Download corriente un aplicada

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PROBLEMAS
PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA
y
M
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g
n
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m
o
Antonio J Barbero
Departamento de Física Aplicada
UCLM
1
INTRODUCCIÓN
HISTÉRESIS MAGNÉTICA
En el eje de ordenadas puede representarse
bien la imanación M o bien el campo B
Imanación
del material
Cuando el campo magnético aplicado cae
a cero, sigue existiendo magnetismo
remanente (esto tiene utilidad para
almacenamiento magnético de datos)
El campo magnético aplicado debe
invertirse y alcanzar un valor llamado
campo coercitivo para que la imanación
vuelva a ser nula
Saturación en
sentido opuesto
Material imanado hasta
saturación por alineación
de dominios
M
El material ferromagnético sigue
una curva no lineal cuando se
imana desde campo cero
Campo magnético
aplicado
H
El ciclo de histéresis muestra que la imanación de
un material ferromagnético depende de su
historia previa. Una vez se ha llevado el material
a saturación el campo aplicado H puede ser
reducido a cero pero el material retiene buena
parte de su imanación (“recuerda su historia”).
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INTRODUCCIÓN (2)
MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. LÍNEAS DE CAMPO
Líneas de campo H
Líneas de campo B
En el espacio libre

B

H
0
Dentro del material
ferromagnético

M

H

M

B
0

 B

H
M
0
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INTRODUCCIÓN (3)
ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA

Imanación M  M 0uz

M 0 R3 


He 
2
u
cos


u
r
 sin  
3r 3

M 0 R3 


Be  0
2
u
cos


u
r
 sin  
3
3
r
r
Z
Fuera de la esfera uniformemente imanada

El mismo campo que produciría un dipolo

magnético m  4 R3M centrado en la esfera

 4
m  R3M
3
3
R
Dentro de la esfera uniformemente imanada

 M0 
 ur cos  u sin     M
Hi 
3
3


 
  M 2 
Bi  0 M  H i   0  M    0 M
3 3

Campos uniformes. El campo H tiene
sentido opuesto a la imanación (campo
desimanador)
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INTRODUCCIÓN (4)
ESFERA FERROMAGNÉTICA UNIFORMEMENTE IMANADA (Cont)


Imanación M  M 0uz
Z
Z
y

Líneas de campo B

Líneas de campo H
M
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5
PROBLEMA 1
Dos conductores indefinidos coaxiales de radios a y b transportan
corrientes iguales +I y –I (igual magnitud y sentidos contrarios). En
un sector del volumen comprendido entre ambos existe un material
lineal de permeabilidad , subtendidendo un ángulo  (véase corte
transversal en la figura). Se pide:

b

a
a) Los campos H y B entre ambos conductores si no existiese entre
ellos ningún material magnético.
b) Los campos H, B y M en la situación planteada en el enunciado.
Si no existiese ningún material magnético
Ampère:
b

H
b
r

H
Suponemos saliente
la corriente del
conductor interno

dl


I 
H
u
2r
a

dl

 
Hdl  I
Existiendo material magnético
a

dl
r

H0
  I
B  0 u
2r



Bnu

Bn 0u


 
Hdl  I
H0 2    r  H r  I
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M
Las componentes del campo a
B normales a las superficies g
n
de separación de ambos
medios han de ser continuas. e
t
Bn0  Bn
i
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Bn0  0 H0
Bn  H
m
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0 H 0  H
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PROBLEMA 1 (Continuación)
H0 2    r  H r  I
0 H 0  H

H0 


B0  0 H 0 
0
H rI
 0
H 0 2    r 
I

u
 2     0  r
0 I

u
 2     0  r

H
H0 
I
 2     0  r
0 I

u
 2     0  r


B  H 
0 I

u
 2     0  r
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El campo B es el mismo en ambos casos
Imanación en el material magnético

 B

H
M
0

 B 
M
H
0

M
  0 I

u
 2     0  r
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E
l
Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo
e
cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, hecho c
de un material magnético lineal de permeabilidad relativa r. Determine:
t
r
a) Los campos H, B y M alrededor del filamento.
i
b) Las corrientes de imanación en el tubo.
c
1. r1 < a
i
Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento 2. a  r2  b
d
a
Región 1. r1 < a Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia 3. r3 > b
d
centrada en el hilo de radio r1
PROBLEMA 2
a
b

 
H1dl  I
H1  2 r1  I
I

H1 
r2
r1

u
Región 2. a  r2  b




B
H2  2  M 2
0
 
H 2 dl  I

M1  0
Por la simetría del problema, el campo H está

en cada punto en la dirección del unitario u
I
2 r1

u


I 
B1  0 H1  0 u
2 r1
Dentro del material magnético
H 2  2 r2  I


I
B2  r 0 H 2  r 0 u
2 r2

H2 
I
2 r2

u

  1I u
M2  r

2 r2
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PROBLEMA 2 (Continuación)
Corrientes de imanación
Región 3. r3 > b
H3  2 r3  I

 
H 3dl  I
H3 


I 
B3  0 H 3  0 u
2 r3
I
2 r3

u

M3  0


J m    M (A/m2)

 
Km  M  un (A/m)
   1 M z M     M r M z   1  rM  M r 
  M  ur 



  u 

  u z 
z 
r 
r  r
 
 z
 r 
  1I
M 2  f (r2 )  r
2 r2
Véase que en la región 2 la forma de M es
M 2r  0
M2z  0
Los términos tachados con aspa son nulos porque M2 no tiene componentes r ni z.
El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nulo porque la derivada
de M2 respecto a z es cero.
a
b
El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nulo porque rM2 es
constante y su derivada respecto a r es cero.


Véase que J m    M  0
I
r1
r2
No hay corrientes volumétricas de imanación
r3

u
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PROBLEMA 2 (Continuación)
Densidades de corrientes superficiales de imanación

 
Km  M  un
En r2 = a un  ur

Km
r2 a

  1I u
   1I 

 M 2 (r2  a)  un  r
u   ur   r
z
2 a
2 a
En r2 = b

Km
a
r2 b
b
I
 
un  ur

ur

   1I   r  1I 
 M 2 (r2  b)  un  r
u  ur 
 uz 
2 b
2 b

u

uz

u

 ur

 uz
y
Corrientes de imanación
Superficie interna
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I m (a)  2 a 
r  1I  
2 a
r  1I
  r  1I 
 r  1I
Superficie externa I m (a)  2 b  

2

a


Sobre la cara
externa r2 = b
Sobre la cara
interna r2 = a
Pregunta adicional: ¿podrían obtenerse los valores de los campos B2 y B3 usando
el resultado recién obtenido?
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PROBLEMA 3
E
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Un toroide de material magnético lineal de permeabilidad r = 100 tiene un radio medio e
R = 20 cm. El toroide tiene un entrehierro d = 1 cm y un bobinado de 500 espiras, por el c
que se hace circular una corriente de 1075 mA. Determine los campos B y H en el
t
entrehierro.
r
i
Los campos H y B están confinados en el interior del material y en el
N = 500
c
entrehierro, por la simetría del problema sus direcciones son tangentes
B
i
H
a
la
circunferencia
en
todos
los
puntos
de
la
misma.
I = 1.075 A
d
H
 
R
a
H m 2R  d   H d d  NI
Ecuación campo H
H dl  NI
d
B

material
d
B
H
Ecuación campo B

 
B dS  0
H m 2R  d   H d d  NI

Bd

Bm
En las paredes laterales del tubo el
flujo de B es nulo, sólo hay flujo en
las bases. Por tanto la condición de
flujo nulo a través de la superficie
cerrada da: Bd  Bm
0 H d  H m
H m  r 0 H m  0 H d
Hd 
entrehierro
y
Bd  Bm
M
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g
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H m 2R  d   r H md  NI
Hm 
NI
2R  r  1d

r NI
H m  r H m 
 23925 A/m
0
2R  r  1d
Bd  0 H d 
NI
 0.030 T
2R  r  1d
11
PROBLEMA 4
Un circuito magnético consiste en un toroide de
radio medio R y sección recta S formado por
dos sectores: 1. Un material ferromagnético
imanado que cubre un ángulo , y cuya curva
de desimanación se presenta en la figura
adjunta, y 2. El resto del toroide formado por
material magnéticamente lineal cuya
permeabilidad relativa es r. Usando los valores
numéricos dados en el apartado de datos,
determine la imanación de los dos materiales.
S
MATERIAL
LINEAL
R

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d
a
d
1,2
1,0
0,8
B (T)
y
MATERIAL
FERROMAGNÉTICO
M
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Datos:  = 30º; r = 100; R = 20 cm
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0,00
0 H (T)
12
PROBLEMA 4 (Continuación)
Ecuaciones del circuito magnético (para H y para B) (La trayectoria de integración para H es la línea
 
H dl  0

 
 B dS  0
H0  
punteada de radio igual al radio medio R)
H 0 2   R  H f R  0
B f  B0
H f
2  
Relación entre Bf y Hf en el
material ferromagnético
MATERIAL
LINEAL
Subíndice 0 para el material lineal;
subíndice f para el ferromagnético
S
El campo B no tiene discontinuidades
al pasar de un material a otro

H0
Relación entre H0 y B0
en el material lineal
B0  r 0 H 0    r 0
B f  B0    r 0
H f
2  

B0
H f

Bf
2  

 r
0 H f
2  
Bf

H0
R


Hf

B0
MATERIAL
FERROMAGNÉTICO
Datos:  = 60º; r = 100; R = 20 cm
Esta es una relación lineal donde Bf se expresa en función de 0Hf, y el punto de corte de la misma con
la curva de desimanación nos permitirá calcular la imanación del material ferromagnético (véase
transparencia siguiente).
Valor numérico (véase que es independiente de R)
Bf
0 H f

100   / 3
 20
2   / 3
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PROBLEMA 4 (Continuación)
B f  200 H f 
(0, 0)
0 H f  0.044 T
(-0.05, 1)
 0.044
 3.50 104 A/m
7
4 10






Bf
Bf
Hf 
Mf
Mf 
Hf
Hf 
1,2
1,0
0.89 T
0
B (T)
0,8
0
0,6
Mf 
0,4
0,2
B0  B f  r 0 H 0
-0.044 T
0,0
-0,06
-0,05
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0 H (T)


B0 
H0 
 M0
0
0.89
4
4

3
.
50

10

7
.
43

10
A/m
7
4 10
M0 
0,00
H0 
B0
0
 H0 
H0 
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a
d
y
B0
 r 0
M
a
g
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m
o
0.89
3

7
.
08

10
A/m
7
100  4 10
0.89
3
5

7
.
08

10

7
.
01

10
A/m
7
4 10
14