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Curso Propedéutico de Física Moderna I
Instituto de Ciencias Físicas UNAM
Semana 2: Dinámica relativista
Antonio M. Juárez Reyes, Instituto de Ciencias Físicas
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Temario, semanas 1 y 2
Parte 1
1.1.- Sistemas de referencia.
1.2.- Transformaciones de Galileo.
1.3.- Constancia de la velocidad de la luz y sus consecuencias,
concepto de simultaneidad.
1.4 Transformaciones de Lorentz y consecuencias, espacio-tiempo.
Parte 2
2.1 Velocidades relativistas, efecto doppler.
2.2 Invariantes relativistas: s2 = x2 + y2 + z2 – c2 t2 ; E2 – p2 c2
2.3 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
2.4 Aceleración bajo una fuerza constante.
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
2.1 Velocidades relativistas,.
Curso propedéutico, Física moderna 2008
2.1 Velocidades relativistas,.
En ésta segunda sesión continuaremos explorando las implicaciones
del postulado de la relatividad especial, concerniente a la invariancia de las
leyes físicas en sistemas inerciales.
En esta sección revisaremos cómo se modifican las fórmulas
de velocidades en relatividad. La derivación será una aplicación
directa de las transformadas de Lorentz vistas en la clase pasada:
Curso propedéutico, Física moderna 2008
2.1 transformaciónde velocidades.
Las transformadas de Lorentz
Saquemos las
diferenciales de éstas
Expresiones (2 minutos):
2.1 transformaciónde velocidades.
Definimos la velocidad medida en el sistema de referencia O´como:
Utilizando (2.1) obtengan la expresión para v´x, v´y y v´ z : (3 minutos)
¿Ya?
2.1 transformaciónde velocidades.
Lo que debieron haber obtenido:
Fórmulas de transformación de velocidades.
Noten que: vx es la velocidad en el sistema O, v´x en el O´ y v es la
Velocidad relativa entre O y O´.
2.1 transformaciónde velocidades.
Problema: Probar que la velocidad de la luz es invariante respecto al
Movimiento uniforme rectilíneo
2.1 Efecto doppler relativista.
2.1 Efecto doppler relativista.
Una fuente de luz se mueve con velocidad v, como se muestra en la figura:
¿cuál es la longitud de
onda, en función de la
frecuencia en reposo y
de la velocidad de la
fuente? ( 1 minuto)
Clásico
Considerando la transformación de Lorentz
para el período.
2.1 Efecto doppler relativista.
Ejercicio:
Probar que la expresión anterior se puede escribir
Como:
Recordando que c=lambda x frecuencia ( 5 minutos)
2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
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2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Evaluemos ahora las implicaciones que la relatividad especial tiene respecto
A la invariancia de las leyes mecánicas:
Imaginemos el siguiente experimento pensado:
Curso propedéutico, Física moderna 2008
2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
¿cuál es el cambio de momento vertical que mide O y O´ en la colisión
Que se ilustra en la figura?
Según el principio de relatividad
especial:
R.-2moVy
en O
2moVy = 2m´Vy´
2m´Vy´ en O´
¿qué implica esto?
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2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Según el principio de relatividad
especial:
2mVy = 2m´Vy´
¿qué implica esto?
Empleando la ecuación de transformaciones de velocidades:
2mVy = 2m´Vy
g
Pues
Vx´=0
Lo anterior implica que la masa m y la masa m´ están relacionados de la siguiente
Manera:
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2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Lo anterior implica que la masa m y la masa m´ están relacionados de la siguiente
Manera:
Ésta es la fórmula de transformación relativista de la masa.
Esta expresón es muy útil, pues nos permitirá encontrar la expresión
Para las distintas energías de un cuerpo, desde el punto de vista relativista.
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2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Elevando al cuadrado
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2.2 Dinámica relativista: masa, fuerza y energía relativista.
Integrando
Probar que esta expresion se reduce a la clasica a bajas
velocidades v. (5 minutos)
(1-x)1/2 = (1+x/2 + …)
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2.3 Momento relativista
La energía cinética puede considerarse como la diferencia entre la energía
Total, E menos la energía en reposo:
T= E -Er
Dado que : T= mc2 –moc2 Se puede asignar E=mc2
Se puede probar que E2= (pc)2 + (mo c)2 ( ver tarea 2)
Momento relativista:
Dado que la masa varía con la velocidad, es necesario redefinir el momento
En relatividad de la siguiente manera:
p= (mov) g
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2.3 Momento relativista
Momento relativista:
Dado que la masa varía con la velocidad, es necesario redefinir el momento
En relatividad de la siguiente manera:
p= (mov) g
Si se usa esta definición, la segunda ley de Newton es
Igual, salvo por la consideración de p, definida en la
Ecuación anterior. Explorarán las implicaciones de esta
fórmula en su tarea ( regla de la cadena).
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2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Supongamos que se tiene un alambre con una densidad de carga por unidad
De longitud ‫ ג‬de cargas positivas y negativas, respectivamente.
Dado que la carga positiva ve una corriente I, experimentará un campo
Magnético B, dado por:
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Donde la corriente esta dada por la densidad
Por la velocidad de las cargas.
Considerando la fuerza de Lorentz:
Se tiene:
Esta fuerza empujará a la carga lejos
Del alambre ( convencerse) 2 min
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Analicemos ahora el problema considerando el sistema de referencia en el
Que la carga está en reposo:
Dado que la carga q+ está en reposo no hay fuerza de Lorentz, aunque haya
Corriente. Sin embargo la carga experimentará una fuerza ¿de donde viene
Tal fuerza?
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
La solución de la paradoja está en que, debido a la contracción de
Las longitudes, dada por la transformada de Lorentz, la densidad de cargas
Positivas es distinta ahora de las negativas:
Corroborar esto 2 minutos
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
Corroborar esto 2 minutos
Empleando el teorema de Gauss, podemos probar que
Donde se ha usado que:
La fuerza experimentada por la carga, en su sistema de referenica
Es la misma en magnitud que la sentida en el sistema en el que ella
Aparece en movimiento.
Sin embargo, en un caso el campo era magnético y en el otro eléctrico.
2.5 Transformación de campos electromagnéticos.
El ejemplo anterior nos permite apreciar que, dependiendo del sistema de
Referencia el campo puede ser eléctrico o magnético.
La derivación de las transformadas de Lorentz de los campos E y B
Es relativamente sencilla, aunque larga. En los apéndices 1 y 2 en
La sección notas, encontrarán una derivación sencilla de ellas.
Aquí las tienen:
E x  E x
v 

E y    E y  B z 
c 

v 


Ez    Ez  By 
c 

B x  B x
v 

B y    B y  E z 
c 

v 

B z    B z  E y 
c 

2.5 Notas finales
1.- Las soluciones de la tarea anterior están ya en la red, puden
revisarlas para ver en donde fallaron.
2.- La tarea 2 ya está en la red. Bájenla, imprímanla y deberán
entregarla sin falta al inicio de la próxima clase.
3.- Al inicio de la próxima clase se hace examen diagnóstico
De este tema. Asegúrense de hacer los problemas de la tarea. El
Examen será a ese nivel.