. En cada una
de las siguientes expresiones subraya los términos semejantes:
a)
7m2 ,
6m3 ,
4m2 ,
2m ,
b)
7a2 b,
8ab2,
5a2 b,
3a4
c)
3x2 y,
8xy2,
14x2 y,
18x2 y
11m2
5. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuales
son los términos semejantes.
6. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando
coincidencias y diferencias.
7.Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo
8. Presenta la estrategia al grupo.
9.Discusión del grupo por la estrategias y resultados obtenidos en el problema.
ACTIVIDADES DE DESARROLLO:
1. Analizar cada uno de los términos algebraicos para determinar si cumplen
con los requisitos para ser término semejante.
2. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados, con el
material
analizado.
21
SAETA
ALGEBRA
3. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos
y principios
utilizados en la solución del problema.
4. Ejemplificación
de
procedimientos
de
representación
de
términos
semejante
ACTIVIDADES DE CIERRE:
1) Plantear por equipos las diferentes formas de términos semejantes con
diversos elementos.
2) Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución.
3) Resolver los ejercicios propuestos por el profesor
4) Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.
- NOTACION ALGEBRAICA
TEMA INTEGRADOR: REDUCCION TERMINOS SEMEJANTES
OPERACIONES DE APERTURA:
Distinguir los términos semejantes es muy importante, porque en álgebra sólo
podemos efectuar las operaciones de suma o resta, cuando los términos sean
semejantes.
1. Comprender que es un término semejante.
2. analizar las expresiones algebraicas y definir cuales son los términos
semejantes
existentes en ella y hacer la reducción de los mismos.
3. Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes, hacer planteamientos sencillos de
términos semejantes.
4. Utilizar términos semejantes y hacer su reducción
PROBLEMA:
La reducción de términos semejantes es una operación que consiste en
convertir en un sólo término, dos o más términos semejantes, en una expresión, si es
que los hay, lo cual lo hacemos sumando y/o restando los coeficientes numéricos
aritméticamente, añadiendo al resultado la literal o literales con su respectivo
exponente. Realiza la reducción de los siguientes términos semejantes:
22
SAETA
ALGEBRA
a) 7m2 + 6m3 - 4m2 + 2m - 11m2
= __________________________
b) 7a2 b + 8ab2 - 5a2 b + 3a4
= __________________________
c) 3x2 y + 8xy2 + 14x2 y - 18x2 y
= __________________________
d) 3a + 5b - 5a + 4b - 13a
= __________________________
e) 3x2 y - 12xy2 + 5xy2 + 6x2 y + 9xy2 = ________________________
f) 5 m2 + 2 m2 - 1 m
3
5
2
=
____________________________
5. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuales
son los términos semejantes.
6. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando
coincidencias y diferencias.
7. Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo
8. Presenta la estrategia al grupo.
9. Discusión del grupo por la estrategias y resultados obtenidos en el problema.
ACTIVIDADES DE DESARROLLO:
1. Analizar cada uno de los términos algebraicos para determinar si cumplen con los
requisitos para ser término semejante y hacer su reducción
2.
Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados, con el material
analizado. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios
utilizados en la solución del problema.
3. Ejemplificación de procedimientos de reducción de términos semejante
ACTIVIDADES DE CIERRE:
1. Plantear por equipos las diferentes formas de términos semejantes con
diversos elementos y hacer su reducción.
2. Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución.
3. Resolver los ejercicios propuestos por el profesor
4. Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.
23
SAETA
ALGEBRA
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.
BLOQUES
ACTIVIDADES

Apertura
Desarrollo
Cierre
En 3 hojas de distintos colores (rojo, verde y amarillo).
realiza lo siguiente:
 La hoja roja la vas a dividir doblando sin cortarla, en 4
partes, la verde en 8 partes y la amarilla en 16 partes, a
cada hoja le vas escribir con un marcador el numero de la
fracción de la parte que le corresponda de acuerdo a como
fue dividida
Nota: puedes, tener otras opciones diferentes de dividir en las
hojas en las fracciones que tu elijas.
A continuación se realizan las siguientes preguntas para ser
contestadas en forma individula.
1)¿Cuántas cuartas partes tiene la hoja roja o cuantas partes tiene
la hoja?
2)¿Cuántos octavos o partes tiene la hoja verde?
3) ¿Cuantos dieciseisavos o partes tiene la hoja amarilla?
4)¿Cuál crees que sea la suma de las partes en que se dividió
cada una de las hoja?
5)¿De que manera representarías algebraicamente uno, tres y dos
partes de la hoja roja, escríbelo con números y letras?
6)¿De que manera representarías cinco, cuatro y siete partes de la
hoja verde, escríbelo con número y letra?
7)¿De que manera representarías algebraicamente tres, ocho y
doce partes de la hoja amarilla escríbelo con número y letras?
8)¿Crees que se puedan sumar y restar cada una de las fracciones
en que se dividieron las hojas de los diferentes colores por
separado? Si o no
Si tu respuesta es positiva, resuelve la representaciones
algebraicas realizadas en las preguntas 5 ,6 y 7
Si la respuesta es no, justifica tu respuesta
9)¿Crees que se puedan sumar y restar todas las
representaciones algebraicas juntas de las tres hojas ? Si o No
Cualquiera que haya sido tu respuesta anterior justifícala.
Se analizara el cuestionario con preguntas abiertas en asesoría
para su análisis y pasaran al pizarrón a ejemplificar sus respuestas
Se realizaran ejercicios propuestos en antología.
24
SAETA
ALGEBRA
OPERACIONES DE APERTURA:
Para sumar dos o más expresiones algebraicas del tipo que sea ( monomio y
polinomio ) Se colocan los términos semejantes uno a continuación del otro,
respetando los signos o en columna si son varios, para reducirlos y se reducen
los términos semejantes, si los hay
Sumar:
3x2 , -2x + 1, -2x2 - 3x + 2
a) Planteamiento: Se escriben las expresiones entre paréntesis y conectadas entre si
con el signo de la suma (+)
( 3x2 ) + ( -2x + 1) + ( -2x2 - 3x + 2) =
b) Se eliminan los paréntesis:
3x2 - 2x + 1 - 2x2 - 3x + 2
c) Se reducen los términos semejantes, si los hay:
x2 - 5x + 3
Por lo tanto:
( 3x2 ) + ( -2x + 1) + ( - 2x2 - 3x + 2 ) = x2 - 5x + 3
Para restar dos expresiones algebraicas, se debe tomar en cuenta que intervienen
dos cantidades, la primera que se escribe, es el minuendo y es la cantidad a la que
se le va a quitar la segunda llamada sustraendo. El planteamiento de una resta es
(minuendo) - (sustraendo) igual a diferencia.
Ejemplos:
Restar:
3a - 2b + 5c
de
7a + 3b - 2c
a) Planteamiento:
( 7a + 3b - 2c ) - ( 3a - 2b + 5c ) =
b) Eliminación de paréntesis:
7a + 3b - 2c - 3a + 2b - 5c
=
c) Se reducen términos semejantes, si los hay:
4a + 5b - 7c
Por lo tanto:
( 7a + 3b - 2c ) - ( 3a - 2b + 5c )
=
4a + 5b - 7c
¿Te quedó claro? Entonces ¡ Adelante !
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
25
SAETA
ALGEBRA
I.- INSTRUCCIONES: Sumar las siguientes expresiones algebraicas.
1). 12x - 7y - 4z ;
- 5z + 4 y - 7x ;
2). - 6a + 4b + 11c ;
- 3y + 4z - 4x
- 4c - 4b + 7a ;
- 7b - 15c – a
3). 2a2 b - ab2 + 5ab ; - 3ab - 4a2 b + 7ab2 ;
4). 2a - 3x + 1 ;
5x - 3a - 5 ;
a2 b - 5ab2 + 3ab
7a - 7 + 3x
II.- INSTRUCCIONES: Restar las siguientes expresiones algebraicas.
1).
De 4x - 3y + 2
2).
De 7a - 4b - 5c
3).
Restar
4).
Restar
restar 5x + 7y – 6
restar 4c - 6a + 8b
5m - 8n - 4p
de
- 8a + 7x - 3m de
- 3n - 4p + 6m
3a - 8m - 5x
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
26
SAETA
ALGEBRA
I. Reducir términos semejantes.
1). 3a + 2b + a + b =
_____________________________
2). 7xy - 5xy - 8yx
=
_____________________________
3).
2 m + 1 n +
1 m - 2 n =
_____________________________
3
4
5
7
4). 4x3 - 10x2 + 5x + 8 + 12x2 - 9x - 1 = ___________________________
5). 1 a3 2
II.
1).
2).
3).
4).
3 ab2 + 3 b3 + 3 ab2 - 2b3 + a3 = ___________________
4
5
8
Sumar las siguientes expresiones algebraicas.
3x - 7y - 4z ; - 5z + 4 y - 7x ; - 3y + 4z - 9x =___________________________
- 6a + 4b + 11c ; - 4c - 4b + 7a ; - 7b - 15c – a =___________________________
2a2 b - ab2 + 5ab ;- 3ab - 4a2 b + 7ab2 ; a2 b - 5ab2 + 3ab =_________________
2a - 3x + 1 ; 5x - 3a - 5 ; 7a - 7 + 3x = __________________________________
III. Restar las siguientes expresiones algebraicas.
1). De 4x - 3y + 2 restar 5x + 7y – 6 = _________________________________
2). De 7a - 4b - 5c restar 4c - 6a + 8b =_________________________________
3). Restar 5m - 8n - 4p de - 3n - 4p + 6m = _____________________________
4). Restar - 8a + 7x - 3m de 3a - 8m - 5x = _____________________________
IV. Resuelve los siguientes problemas utilizando la reducción de términos semejantes.
1).
Calcular el perímetro de un hexágono regular de 3 b metros de lado.
2). ¿Cuál es el área total de un cubo que tiene (a + b) m 2 en cada una de sus caras ?
Como ya aprendiste a sumar y a restar polinomios, ahora te invitamos a conocer el
procedimiento para multiplicarlos y dividirlos.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
I.- INSTRUCCIONES: Sumar las siguientes expresiones algebraicas.
1). 12x - 7y - 4z ;
- 5z + 4 y - 7x ;
- 3y + 4z - 4x
27
SAETA
ALGEBRA
2). - 6a + 4b + 11c ;
- 4c - 4b + 7a ;
- 7b - 15c – a
3). 2a2 b - ab2 + 5ab ; - 3ab - 4a2 b + 7ab2 ;
4). 2a - 3x + 1 ;
5x - 3a - 5 ;
a2 b - 5ab2 + 3ab
7a - 7 + 3x
II.- INSTRUCCIONES: Restar las siguientes expresiones algebraicas.
1).
De 4x - 3y + 2
2).
De 7a - 4b - 5c
3).
Restar
4).
Restar
restar 5x + 7y – 6
restar 4c - 6a + 8b
5m - 8n - 4p
de
- 8a + 7x - 3m de
- 3n - 4p + 6m
3a - 8m - 5x
EXPONENTES Y RADICALES
Problema:
“El número de habitantes de una ciudad puede duplicarse en cierto número de años.
Por ejemplo, si la población de Santiago Ixcuintla Nayarit, es de 50,000 habitantes y
se duplica cada 6 años, entonces, ¿cuál será la población en 3 años?
1. De manera individual los estudiantes analizarán y resolverán el problema.
2. Discutir las soluciones en asesoría.
3. Concensar la solución para presentarla al grupo.
4. Contrastar en el grupo las soluciones y seleccionar la más adecuada.
28
SAETA
ALGEBRA
5. Recuperación de saberes.
actividades
1. Analizar material escrito en antología relacionado con exponentes.
2. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados con el material
analizado.
3. Exponer al grupo las coincidencias de conceptos y principios recuperados.
4. Ejemplificar.
5. Resolver ejercicios propuestos en antología
1. En forma individual, plantear un problema
2. Presentar trabajo de Investigación por escrito referente a
relacionados.
3. Resolver ejercicios para autoevaluación
.Exponentes
los problemas
Si n es un entero positivo, la notación exponencial an que se define en la tabla,
representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La
expresión an se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n. El entero positivo
se llama exponente y el número real a, base.
Notación exponencial
Caso general
(n es cualquier entero
positivo)
Casos
especiales
Ejemplos:
Es importante observar que si n es un entero positivo, entonces una expresión como
3an significa 3(an) pero no (3a)n. El número real 3 se llama coeficiente de an en la
expresión 3an.
Ejemplo:
29
SAETA
ALGEBRA
Ahora ampliamos la definición de an a exponentes no positivos.
Exponente cero y negativo
Definición (a
Ejemplo
diferente de 0)
Si m y n son enteros positivos, entonces
En vista de que el número total de factores de a a la derecha es m+n, esta expresión
es igual a am+n ; es decir,
De esta forma se puede llegar a las leyes de exponentes que muestran a
continuación:
Ley
Ejemplo
|
Las leyes de los exponentes pueden generalizarse:
30
SAETA
ALGEBRA
Simplificar una expresión donde hay potencias de números reales, significa
cambiarla a otra en que cada numero real aparece solo una vez y todos los
exponentes son positivos. Teniendo presente que los denominadores representan
números reales diferentes de cero.
Simplificar:
a)
b)
Solución:
a)
b)
El teorema que viene es útil para la solución de problemas con exponentes negativos.
31
SAETA
ALGEBRA
Simplificación de expresiones con exponentes negativos.
Simplifica:
Solución:
Radicales
A continuación definiremos la principal raíz enésima de un número real.
Definición de
Sean n un número entero positivo mayor de 1 y a, un número real.
1) Si
, entonces
2) Si
, entonces
es el número real positivo b tal que
.
3) a) Si
y n es non, entonces
es el número real negativo b tal que
b) Si
y n es par, entonces
no es un número real.
Si n = 2 se escribe
en lugar de
y
.
se llama raíz cuadrada principal de o
simplemente raíz cuadrada de a. El número
es la raíz cúbica de a.
Ilustraciones:
32
SAETA
ALGEBRA
Observa que
porque, por definición, las raíces de números reales positivos
son positivas. El símbolo se lee "más o menos".
Para completar nuestra terminología, la expresión
es un radical, el número a se
llama radicando y n es el índice del radical. El símbolo
Si
, entonces
; esto es,
es el signo radical.
.
En general se presenta la siguiente tabla de propiedades.
Propiedades de
Propiedad
(n es un entero positivo).
Ejemplo
De esta última propiedad vemos que:
si
entonces
sin embargo si
para todo número real x. En particular,
, entonces
, que es positiva.
Las tres leyes siguientes son verdaderas para los enteros positivos m y n, siempre
que existan las raíces indicadas; es decir, siempre que las raíces sean números
reales.
33
SAETA
Ley
ALGEBRA
Ejemplo
Advertencias respecto a errores comunes:
Simplificar un radical quiere decir eliminar factores del radical hasta que el radicando
contenga sólo exponente igual o mayor que el índice del radical y el índice sea tan
pequeño como sea posible.
Eliminación de factores de radicales.
Simplifica el radical (todas las letras denotan números reales positivos):
a)
b)
c)
Solución
a)
b)
c)
34
SAETA
ALGEBRA
Si al denominador de un cociente contiene un factor de la forma
entonces al multiplicar numerador y denominador por
con k < n y a > 0
eliminaremos el radical
del denominador porque:
Este proceso se llama racionalización del denominador.
Multiplicar
Factor en el numerador y
denominador denominador
por
Factor
resultante
Ejemplos
Racionalización de denominadores
Racionaliza:
a)
b)
Solución
a)
b)
35
SAETA
ALGEBRA
Este proceso algebraico, en cursos avanzados puede complicar el cálculo para la
resolución del problema, es por ello que se recomienda analizar y seleccionar el
procedimiento adecuado.
Definición de exponentes racionales
Sea m/n un numero racional, donde n es un entero positivo mayor de 1. Si a es un
numero real tal que existe
, entonces
Nota:
Las leyes de los exponentes son ciertas para exponentes racionales e
irracionales.
Simplificación de potencias racionales
Simplifica:
a)
b)
Solución
a)
36
SAETA
ALGEBRA
b)
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS.
. Mediante la lectura “Don José y su tienda” el estudiante de SAETA logrará recordar
los temas vistos con anterioridad.
2. Don José tiene la tienda más grande de la localidad de Marte R. Gómez, el cual,
para ofrecer productos de calidad y a bajo precio se dedica a adquirir estos en los
poblados aledaños a su localidad. En Pueblo Yaqui, compra a una persona gallinas y
huevos; posteriormente se desplaza al Ej. Pancho Villa en el que compra el mismo
número de gallinas y huevos que en Pueblo Yaqui y al mismo número de personas
que el de gallinas y huevos. Luego se dirige a Quetchehueca donde adquiere el doble
de gallinas y de huevos que en Pueblo Yaqui al mismo número de personas.
3. En forma individual representar algebraicamente el número de gallinas y de huevos.
4. Consensa sus representaciones personales en asesoría
Actividades de aprendizaje
. En base a la lectura anterior determina individualmente:
37
SAETA
ALGEBRA
a) Si en Pueblo Yaqui compró 2 gallinas, ¿cuál es total de gallinas compradas en
todo el recorrido?
b) Representa el resultado obtenido en forma algebraica como producto.
Además comprobar que la representación algebraica, se cumpla.
c) Si en el Ejido Pancho Villa, el número de huevos que ha adquirido en su
compra fue de 5, ¿cuánto es el total de huevos que obtuvo en cada poblado?.
El resultado anterior represéntalo algebraicamente. Verificar que la expresión
algebraica se cumpla como un producto
Resuelve los siguientes ejercicios, en forma individual.
a) (2x) (5x) =_____________________________________________________
x
b) (x2) ( ) =______________________________________________________
2
c) (xy) (x2y3) = ____________________________________________________
d) (rst) (r2s3t4) (r4s3t2) =______________________________________________
e) (2x) (5x2 + 3x – 2) =______________________________________________
f) (1/3 mn) (5/2 m2n3 – ¼ mn2) =______________________________________
g) (a2 + b2) (3a + 4b3 – ab) =__________________________________________
Con la finalidad de realizar un cierre a esta pequeña aventura en el pueblo yaqui
1.Analiza tus resultados obtenidos y consensalos con los de tus compañeros de
asesoría.
2. Con los resultados anteriores obtener los conceptos de las partes de un término
algebraico.
a) Signos
b) Coeficiente
c) Literal
d) Exponente
4. Plasmar sus conclusiones por equipo en hoja rotafolio y presentarla para su análisis
y discusión grupal.
5. Después de obtener los conceptos de la multiplicación y sabiendo que la división es
la operación inversa de la multiplicación efectúa la siguiente operación:
6 x 4  12 x 3  9 x 2
3x 2
6. De la misma forma como lo has venido haciendo; analiza y consensa el cociente
resultante de la división y multiplícalo por el divisor. Explica lo que observaste.
38
SAETA
ALGEBRA
Para realizar la multiplicación de polinomios se aplican las leyes de los exponentes,
ley de los signos, y la propiedad distributiva.
1.
Ley de los Exponentes:
a) am . an = am + n
b)
2.
3.
(Se suman los exponentes)
(am ) n = am n
(Se multiplican los exponentes)
c) (ab) m = am bm
Ley de los signos:
+ por + = +
- por - = +
+ por - = - por + = -
(Se multiplican los exponentes)
Ley Distributiva: La cual nos indica que el monomio se multiplica por cada uno
delos términos del polinomio.
a (b+ c)
=
ab + ac
monomio
polinomio
En álgebra para indicar multiplicación generalmente usamos paréntesis y punto. por
ejemplo.
5 X 4 en aritmética
(5) (4) y 5 4 en álgebra
Al desarrollar la multiplicación de expresiones algebraicas procedemos a lo siguiente.
multiplicar (4a) (5ax)
a) Multiplicamos los coeficientes :
(4) (5) = 20
b) Ponemos las letras una al lado de la otra, (indicando multiplicación).
20 (a) (ax)
c) Usando las leyes de los exponentes: en este caso utilizamos a m . an = a( m + n )
por lo que:
20 a2 x
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS:
Para multiplicar dos monomios tomarás muy en cuenta dos aspectos importantes: las
leyes de los exponentes y la ley de los signos.
Ejemplos:
1.
(3x ) (4x ) = (3) (4) (x) (x) = 12x2
2.
(- 7m2 n3 ) (10mn4 ) = - 70 m3 n7
3.
(- 8ab2 ) (- 2a3 b) = 16a4 b3
39
SAETA
ALGEBRA
4.
(- 3 x3 y5 ) ( 1 xy2 ) =
2
5
- 3 x4 y7
10
5.
(15x2 y3 ) (- 1 xy) = - 5x3 y4
3
Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio: se aplica la propiedad
distributiva, leyes de los exponentes, ley de los signos.
Ejemplos:
monomio polinomio
1)
5x ( 3x2 - 6x + 7 ) = 15x3 - 30x2 + 35x
Solución: (5x) (3x2 ) = 15x3
(5x) (-6x) = -30x2
= 15x3 - 30x2 + 35x
(5x) ( 7 ) = 35x
2)
-8a ( 3ab3 - 4b + 5 ) = - 24a2 b3 + 32ab - 40a
Solución: (-8a) (3ab3 ) = - 24a2 b3
(-8a) (-4b) = 32ab
(-8a) ( 5 ) = - 40a
3)
6xy ( 3x3 y2 - 7xy + 2 ) = 18x4 y3 - 42x2 y2 + 12xy
4)
3 x ( 1 xy2 - 2 y ) = 3 x2 y2 - 6 xy
5
2
3
10
15
Simplificado =
3 x2 y2 - 2 xy
10
5
PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS:
Para realizar esta operación será necesario que utilices las leyes anteriores.
Ejemplo:
1) ( 3x + 8y ) ( 2x + 4y ) =
6x2 + 28xy + 32y2
Solución: Podemos obtenerla de dos maneras:
1º Desarrollo Horizontal.
a) Se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo
polinomio y se procede igual para el segundo, tercero. términos del primer polinomio.
( 3 x + 8y ) ( 2x + 4y ) = ( 3x ) ( 2x ) + ( 3x ) ( 4y ) + ( 8y ) ( 2x ) + ( 8y ) ( 4y ) =
= 6x2
+12xy +
16xy +
32y2
40
SAETA
ALGEBRA
b) Reducir términos semejantes : 6x2 + 28xy + 32y2
2º Desarrollo en columna.
Productos Parciales.
2x ( 3x + 8y ) = 6x2 + 16xy
4y ( 3x + 8y ) = 12xy + 32y2
16xy + 12xy = 28xy
3x + 8y
2x + 4y
6x2 + 16xy
Son términos
+ 12xy + 32y2
semejantes.
6x2 + 28xy + 32y2
NOTA: Se ordenan en columna los términos semejantes y se reducen.
2) ( 3x + 5 ) ( 6x2 - 8x + 2 )
=
18x3 + 6x2 -34x + 10
Solución :
1º Desarrollo Horizontal:
a) ( 3x + 5 ) ( 6x2 - 8x + 2 ) = (3x) (6x2) + (3x) (-8x) + (3x) (2) + (5) (6x2 ) + (5) (-8x) +
(5) (2) = 18x3 - 24x2 + 6x + 30x2 - 40x + 10
18x3 + 6x2 - 34x + 10
b) Reduciendo términos semejantes:
2º Desarrollo en columna:
6x2 - 8x + 2
3x + 5
18x3 - 24x2 + 6x
3x (
6x2
Productos parciales:
- 8x + 2 ) = 18x3 - 24x2 + 6x
5 ( 6x2 - 8x + 2 ) = 30x2 - 40x + 10
30x2 - 40x + 10
tomando los términos semejantes y reduciéndolos.
18x3 + 6x2 - 34x + 10
- 24x2 + 30x2 = 6 x2 y 6x - 40x = - 34x
Ya conociste como multiplicar: monomio por monomio, monomio por polinomio y
polinomio por polinomio. Ahora puedes realizar cualquier tipo de multiplicación
algebraica; realizando las:
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
I. Encuentra los productos de las siguientes expresiones algebraicas:
41
SAETA
ALGEBRA
1.
(3a2) (5a2+3a2+2a2) =
2.
(xy2) (-5x3y3) =
3.
( x3 - 3x4 + 5x2 ) ( 5x2 + 8x - 7 ) =
4.
2ab (a2+2a-3b+5) =
5.
(2x - 3 )
6.
(-2m) (-8m2) =
7.
( mn3 + 1 ) ( mn3 - 1 ) =
4
5
( 4x2 + 6x + 9 ) =
8. (-7a) (-1ab) =
6
3
9. 4xy (1x2-1xy3+4) =
2 4
II.- Observa las siguientes figuras y calcula sus áreas
3x
2a3
4x
x+1
8x
DIVISIÓN O COCIENTE DE POLINOMIOS:
Para realizar la división de polinomios seguimos un procedimiento similar al utilizado
en la multiplicación, sin olvidar las leyes de los exponentes y la ley de los signos:
1. Ley de los exponentes:
A) am
an = am-n
(Se restan exponentes)
a)
a5
a2
b)
a8 =
a8
a3 =
a7
a( 8 - 8 )
=
a0
a( 3 - 7 )
=
a-4 = 1
a4
c)
=
esta ley presenta tres casos:
a3
exponente positivo
= 1
exponente cero
exponente negativo
2. Ley de los signos:
+
+
+
-
=
=
+
-
-
+
=
=
+
-
42
SAETA
ALGEBRA
DIVISIÓN DE MONOMIOS:
Ejemplo 1: Dividir ( 36m4 )
Solución:
Explicación:
( 9m2 )
ó también lo podemos expresar 36m4
9m2
4m2
a) Dividimos los coeficientes
( 36 )
(9) =
4
b) Dividiendo las literales, utilizando las leyes de los exponentes.
m4 = m4- 2 = m2
m2
Entonces el resultado es:
4m2
Ejemplo 2: Dividir 6ab2 = 3ab La división de monomios también es común
2bc
c
expresarla en columna, en forma racional (fracción).
Explicación:
a) Dividimos los coeficientes
(6)
a = a , b2 = b2-1 = b1
1
b
Entonces el resultado es:
3ab
c
b) Dividir:
(2) = 3
1 = 1
c
c
DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO:
Se aplica la propiedad distributiva de la división; es decir, cada término del polinomio
se divide entre el monomio, utilizando las leyes de los exponentes y de los signos.
24x3 - 16x2 + 8x =
4x
Recordarás que hay que dividir cada término del polinomio entre el monomio.
Ejemplo 1: Dividir
= 24x3 - 16x2 + 8x
4x
4x
4x
Ejemplo 2: Dividir
= 6x2 - 4x + 2
45a3b2 + 15ab2 =
15ab2
45a3b2 + 15ab2
15ab2
15ab2
Ejemplo 3: Dividir 280x4y3 - 160x3y2 + 40x2y2
-40x2y2
=
3a2 + 1
=
= 280x4y3 - 160x3y2 + 40x2y2 =
-7x2y + 4x - 1
43
SAETA
ALGEBRA
-40x2y2
-40x2y2
-40x2y2
DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS:
Ejemplo:
a)
b)
Dividir
7x + x2 + 10
x+2
Solución:
Se ordena el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.
x2 + 7x + 10
x+2
Se escribe otra vez el problema de la división.
(cociente)
x+2
(divisor)
x2 + 7x + 10
(dividendo)
c) Se divide el primer término del dividendo (x2) entre el primer término del divisor (x),
el resultado será el primer término del cociente.
x2
x
x2 + 7x + 10
= x
entonces x + 2
x
d) El primer término del cociente (x) se multiplica por todo el divisor y el producto
obtenido se resta del dividendo colocándola debajo de su término semejante para su
reducción (pasa cambiando el signo).
(x) (x) = x2
x
(x) (2) = 2x x + 2 x2 + 7x + 10
-x2 - 2x
.
5x + 10 (residuo)
e) Dividir el primer término del residuo 5x entre el primer término del divisor (x). El
producto es el segundo término del cociente con su signo.
x+5
5x = +5 (resultado) entonces x + 2
x2 + 7x + 10
x
-x2 - 2x
.
5x + 10
f)
El segundo término del cociente (5) se multiplica por todo el divisor y el producto
se resta del dividendo, cambiando los signos. El producto se coloca debajo de su
término semejante para su reducción (como en el paso d).
44
SAETA
ALGEBRA
( 5 ) ( x ) = 5x
( 5 ) ( 2 ) = 10 entonces x + 2
x+5
x2 + 7x + 10
- x2 - 2x
.
5x + 10
-5x - 10
residuo
0
g)
Efectuar la comprobación de la división.
cociente por divisor = dividendo
(x+5)
( x + 2 ) = x2 + 7x + 10
Como ya conoces los diferentes tipos de división algebraica, te reto a resolver
correctamente las siguientes:
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
I. Realiza la división de los siguientes ejercicios:
1). (-18a3b2) ÷ (6ab) =
2x2 + 13x + 15 =
x+5
4
3). 2x - 8x3 + 19x2 - 33x + 15 =
x2 - x + 5
2
4). 6x y-12x3y2+9y3 =
-2xy2
5) (-2x3y5) ÷ (4 xy) =
5
7
AUTOEVALUACIÓN.
2).
6). 3xyz+6xyz2-9x3y5z7 =
- 6xy
7). 9x3 - 3x2 - 3x + 4 =
3x + 2
2
4
8). (-15x y ) ÷ (-15x2y4) =
9). 4x2y -6x4y3 -8x5y2+10x =
2xy2
INSTRUCCIONES: Escribe dentro del paréntesis la letra que corresponda a la
respuesta correcta:
1. La reducción de términos semejantes de 4a - 3b + 7a - 5c es:
(
a) 3a + 8c - 5b
b) 11a - 3b - 5c
c) 11a + 8b - 2c
2. La reducción de términos semejantes de
a)
8 m -2n
12
6
6 m - 4 n + 2 m + 2 n es: (
7
3
5
9
b) 12 m - 8 n
c) 44 m - 10 n
35
27
35
9
)
)
3. Al sumar las expresiones algebraicas 2m - 3p + 7n ; 3p - 4n - 8m ; 5n - 7m - p ;el
resultado es
(
)
45
SAETA
a)
4.
ALGEBRA
-13m - p + 8n
b)
-13m - 7p - 16n
c)
17m - 7p - 12n
Al sumar las expresiones algebraicas 2a + 4b - 5 ; 7a - 4 - 3b ; -4a + 8b + 3
el resultado es:
(
)
a) -13a - 15b - 6
b) 9a + 9b - 6
c) 5a + 9b - 6
5. Al restar 7x3 - 8x2 + x
a) -5x3 + 9x2 - 2x
de -x + x2 + 2x3 el resultado es:
b) 5x3 - 9x2 + 2x
c) 9x3 - 7x2
(
)
6. De 6a3 - 7a + 14 restar
a) -15a3 - 15a + 3
9a3 - 8a + 11 el resultado es:
(
b) -3a3 + a + 3
c ) 3a3 - a - 3
)
7. El resultado de multiplicar
( -3x2y ) ( 2 xy3z ) es:
3
b) 2x3y4
)
(
2 xy2z
c) -2x3y4z
3
8. El resultado de multiplicar ( 2m - 5n + 7 ) ( -m2n ) es:
(
)
a) -2m3n + 5m2n2 - 7m2n b) mn + 6m2n2 - 7m2 c) -2mn + 5m2n - 7m2n
a)
9. El resultado de multiplicar ( 2a - 3b ) ( 5a - 7b ) es:
(
)
a) 10a2 - a + 10b2
b) 10a2 - 29ab + 21b2
c) 10a2 + 29ab - 10b2
10. El resultado de multiplicar ( x - 3y ) ( 2x2 - 5xy + 7y2 ) es:
a) 2x3 + 11x2y + 22xy2 - 4y3
c) 2x3 - 11x2y + 22xy2 - 21y3
b)
(
)
(
- 3x2y
m
)
2x3 - 11x4y2 + 22x2y4 - 21y3
11. El resultado de dividir ( -9x3y2m ) entre ( 3xy ) es:
a) -3x2ym
b) 6x2ym
c)
12. El resultado de dividir ( 4x8 - 10x6 - 5x4 + 2x3 ) entre ( 2x3 ) es:
(
)
a) 2x5 - 5x3 - 5 x + 10
b) 2x5 - 8x3 - 3x
c) 2x5 - 5x3 - 5 x + 1
2
2
13. El resultado de dividir ( 6 + a2 + 5a ) entre ( a + 2 ) es:
(
)
a) a + 7
b) a + 3
c) a - 3 +
Las operaciones algebraicas nos ayudan a resolver problemas de nuestra vida
cotidiana. Como en el caso del Sr. Díaz que trabaja en dos empresas diferentes. En
una de ellas tiene un sueldo de 2x pesos y en la otra 5x pesos diarios. Como esta
persona desafortunadamente no sabe contar, necesita que le ayudes y le digas:
a) ¿Cuánto le pagaron por una semana de trabajo?
b) ¿Cuántos días necesita trabajar para ganar 441x pesos?
1.2.4 PRODUCTOS NOTABLES.
46
SAETA
ALGEBRA
Se le llaman notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas en la que no es
necesario realizar la multiplicación para conocer el resultado.
BLOQUES
Apertura
Desarrollo
ACTIVIDADES
1. Presentar al estudiante el problema siguiente:
A Pepito, en su clase de matemáticas, se le pide realizar la
siguiente actividad: De una cartulina rectangular de 10 cm. de
ancho y de 14 cm. de largo se corta en cada esquina un cuadrado
de lado x, y se forma una caja rectangular abierta en la parte
superior. Ayúdale a calcular el área de su base y el volumen de la
caja.
2. En forma individual representar gráficamente el problema
planteado.
1. En base al problema anterior en forma individual determina:
d) Usando la representación gráfica que realizaste en el punto
anterior determina la nueva dimensión del ancho.
e) Realiza la misma actividad que el inciso anterior pero para
la dimensión del largo.
f) Determina la altura de dicha caja.
g) Anota algebraicamente el área de la caja.
h) Representa algebraicamente el volumen de la caja
considerando las tres dimensiones que obtuviste con
anterioridad.
Cierre
EL TRUCO DE PEDRO
Pedro necesita conocer el área cuadrada de un terreno rural donde establecerá un
huerto, pero para tomar medida cuenta sólo con un cordón. Pedro decide tomar
medidas y más tarde en la ciudad medirá el cordón en metros.
Al medir el cordón únicamente alcanza para una parte de la longitud de uno de los
lados, por lo que para la parte que le falta, utiliza el cordón nuevamente poniéndole
una marca. Fíjate en la figura siguiente.
47
SAETA
ALGEBRA
a
b
a: primera medida
b: segunda medida
Pedro no conoce de fórmulas para resolver problemas, pero utilizó un truco que le
permitió salir avante en esta situación. Tienes la oportunidad de conocer que el truco
que Pedro usó, se puede expresar algebraicamente.
Tú sabes que el área de un cuadrado es igual a lado por lado, por lo que en el
ejemplo anterior:
Área del cuadrado = lado por lado.
como:
un lado = a + b
entonces área del cuadrado = (a + b) (a + b)
La anterior expresión también puede ser escrita como: (a + b)2
Como consta de dos términos recibe el nombre de Binomio afectado por el exponente
2.
BINOMIO AL CUADRADO:
Para realizar el producto de un binomio al cuadrado o producto de dos binomios
iguales se puede aplicar la propiedad distributiva. Por ejemplo los siguientes
productos:
1. (a + b)2 = ( a + b ) ( a + b )
Realizando las multiplicaciones:
= a2 + ab + ab + b2.
Reduciendo términos semejantes:
= a2 + 2ab + b2
48
SAETA
ALGEBRA
2. (x + y )2 = ( x + y ) ( x + y )
Realizando las multiplicaciones correspondientes:
= x2 + xy + xy + y2
= x2 + 2xy + y2
3. (3m + 4n)2 = ( 3m + 4n ) ( 3m + 4n
)
Realizando las multiplicaciones correspondientes:
= 9m2 + 12mn + 12 mn + 16 n2
Reduciendo términos semejantes:
= 9m2 + 24 mn + 16n2
Observa con cuidado cada uno de los ejemplos desarrollados anteriormente, notarás
que en el resultado aparecen ciertas semejanzas:
El primer término del resultado es el cuadrado del primer término, en seguida se
suma.
El segundo término del resultado es el doble producto del primer término del
binomio por el segundo término, en seguida sumar.
El tercer término del resultado es el cuadrado del segundo término del binomio.
No tiene caso realizar la multiplicación pues el párrafo anterior nos indica una regla
para desarrollar la suma de dos cantidades al cuadrado.
Por ejemplo, aplicando la regla en cada uno de los ejercicios 1 y 2 que anteriormente
resolvimos.
1.
(
a
+
b )
Primer
Término



2.
x
primer
término

segundo
término
2
2
2
2
Cuadrado del primer término ------------------------ ( a ) --------------- = a
Doble producto del primero por el segundo ---- 2( a ) ( b ) ------------- = 2 ab
2
2
Cuadrado del segundo término ----------------------- ( b ) --------------- = b
2
2
El resultado final es = a + 2ab + b
(

2
+
y )
2
segundo
término
Cuadrado del primer término ------------------------ ( x ) --------------- = x
Doble producto del primero por el segundo ---- 2( x ) ( y ) -------------- = 2 xy
49
SAETA

ALGEBRA
Cuadrado del segundo término ----------------------- ( y )2 --------------- = y2
El resultado final es = x2 + 2xy + y2
El resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre de trinomio
cuadrado perfecto.
No todos los binomios al cuadrado son sumas. Existen binomios que son diferencias
de dos cantidades elevadas al cuadrado. Ejemplo:
2
1. (a - b) = ( a - b )
(a-b)
Aplicando la propiedad distributiva:
2
2
= a - ab - ab + b
Reduciendo términos:
2
2
= a - 2ab + b
2.
2
(x - y) =
(x- y)
(x-y)
Aplicando la propiedad distributiva:
2
2
= x - xy - xy + y
Reduciendo términos semejantes:
2
2
= x - 2xy + y
2
3. (3m - 4n ) = ( 3m - 4n ) ( 3m - 4n )
Aplicando la propiedad distributiva:
2
2
= 9m - 12mn - 12mn + 16n
Reduciendo términos semejantes
2
2
= 9m - 24mn + 16n
Como puedes observar en los resultados de cada caso, lo que cambia es el signo del
segundo término del resultado. Entonces la regla para la diferencia de dos cantidades
al cuadrado es la misma, que para la suma de dos cantidades al cuadrado y sólo varía
el signo del segundo término:
50
SAETA
ALGEBRA
2
= a + 2ab + b
2
2
= a – 2ab + b
2
2
= x + 2xy + y
2
2
= x – 2xy + y
1. ( a + b )
2
(a-b)
2
2
2. ( x + y )
2
(x-y )
2
2
2
2
= 9m + 24mn + 16n
2
2
= 9m – 24mn + 16n
3. ( 3m+ 4n )
2
( 3m -4n )
En general el cuadrado de un binomio es :
2
2
2
( a + b ) = a + 2ab + b
2
2
2
( a - b ) = a – 2ab + b
Refuerza tus conocimientos.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
Desarrolla los siguientes Binomios:
2
2
1.
(m+a) =
6. ( m - a ) =
2.
(x+9) =
3.
( 4ax + 1 ) =
8. ( 2a + x ) =
4.
2
( x2 +1 ) =
9. ( x - 1 ) =
5.
( mn + 4 ) =
2
2
2
7. ( a - 4 ) =
2
2 2
2
2
2
2
10. ( Xm - Yn) =
PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades ( a + b ) ( a - b ), también
conocidos como binomios conjugados .
Al desarrollar ( a + b ) ( a - b ) aplicando la propiedad distributiva tendremos :
2
( a + b ) ( a - b ) = a - ab + ab - b
2
2
Reduciendo términos semejantes: a - b
Ahora realizando el mismo procedimiento con otro ejemplo :
2
51
SAETA
ALGEBRA
2
( 2a + 3b ) ( 2a - 3b ) = 4a - 6ab + 6ab - 9b
2
Reduciendo términos semejantes: 4a - 9b
2
2
En conclusión : La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia,
también conocida como binomios conjugados es igual al cuadrado del
minuendo ( en la diferencia ) menos el cuadrado del sustraendo.
Por ejemplo : al desarrollar:
a)
( 2m + 9 ) ( 2m - 9 )
=
diferencia
4m2 - 81
minuendo
b)
( 2a - 1 ) ( 1 + 2a ) =
diferencia
4a2 - 1
minuendo
c)
(
a3
-
b2
) (
a3
+
b2
) =
sustraendo
sustraendo
diferencia
a 6 - b4
minuendo
sustraendo
Continùa
retroalimentando tu aprendizaje en este tema, efectuando las
siguientes:
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
Determine el producto de los siguientes binomios conjugados aplicando la regla
anterior:
1. ( x + y ) ( x - y ) =
6. ( 6x2 - m2x ) ( 6x2 + m2x ) =
2. ( m - n ) ( m + n ) =
7. ( 11 - ab )
( 11 + ab )
=
3. ( x2 + a2 ) (x2 - a2 ) =
8. ( x2 + 13 )
( 13 - x2)
=
4. ( 3a + 4b ) ( 3a - 4b ) =
9. ( 3ab - 5b2 ) ( 3ab + 5b2 ) =
5. ( 1 - 8xy ) ( 1 + 8xy ) =
10. ( ax - 6 )
( 6 + ax )
=
CUBO DE UN BINOMIO:
La expresión ( a + b )3 , representa el cubo de la suma de dos cantidades:
( a + b )3 =
(a+b) (a+b) (a+b)
Aplicando la regla del cuadrado de un binomio
( a2 + 2ab + b2 )
Utilizando la propiedad distributiva:
( a2 + 2ab + b2) ( a + b )
=
a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
52
SAETA
ALGEBRA
reduciendo términos semejantes =
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
En este caso también es más práctico aplicar una regla, que aplicar la propiedad
distributiva. La regla es la siguiente:
“ El cubo de la suma de dos cantidades, es igual, al cubo de la primera cantidad,
más el triple del cuadrado de la primera cantidad por la segunda, más el triple
de la primera cantidad por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la
segunda cantidad.“
Ejemplo: Al desarrollar ( 3 m + 2 n )3 aplicando la regla anterior tendremos que:


Cubo de la primera cantidad ..................................... ( 3m )3 = 27m3
El triple del cuadrado de la primera cantidad
por la segunda cantidad .................................... 3 ( 3m )2 ( 2n ) =
= 3 ( 9m2 ) ( 2n ) = 54 m2n
 El triple de la primera cantidad por el cuadrado
de la segunda cantidad .......................................... 3 ( 3m ) ( 2n ) 2 =
= 3 ( 3m ) ( 4n2 ) = 36mn2
 El cubo de la segunda cantidad ............................ ( 2n )3 = 8n3
( 3m + 2n )3 = 27m3 + 54m2n + 36mn2 + 8n3
Entonces:
No
desmayes, lo que estás aprendiendo es muy importante. Continúa
afianzando tus conocimientos y realiza las siguientes:
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
Desarrolla los siguientes binomios al cubo, aplicando la regla.
1). ( x + 2y )3 =
2).
( 3a + 8 )3 =
3).
( 5ab + 10c )3 =
4).
( 7 + x )3
5).
( 12 + xy )3 =
=
En caso de la diferencia de dos cantidades al cubo, la regla se sigue de la misma
forma que en el caso de la suma de dos cantidades al cubo, pero en este caso varían
los signos:
¡ FÍJATE
BIEN !
( a - b )3 =
(a-b) (a-b)
(a-b)
Aplicando la regla de la
diferencia de un binomio
al cuadrado.
53
SAETA
ALGEBRA
=
( a - b )2 ( a - b )
=
[ a2 - 2ab + b2 ] ( a - b )
Utilizando la propiedad distributiva:
=
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Comparando este resultado con un binomio al cubo de la forma ( a + b ) 3
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Sólo cambian el segundo y el cuarto término en su signo. Si sigues los pasos en
forma progresiva como en la regla anterior y sólo cambias los signos que ya
observaste, podrás aplicar esta regla siempre que sea necesario.
Ahora pon tu mayor esfuerzo y haz lo que se te indica:
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
Realiza los siguientes binomios al cubo aplicando la regla:
1. ( x - y )3
=
2. ( a - 3 )3
=
3. ( 2ab - 4 )3 =
4. ( 8 - 6y2 )3 =
5. ( a4b2 - 2x )3 =
PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA ( x + a ) ( x + b ) :
Para este caso es necesario que observes la multiplicación de dos binomios con la
característica de que el primer término en ambos binomios es el mismo (ó
término común). Ejemplo:
(x+a) (x+b)
Aplicando la propiedad distributiva
=
x2 + ax + bx + ( a  b )
=
x2 + ( a + b ) x + ab
(x+2) (x+3)
=
x2 + 3x + 2x + 3  2
54
SAETA
ALGEBRA
x2 + ( 3 + 2 ) x + 3  2
x2 + 5x + 6
=
=
Como notarás en el trinomio resultante, el primer término viene siendo el cuadrado del
mismo (hay que aclararte que este es el término común de dicho producto), los
valores a y b representarían cualesquier cantidad diferente del primer término, de
tal forma que la simple suma de ambos, por el primer término, resultará el segundo
término del trinomio, y por último el tercer término resulta del producto de los dos
términos no comunes o diferentes.
¡ En
efecto !
Esta es la regla de la multiplicación de dos binomios con un término común.
Ejemplo:
Aplicando la regla anterior:
1. ( m + 4 ) ( m + 5 ) = ( m )2 + ( 4 + 5 )m + ( 4 . 5 ) = m2 + 9m + 20
2. ( y + 6 ) ( y - 3 ) = ( y )2 + ( 6 - 3 )y + ( 6 ) (-3 ) = y2 + 3y - 18
3. ( a2 - 1 ) ( a2 - 3 ) = ( a2 )2 + ( -1 - 3 )a2 + ( -1 ) ( -3 ) = a4 - 4a2 + 3
Con esto concluye este tema, para reforzarlo ejercita lo aprendido.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
Resuelve los siguientes productos de binomios aplicando la regla:
1.
(x+2)
(x+5) =
6.
(y + 7) (y - 1) =
2.
( a+4) (a+3) =
7.
( n + 12 ) ( n + 5 )
3.
( m-7) (m-1)
8.
( x2 + 3 ) ( 5 + x2 ) =
4.
( mn + 10 ) ( mn - 2 ) =
9.
(5-z) (3-z)
5.
( xy - a ) ( xy + c )
10. ( a2y3 + 12 ) ( -12 + a2y3 ) =
=
=
=
=
AUTOEVALUACION.
INSTRUCCIONES: Escribe dentro del paréntesis la letra de la respuesta correcta, en
cada uno de los siguientes productos notables. Aplique la regla que corresponde:
1.
El producto de (x + 3) (x + 2) es:
a)
2.
x2 + x - 6
b)
x2 + x + 6
c)
a)
+ 84xy + 49
b)
36x2y2
)
(
)
x2 - x - 6
El producto de ( 6xy - 7 )2 es:
36x2y2
(
+ 84xy - 49 c)
36x2y2
- 84xy + 49
55
SAETA
3.
ALGEBRA
El producto de ( 3xy + 6 ) ( 3xy - 6 ) es:
9x2y2 - 36
a)
4.
25y4 + 4
b)
4 - 25y4
16x2 + 24x + 9
b) 16x - 24x + 9
49ab + 28ab + 4
9.
x2 - 2x - 8
b)
y2 + 9y + 18
b)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
343x3 - 294x2y - 84xy2 + 8y3
x2 + 2x + 8
c) x2 + 2x - 8
El producto de ( y + 6 ) ( y + 3 ) es:
a)
)
64x3 - 48x2y + 12xy2 + y3
El producto de ( x + 4 ) ( x - 2 ) es:
a)
10.
b)
(
c) 49a2b2+ 28ab+4
El producto de ( 7x - 2y )3 es:
a) 343x3 + 294x2y - 84xy2 - 8y3
c) 343x3 - 294x2y + 84xy2 - 8y3
)
25y4 - 4
El producto de ( 4x + y )3 es:
b)
(
c) 16x2 + 24x2 + 9
b) 49a2b2 + 14ab + 4
a) 64x3 + 48x2y + 12xy2 + y3
c) 64x3 - 48x2y + 12xy2 - y3
8.
c)
)
36 - 9x2y2
El producto de ( 7ab + 2 )2 es igual a:
a)
7.
c)
El producto de ( 4x + 3 )2 es igual a:
a)
6.
9x2y2 + 36
El producto de ( 2 - 5y2 ) ( 5y2 + 2 ) es:
a)
5.
b)
(
y2 - 9y + 18
c) y2 + 9y - 18
La aplicación de los productos notables nos ayudan en la solución de problemas
prácticos como los siguientes:
a) Calcular el área de un terreno cuadrado cuyo lado mide
5x+3
5x+3
b) Calcular el recorrido de un automóvil en (20x + 5) horas, si avanza a (20x + 9)
km/hr.
56
SAETA
ALGEBRA
c) Calcular lo que gana un obrero en (3x + 5) horas de trabajo, si le pagan a (3x +
5) pesos la hora.
FACTORIZACIÓN.
BLOQUES
ACTIVIDADES




Apertura






Desarrollo


Cierre
Dibuja en forma individual como te gustaría que fuera su
casa.
Dibujala en rotafolios y para presentarla al grupo.
Compara tu dibujo con el de tus compañeros y ve ¿Cuál fue
la más y menos completa ?
Anótala la respuesta a lo siguiente ¿Creé que porque uno de
los dibujos tuvo menos partes que otros dejará de ser casa?
Toma una casa el equipo e identifica ¿Cuáles son los
espacios comunes y cuáles individuales?
Colorear los espacios comunes e individuales de diferente
color.
Elabora conclusiones sobre lo que acabas de realizar y como
le llamarías en un lenguaje matemático.
De manera similar, las diferentes expresiones algebraicas
“casa” también se puede descomponer en sus partes.
Investiga e identifican los diferentes tipos de expresiones que
a su vez se factorizan de diferente manera por no ser
similares.
Resuelve los ejercicios de la antolgía de factorización,
considerando de forma particular cada una de ellas.
Se resuelven ejercicios propuestos en la antología.
Se intercambian las respuestas para su análisis durante la
asesoría
Factorizar quiere decir descomponer en factores.
57
SAETA
ALGEBRA
Expresar el concepto de factorización.
Lo que hay que aprender es:
Cierto día un asesor del SAETA planteó el siguiente problema a sus alumnos:
"En un centro comercial se van a formar locales rectangulares, de tal manera que
dichos locales tengan un área de 60m2 . ¿Cuáles son las dimensiones que puedan
tener dichos locales, si los lados deben medir metros completos y no deben exceder
de 15m? Al resolver dicho problema los estudiantes encontraron las siguientes
respuestas:
Lo que ellos hicieron para encontrar dichas respuestas fue buscar dos números que
multiplicados dieran 60. Así:
60 = 4
x
15
factores
60 = 5
x
12
factores
60 = 6
x
10
factores
En otras palabras ellos factorizaron el número 60, es decir, lo descompusieron en
factores.
Observa que un número puede ser factorizado de distintas maneras, por ejemplo, el
número 60 puede factorizarse en 6 formas diferentes, así:
60 = 4 x 15
60 = 60 x 1
58
SAETA
ALGEBRA
60 = 5 x 12
60 = 6 x 10
60 = 30 x 2
60 = 20 x 3
Sólo que los alumnos encontraron como respuesta únicamente las 3 factorizaciones
de la izquierda porque en el problema se pedía la condición de que las medidas no
excedieron de 15m.
Aplicaremos la factorización en las expresiones algebraicas, ya que frecuentemente
se utiliza para resolver con mayor facilidad algunas operaciones.
La factorización de una expresión algebraica consiste en expresarla como producto de
factores o producto indicado.
Antes de entrar a los diferentes tipos de factorización algebraica que existen,
empezaremos por ilustrar dicha factorización con auxilio de figuras:
Consideremos un rectángulo, cuyas dimensiones son m+n de largo y p de ancho.
m
n
mp
np
p
m + n
Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando largo por ancho, en este
caso, está dada por la expresión:
A = ( m + n ) p ------------------1
Por otro lado te das cuenta que el área de este rectángulo es igual a la suma de las
dos áreas que lo integran, o sea:
A = mp + np ------------------ 2
Relacionando las expresiones 1 y 2 se tiene:
mp + np = ( m + n ) p
De esta manera , podrás advertir que la expresión mp + np, a quedado factorizada y
que sus factores son: m + n y p.
59
SAETA
ALGEBRA
La expresión mp + np se puede factorizar en forma más directa, si aplicamos la
propiedad distributiva. Puesto que p es factor común de cada término, se puede
expresar como:
mp + np = ( m + n ) p
POLINOMIOS QUE TIENEN UN FACTOR COMÚN:
Lo que hay que aprender es:
Factorizar polinomios que tienen un factor común.
Así como factorizamos un número también podemos factorizar un polinomio, es decir,
lo podemos descomponer en factores; para lograrlo nos vamos a auxiliar de
la propiedad distributiva. Recordemos que usamos la propiedad distributiva para
multiplicar, así:
a(b+c)
Producto
=
ab + ac
suma
Si leemos la igualdad anterior de derecha a izquierda tendremos:
ab + ac
Suma
=
a(b+c)
Producto
Así, mediante el uso de la propiedad distributiva el polinomio ab+ac se ha
transformado en un producto, es decir, se ha factorizado a (b + c). Un polinomio
puede factorizarse mediante el uso de la propiedad distributiva sólo cuando sus
términos tienen un factor común.
Llamaremos factor común al factor que aparece en todos los términos de
un polinomio.
Ejemplos : ② x + ② y
2 Ⓧ -Ⓧ y
2
(x+y)
x (2-y)
Así, para factorizar un polinomio procedemos como en el siguiente ejemplo:
Factorizar el polinomio 5x + 5y
Factor
común
1. Buscamos el factor común y ese elemento
será uno de los factores.
⑤
x +
⑤
.
y = 5(
)
falta encontrar
este factor
60
SAETA
ALGEBRA
2. Para encontrar el otro factor dividimos
cada término del polinomio entre el
factor común.
5x + 5y = 5 (x + y )
5x
x
5
5y
y
5
A veces no es tan fácil encontrar el factor común, por ejemplo en el polinomio: 2x + 4y
aparentemente no hay factor común pero dicho polinomio puede escribirse de la
siguiente manera:
2x + 4y
factor común
luego podemos factorizar
2x + 2 (2y) dicho polinomio así:
2x + 4y = 2 ( x + 2y )
factor común
2x
4y
x
 2y
2
2
Al igual que un número, un mismo polinomio puede ser factorizado de distintas
maneras, por ejemplo el polinomio 8x2 + 4x puede ser factorizado de las siguientes
formas:
1) 8x • Ⓧ + 4 Ⓧ = Ⓧ ( 8x + 4 )
factor común
2)
8x2 + 4x
4 (2x2 ) + 4x = 4 (2x2 + x)
3) 8x2 + 4x
2x (4x) + 4x (1)
factores = 4x (2x + 1)
De las tres factorizaciones obtenidas, la más completa es la tercera, ya que en las
otras dos, las expresiones " 8x + 4 " y " 2x + x " aún tiene un factor común, lo cual no
sucede en el último caso, debido a que encontramos el máximo factor común.
El máximo factor común es el mayor de los factores comunes. Para obtenerlo
encontramos al máximo común divisor de los coeficientes y escogemos las literales
que aparezcan en todos los términos con su menor exponente.
Ejemplo:
1. Factorizar el polinomio: 12 x2y3 + 24 x3y2 - 6 x4y
I)
a) Encontramos el máximo 12 24 6
2
Obtener el
común divisor de los coeficientes
6 12 3
3
máximo factor
2 4 1
2.3=6
común
6 es el m.c.d.
61
SAETA
ALGEBRA
b). Escoger las literales que En todos aparecen la x y y
aparezcan en todos los términos y los menores exponentes
con su menor exponente
que tienen son:2 y 1:
en la x es x2,
2
y en la y es y,
1
c). El máximo factor común es 6x2y
II) Encontramos el otro factor dividiendo 12x2y3+24x3y2-6x4y=6x2y(2y2+4xy-x2)2
cada término del polinomio entre el 12x2y3  6x2y = 2y2
máximo factor común obtenido.
24x3y2  6x2y = 4xy
- 6x4y 6x2y = - x2
12x2y3
+ 24x3y2
6x4y
=
2
2
2
factorización 6x y ( 2y + 4xy - x )
Podemos comprobar nuestra
respuesta si efectuamos la multiplicación y
obtenemos el polinomio dado, así:
6x2y ( 2y2 + 4xy - x2 ) = 12x2y3 + 24x3y2 - 6x4y
Es el polinomio dado por lo que
la factorización es correcta.
2.
Factorizar el polinomio 10xy + 5y2 - 15yz
I) Obtenemos el máximo factor común:
a) Encontramos el m.c.d. de los coeficientes
10 5 15
5
Es el m.c.d.
Ya no tienen
2 1
3
factores comunes
b) Escogemos las variables que aparezcan en todos los términos con su
menor exponente.
10xy + 5y2 - 15yz
Sólo la “ y “ aparece en todos los términos
y su menor exponente es 1.
Por lo tanto, el máximo factor común es 5y
II) Dividimos todos los términos por 5y para encontrar el otro factor.
10xy + 5y2 - 15yz = 5y ( 2x + y - 3z )
10xy  5y
5y2  5y
- 15yz  5y
= 2x
= y
= - 3z
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
1. Encuentra el máximo común divisor y el máximo factor común de cada uno de los
conjuntos de números:
a) { 2, 4, 6, }
_______ b) { 12, 24, 36 } ________
c) { 5, 10 } _________
62
SAETA
ALGEBRA
d) { 8, 36 }
_______ e) { 24, 40, 50 } ________
f) { 9, 21 } _________
2. Encuentra el máximo común divisor de cada uno de los siguientes conjuntos:
a) { a, a2, a3 }
b) { x2y, xy2 }
d) { m2, m3, m5 }
e) { x3y, xy }
c) { ab2c, b3c2, ab3c2 }
f) { a2, ab, ab2 }
3. Efectúa las siguientes divisiones
a) x5 =
x2
b)
-12x2y3 =
4xy2
c) 28a3b2 =
- 7ab
d) -5x5 =
5x5
4. Encuentra el máximo factor común de los polinomios siguientes y luego
factorizarlos.
POLINOMIO
a)
2x + 3x + 5x
b)
5x + 10
c)
16x2 - 4x3 + 8x4
d)
12x3y + 4x2 - 6y2
e)
25xy2 + 30x3y2 + 15y2x4
f)
42x2y - 7x3 + 14y3x2
2.
MÁXIMO FACTOR COMÚN
FACTORIZACIÓN
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Lo que hay que aprender es:
Factorizar diferencias de cuadrados.
63
SAETA
ALGEBRA
Recordemos que al multiplicar binomios conjugados obtenemos como resultado una
diferencia de cuadrados.
2
2
( x + y )
( x - y ) = x - y
Binomio
conjugados
diferencia de
cuadrados
Si leemos la igualdad anterior de derecha a izquierda, tenemos:
2
x
2
-y
=
(x+y) (x - y)
Es decir, que podemos factorizar una diferencia de cuadrados en un producto de
binomios conjugados.
No olvidemos que el minuendo de la diferencia de cuadrados era obtenido al elevar al
cuadrado el término común de los binomios, por lo que si le extraemos raíz cuadrada
a dicho minuendo obtendremos el término común, así :
2
2
x
- y
=
(x
minuendo
x2
) (x
)
Término común
=
x
Para obtener términos opuestos de los binomios extraemos raíz cuadrada al
sustraendo así:
2
2
x - y = (x+y ) (x - y )
sustraendo
y2
=
Términos opuestos
y
De donde podemos concluir lo siguiente:
Para factorizar una diferencia de cuadrados formamos binomios conjugados,
obteniendo su término común al extraer la raíz cuadrada al minuendo, y los
términos opuestos al extraer raíz cuadrada al sustraendo.
Ejemplo :
Minuendo
Sustraendo
2
2
9x - 4y
9x2 = 3x
Luego
4y2 = 2y
9x2 - 4y2 = ( 3x + 2y) (3x - 2y)
64
SAETA
ALGEBRA
Término
común
Términos
opuestos
Extraer raíz cuadrada equivale a encontrar uno de los factores iguales del número al
cual se desea extraer raíz.
Ejemplos :
4
1) x
2 factores iguales
2
2
(x ) (x )
=
6
3
x4
3
= x2
=
(9r ) (9r )
81r 6 = 9r 3
3) 0.09 =
(0.3) (0.3)
0.09 = 0.3
2) 81r
¡CLARO YO SI PUEDO!
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
1. Calcula mentalmente la raíz cuadrada de las siguientes expresiones.
4
2 2
a) 81x
10
b) 121x y
c) r
10
d) x
4
2
y z
e) 16m
10
6
f) 9y
2. Relaciona las columnas asociando cada binomio con su factorización.
2
(
(
(
(
(
) x - 49
2
4
) m - 4m
2
)m -9
4
) y -16
6
) 25 - 9p
a) ( y+4) ( y-4)
b) (m+3) ( m-3)
c) ( x+7) ( x-7)
2
2
d) ( y +4) (y -4)
2
2
e) ( y +8) (y -8)
2
2
f) ( m+2m ) ( m-2m )
3
3
g) (5+3p ) ( 5-3p )
3. Completa los espacios vacíos con la expresión que haga falta para que las
igualdades se cumplan.
4
2
2
2
a) x - 81 = ( x + ) ( x - )
6
c) r - 49 = ( +7 ) ( - 7)
b) y - 4 = ( y + ) ( y - )
4
d) x - = ( + 1 ) ( - 1)
4. Los polinomios siguientes son diferencia de cuadrados, factorízalos .
a)
2
r -5
2
b)
6
m -4
c)
2
x -9
d)
6
16a - 4b
4
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Sabes ahora lo que continua es más fácil tu si puedes :
Factorizar un trinomio cuadrado perfecto.
65
SAETA
ALGEBRA
Hemos visto que el resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre de
trinomio cuadrado perfecto.
2
2
2
( x+y ) = x + 2xy + y
2
2
2
( x-y ) = x - 2xy + y
Si leemos las igualdades anteriores de derecha a izquierda, tenemos :
2
2
x + 2xy + y = ( x + y )
2
2
2
x - 2xy + y = ( x - y )
2
Por lo que podemos afirmar que un trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse en
un producto de 2 binomios iguales. Antes de averiguar cómo encontramos dicho
binomio debemos identificar si un trinomio es cuadrado perfecto o no, para lo cual
recordaremos las características de un trinomio cuadrado perfecto.
El cuadrado del
ler. término
1er. término
2
(x+y) =
2do. término
2
x
El cuadrado del
2do. término
El doble del
1ero. Por el 2do.
2do.
+por el 2xy
término
Por ejemplo: Observemos si el trinomio: 4x
características anteriores :
2
2
+
+ 16xy + 16y
y
2
cumple con las
2
1º) 4x es el cuadrado de 2x
2
2º) 16y es el cuadrado de 4y
3º) ¿Es 16xy el doble de (2x)(4y) ?
2
Veamos, 2 (2x)(4y) = 16xy ¡ Si lo es ! por lo que afirmamos que el trinomio 4x +
2
16xy + 16 y es cuadrado perfecto. Observa que para encontrar extraemos raíz
cuadrada a los término 4x2 y 16y2, así :
4x 2
= 2x
16 y 2 = 4y
Algunas veces los trinomios no aparecen ordenados, entonces para poderlos analizar
es necesario que primero los ordenemos en forma decreciente con respecto a una
variable, por ejemplo :
x2 + y2 + 2xy
x2 + 2xy + y2
ordenando en forma decreciente respecto a “x”
Al ordenar en forma decreciente el exponente de la variable se debe escribir de mayor
a menor. Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto veamos los siguientes
pasos :
¿ Es 36x2 + 100y2 - 120xy un trinomio cuadrado perfecto?
1º. Ordenamos el trinomio en orden decreciente Orden decreciente
respecto a una variable
respeto a “x”
con
66
SAETA
ALGEBRA
36x2 - 120xy + 100y2
1er. Término
2º. Extraemos raíz cuadrada al 1er. y 3er. término
3º
3er. Término
36x2
- 120xy + 100y2
6x
10y
2
36x - 120xy + 100y2
6x
10y
2(6x) (10y) = 120xy
Verificamos si el término central es el doble
producto de las raíces obtenidas.
Por lo tanto, el trinomio 36x2 - 120xy + 100y2 es cuadrado perfecto.
En resumen: Un trinomio es cuadrado perfecto si después de ordenarlo en
forma decreciente respecto a una variable, se cumple que el término central
es el doble del producto de las raíces cuadradas del 1er. y 3er. término del
trinomio.
Ejemplos:
a) 9 + x2 + 6x
ordenando queda x2 + 6x + 9
x2 + 6x + 9
x
3
b) x2 + 4p - 16
Por lo que x2 + 6x + 9
es cuadrado perfecto
¿ es 2(x) (3) = 6x ?
¡ Si lo es !
ordenando queda p2 + 4p - 16
p2 + 4p - 16
Por lo que p2 + 4p - 16
no es cuadrado perfecto
¿ es 2(p) (4) = 8p ?
p
4
¡ No lo es !
¡ Aplica tus conocimientos !
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
1. Escribe dentro del paréntesis una ( X ) si el trinomio es cuadrado perfecto.
2
a) x + xy + y
2
2
c) 4x + 32x + 64
2
2
(
)
b) y + z + 2yz
(
)
d) x - 8x + 4
2
(
)
(
)
2. Escribe dentro del cuadro el término que falte para completar un trinomio
cuadrado perfecto.
Ejemplo: a) x2 - 8x +
x
b) x2 +
?
+ 25
c) b 2 + 12b +
67
SAETA
ALGEBRA
luego 2(x) (?) = 8x
? = 8x
2x
? =4
de donde el término que falta es 16
d)
e) 4x2 +
+14x + 49
+ 16
f) y2 - 16y +
3. Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
2
a) x + 8x + 16 = ________________
2
c) 16x + 40x + 25 =________________
2
b) y - 16y + 64 = __________
2
d) 100z - 100z + 25 = _________
4. Resuelve el siguiente problema:
a) ¿ Cuánto mide de lado un cuadrado cuya área es x2 + 4x + 4 ?
¡ Continuemos !
2
TRINOMIOS DE LA FORMA x + bx + c
Lo que hay que aprender:
Factorizar un trinomio de la forma
común.
x2 + bx +c
en dos binomios con término
1. Dicho trinomio no tiene un factor común diferente de 1.
x2 + 7x + 10
x.x
7.x
5.2
No hay un factor que aparezca en los 3 términos
2. Tampoco podemos factorizarlo en un producto de dos binomios conjugados,
debido a que dicho trinomio no es una diferencia de cuadrados.
3. Además, no es un trinomio cuadrado perfecto, por que 7x no es el doble de
( x ) ( 10 ), lo cual significa que no podemos factorizarlo en un binomio al cuadrado.
Pero recordemos que al multiplicar dos binomios con término común, obtenemos un
trinomio cuadrático de la forma x2+bx+c; donde b representa la suma algebraica de
los términos no comunes y c el producto de los mismos.
(x+p) (x+q)
=
2
x
+ bx +
c
b=p+q
68
SAETA
ALGEBRA
c=p.q
Término
común.
Términos no
comunes.
Suma de
los no comunes.
Producto de
los no comunes.
Por lo que: Un trinomio de la forma x2 + bx + c puede factorizarse en un
producto de binomios con término común.
Regresemos al trinomio x2+7x+10, éste es de la forma x2+bx+c. Hagamos la
comprobación de ambos:
x2 +
7x + 10
7 = b
donde
10 = c
x2 +
bx +
c
Lo cual quiere decir que para factorizar el trinomio x2 + 7x + 10, debemos encontrar
dos binomios que tengan un término común. ¿ Cómo lo hacemos ?
1. El término común lo podemos obtener si extraemos raíz cuadrada al término
2
cuadrático ( x ).
2
x + 7x + 10 = ( x
x
)
(x
)
término común
2. Para encontrar los términos no comunes buscamos dos números que cumplan las
siguientes condiciones:
p + q
p . q
=
=
7
10
( sumados den 7 )
( multiplicados den 10 )
Primero veamos los factores de 10
positivo, ambos factores son los dos
positivos o los dos negativos.
10
( 10) . ( 1 )
( 5). (2)
(-10 ) . (-1 )
( -5 ) . (-2 )
Ahora veamos cuáles de los factores
anteriores suman 7.
10
.
( 10 ) . ( 1 ) ---------- 10 + 1 = 11
( 5). (2)
5+2 = 7
(-10 ) . (-2 )
(-10)+(-2) = -12
( -5 ) . (-2 )
( -5 )+(-2) = -7
Luego 5 y 2 cumplen las condiciones, por lo que:
x2 + 7x + 10 = ( x + 5 ) ( x + 2 )
69
SAETA
ALGEBRA
Por lo tanto: Al factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c formamos un
producto de binomios con término común, donde:
1. El término común es obtenido al extraer la raíz cuadrada al término
cuadrático (x2 ).
2. Los términos no comunes se obtienen al encontrar dos números que
cumplan las siguientes condiciones:
p+q = b
y
p.q = c
Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios.
1.
2
x - 5x + 6
2
a) Checamos que dicho trinomio sea de la forma x + bx + c
2
x + bx + c
2
x - 5x + 6
observa que el coeficiente del término cuadrático debe ser 1.
b) Obtenemos el término común
2
x - 5x + 6 = ( x
)
(x
)
x
término común
c) Como b = -5 y c = 6 Buscamos dos números que multiplicados nos de 6 y
sumados -5, para encontrar los términos no comunes.
(
)(
) = 6
y
(
)+(
) = -5
Luego como 6 es positivo, tenemos que los factores pueden ser los dos positivos, o
los dos negativos, así:
6
¿ Cuáles de dichos factores
suman -5 ?Veamos
(6).(1)
(- 6 ) . (- ¡ )
(3).(2)
(6) + (1)=7
( - 6 ) + ( - 1 ) = -7
(3) +(2)=5
(- 3 ) + ( - 2 ) = -5
luego
Los términos
comunes son:
-3 y -2
2
Por lo que el trinomio puede factorizarse así: x - 5x + 6 = ( x - 3 ) ( x - 2 )
2
2. y + y - 30
2
a) Como es de la forma x +bx+c, encontramos el término común.
2
y + y - 30 = ( y
) (y
)
70
SAETA
ALGEBRA
b) Buscamos dos números tales que: ( ) . ( ) = -30 y ( )+ ( ) = 1; como el
producto ( -30 ) es negativo un factor debe ser positivo y el otro negativo; y como la
suma ( 1 ) es positiva el mayor de los factores es positivo, luego tenemos las
siguientes posibilidades:
30
( 30 ) . ( 1 )
( 15 ) . (-2 )
( 6 ) . (-5 )
¿ Cuál es la suma ?
Veamos:
30
15
10
6
+
+
+
+
( -1 )
( -2 )
( -3 )
( -5 )
= 29
= 13
= 7
= 1
Por lo que los términos no comunes son 6 y 5, de donde:
2
y + y - 30
= (y+6) (y -5)
2
No todos los términos que tienen la forma x +bx+c son factorizables en el conjunto de
2
2
los números enteros, por ejemplo: x + 3x + 5 es de la forma x + bx + c
Si tratamos de encontrar dos números que multiplicados nos den 5, tenemos:
5
(5).(1)
(-5 ) . (-1 )
Pero
5 + 1
=
( -5 ) + ( -1 ) =
6
-6
Por lo que no existen dos números enteros que multiplicados nos de 5 y sumados 3,
cuando esto sucede decimos que dicho trinomio no es factorizable en el conjunto de
los números enteros.
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1º la suma de sus raíces cúbicas. 2º el cuadrado de la primera raíz, menos
el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo:
Factorar x 3  1
La raíz cúbica de x 3 es X ; la raíz cúbica de 1 es 1. Según la regla anterior
X 3  1 = ( X + 1)
1er. paso
X
2



 X 1  12 =  X  1 X 2  X  1
2º paso
resultado
Ejercicio:
1) a 2  27
2)
8 x3  y 3
71
SAETA
ALGEBRA
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
1º La diferencia de sus raíces cúbicas .
2º El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el
Ejemplo
: de la segunda raíz.
cuadrado



a3  8  a  2 a 2  2a   22  a  2 a 2  2a  4
1er. Paso
Ejercicio:
2º paso

resultado
1) x 3  27
2) 27 a 3  b3
TRINOMIOS DE LA FORMA a x + bx +c
Son trinomios de esta forma :
2 x 2  11x  5
3a 2  7 a  6
10n 2  n  2
que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer
termino tiene un coeficiente distinto de 1.
Ejemplo:
2x2 +11x + 5
Se factoriza de la siguiente manera .
1.- Se indica la multiplicación de cada uno de los términos de la expresión por el
coeficiente del término cuadrático.
 
2 2 x 2  211x   2(5)
2.- Se efectúa la multiplicación del 1º y del 3º término y del 2º los coeficientes se
invierten
4 x 2  112 x   10
pero 4x2 = (2x)2
Ahora el trinomio queda así
2 x 2
 112 x   10
3.- Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior, el 1º termino de
cada factor será la raíz cuadrada del 1er término del trinomio, o sea 2x:
(2x
)
(2x
).
4. Los otros términos se encontraran buscando los números que multiplicado nos den
el 3º término del trinomio y sumado el coeficiente del segundo término.
72
SAETA
ALGEBRA
2 x 5 = 10
10 x 1 = 10
-2 x –5 =10
-10 x –1 = 10
(2x + 10) (2x+1)
2+5=7
10 + 1 = 11
-2+(-5)= -7
-10+ (-1)=-11
Son los números
buscados
5.- Como la expresión se multiplica por 2 ahora se divide entre este mismo número .
Pero factorizado.
(2x + 10)
2 x
(2x+1)
1
Resultado: (x + 5 )
(2x + 1)
Actividad de aprendizaje:
1.- Factorizar los siguientes trinomios
a) 3x 2  5 x  2
b) 4n 2  n  33
c) 6 x 4  5 x 2  6
Ya que analizaste y comprendiste los ejemplos anteriores, te invitamos a
resolver las
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
1. Encuentra dos números "p" y "q" tales que cumplan con las condiciones que se
señalan. Observa el ejemplo.
a)
b)
c)
p.q
12
20
56
p+q
8
9
15
p
6
q
2
d)
e)
f)
p.q
12
-15
- 32
p+q
-7
-2
4
p
q
2. Factoriza los siguientes trinomios
a) x2 - 3x - 10 = ____________
b) m2 + 9m + 14 = ___________
c) y2 - 8y + 12 = ____________
d) x2 + 9x - 36 = ___________
e) x10 - 10x5 + 24 = __________
f) y4 - y2 _ 2 = ____________
3¿ Cuáles serán las dimensiones de un rectángulo cuya área es de y2 - 5y + 6 ?
A = Largo x ancho
73
SAETA
ALGEBRA
A = y2 - 5y + 6
¡ Demuestra lo que aprendiste!
Actividades de aprendizaje
I. Anota en el paréntesis de la derecha la letra que corresponde a la respuesta que
complete correctamente lo que se pide:
1. Es el término que debe agregarse a la expresión " x 2 + 12x +
" para formar
un trinomio cuadrado perfecto ............................................................(
)
a) 16
b) 36
c) 144
d) 9
2. Es el máximo factor común del trinomio 8x2y + 24yz + 12y2z ............. .(
a) 8xyz
b) 2xy
c) 4x
3. Es la factorización del trinomio x2 - 13x - 30 .. ..................
a) ( x2 - 3 ) ( x - 10 ) b) ( x - 10 ) ( x + 3 )
c) ( x + 5 ) ( x - 6 )
)
d) 4y
....................(
)
d) ( x - 15 ) ( x + 2 )
4. Es el polinomio que representa la medida del lado de un cuadrado cuya área es
x2 - 18x + 81 ...................................................
.................................(
)
a) x - 9
b) x + 9
c) x2 - 9
d) ( x - 9 )2
II. Factoriza los siguientes polinomios. Te recomendamos los siguientes pasos:
1º
2º
3º
4º
Observa si tiene factor común
Si es un binomio, analiza si es una diferencia de cuadrado
Si es un trinomio, analiza si es cuadrado perfecto
En caso de que el trinomio no sea cuadrado perfecto observa si es de la forma
x2 + bx + c y si es factorizadle en el conjunto de los número enteros.
a) x2 + 6x + 9 = __________
b) x2 + 4x = ___________
c) m2 - 25 = ___________
d) y2 + 6y + 8 = ___________
e) 8a2 + 6a - 12a3 = ___________
f) y2 - 36z2
=
____________
2
g) x - 2x - 15 =
____________
2
h) y - 15y + 36 = ____________
a+3
III. Resuelve el siguiente problema aplicando factorización:
?
¿ Cuánto mide de largo un rectángulo si tiene una
superficie de a2 + 7a + 12 y su ancho mide (a + 3 )
a2 + 7a + 12
74
SAETA
ALGEBRA
Largo = ___________________
¿Has oído la siguiente frase? “La duda es el principio del conocimiento“.
Te será de gran utilidad el consultar con tu asesor este tema. Una vez aclaradas tus
dudas, te invitamos a discutirlas, resolviendo estas actividades:
ACTIVIDADES REMEDIALES.
a) Si sabemos que d = vt, encuentra la velocidad de un automóvil si recorre una
distancia de ( x2-50x+600 ) km en un tiempo de ( x-30 ) hrs.
t = x - 30
x2 - 50x + 600
b) ¿ Cuánto mide de lado el cuadrado de la derecha si tiene un área de
x2-14x+49?
Lado = ______________
x2 - 14x + 49
( ECUACIONES CON UNA INCOGNITA )
TEMA INTEGRADOR: EL SALARIO.
75
SAETA
ALGEBRA
OPERACIONES DE APERTURA:
1. Comprender el lenguaje escrito para pasarlo al lenguaje algebraico
2. analizar materiales escritos y relacionarlos con el lenguaje algebraico, haciendo
la expresión algebraica correspondiente.
3. Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes, hacer planteamientos sencillos de
lenguaje coloquial a lenguaje algebraico.
4. Utilizar los signos de agrupación en expresiones algebraicas sencillas
PROBLEMA:
Tres muchachos ganaron $ 960.00. Enrique ganó $ 24.00 menos que
Eduardo y Esteban ganó 10 veces lo que enrique.
¿ Cuánto ganó cada uno de ellos ?
5. En forma individual determina una estrategia de solución para conocer cuanto
ganó
cada uno de ellos.
6. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas señalando
coincidencias y diferencias.
7. Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo
8. Presenta la estrategia al grupo.
9. Discusión del grupo por las estrategias y resultados obtenidos en el problema.
ACTIVIDADES DE DESARROLLO:
10 Analizar los materiales escritos relacionados con el lenguaje algebraico y con
los contenidos que puedan corresponder al tema integrador por equipo como son:
76
SAETA
ALGEBRA
a) Lenguaje algebraico.
b) Expresión algebraica
c) Signos de agrupación
d) Leyes de los signos
e) Operaciones algebraicas
11.Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados, con el material
Analizado.
12. Socializar en el equipo y exponer al grupo los conceptos y principios utilizados
en la
solución del problema.
13. Ejemplificación de procedimientos de representación de enunciados en forma
Algebraica y operaciones con expresiones algebraicas.
ACTIVIDADES DE CIERRE:
14.
Plantear por equipos las diferentes formas de representar el lenguaje
algebraico y de realizar operaciones algebraicas.
15. Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución.
16. Resolver los ejercicios propuestos por el profesor
17. Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.
PROBLEMA:
77
SAETA
ALGEBRA
Tres muchachos ganaron $ 960.00. Enrique ganó $ 24.00 menos que
Eduardo y Esteban ganó 10 veces lo que Enrique.
¿ Cuánto ganó cada uno de ellos ?
ANALISIS DE LA INFORMACION Y PLANTEAMIENTO
Tres muchachos ganaron $ 960.00
+
+
Enrique
=
Eduardo
Esteban
ganó “x”
Ganó $24.00 menos
ganaron
que Eduardo
muchachos
$ 960.00
ganò 10 veces
Lo
lo que Enrique
que
los tres
Lenguaje algebraico:
X – 24
+
_X_
+
10 ( x – 2 4)
_X_
+
10x – 240)
=
$ 960.00
Eliminamos el paréntesis:
X – 24
+
=
$ 960.00
Pasamos al 2º miembro de la igualdad los valores y obtenemos:
X
+
_X_
+
10x
=
$ 960.00 + 24 + 240
Reducimos y obtenemos:
12 X
=
$ 1,224.00
X
=
$ 1,224.00
12
Despejamos la X
=
$ 102.00
Sustituimos las incognitas por los valores:
+
Enrique
Ganó $24.00 menos
ganaron
+
Eduardo
ganó “x”
=
$ 960.00
Esteban
ganò 10 veces
Lo
que
78
SAETA
ALGEBRA
que Eduardo
muchachos
lo que Enrique
los tres
X – 24
+
_X_
+
10 ( x – 2 4)
=
$ 960.00
$ 78.00
+
$ 102.00
+
$ 780.00
=
$ 960.00
PROBLEMA:
Un obrero gana $ 50.00 a la quincena, si cada año aumenta su sueldo el triple, por la
inflación económica que existe en su país.
¿ Cuál sería su sueldo al 5º año ?
¿ Cuál será la expresión algebraica para conocer el sueldo del obrero en “n”
años ?
ANALISIS DE LA INFORMACIÓN Y PLANTEAMIENTO:
Años
1
Incremento:
Sueldo:
$ 50.00
2
3
Triple
Triple
$ 150
$ 450.00
4
Triple
$ 1,350.00
5
6
Triple
Triple
$ 4,050.00
$ 12,150.00
“n”
¿?
Su sueldo en el quinto año sería
1. Hagamos una tabla apoyándonos en el dibujo anterior, en donde “x” es el salario
AÑOS
Lenguaje algebraico ( Salarios )
1
2
x
3x
79
SAETA
ALGEBRA
3
4
5
6
......
n
3(3x)
(3) (3) (3x)
(3) (3) (3) (3x)
(3) (3) (3) (3) (3x)
3 (n–1) x
la expresión algebraica para conocer el sueldo del obrero en “n” años es:
2. ECUACIONES LINEALES
Hablemos de cine ya que tú eres un experto en el séptimo arte y para comenzar
realiza una reseña sobre la última película de moda en el cine (Ejemplo Spiderman II),
sobre la cantidad de gente que asistió, el tipo de servicios, siguiente estreno, Enfatizar
sobre el gran consumo de bebidas, palomitas, etc. Pregúntate cuanto ganará la
empresa por la venta de palomitas.
De la misma forma hablemos de los temas siguientes
1.- Determinar los requerimientos para la fabricación de palomitas de maíz.
2. ¿Que equipo se requiere?
3. ¿Cuál es el costo de dicho equipo?
4.- ¿Cuál es el costo de materia prima para una bolsa de palomitas?
5.- Obtener los costos para producir 1 bolsa, 2, 3, 4, 5...10.
Contestar:
6. ¿Cuántas bolsas elevarán el costo a 3900?
7.- ¿Cuanto nos cuesta producir 40 bolsas?
Si quisiéramos establecer una empresa de este tipo tendríamos que investigar
sobre:
8. Reflexiona sobre la inversión necesaria para llevar a cabo una microempresa
9. Realiza el a un análisis por escrito sobre el comportamiento de una ecuación lineal
10. Visualiza que puede realizar otra ecuación lineal para otro ejemplo de otro tipo o
área
11. Intercambien respuestas dadas a los ejercicios en la asesoría.
Cada uno de ustedes se ha encontrado indudablemente con prestidigitadores que
pueden adivinar números. Como regla un prestidigitador
propone realizar
operaciones del siguiente carácter: pensar un número cualquiera, adicionar dos,
multiplicar el resultado por tres, restar cinco, restar el número pensando etc; en total
cinco o una decena de operaciones. Luego el prestidigitador pide que le comuniquen
el resultado y, al obtener la respuesta, enseguida comunica el número pensado.
80
SAETA
ALGEBRA
Claro está que el secreto de la prestidigitación es muy fácil y se basa en las mismas
ecuaciones. Supongamos que el prestidigitador te haya propuesto a ti a utilizar un
programa de operaciones indicado en la columna izquierda de la tabla siguiente:
piensa un número
adiciona dos
el resultado multiplícalo por tres
resta cinco
resta el número pensado
multiplica por dos
resta uno
x
x+2
3x+6
3x+1
2x+1
4x+2
4x+1
Luego el prestidigitador pide que le comuniquen el resultado final y, al obtenerlo, dice
al instante el número pensado. ¿ Cómo lo hace?
Para comprender esto, hay que mirar la columna derecha de la tabla donde las
indicaciones del prestidigitador están traducidas al idioma del álgebra. Mirando esta
columna se puede comprender, que si tu has pensado cualquier número, entonces
realizadas todas las operaciones se obtendrá 4x + 1. Conociendo este resultado no es
difícil adivinar el número.
Supongamos, por ejemplo, que tú hayas dicho al prestidigitador que el resultado es
33. Entonces el prestidigitador resuelve mentalmente muy rápido la ecuación 4x + 1=
33, y obtiene la respuesta x = 8. Es decir, hace falta restar uno del resultado final ( 331=32 ) y luego el número obtenido se divide entre 4 ( 32/4 = 8 ), el resultado de esta
división es el número pensado ( 8 ). Si el resultado final es 25, entonces el
prestidigitador hace mentalmente las siguientes operaciones 25-1=24, 24/4 = 6 y te
comunica que has pensado el número 6. Como se ve todo es muy fácil. El
prestidigitador sabe de antemano que hacer al resultado para obtener el número
pensado.
“Mejor que no le permita dividir pues la división complica mucho la prestidigitación”.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
En este momento haremos un paréntesis y hablaremos de temas de interés para
todos ustedes empesaremos por :
Dar a conocer el calendario del nuevo modelo curricular del SAETA.
81
SAETA
ALGEBRA
Que el estudiante programe el tiempo que va a durar para contestar esta
asignatura.
Se le pide al alumno SAETANO que realice una tabla de actividades diarias y
semanales, en que asistirá a asesorías.
Pedir que tome en cuenta los días festivos y las vacaciones
Ahora les toca a ustedes determinar lo siguiente
1.-.Determinar en base al calendario de actividades los días que asistirán a asesoría y
los días que no vendrán tiempo completo.
2.- Hacer comparaciones en equipo.
3.- Determinar en forma individual y grupal el gasto económico que realizan en el mes
para asistir a asesorías.
4.- ¿Cuánto gastarían en el semestre y en el año?.
5.- ¿Cuánto se ahorrarán por los días que no asistirán a las asesorías?
6.- ¿Cuánto se ahorraran en el mes, al semestre y al año?
7.- ¿Para cuantos días les alcanzaría venir a asesoría con $600.00?
8.- ¿Cuántos días se tendrían que suspender asesorías para que se ahorren $200.00
al mes?
9.- ¿Cuántos días tendrían que tomar raite para ahorrarse $800.00 en 6 meses?
Para concluir con este apasionante tema realicemos lo siguiente
1.- piensa analíticamente , sobre lo que estas invirtiendo económicamente para asistir
a la escuela
2.- Realiza un análisis de las operaciones efectuadas en el desarrollo del problema.
3.- Resolver ecuaciones propuestas en antología.
4.- Intercambiar respuestas con tus compañeros durante la asesoría.
5.- Exposición de resultados.
Entrando en materia diremos una ecuación es una afirmación matemática que utiliza
un signo de igual para establecer que dos expresiones representan el mismo número
o son equivalentes.
Aquella ecuación que contiene únicamente números puede ser cierta o falsa, por
ejemplo: 24 + 6 = 30 es cierto, pero 24 + 6 = 31 es falso. Una ecuación que contiene
al menos una variable es una afirmación abierta y no es ni cierta ni falsa, por ejemplo:
x+6=30 no es ni cierta ni falsa, porque la variable “x” no ha sido sustituida por ningún
número.
Al conjunto de números de donde se puede elegir los valores para la variable se llama
" Conjunto de reemplazo”. El sustituto de la variable que hace que la ecuación sea
cierta se llama " Solución de la ecuación". Podemos resolver una ecuación
encontrando todas las soluciones. La colección de todas las soluciones se llama "
Conjunto solución " de la ecuación.
Ejemplo:
Resolver x + 38 = 42
82
SAETA
ALGEBRA
Conjunto de reemplazo
{1, 2, 3, 4, 5,}
Solución:
Sustituye la variable "x" por cada número del conjunto de reemplazo.
x
1
2
3
4
5
42
42------Falsa
42------Falsa
42------Falsa
42------Cierta
42------Falsa
+
+
+
+
+
+
38
38
38
38
38
38
=
=
=
=
=
=
Entonces el número que hace cierta la
ecuación es la solución x = 4.
Esta parte de las matemáticas en que ahora nos encontramos se refiere a las
ecuaciones cuyas variables representan cantidades desconocidas, a estas variables
se les llama “Incógnitas ” , que generalmente se representan por las últimas letras del
alfabeto: (v, x, y, z).
CONCLUSIÓN: En una ecuación con incógnitas (no en todas las ecuaciones), la
igualdad sólo es cierta para uno o algunos valores de la variable, ( no para todos ).
Nuestra tarea es descubrir ese o esos valores.
En efecto, es necesario que tú obtengas esos valores y encuentres en ello la utilidad
de las ecuaciones. Para esto pon atención a lo siguiente:
Ejemplo:
* La población “P” de una comunidad aumentó 5, 689 personas durante cierto año,
haciendo un total de 157, 743. ¿Cuántas personas había en tu comunidad antes del
aumento?
Resolver la ecuación:
P + 5, 689 = 157, 743
P = 157,743-5,689
Despejando nos queda: P = 152,054
En toda ecuación podemos distinguir dos miembros :
3x + 4 - 6x = 8x - 9 - 3x.
Primer miembro:
Todos los términos que están antes del signo igual.
3x + 4 - 6x
Segundo miembro: Todos los términos que están después del signo igual.
8x - 9 -3x
Signo igual (= ):
Es el que separa a los miembros de una ecuación
Para aprovechar esto en nuestro estudio, necesitas familiarizarte con las siguientes
propiedades de las ecuaciones.
83
SAETA
ALGEBRA
a) Si multiplicamos los dos miembros de una ecuación por un mismo número distinto
de cero, obtenemos una nueva ecuación, que tiene la misma solución que la ecuación
original.
b) Si dividimos los dos miembros de una ecuación entre un mismo número distinto de
cero, obtenemos otra ecuación, pero ambas tienen la misma solución.
Ejemplo: Si consideramos la ecuación (m) (15) = 165 , cuya solución es 11.
a) Multiplicamos sus 2 miembros por 10.
(m) (15) (10) = (165) (10)
Obtenemos la ecuación.
(m) (150) = 1650
Cuya solución también es el número 11, pues
(11) (150) = 1650
b) Dividimos los 2 miembros de nuestra ecuación entre 5:
(m) (15) = 165
5
5
Esta nueva ecuación, aunque distinta de la primera también tiene por solución 11,
pues al hacer la sustitución tenemos que:
(11) (15) = 165
5
5
Existen diferentes tipos de ecuaciones, es el momento de que las conozcas.
2.1.2. DESPEJE DE FORMULAS
Para el desarrollo de este tipo de ecuaciones es necesario realizar los siguientes
pasos:
Si retomamos la ecuación
3x + 4 - 6x = 8x - 9 - 3x
Primer Paso:
Agrupar en el primer miembro a todos los términos que contienen la incógnita y en el
segundo miembro agrupar a todos los términos independientes o que no contienen a
la incógnita.
Cuando cambies a un término de un miembro a otro, siempre cambiará de signo.
3x - 6x - 8x + 3x = - 9 - 4
Observa que los términos 8x-3x estaban en el segundo miembro y al pasar al primero
cambian de signo.
El término 4 que estaba en el primer miembro pasó al segundo miembro con un signo
contrario.
84
SAETA
ALGEBRA
Cuando bajamos a un término de un miembro, al mismo miembro pasará con el
mismo signo.
Segundo paso:
Agrupados los términos en el primero y segundo miembro realizamos una reducción
de términos semejantes en ambos miembros:
3x - 6x - 8x + 3x = - 9 - 4
- 8x = - 13 Reducción de términos semejantes.
x = - 13 despejamos la incógnita.
- 8
x = 13 Simplificar el producto y su signo en
8 caso de tener la posibilidad. En este
caso aplicamos la ley de los signos
(-) (-) en la fracción y obtendremos
que el signo será positivo.
Ejemplo:
Si multiplicamos un número por 32 obtenemos 576 ¿ Cuál es ese número ?
Ecuación:
x . 32 = 576
Solución:
x = 576
32
Respuesta:
x = 18
Nota: Es necesario que sepas que además de las ecuaciones lineales y con números
enteros, existen también las lineales fraccionarias.
Ejemplo:
2 + 3 = 7
3x 5x
Utiliza lo aprendido sobre ecuaciones y resuelve los problemas que se te
plantean
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
Resuelve los problemas usando ecuaciones de primer grado.
a) Al dividir un número entre 45 se obtiene 1080 como cociente ¿Qué número es
Ese ?
85
SAETA
ALGEBRA
b) La séptima parte de un número es 105 ¿Cuál es ese número ?
c) El número 90 es 6 veces mayor que un número X ¿Qué número es X ?
d) El número 21 es el cociente de “n” entre 42 ¿Qué número es n?
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA, APLICADAS
A PROBLEMAS REALES.
Trabajaremos ahora de lo que se compra en la tienda comercial
 Realiza un listado de productos que compraste el día de hoy en la tienda comercial
de tu localidad.
 Determina el total de artículos que compraste.
 Anota el costo de cada uno de los artículos.
 Al momento de pagar, ¿te regresaron cambio? ¿Cuál fue la cantidad que te
regresaron?
¿Como crees que el cajero acertó en la cantidad que tu pagaste?
Acude a un libro de Álgebra y lee el contenido del tema “ecuaciones lineales con
una incógnita”
Los gastos efectuados en tres compras consecutivas en el supermercado fueron
$87.00, $91.00 y $82.00 ¿Cuánto tendrá que ser su gasto en una cuarta compra
para tener un promedio de $80.00?
¿Qué te piden encontrar?
¿Cuál es el dato conocido?
Comprueba tu resultado
Compara tus resultados con otros estudiantes
 Elabora los ejercicios de la antología
Desde luego que ya sabes el manejo correcto de las ecuaciones lineales ahora
observa el problema siguiente
Ejemplo: Don José desea vender un hato de ganado vacuno el cual pesa 6 veces
más que el hato de Don Luis. Si el hato de Don José pesa 18 toneladas ¿Cuánto
pesará el hato de Don Luis?
6x = 18 toneladas.
x = 18
6
x = 3
A continuación se te presentan varios problemas, plantea su solución en forma de
ecuación.
PROBLEMAS.
86
SAETA
ALGEBRA
1.
Observando un objeto con una lupa, se ve 4 veces mayor que lo que mide en la
realidad. Si la imagen de un objeto en la lupa mide 76mm. ¿Cuántos milímetros
mide realmente el objeto?
2.
Una granja produce "N" huevos cierto día y se llenan 90 cajas al empacarlos. Si
en cada caja caben 360 huevos ¿Cuál fue el número de huevos que se produjo
en ese día?
3.
Después de entregar 2,575 prendedores publicitarios para la campaña, al político
le quedaron 4,925 ¿Cuántos prendedores publicitarios tenía al principio de su
campaña?
4.
En la hora en que poca gente ve la T.V., un comercial cuesta $ 235,650. Esto
es $ 195,750 menos que su costo durante la mejor hora. ¿Cuál será el costo del
comercial durante la mejor hora ?
¡DEMUESTRA LO APRENDIDO!
Actividades de aprendizaje
1. Resuelve y verifica mentalmente las siguientes ecuaciones:
n+2 = 8
t - 300 = 700
8+b = 9
24 = 5 + y
a+4 = 9
125 + z = 200
0 = n-3
2. En el siguiente cuadro, la suma de los números que aparece en cada fila, columna
o diagonal es la misma.
x
12
n
2
9
16
14
y
7
= 27
Plantea las ecuaciones necesarias y resuélvelas para encontrar x, y, n.
3. Usar las variables a y b para completar esta generalización sobre la solución de
ecuaciones de la forma x - a = b para x:
x = _____ ? _____
4. Plantea y resuelve ecuaciones en donde la suma sea 2,475 y 1,697, se sume a
un número representado por la variable "n".
5. Plantea y resuelve una ecuación en donde 3,478 se reste al número representado
por la variable "y" para producir la diferencia 5,607.
87
SAETA
ALGEBRA
¿TIENES DUDAS?
Si se presentara algunas dudas recuerda que tus tutores están contigo para
apoyarte en esta gran aventura.
2.2 ECUACIONES CUADRATICAS.
En nuestra vida diaria nos encontramos con problemas que no podemos
resolver mediante ecuaciones de primer grado. En este apartado te invito a
conocer un nuevo tipo de ecuaciones de gran utilidad humana.
Los precios de algunos productos en el campo están muy bajos es por eso que
todos los productores requieren de una buena planeación de sus cultivos.
Investiga el aumento del precio de trigo que tuvo durante el mes de julio del 2004 así
como sus modificaciones de precio alcanzando máximos y a su vez como decreció en
sus precios durante un periodo de un mes.
 Determinar máximos y mínimos de precios.
 Costo de los aumentos
 Al subir y bajar los precios hubo cambios ¿Cuántos?
 Como se obtuvieron los resultados
 Comparar métodos de resultados y solución
 Recuperar los conocimientos adquiridos
Es muy importante realizar un intercambio de resultados
 Compara tus anotaciones con la de tus compañeros en la asesoría.
 Forma un equipo con los que encuentres similitud en tus respuestas y de
manera conjunta elaboren una sola propuesta
 Expongan sus resultados al grupo.
Con la finalidad de encontrar algunas respuestas a este gran problema :
En forma grupal durante la asesoría realicen un análisis de las causas principales que
llevaron a las diversas respuestas.
Unas de las solicitudes de asesoria que solicita la gente de la comunidad a esta
escuela son las relacionadas a enfermedades en sus animales y algunos casos como
el siguiente
El Sr. Curry de Villa Juárez Nayarit desea iniciar el cultivo de un huerto de verduras
de 100 metros cuadrados. Puesto que sólo tiene 30 metros de cerca de alambre para
pollos, sólo cerca 3 lados de un rectángulo y utiliza la pared de su gallinero como
cuarto lado del cercado.
88
SAETA
ALGEBRA
¿ Qué ancho tiene el huerto ?.
Al tratar de resolver un problema, puedes hacer uso de varios recursos, como son
figuras que muestren la situación real.
GALLINERO
x
x
30 - 2x
Sea x = número de metros de ancho.
30 - 2x
= lo largo en metros
x ( 30 - 2x ) = área en mts2
Es decir:
x ( 30 - 2x ) = 100
ó también
30x - 2x2 - 100 = 0
Esta última ecuación te representa la situación real de la que habla el problema, y si tú
la resuelves estarás dando respuesta a la pregunta¿Qué ancho tiene el huerto (x = ?)
2.2.1. METODOS DE SOLUCIÓN
Existen varios métodos para resolver este tipo de ecuaciones. Antes de abordarlos es
importante que conozcas la siguiente información:
Las ecuaciones donde la incógnita aparece con exponente 2, se llaman
Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas; con ellas podrás dar solución
a muchos problemas prácticos.
BLOQUES
Apertura
Desarrollo
ACTIVIDADES
1. Leer cuidadosamente el siguiente problema
Don José tiene dos máquinas que producen tortillas de diferentes
radios, el radio de la tortilla grande es 3 unidades mayor que el
radio de la tortilla chica. Sabiendo que el área de la tortilla grande
es el doble del área de la tortilla chica; queremos saber el radio de
cada tortilla.
2. Investiga la fórmula para calcular el área de un círculo.
3. Tu asesor te proporcionara la fórmula general.
1. Determina las áreas de cada tortilla y relaciónalas entre si y
89
SAETA
Cierre
ALGEBRA
trata de obtener una ecuación (una ecuación cuadrática o de
segundo grado)
2. La ecuación que obtengas la expondrás anate tus
compañeros en la asesoría y el asesor concluirá al final el
tema.
3. En la asesoría los alumnos identificarán los elementos de la
ecuación de 2do. grado (término cuadrático, lineal e
independiente).
4. En la asesoría los estudiantes aplicarán la fórmula general
para obtener la respuesta (individualmente).
5. Un alumno del grupo expondrá el desarrollo de la aplicación
de la fórmula general para obtener el radio.
Los alumnos individualmente resolverán ecuaciones de segundo
grado utilizando la fórmula general.
Ecuaciones cuadráticas:
La ecuación ax2 + bx + c = 0 ( a  0 ) es una ecuación de 2º grado ó cuadrática.
Ejemplo:
a) x2 - 4 = 0
b) x2 - x - 6 = 0
c) 8x2 - 2x = 1
d) x2 = 6x - 2
a
a
a
a
= 1; b = 0;
= 1; b = - 1;
= 8; b = - 2;
= 1; b = ?;
c = -4
c = -6
c = ?
c = ?
NOTA: Las ecuaciones c y d no encajan en el patrón ax2 + bx + c = 0, pero se
pueden transformar y darles la forma de éste, así: 8x 2 - 2x = 1, puede
escribirse en la forma
8x2 - 2x = 0 y la ecuación x2 = 6x - 2 puede escribirse x2 - 6x + 2 = 0
1.
Resolver la ecuación ax2 + bx + c = 0
a) Dividir entre a:
ax2 + bx = - c
a
a
a
x2 + b x
a
= -c
a
b) Se agrega la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado (en ambos
miembros): para completar un trinomio cuadrado perfecto.
90
SAETA
ALGEBRA
x2 + b x + ( b )2 = - c + ( b )2
a
2a
a
2a
T. C. P.
c) Se factoriza el T.C.P. formado y se simplifica el 2º miembro :
( x + b )2 = - c +
2a
a
( x + b )2
2a
b2 .
4a2
= - 4ac + b2 .
4a2
d) Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros:
( x + b )2 = +
2a
x + b
2a
- 4ac + b2 .
4a2
- 4ac + b2 .
2a
= +
e) Se despeja “ x “:
x
=
- b
2a
x
=
-b
b2 - 4ac
2a
+
.
b2 - 4ac
+
2a
Esta última expresión es la fórmula general para resolver cualquier ecuación de 2º
grado, pero el valor de b2 - 4ac tendrá que ser un número mayor o igual a cero, ( es
decir que no sea negativo ), ya que la raíz cuadrada de un número negativo no existe.
La aplicación de esta fórmula es el primer método que conocerás para resolver una
ecuación cuadrática.
¡Retomemos el problema inicial!
Y resolvamos la ecuación -2x2 + 30x - 100 = 0, utilizando la fórmula general para
obtener el valor de x ( ancho del huerto )
- 2x2 + 30x - 100 = 0
ax2 + bx + c = 0
Fórmula:
a = -2;
b = 30;
c = - 100
+
91
SAETA
ALGEBRA
x
=
b2 - 4ac
-b
2a
Sustitución:
x
=
-1 (30)+
x
=
- 30+
(30)2 - 4 (-2) (-100)
2 (- 2)
900 - 800
-4
x
=
- 30+
100
-4
x
=
- 30 + 10
-4
x1
=
- 30 + 10
-4
=
- 20
- 4
= +5
x2
=
- 30 - 10
-4
=
- 40
-4
= + 10
Respuesta:
x1 = 5 metros de ancho del huerto.
x2 = 10 metros de ancho del huerto.
Es decir, se pueden construir 2 huertos diferentes con medidas de 5 m de
ancho por 20 m de largo, y otro de 10 m de ancho por 10 m de largo.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
Resuelve las siguientes ecuaciones, por la fórmula general:
1.
6x2 - 11x - 10 = 0
2.
= 0
3.
x2 + 5x - 1
3
2x2 + 5x + 7
4.
3x2 - 2x - 6
= 0
= 0
Te invitamos a resolver el siguiente problema:
92
SAETA
ALGEBRA
" Un terreno rectangular de 13.23 m2 es tres veces más largo que ancho. Se divide en
un rectángulo que es el doble de largo que de ancho y un cuadrado, hallar las
dimensiones de cada uno. "
( lo largo y lo ancho )
2x
Respuesta
x
13.23 m2
3x
Otro método de resolución de ecuaciones de 2º grado es el método de factorización:
Este método es recomendable, cuando la ecuación de 2º grado es incompleta, es
decir, que tenga la forma ax2 + bx = 0 ( c = 0, puesto que no aparece )
Ejemplos:
Resolver las ecuaciones siguiente por el método de factorización
1.
x2 + 2x = 0
a = 1;
b = 2;
c = 0
a) Se factoriza el 1er miembro:
x(x+2) = 0
b) Se iguala a cero cada factor y se resuelven por separado las ecuaciones
resultados:
x = 0
x +2 = 0
x = 2
Por lo tanto, las respuestas son:
2.
x=0 y x=2
2x2  6x = 0
a)
2x ( x  3) = 0
b)
2x = 0
x = 0
2
x = 0
La solución es:
x
= 0
x 3 = 0
x = 3
y
x = 3
93
SAETA
3.
ALGEBRA
5x2  3x = 0
a)
x ( 5x - 3 )
=
b)
x = 0
5x  3 = 0
5x = 3
x = 3
5
x = 0
y
La solución es:
0
x = 3
5
El tercer método de resolución de ecuaciones de 2º grado es el de
despeje”
" Simple
Este procedimiento, se aplica cuando la ecuación tiene la forma ax2 + c = 0,
( es decir b = 0).
Ejemplo:
1.
2.
Resolver:
2x2 - 8 = 0
2x2 = 8
3x2 - 5 = 0
3x2 = 5
x2 = 5
3
x2 = 4
x = +
x = +
x =
3.
2x2 + 18 = 0
2x2
= -18
x2
= -18
2
x2
= -9
x
=
-9
+
4
x = 2;
x = -2
5
3
5
3
x = -
5
3
Esta no tiene solución, por que la raíz de un número
Negativo no existe.
¡CONFIA EN TI !
Te invito a analizar y resolver el siguiente problema
94
SAETA
ALGEBRA
El terreno donde esta el C.B.T.a. No.108 de Villa Juárez Nayarit es de forma
rectangular, donde el largo es 20 m mayor que el ancho y además se sabe que el
área es de 12,000 m2.
¿Cuáles son las dimensiones?
(Largo y ancho) de dicho terreno.
Realizara dibujos en relación al problema.
Expresar en lenguaje algebraico el enunciado del problema
Ahora sí te invitamos a resolver el siguiente problema y las actividades de aprendizaje
" Un terreno rectangular de 13.23 m2 es tres veces más largo que ancho. Se divide en
un rectángulo que es el doble de largo que de ancho y un cuadrado, hallar las
dimensiones de cada uno. "
( lo largo y lo ancho )
2x
Respuesta
x
13.23
m2
3x
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
1) 4x2 = -32x
5) 5x2 - 9 = 46
2) 5x2+4 = 2 (x+2)
6) (x+5) (x-5) = -7
3) (x-3)2 - (2x+5)2 = -16
7) 3 (x+2) (x-2) = (x-4)2+8x
4) (4x-1) (2x+3) = (x+3) (x-1)
8) (2x-1) (x+2)-(x+4) (x-1) + 5 = 0
Actividades de aprendizaje
1.- A continuación se te proporcionan algunos ejercicios, Resuélvelos con el método
más adecuado, de acuerdo a lo que aprendiste en las lecturas anteriores .
a)
x2 = 49
b)
c)
d)
4x2 - x = 0
x2
= 8x - 15
8w2 + 10w - 3 = 0
95
SAETA
ALGEBRA
2.- Resuelve los siguientes problemas:
a) Un terreno tiene 50 mts. de largo y 30 de ancho; y lo circunda una calle de anchura
uniforme. Si el área de la calle es de 600 mts2, encuentra el ancho de esta calle.
b) La longitud de una sala excede a su ancho de 4 metros. Si cada dimensión
aumenta en 4 mts. el área será triple. Halla las dimensiones de la sala.
c) Los gastos de una graduación de alumnos son $9,000. si tres alumnos deciden no
participar, cada uno de los restantes tendrá que pagar $100 más. ¿Cuántos alumnos
van a asistir a la graduación y cuánto paga cada uno ?
d) La suma de 2 números es 9 y la suma de sus cuadrados 53 hallar los números.
e) El área de un campo rectangular es de 216 m2; y su perímetro es de 60 mts.
calcúlense las dimensiones.
f) La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 47 mts., y la hipotenusa mide
37 mts. Hállese las longitudes de los catetos.
Si tienes dificultades en algunos aspectos relativos al tema de
ecuaciones de 2º grado, te recomendamos hacer:
ACTIVIDADES REMEDIALES.
1.- Lee de nuevo este tema, y te sugiero que resuelvas los ejercicios que se te
presentan:
2.- Forma círculos de estudio con tus compañeros de estudio.
3.- Consulta a tu asesor.
4.-Resuelve los siguientes problemas:
a) Hallar dos números que tengan 65 por suma y 1050 por producto.
b) Un tanque puede ser llenado por dos llaves juntas en 3 horas 3 cuartos. La
llave
mayor podría llenarlo solo en 4 horas menos que la otra. ¿En cuántas
horas lo llenaría
cada una separadamente?
96
SAETA
ALGEBRA
c) La circunferencia de una rueda delantera de un carruaje tiene 4 pies menos que la
de una rueda trasera. Después de recorridos 1200 pies, la rueda delantera ha
dado 25 vueltas más que la trasera. Hállese la circunferencia de cada rueda.
d) Un andarín ha recorrido 105 kms. si hubiera andado 2 kms. más por hora, su viaje
habría durado 6 horas menos ¿ Cuántos kms. recorrió por hora ?.
e) La superficie de un triángulo es 150 m2; y la hipotenusa mide 2.5 más. Calcúlese la
longitud de los catetos.
SISTEMA DE ECUACIONES
“Sistema de ecuaciones lineales, es el conjunto de 2 ó más ecuaciones con 2 ó más
incógnitas cada una, y en el cual todas las ecuaciones se satisfacen con el mismo
valor de cada incógnita. A los sistemas definidos también se les conoce con el nombre
de ecuaciones simultáneas”.
Pregunta de los cien mexicanos dijeron .cuantos animales susceptibles de ser
empleados como animales de carga en el mundo.
1. elabora una lista de animales susceptibles de ser empleados como animales
de carga en el sector rural.
2. Seleccione dos especies pecuarias del listado anterior, que considere las màs
fornidas para el traslado de costales.
3. Integrados en equipos de tres a cuatro estudiantes, escoger una pareja de las
especies seleccionadas anteriormente.
4. Contesta la siguiente pregunta:
¿Quien crees que pueda más costales un caballo o un burro ?
PROBLEMA: EL CABALLO Y EL BURRO
Un caballo y un burro caminaban juntos, llevando
sobre sus lomos pesados sacos. Lamentàbase el
caballo de su enojosa carga, a lo que el burro le dijo:
“¿ De que te quejas, hermano ?, si yo te tomara un
saco, mi carga serìa el doble de la tuya; en cambio, si
¿Me podrías decir
sacostullevaba
el igualarìa
caballo ya cuantos
yo tecuantos
doy un saco,
carga se
la mìa.” el burro ?
97
SAETA
ALGEBRA
5. En forma individual analiza la información y determina una estrategia de
solución para conocer cuántos sacos llevaba cada uno de los animales.
6. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas, señalando
coincidencias y diferencias.
7. Selecciona una estrategia por equipo para exponerla al grupo.
8. Presenta la estrategia al grupo.
9. Discusión del grupo de las estrategias y resultados obtenidos en el problema.
ACTIVIDADES DE DESARROLLO:
1. Proporcionar al estudiante material impreso sobre los diferentes métodos de
resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas:
a) Método suma y resta.
b) Método de igualación.
c) Método de sustitución.
2. Resuelve el problema planteado haciendo únicamente uso de dos de los
métodos propuestos.
3. Socializar ante equipo y grupo los diferentes métodos de solución que se
emplearon.
ACTIVIDADES DE CIERRE:
1. Por equipos resolver un ejercicios que involucre un sistema de ecuaciones
lineales.
2. Por equipo formula y resuelve sistemas de ecuaciones lineales.
3. Socializa los métodos y resultados en el grupo.
98
SAETA
ALGEBRA
4. Realiza la búsqueda de problemas que se puedan resolver mediante la
aplicación de lo anteriormente visto y preséntalos al grupo.
En la siguiente hoja tienes el
ANALISIS DE LA INFORMACIÒN Y PLANTEAMIENTO:
PROBLEMA: EL CABALLO Y EL BURRO
Un caballo y un burro caminaban juntos, llevando sobre sus lomos pesados
sacos. Lamentàbase el caballo de su enojosa carga, a lo que el burro le dijo: “¿ De
que te quejas, hermano ?, si yo te tomara un saco, mi carga serìa el doble de la tuya;
en cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualarìa a la mìa.” ¿Cuantos sacos
llevaba cada uno?
ANALISIS DE LA INFORMACIÒN Y PLANTEAMIENTO:
Burro = B,
Caballo = C
Obtenciòn de la 1ª.
ecuaciòn
primer
¿ De que te
quejas
hermano?, Si yo
te tomara un
saco
Mi carga serìa
el doble que la
tuya
B+1 = 2C–2
miembro de la igualdad
lores
al
2º.
B – 2C = - 2 - 1
Lenguaje algebràico:
C–1
Quitamos el parèntesis:
Pasamos las incognitas al
y los vaMienbro y obtenemos
B+1
B+1 = 2(C–1)
B+1 = 2(C–1)
Simplificamos y Obtenemos:
B – 2C = - 3
En cambio dijo el
burro, si yo te doy
un saco
Obtenciòn de la 2ª
ecuaciòn
99
B–1 = C+1
Pasamos las incognitas al primer
SAETA
ALGEBRA
Tu carga se
igualarìa a la mìa
Lenguaje algebràico:
B -1
C+1
B–1 = C+1
Utiliza cualquier mètodo para su soluciòn a) Método suma y resta.
b) Método de igualación.
c) Método de sustitución.
SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS Y TRES INCOGNITAS DE PRIMER GRADO
BLOQUES
Apertura
Desarrollo
ACTIVIDADES
 Realiza un listado de los productos y precios mas comunes
que se encuentran en el supermercado de tu localidad.
 Reúnete con otros compañeros e identifiquen dos de los
productos mas comunes que se consumen en su familia y
proporcionen respuestas a las preguntas siguientes:
a) Cuánto costará la suma de un kilogramo de cada uno de los
productos seleccionados?
b) Establezcan un método que de el resultado de la suma de
dos o mas kilogramos de los dos productos.
 Reflexiona en el siguiente planteamiento: Si en cierta
ocasión dos amigos fueron al mismo supermercado por
separado, a realizar compras y resulta que compraron los
mismos dos productos de la siguiente forma. El primero de
ellos compra un refresco y tres sabritas a un costo total de
39 pesos y el segundo compra 3 refrescos y cuatro sabritas
a un costo total de 77 pesos. ¿Cuánto cuesta un refresco y
cuanto cuesta una sabrita?
 Pregunta a tu asesor la respuesta correcta al problema en
la asesoría.
 Investiga los métodos de solución de sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
 Compara con otro compañero la investigación que
100
SAETA
ALGEBRA
realizaste.
 Realiza una lista de los campos de acción donde se aplique
este sistema de ecuaciones.
 Plantea y explica a tu asesor y a tu grupo en la asesoría las
respuestas a diferentes problemas de tu entorno en donde
se emplean los sistemas de ecuaciones lineales.
 Lee y contesta los ejercicios de la antología.
Cierre
Ejemplo: Si las ecuaciones
2x + y = 10
3x - y = 5
Lo anterior forma un sistema lineal de ecuaciones, o bien son ecuaciones
simultáneas; x = 3, y = 4 satisfacen ambas ecuaciones. Sustituye esos valores para
que tú mismo verifiques.
2.3.2 METODOS DE SOLUCIÓN
Resolver esos sistemas es lo que ahora nos preocupa, existen varios métodos de
resolución de ese tipo de sistemas, te mostraremos más adelante los más
importantes.
Reducción
Sistemas de
Ecuación lineal
(2, 3 ecuación)
(2, 3 incógnita)
Método
de
Resolución
Sustitución
Igualación
MÉTODO DE REDUCCIÓN.
Ejemplo : Si tenemos las siguientes ecuaciones:
3x + 4y = 2
5x - 6y = 3
primera ecuación
segunda ecuación
incógnitas x, y
Observa que aparece un signo negativo en la ecuación dada, si no existe lo
agregamos, esto es con el fin de eliminar a una incógnita y obtener el valor de la otra.
Para su resolución te sugerimos lo siguientes pasos:
1. Cambiaremos al extremo izquierdo los coeficientes de la misma literal que tenga
signo contrario, se llevara a cabo en forma cruzada.
101
SAETA
ALGEBRA
(6) 3x + 4y = 2
(4) 5x - 6y = 3
Observa que entre los coeficientes de las literales solamente ocupamos a un
coeficiente con signo negativo.
2. Cada uno de los coeficientes antepuestos multiplicará cada ecuación.
(6)
(4)
3x
5x
18x
20x
38x
+ 4y = 2
- 6y = 3
+ 24y = 12
- 24y = 12
= 24
sumamos los términos y eliminamos a (y)
x = 24 ----------- despejamos la incógnita
38
x = 12 ----------- simplificamos la expresión
19
así obtuvimos el valor de la primera incógnita (x ).
¡ MUY BIEN !
Para obtener el valor de la segunda incógnita tomaremos a una de las dos ecuaciones
y en ella sustituimos a la incógnita ya resuelta.
3x + 4y = 2
3(12) + 4y = 2
19
36 + 4y = 2
19
4y = 2 - 36
19
Sustituimos la ecuación.
Llevamos acabo una transposición de términos del primer
miembro al segundo.
Sumamos las fracciones y obtenemos el producto.
4y = 2 - 36 = 38 - 36 = 2
1
19
19
19
4y = 2
19
Despejamos "y" por medio de una fracción compleja.
2
y = 2
Simplificamos el producto
y = 19
76
4
y = 1 --- Producto
1
38
Transposición de términos:
ecuación.
Quiere decir pasar de un miembro a otro de una
102
SAETA
ALGEBRA
COMPROBACIÓN DE LA ECUACIÓN:
Al igual que una operación aritmética de dividir, multiplicar, restar, etc. las ecuaciones
tienen un proceso de comprobación en el cual la igualdad del primer miembro con el
segundo existe.
Ejemplo:
3x + 4y = 2 --------- Primera ecuación.
Sustituimos a cada incógnita por su valor en la ecuación.
3x + 4y = 2
3 (12) + 4 (1) = 2
Multiplicamos los términos
19
38
36 + 4 = 2
19
38
Sumamos
fracciones
36 + 4 = 72 + 4 = 76 = 2 = 2 ------- Igualdad.
19
38
38
38
5x - 6y = 3 ---------Segunda ecuación.
Sustituimos a cada incógnita por el valor.
5 (12) - 6 (1) = 3 -------Multiplicamos los términos
19
38
Sumamos 60 - 6 = 120 - 6 = 114 = 3 = 3 ------ Igualdad.
fracciones 19 38
38
38
Cuando exista igualdad en ambos miembros la ecuación está correcta.
¡ADELANTE!
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba sus soluciones
utilizando el método de reducción
1)
3x + y = 17
x+y = 9
x =_____
y =_____
2)
4x + y = 11
4x + 2y = 2
x =_____
y =_____
3)
3x - 5y = 2
x - 5y = 14
x =_____
y =_____
4)
3a + 5b = 21
8a - 5b = 1
x =_____
y =_____
II. Representa cada uno de los siguientes problemas por medio de un sistema de
ecuaciones lineales, resuelve el sistema y luego da la respuesta correcta.
103
SAETA
ALGEBRA
1) La suma de 2 números es 30 y su diferencia es 4.¿Cuáles son dichos números?
2) Dos albañiles construyeron la barda de tu escuela con 500 ladrillos; el primero
colocó 50 ladrillos menos que el segundo. ¿Cuántos ladrillos colocó cada uno?
2) Si sumamos el número de litros de leche que tiene el recipiente A, con el
número de litros de leche del recipiente B, el resultado que se obtiene es 430.
Si el recipiente A contiene 120 litros más que el B. ¿Cuántos litros contiene A y
cuántos B ?
A
“x” litros
B
“y” litros
MÉTODO POR SUSTITUCIÓN:
Sean las ecuaciones:
ecuación (1)
3x + 4y = 5
ecuación (2)
6x - 2y = 4
Resolvámoslo
Primer Paso: Despejar "x" de la ecuación "1".
3x + 4y = 5
x = 5 - 4y Observa que existe una transposición de términos ( 4y ) que
3
estaba en el primer miembro, al pasar al segundo miembro
queda (- 4y) y el coeficiente de la "x" que estaba multiplicando
pasa dividiendo.
Segundo Paso :
ecuación (3)
Se sustituye al valor de “ x “ en la ecuación 2.
6 (5 - 4y)
3
30 - 24y - 6y = 12
- 24y - 6y = 12 - 30
- 30y = -18
y = - 18
- 30
y = 3
5
- 2y = 4
Agrupación y Reducción de términos
semejantes.
Aplicamos la ley de los signos y simplificamos
la fracción.
104
SAETA
ALGEBRA
Tercer Paso: Obtenemos el valor de la siguiente incógnita "x" con el despeje de "x" de
la primera ecuación.
x = 5 - 4y
3
x = 5 - 4 (3)
Sustituimos a "y" por su valor.
5
3
Convertimos la fracción a quintos y obtenemos su producto.
x = 5 - 12 = 25 - 12 = 13
Obtendremos ahora el valor de esta
1 5
5
5
fracción compleja. Aplicando la ley
3
3
de la tortilla, multiplicando el
1
extremo por el extremo y el centro con
centro.
x = 13
15
¡APLICA TUS CONOCIMIENTOS!
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método por sustitución:
1. 5x + 7y = -1
2. x - 5y = 8
3. 2x + 3y = 6
-3x + 4y = -24
-7x +8y =25
x - 5y = 8
MÉTODO POR IGUALACIÓN:
La secuencia que estudiaremos a continuación trata de otro método para resolver
ecuaciones lineales o de primer grado.
Aplicaremos el método por igualación despejando una de las incógnitas de ambas
ecuaciones e igualando los valores resultantes.
Resolvamos el sistema de ecuaciones:
Sea:
2x + 3y = 8 (1)
3x - y = 1 (2)
Primer Paso:
ecuaciones:
Despejamos
una de las incógnitas: por ejemplo, la "x" en ambas
a) Despejamos "x" en (1)
2x + 3y = 8
b)
x = 8 - 3y
2
Despejamos "x" en (2)
3x - y = 1
x = 1 + y
3
Segundo Paso: Ahora igualamos entre sí los dos valores de "x" que obtuvimos en el
Primer paso.
8 - 3y = 1 + y
2
3
105
SAETA
ALGEBRA
Hasta aquí hemos simplificado el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, en
una sola ecuación con una incógnita. Resolvamos entonces ésta única ecuación.
Obtendremos el valor de "y" por medio de una multiplicación cruzada.
(8 - 3y) = (1 + y)
2
3
3 (8 - 3y) = (1 + y) 2
Multiplicamos ambos miembros.
24 - 9y = 2 + 2y
-2y - 9y = 2 - 24
Agrupamos y simplificamos a los términos
semejantes de cada miembro.
-11y = - 22
y = - 22
Despejamos la incógnita, simplificamos la
- 11
fracción, y aplicamos la ley de los signos.
y = 2
Tercer Paso: Sustituyendo y = 2 en la primera ecuación, obtenemos el valor de "x"
2x + 3y = 8
2x + 3(2) = 8
2x + 6 = 8
2x = 8 - 6 Transposición de términos.
2x = 2
x = 2
Despejamos la incógnita y simplificamos la fracción.
2
x= 1
NOTA: Toda comprobación se lleva acabo sustituyendo cada incógnita por su valor,
en los métodos de: Reducción, Sustitución e Igualación.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
1. Resuelve el siguiente problema usando el método de igualación.
Con 25 pesos se van a comprar estampillas cuyo precio son de $2.00 y $5.00
respectivamente. Si han de comprarse 8 estampillas en total ¿Cuántas de cada precio
deben pedirse?
No. de estampillas $ 2.00
x
No. de estampillas $ 5.00
y
Total de estampillas
x+y=8
Costo de estampillas de $ 2.00
2x
Costo de estampillas de $ 5.00
5y
Gasto total
2x + 5y = 25
Bien, ya conociste los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas y sus
métodos de solución. Ahora conocerás los sistemas de ecuación con una
incógnita más.
106
SAETA
ALGEBRA
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS
Bien, ya conociste los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas y sus métodos de
solución. Ahora conocerás los sistemas de ecuación con una incógnita más.
BLOQUES
ACTIVIDADES
Apertura
 Apóyate en el listado de los productos y precios que
adquiriste en el supermercado de tu localidad y en base a tu
experiencia en ecuaciones lineales con una y dos incógnitas
¿Cómo te plantearías problemas donde se utilicen tres
incógnitas?
 Reúnete con otros SAETANOS e intercambia experiencias.
Desarrollo
 En un centro comercial Toño encontró qué: 5 Kilos de
azúcar, 3 de café y 4 de frijoles, cuestan $118; 4 de azúcar,
5 de café y 3 de frijol cuestan $145; 2 de azúcar, 1 de café y
2 de frijoles cuestan $46.
Realiza los cálculos necesarios para encontrar la solución de:
¿Cuál es el costo de cada artículo?
¿Cuál es el costo total de los tres paquetes?
¿Cuál es el costo del total del azúcar?
¿Cuál es el costo del total de café?
¿Cuál es el costo del total del frijol?
 Investigar el tema “ecuaciones lineales con tres incógnitas”
 Investigar ejercicios o problemas, donde interviene el
sistema de ecuaciones con tres incógnitas.a
 Exponer o platicar el tema al asesor.
Cierre
 Resuelve los ejercicios de la antología.
 Plantea tus respuestas a los demás compañeros y al asesor.
 En el salón de clases y durante ala asesoría redacta un
problema en donde interviene un sistema de ecuaciones con
tres incógnitas.
Observa la forma de resolver este tipo de ecuaciones
107
SAETA
ALGEBRA
Si tenemos las ecuaciones:
x + 3y + 2z = 13
(1)
5x - 2y + z = 4
(2)
3x + 4y - 3z = 2
(3)
Utilizando el método mas sencillo(Reducción) para resolver este sistema de ecuación
es con tres incógnitas.
Primer Paso: Con la primera y segunda ecuación y usando el método de reducción,
se eliminará una literal, en este caso la “ y “, cuyo resultado dará una nueva ecuación
con dos incógnitas (cuarta ecuación ).
(2)
(3)
x + 3y + 2z = 13
5x - 2y + z = 4
(ecuación 1)
(ecuación 2) Multiplicamos a cada ecuación por los
coeficientes de las "y", porque en ellas se
encuentran diferentes signos.
2x + 6y + 4z = 26
15x - 6y + 3z = 12
17x
+ 7z = 38 ------------- Cuarta ecuación.
Segundo Paso: Al igual que en el primer paso, utiliza la segunda y tercera ecuación,
eliminando la misma incógnita ( y ). el resultado será otra ecuación con dos incógnitas
(quinta ecuación ).
(4) 5x - 2y + z = 4 ( ecuación 2)
(2) 3x + 4y - 3z = 2 ( ecuación 3)
20x - 8y + 4z = 16
6x + 8y - 6z = 4
26x
- 2z = 20 ---------- Quinta ecuación.
Tercer paso: Ahora formaremos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, la
cual la conformaremos con la cuarta y la quinta ecuación.
(2) 17x + 7z = 38
(7) 26x - 2z = 20
34x + 14z = 76
182x - 14z = 140
216x
= 216
x = 216
216
x = 1
Despejamos la "x"
Producto.
108
SAETA
ALGEBRA
Ahora obtendremos el valor de la siguiente incógnita "z" sustituyendo en una de las 2
ecuaciones el valor de la "x".
26x - 2z = 20
26(1) - 2z = 20
26 - 2z = 20
- 2z = 20 - 26
- 2z = - 6
z =-6
-2
z = 3
Sustituimos en la ecuación.
Transponemos términos
Aplicamos la ley de los signos y simplificamos la
expresión.
Resultado.
Cuarto Paso: Con una de las tres ecuaciones dadas (en este caso la 1) obtendremos
el valor de la tercera incógnita.
x + 3y + 2z
= 13
1 + 3y + 2 (3) = 13
1 + 3y + 6
= 13
3y = 13 - 1 - 6
3y = 13 - 7
3y = 6
y = 6
3
y = 2
Sustituimos en la ecuación
Transponemos términos del primero al segundo
miembro.
Resultado.
COMPROBACIÓN DE LA ECUACIÓN:
La comprobación se lleva a cabo sustituyendo en la ecuación a la literal por su valor,
cuando exista una igualdad la ecuación estará correcta.
Ejemplo:
x + 3y + 2z =
1 + 3(2) + 2(3) =
1+6+6 =
13 =
13
13
13
13
5x - 2y + z =
5(1) - 2(2) + 3 =
5 - 4 + 3 =
4=
(1)
Igualdad.
4
4
4
4
3x + 4y - 3z
3(1) + 4(2) - 3(3)
3+8-9
2
= 2
=2
= 2
= 2
(2)
Igualdad.
(3)
Igualdad.
¡ DEMUESTRA TU APRENDIZAJE !
109
SAETA
ALGEBRA
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
1. Resuelve los siguiente sistemas de ecuaciones:
(a)
x+ y + z = 2
(c)
2x - 5y = 13
x + 3y - 4z = 3
4y - z = -8
3x - 4y + 3z = 1
x - y - z = -2
(b)
x + 4y - z = 6
2x + 5y - 7z = - 9
3x - 2y + z = 2
(d)
.
x+ y + z = 6
x - y + 2z = 5
x - y - 3z = -10
2. Resuelve los siguientes problemas planteándolos mediante sistemas
ecuaciones de tres incógnitas.
de
a) 5 kilogramos de azúcar, 3 de café y 4 de frijol cuestan $118.00; 4 de azúcar; 5 de
café y 3 de frijol cuestan $145.00; 2 de azúcar, 1 de café y 2 de frijol cuestan $46.00.
Hallar el precio de 1 kilogramo de cada mercancía.
b) La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. El mayor excede al menor en
35º y el menor excede en 20º a la diferencia entre el mayor y el mediano. Hallar los
ángulos.
c) Un ganadero tiene 110 animales entre vacas, caballos y terneros, 1/8 del número
de vacas más 1/9 del número de caballos más 1/5 del número de terneros equivalen a
15, y la suma del número de terneros con el de vacas es 65 ¿Cuántos animales de
cada clase tienen?
2.4
INECUACIONES
Analiza la siguiente lectura un comerciante que tenia un negocio de confección de
túnicas y tiendas de campaña, que cada año consumía 100 piezas de algodón
paquistaní y 200 piezas de hilo de cáñamo, pero, Nepomuceno no estaba contento
con las compras que hacia, y se preguntaba así mismo ¿si había alguna forma de
ahorrar gastos en los transportes y comprar solamente lo justo para el consumo
anual? Y cuenta la historia que si el comerciante hubiese tenido conocimiento del
planteamiento y resolución de inecuaciones el podría haber resuelto su problema
fácilmente.
1. Plantea las posibles soluciones al problema de la lectura.
2. Investiga todo sobre los números reales, los intervalos, semirrectas eje de
coordenadas para las inecuaciones con dos incógnitas, además deberá saber
trazar rectas en las coordenadas, conocer y resolver ecuaciones.
3. Resuelve los ejemplos de la antología.
110
SAETA
ALGEBRA
4. Comparar resultados para que realicen las correcciones posibles.
se discutirán los resultados de cada ejercicio en una plenaria, utilizando hojas de rota
folio, marcadores, graficas, cuadros de análisis, etc.
5. se discutirán los resultados de cada ejercicio en una plenaria, utilizando hojas
de rotafolio , marcadores ,graficas ,cuadros de análisis, etc.
6. Comparar los saberes recuperados con el análisis de las lecturas en forma
individual.
7. Exponer las coincidencias y diferencias utilizados en la solución de las
inecuaciones de cualquier tipo.
Ejemplificar el resultado por pasos hasta su resultado final
8 Presentar al grupo otras inecuaciones, para verificar su comprensión.
9. Proponer otros ejercicios con su solución a su manera de expresarlas.
10.Enlistar diferentes alternativas para resolver los problemas.
11.Resolver problemas de las actividades de aprendizaje de la antología.
12.Elaborar un mapa conceptual y presentarla al grupo, sobre el tema visto.
Presentar al asesor un trabajo escrito el cual contendrá desarrollo, procedimiento y
conclusiones, como parte de la evaluación.
La mayor parte de nuestro interés en este apartado está en las ecuaciones o
igualdades, es necesario considerar ciertas condiciones que pueden existir entre
expresiones que no son igualdades. Es necesario conocer a fondo tales situaciones
para comprender la expresión algebraica de manera completa. Además, hay
problemas complejos que se pueden resolver sólo en términos de desigualdad; tales
problemas, pertenecen al campo de las matemáticas aplicadas.
Como recordarás lo visto anteriormente, las desigualdades son formas especiales de
escribir conjuntos de números.
NOTACIÓN
Una desigualdad es una afirmación de que una cantidad es mayor que o menor que
otra cantidad. Los símbolos de desigualdad se utilizan para comparar las posiciones
relativas de dos números en una recta numérica o bien los tamaños relativos de dos o
más expresiones. El símbolo > en 4 > -5 indica que 4 es mayor que -5. Como
observarás en la figura, la posición del número 4 en la recta numérica con respecto al
-5, el número 4 está a la derecha del -5.
-5
0
4
111
SAETA
ALGEBRA
Una manera fácil de leer desigualdades es recordar que el pico del símbolo siempre
está más cerca del número menor y la parte ancha está más cerca del número mayor.
Se tienen cuatro símbolos de desigualdad:
Símbolo
Significado
<
Es menor que (a la izquierda de otro número sobre la recta
numérica).
>
Es mayor que (a la derecha de otro número sobre la recta
numérica).
≤
Es menor o igual que.
≥
Es mayor o igual que.
Coloca el símbolo de desigualdad correcto entre las dos expresiones.
a). 7 -8
b).-5 + 4
c). -3
-3
d).½
- ⅛
e.) -⅛
-⅞
Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la
izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los
términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad,
lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas
propiedades.
Propiedades:
1. Todo número positivo es mayor que cero.
Ejemplo:
5>0
2. Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
-9 < 0
3. Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;
Ejemplo:
-10
>
-30
Una desigualdad simultánea son dos desigualdades en un enunciado. Escribimos x ≥
0 y x ≤ 20 juntos como 0 ≤ x ≤ 20. Esto se lee de la siguiente manera: x es el conjunto
de números entre 0 y 20, incluyendo a 0 y a 20. Ejercicios.
Escribe cada par de desigualdades como una desigualdad simultánea, utilizando
únicamente < o ≤.
112
SAETA
ALGEBRA
a. x < 0 y x > -3
c. x > 0 y x ≤ 3
b. x ≤ -5 y x > -2
d. x < 
1
yx≥
2
3
4
Es recomendable, como una buena costumbre, colocar el número más pequeño a la
izquierda.
Entonces las desigualdades podemos describirlas con palabras, por ejemplo:
Desigualdad
Palabras
0 ≤ x ≤ 20
El conjunto de números mayores que o igual a 0 y menores que
o iguales a 20.
20 < x ≤ 500
El conjunto de números mayores que 20 y menores que o
iguales a 500.
x > 250
El conjunto de números mayores que 250.
x < -12
El conjunto de números menores que -12
También podemos enunciar desigualdades como intervalos. Un intervalo es un
conjunto que contiene a todos los números entre sus extremos además de un
extremo, ambos extremos o ninguno de los extremos. Los intervalos indican la
inclusión o exclusión de los extremos mediante el uso de corchetes o paréntesis. Los
corchetes, [ ], indican que los puntos extremos se incluyen en el conjunto. Los
paréntesis, ( ), se utilizan cuando los extremos se excluyen del conjunto. Podemos
mezclar corchetes y paréntesis en un mismo intervalo, como se muestra en la
siguiente tabla.
113
SAETA
ALGEBRA
Desigualdad Intervalo
Descripción
8 ≤ x ≤ 10
[8, 10]
El conjunto de números entre 8 y 10, incluyendo 8
y 10.
8 ≤ x < 10
[8, 10)
El conjunto de números entre 8 y 10, incluyendo 8.
8 < x ≤ 10
(8, 10]
El conjunto de números entre 8 y 10, incluyendo
10.
8 < x < 10
(8, 10)
El conjunto de números entre 8 y 10.
Si se usan para el intervalo: [ , ] es un intervalo cerrado; [ , ) o ( , ] son intervalos
semiabiertos por la derecha y por la izquierda respectivamente y ( , ) es un intervalo
abierto.
Retomando lo anterior, podemos utilizar o expresar en intervalos las siguientes
expresiones de desigualdad:
Desigualdades
0 ≤ x ≤ 20
Intervalos
x en [0, 20]
20 < x ≤ 500
x en (20, 500]
x > 500
x en (500, +  )
x < 500
x en (-  , 500)
Para incluir tanto a 0 como el 20, escribimos x incluido en [0, 20]. Los corchetes, [ ],
incluyen a los extremos.
Para describir el conjunto de números desde 20 hasta 500, pero sin incluir el 20,
escribimos x incluido en (20, 500]. Excluimos al extremo 20 al utilizar un paréntesis.
El tercer intervalo, x en (500, +  ), describe todos los números mayores que 500. No
existe número mayor, así que necesitamos un símbolo para decir que los números
aumentan sin límite. Lo mismo en el último intervalo, x en (-  , 500), describe todos
los números menores que 500. No existe número menor, así que necesitamos un
símbolo para decir que los números disminuyen sin límite. Utilizamos un símbolo de
infinito,  . Siempre escribiremos intervalos con el número más pequeño a la
izquierda. Ya sea para 9 > x o x < 9, escribiremos (-  , 9) en lugar de (9, -  ).
Infinito significa sin límite. El infinito describe un concepto, no un número. Los
números en una recta numérica se prolongan hacia la derecha e izquierda para
siempre. Al colocar un signo positivo antes del símbolo de infinito significa el infinito
hacia la derecha en la recta numérica; un signo negativo indica infinito hacia la
izquierda, como se muestra en la siguiente figura:
-
+
+
En ocasiones es útil hacer un diagrama de una desigualdad o intervalo. Utilizamos
una gráfica lineal (recta numérica) para ello, por ejemplo:
0
114
SAETA
ALGEBRA
a). La gráfica de la desigualdad 1 ≤ x ≤ 4 o el intervalo [1, 4] es una gráfica lineal con
puntos o círculos cerrados en 1 y 4 y un segmento de línea que los une. (También se
pueden usar corchetes en la recta numérica en lugar de los puntos cerrados).
-
●
1
●
4
+
+
b). La gráfica de 1< x < 4 o su intervalo (1, 4) tiene puntos o círculos abiertos en los
extremos en 1 y 4, y un segmento de recta que los une. También se puede utilizar
paréntesis en lugar de círculos abiertos).
-
o
o
+
+
Ejercicios. Escribe cada desigualdad como un intervalo, exprésalo con palabras y
dibuja una gráfica lineal.
1
4
a. -2 < x ≤ 4
b. -3 ≤ x < 4
c. x < 4
d. x ≥ -4
En resumen, observa el uso de los paréntesis con <, >, o el símbolo de infinito (  ) y
el uso de corchetes con ≤ o ≥, indicado en la siguiente tabla.
Símbolos empleados en desigualdades e intervalos.
Símbolo de
desigualdad
<
>
=
≤
Notación de
intervalo
(,)
(,)
≥
[,]
+
-
, +)
(-  ,
[,]
Notación de gráfica
lineal
Es menor que
Círculo abierto o ( , )
Es mayor que
Círculo abierto o ( , )
Es igual a
Punto
Es menor que o igual Punto o [ , ]
a
Es mayor que o igual Punto o [ , ]
a
Infinito positivo
Infinito negativo
Significado
La notación de intervalos puede parecerse a las coordenadas de un punto, por lo que
lee con cuidado cuando te encuentres con una expresión (a, b) para ver si se trata de
un punto de coordenadas o un intervalo.
115
SAETA
ALGEBRA
Ejercicios.
Completa la siguiente tabla.
Desigualdad Intervalo
-1 ≤ x < 3
(-4, -1]
Descripción
Gráfica lineal
x está entre -3 y 5, incluyendo
-3
x < -4
o
-3
•5
x -2
x es mayor que -4 y menor o
igual a 2
[-3, +  )
Inecuaciones o desigualdades lineales con una variable.
Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades
condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades:
las absolutas y las condicionales.
Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya
a las literales que figuran en ella
Ejemplo:
a2+ 3 > a
Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las
literales:
Ejemplo:
2x - 8 > 0
que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.
Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.
Una inecuación o desigualdad lineal con una variable puede escribirse ax + b < c,
donde a, b y c son números reales y a es diferente de 0.
La definición anterior y las propiedades que siguen son válidas también para otros
símbolos de desigualdad, >, ≤ y ≥.
116
SAETA
ALGEBRA
Resolver una desigualdad significa obtener el conjunto de valores para la variable de
entrada que hacen que la desigualdad sea un enunciado verdadero. Pero antes
daremos un vistazo a las propiedades de las desigualdades.
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES O INECUACIONES.
1. Propiedad aditiva. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se suma o se
resta un mismo número en ambos lados.
Sentido de una desigualdad. Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o
contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor
que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro
mayor se convierte en menor o viceversa.
Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser
igual a "a", se tiene:
a=b+c
Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:
a+m=b+c+m
Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta:
a + m > b +m
Ejemplos:
9>5
-2 > -6
9+2>5+2
-2 -3 > -6 -3
11 > 7
-5 > -9
Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de
una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico
del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando
su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos
miembros.
Ejemplo:
6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2
2. Propiedad multiplicativa (por un número positivo). Una desigualdad no cambia
de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se
dividen entre un mismo divisor, también positivo.
Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta:
am = bm + cm.
117
SAETA
ALGEBRA
Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:
am > bm
Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de
esta
propiedad
Ejemplos:
12 > 7
(12) (3) > (7) (3)
36 > 21
15 > -25
15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5
3 > -5
3. Propiedad multiplicativa (por un número negativo). Una desigualdad cambia de
sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se
dividen entre un mismo divisor, también negativo.
Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene:
-an = -bn -cn
Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,
-an < -bn
Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del
enunciado.
Ejemplos:
3 > -15
3(-4) < (-15)(-4)
-12 < 60
64 < 80
64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4)
-16 > -20
Consecuencia de esta propiedad: pueden cambiarse todos los signos de una
desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a
multiplicar sus dos miembros por -1.
Ejemplo:
-7x + 130 < 9 -5x
7x - 130 > -9 + 5x
4. Propiedad de la potencia (números positivos en ambos lados). Si los dos
miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la
desigualdad no cambia de sentido.
Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos
miembros por "b", resulta:
ab < b2
118
SAETA
ALGEBRA
En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza;
por tanto:
a2 < b 2
Ejemplo:
7 < 10
73 < 103
343 < 1000
5. Propiedad de la potencia (números negativos en ambos lados). Si los dos
miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado
impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado
de la potencia es par.
Sea la desigualdad -a < -b
a) Multiplicando sus dos miembros por b2 se obtiene:
-ab2 < -b3
En el primer miembro, reemplazando b2 por a2, la desigualdad se refuerza; luego se
puede escribir:
-a3 < -b3
b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo
análogas transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos
cambian de signo, y se tiene:
a2 > b 2
Ejemplos:
-3 > -6
(-3)3 > (-6)3
-27 > -216
-8 < -4
(-8)2 > (-4)2
64 > 16
6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta
una desigualdad de mismo sentido que aquéllas.
Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b"
Se puede escribir:
a=b+c
a' = b' + c'
a" = b" + c"
Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente:
a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c"
a + a' + a" > b + b' + b"
119
SAETA
ALGEBRA
Ejemplo:
Dado: 2x > 10 y 7x > 26
se obtiene: 9x > 36
7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta
una desigualdad de igual sentido que el minuendo.
Sean las desigualdades a > b y c < d
Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene
a>b
d>c
a + d > b +c
Restando d + c de cada miembro, resulta:
a - c > b -d
Ejemplo:
Dado: 7x < 12 y 5x > 16,
se obtiene: 2x < -4
2.4. 3 SOLUCIÓN DE INECUACIONES.
SECUENCIA DIDÁCTICA
BLOQUES
ACTIVIDADES
Apertura
Desarrollo
Cierre
1. Hacer un listado de las estaturas de los integrantes del
grupo en cm.
2. Sacar promedio de estaturas.
3. Expresar c/u de las estaturas incluyendo al promedio de
manera algebraica.
1. Establecer relaciones de cada una de las estaturas con el
promedio y elaborar un registro.
2. Investigar el nombre de las expresiones formadas así como
las propiedades que tienen.
3. Del registro obtenido en el paso 1, trasformar las
expresiones en ecuaciones o inecuaciones según sea el
caso.
4. Intercambio de las experiencias en asesoría con el resto del
grupo.
Solución de problemas que involucren ecuaciones e inecuaciones
en
120
SAETA
ALGEBRA
Resolver una inecuación, es hallar los valores que la verifican. Cuando resolvimos
ecuaciones con notación algebraica, obtuvimos ecuaciones equivalentes en cada
paso de la solución. De manera similar, se siguen los pasos al resolver las
inecuaciones o desigualdades, es decir, se aplican las mismas propiedades de las
ecuaciones, con la diferencia de que existe una muy importante de las desigualdades
vistas anteriormente que es la propiedad multiplicativa de las desigualdades (por
un número negativo).
En muchos de los casos podemos evitar multiplicar y dividir por un número negativo si
mantenemos positivo el coeficiente de la variable.
Ejemplo de resolución de una inecuación.
Ejemplo 1: Desigualdad que involucra división entre un número negativo.
divide entre -2 cada miembro e invierte el símbolo:
6 - 2x ≤ 12
6 - 6 - 2x ≤ 12 – 6
-2x ≤ 6
-2x/-2 ≥ 6/-2
Finalmente:
x ≥ -3
Resolver la inecuación
Resta 6 de cada lado:
Ejemplo 2:
Resolver la inecuación
Réstese 2x de cada miembro:
Réstese 6 de cada miembro:
Finalmente:
4x + 6 > 2x -7
4x -2x + 6 > 2x -2x -7
2x +6 -6 > -7 -6
x > -13/ 2
x > - 6.5
Ejemplo 3: Desigualdad que involucra fracciones y división entre un número negativo.
Resolver la inecuación
(6 + x)/ 3 < (5x - 7)/ 5
Multiplíquese por 15 cada miembro
30 + 5x < 15x -21
Réstese 15x de cada miembro: 30 + 5x -15x < 15x -21 -15x
Réstese 30 de cada miembro:
30 -10x -30 < -21 -30
Divídase entre -10 cada miembro
(-10x)÷-10 > (-51)÷-10
Finalmente:
x > 5.1
121
SAETA
ALGEBRA
Ejemplo 4: Manteniendo positivo el coeficiente de la variable.
Resolver la inecuación
Suma 3x a cada miembro
Resta 3 de cada miembro:
Divide entre 5 cada miembro:
2x + 3 ≤ -3x - 2
2x + 3+ 3x ≤ -3x - 2+ 3x
5x + 3 - 3 ≤ - 2 - 3
5x/5 ≤ - 5/5
Finalmente:
x≤-1
Mantener positivos los coeficientes de la variable se puede hacer en la mayoría de las
desigualdades y tiene la ventaja de eliminar la necesidad de invertir o cambiar el
sentido del símbolo de desigualdad.
Las soluciones están expresadas en desigualdad, pero también las podemos expresar
en notación de intervalo, descriptiva o en palabras y en forma de gráfica lineal.
En resumen, para la solución de inecuaciones o desigualdades lineales con una
variable mediante notación algebraica, considera lo siguiente:
1. Como lo hiciste en las ecuaciones lineales, usa la adición, resta, multiplicación
y división para aislar la variable.
2. Cuando multiplicas o divides entre un número negativo, invierte el símbolo de
desigualdad.
3. Trata de mantener positivo el coeficiente de la variable para evitar errores que
tienden a aparecer cuando multiplicas o divides entre un número negativo y
tienes que invertir el símbolo de la desigualdad.
4. Recuerda que el conjunto solución de una desigualdad es una desigualdad y
que puedes expresarla en diferentes notaciones.
Actividades de aprendizaje.
I. Resuelve cada inecuación o desigualdad lineal utilizando notación algebraica.
Escribe los conjuntos solución en todas sus diferentes notaciones.
1. -3 > -3x + 3
2. 0 < -3x + 3
3. –x + 4 < 1 x +1
4. -1 < -3x +2
5. 4 – 2x ≥ x - 2
6. 4 – 3x ≤ 8 + x
7. 3x – 4 < -2x + 1
8. 3x – 3 > -x + 1
9. 2(x + 3) < 5x
10. 3(x – 1) ≤ 4x
2
122
SAETA
ALGEBRA
II. Para cada problema, escribe una desigualdad y resuélvela.
1. Un estudiante obtuvo 78, 84, y 72 puntos en exámenes parciales y 5 puntos por
proyectos y tareas. ¿Está en posibilidad de obtener una calificación de B o mayor
(80%)?
2. La sala de boliche Bolerama cobra $ 5.50 por niño para permitir que se organice en
sus instalaciones una fiesta. Jimmy tiene que comprar un pastel que cuesta $17 y
tiene un presupuesto de $16; muestra con una desigualdad el número de niños que
puede invitar.
3. Supongamos que una llamada telefónica da larga distancia cuesta 36¢ los primeros
tres minutos y 11¢ cada minuto adicional. ¡Durante cuántos minuto puede hablar una
persona con menos de $2?
Desigualdad o inecuación lineal compuesta.
Como anteriormente se analizó, para expresar que x está entre -3 y 8, escribimos la
desigualdad -3 < x < 8, que se lee “menos 3 es menor que x, y x es menor que 8”. A
esta doble desigualdad se le llama desigualdad compuesta, por ser una
combinación de las dos desigualdades siguientes:
-3 < x
y también
x<8
También se nos pueden presentar este tipo de desigualdades para resolver, como por
ejemplo:
Resolver la desigualdad compuesta -3 ≤ 2x + 5 ≤ 7
Solución: esta desigualdad expresa que 2x + 5 es mayor o igual que -3 pero menor o
igual que 7, es decir, está entre -3 y 7. Podemos resolverla dejando sola a x entre los
símbolos de desigualdad.
Empezando con los términos que están en el centro -3 ≤ 2x + 5 < 7
Restar 5 de las tres partes
-3 - 5 ≤ 2x + 5 - 5 < 7 - 5
Dividir las tres partes entre 2
-8 ≤ 2x < 2
Finalmente
-4 ≤ x < 1
El conjunto solución es el intervalo [-4, 1).
Habrá ocasiones en que no se pueda dejar sola a x entre los símbolos de la
desigualdad como se presenta a continuación:
Resolver la desigualdad compuesta x + 3 < 2x – 1 < 4x - 3
123
SAETA
ALGEBRA
Solución: En este caso es imposible dejar sola a x entre los símbolos de desigualdad,
por lo cual resolveremos por separado cada desigualdad lineal componente.
x + 3 < 2x – 1
4<x
2x – 1 < 4x - 3
2 < 2x
1<x
Sólo los números x tales que x > 4 y x > 1 están en el conjunto solución, cuyo
intervalo es (4,  ) ∩ (1,  ), simplificado es (4,  ) porque todos los números mayores
que 4 también son mayores que 1, las soluciones son los números x tales que x > 4.
y
Actividades de aprendizaje.
I. Resuelve cada inecuación o desigualdad lineal compuesta utilizando notación
algebraica. Escribe los conjuntos solución en todas sus diferentes notaciones.
1. 15 > 2x – 7 > 9
2. -6 < -3(x – 4) ≤ 24
4. -6 ≤
1
x+1<0
3
4x
5. 0 ≤
≤2
3
6. -2 ≤
5  3x
≤2
2
7. x + 3 < 3x – 1 < 2x + 2
8. x – 1 ≤ 2x + 4 ≤ 3x - 1
3. -4 ≤ -2(x + 8) < 8
Ilustra en una recta numérica los conjuntos denotados por las siguientes
desigualdades:
1.
-2 < x < 6
2.
0 < x
< 4
3.
x > -5
4.
x < -3
5.
-1 < x < 2
¡ DEMUESTRA LO APRENDIDO!
Hallar y marcar sobre la recta numérica la solución de las desigualdades
siguientes:
124
SAETA
ALGEBRA
1.
3x - 8 > 7
solución
2.
x - 7 < x
solución
4
8x + 14 < 3x - 6 solución
x > 5
¿
x > -7
3
x < -4
¿
?
0
3.
?
0
¿
?
0
4.
5.
4x - 3 > 2x + 4 solución x < -15
3
2
3 < 4x + 7 < 15 solución -1 < x < 2
¿
?
0
¿
?
0
Se han resuelto problemas mediante métodos planteados en apartados anteriores. El
primer paso ayuda a determinar lo que se desea encontrar. Para abordar el segundo
paso se debe saber que datos del problema son dados y por tanto, preguntarse lo
siguiente:
¿ Qué pide el problema ?
¿ Qué datos ofrece ?
INTÉNTALO ¡ TÚ PUEDES !
hora vas a tratar de resolver este problema:.
1. Una cooperativa que fabrica y vende camas tiene gastos generales cada
semana, incluyendo salarios y costo de planta, de $27,200.00. El costo de
los materiales por cada cama es de $ 320 y se venden en $ 1,600. ¿
Cuántas camas deben fabricarse y venderse cada semana a fin de que la
cooperativa obtenga utilidades?
2. Horacio y Saúl van de pesca. Como Horacio es el dueño del bote conviene
en que él tomaría 5 pescados más que Saúl. si en total pescaron 19 peces.
¿ Cuántos pescados reciben cada uno ?
¡CONTINUA ESFORZÁNDOTE !
125
SAETA
ALGEBRA
Actividades de aprendizaje
Resuelve los siguientes problemas .
1. Una bala en 1960 tenia 8 veces la longitud de la uña del dedo meñique. La
bala tenía una longitud de 27 cm. ¿ Qué longitud tenía la uña ?
2. El número de maestros en una comisión especial debe ser tres veces mayor
que el número de maestras. Si hay 12 maestros en la comisión, mostrar
sobre la recta numérica los posibles valores del número de maestras.
3. La anotación de goles de Simón fue 3 menos que la de Pedro. Si Jesús
anotó 89 .
¿ Cuántos anotó Pedro ?
SI PERSISTEN LAS DUDAS.....CONSULTA TU FACILITADOR
G
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
TÉRMINO
COEFICIENTE
TÉRMINOS SEMEJANTES.
POTENCIA.
BASE.
EXPONENTE.
BINOMIO.
L
O
S
A
R
I
O
Se
llama
expresión
algebraica
a
las
combinaciones de números, literales, variables y
signos de operación (+ , - , x, ).
Se llama término o monomio a una expresión
algebraica que no está enlazada por los signos de
operación ( + , - ).
Es el factor o factores que indican el número de
sumandos iguales.
Se dice que dos o más términos son semejantes
cuando difieren únicamente en el coeficiente, pero
tienen iguales el resto de sus factores (que
contienen las mismas literales y exponentes).
Se llama potencia a la representación de un
producto de factores, iguales entre sí.
Se llama base de una potencia al factor que se
repite tantas veces como lo indica el exponente.
El exponente es el número que se escribe en la
parte superior derecha de la base, y el cual indica
las veces que ésta se repite como factor.
Es la expresión algebraica que tiene dos términos
y están relacionados por un signo de operación.
( + , - ).
126
SAETA
TRINOMIO.
POLINOMIO
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.
FACTOR COMÚN
IDIOMA O LENGUAJE
MATEMÁTICO
TRADUCIR A LENGUAJE
MATEMÁTICO
ECUACIÓN.
RESOLVER LA ECUACIÓN
GRADO DE LA ECUACIÓN
DESIGUALDADES O
INECUACIONES
SOLUCIÓN DE
INECUACIONES O
DESIGUALDADES
ECUACIONES
FRACCIONARIAS
ALGEBRA
Es la expresión algebraica que contiene tres
términos enlazados por los signos de operación.
( + , - ).
Se llama a la expresión algebraica que consta de
dos o más términos enlazados por los signos de
operación ( + , - )..
Cuando determinamos la suma de dos o más
fracciones y las debemos cambiar por otras
equivalentes con un denominador común y el cual
sea mínimo.
Se llama al mismo factor que aparece en cada
uno de los términos de un polinomio
Conjunto de símbolos y reglas que sirven para
expresar proposiciones.
Proceso por el cual se pasa del lenguaje cotidiano
al lenguaje matemático.
Es una expresión algebraica que tiene una
igualdad condicionada para ciertos valores de la
variable.
Proceso de despejar la variable o incógnita.
Es el mayor exponente al que se encuentra
elevada la variable.
Son los problemas que al simbolizarse
algebraicamente contienen mayor que, menor
que o diferente a.
Es el proceso de encontrar el conjunto solución, el
cual generalmente es infinito.
Son las expresiones algebraicas que tienen, por lo
menos en algún denominador, a la variable cuyo
conjunto solución se está buscando.
SISTEMA DE ECUACIONES
Dos o más ecuaciones de la forma:
LINEALES.
Ax + By + C = 0 .
CONJUNTO SOLUCIÓN.
Conjunto de pares ordenados que satisfacen una
ecuación o un sistema de ecuaciones.
SISTEMA DE ECUACIONES
Dos o más ecuaciones de la forma
CON TRES VARIABLES
Ax + By + Cz + D = 0 .
DESIGUALDADES LINEALES. Toda expresión de la forma Ax + By + C > 0
ó
Ax + By + C < 0 .
127
SAETA
ALGEBRA




Bibliografía



Phillips E.D., T. Butts, M. Shaughnessy, Álgebra con
Aplicaciones (1988), Ed. Harla, S.A., México.
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Bibliografía
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Bibliografía
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Bibliografía
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