Download Diapositiva 1 - Caos y fractales

1. Concepto de matriz. Traspuesta.
2. Operaciones con matrices:
- Suma y producto por un número.
- Producto.
- Inversa de una matriz cuadrada.
3. Combinación lineal de vectores. Rango de una matriz.
 Una matriz es una “caja” de números en la que éstos se
disponen formando filas y columnas.
 Una matriz con n filas y m columnas :
 a11 a12 ... a1m 


a22 ... a2 m 
a
A   21


 


a

 n1 an 2 anm 
El elemento aij, es el que se encuentra
en la fila i-ésima y la comumna jésima
 La dimensión de la matriz es nxm
(nº filasx nº columnas)
 Dimensión 3x2:
3 0 


 2  2



1
0


 Dimensión 4x1 ó vector columna:
 Dimensión 1x3 ó vector fila:
 2
 3 
 
  2
 0 
 
 1 
 
1 1
 Dimensión 3x3: Es una matriz cuadrada cuando el nº
de filas y el de columnas son iguales.  2 0 1 


 1 1 2 
 0 1 3


 Dada una matriz A, obtenemos su traspuesta At
cuando intercambiamos las filas por columnas o
viceversa.
 3 2


A  1 0


2
1


 3 1 2

A  
2 0 1
t
 Si A es de dimensión nxm, su traspuesta es de
dimensión mxn.
 Una matriz simétrica es la que es igual a su traspuesta
(Debe ser cuadrada)
1 3 1
 1 3

B  
 3 1


C  3 2 0
1 0 1


Suma
 Dos matrices pueden sumarse cuando tienen la misma
dimensión.
 La suma se realiza término a término:
1 2   2  4 3  2

  
  

 0  3  1 2   1 1 
Producto por un número:
 Para multiplicar una matriz por un número, se
multiplican todas sus entradas por dicho número:
 1  2  1   2  4 2 


(2)
 1 0 2    2 0  4 

 

 Producto de dos matrices
 Para poder realizar el producto de dos matrices A·B es
preciso que el número de columnas de A sea igual al
número de filas de B.
(A es n x m y B es m x p)
 Se obtiene otra matriz C en la que cada elemento se
calcula del siguiente modo:
cij   aik  bkj
k
La entrada de la fila i columna j se
obtiene multiplicando los términos de
la fila i de A con los de la columna j de
B y sumando los resultados.
 Por ejemplo:
1 2
 2  2 2  6 0  2   4 8 2

   2 2 0  
 

   0 1
0  3 0 1    1 3 1 
 0 1   


   1 3 1 
   10 18 4 
3
4

6

4
6

12
0

4

 



 No es conmutativo (en este caso ni siquiera es posible
hacer B·A)
 Matriz identidad de dimensión n, In, es la matriz
cuadrada que tiene todos sus términos nulos salvo los
de la diagonal principal, que son unos. Al multiplicar
una matriz por la identidad, permanece igual.
1 2
1 2

 1 0 

   0 1 ,
 0 1   

 0 1 

3
4
3
4





A·I2=A
 1 0 0   1 2   1 2 


 0 1 0 · 0 1    0 1 
 0 0 1  3 4  3 4


 

I3·A=A