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Definición:
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números
que forman la matriz se llaman elementos y se escriben dentro
de paréntesis.
Las matrices se identifican con letras mayúsculas.
Ejemplos de matrices:
 2 3
A

4
5


 3 1 3
B   3 2 2 
 4 0 5 
3 2 0 
C

4
1

3


Las líneas horizontales de números se conoce como filas y
las verticales como columnas.
 3 2 0  fila
C

4
1

3


columna
Al número de filas por el número de columnas de una matriz
se le llama el orden o tamaño de la matriz.
 2 3
A

4
5


Matriz 2 x 2
 3 1 3
B   3 2 2 
 4 0 5 
Matriz 3 x 3
3 2 0 
C

4
1

3


Matriz 2 x 3
Una matriz puede tener cualquier número finito de
filas y de columnas.
Definición de matriz mxn:
Un arreglo rectangular de números que tiene m filas y n
columnas se conoce como una matriz m x n.
 a11
a
 21
 a31
A
 :


 am1
a12
a13
....
a22
a23
...
a32
a33
...
:
...
am 3
...
:
:
am 2
a1n 
a2 n 
: 

: 


amn 
Los elementos de la matriz se expresan de la forma aij
donde i corresponde a la posición de la fila y
j corresponde a la posición de la columna.
A  aij 
mxn
o A  aij 
Matriz fila:
Es una matriz que tiene una sola fila.
A   a1 a2
a3 ... an 
Ejemplo:
A  1 2 0 1 Su tamaño es 1x4
Matriz columna:
Es una matriz que tiene una sola columna.
Ejemplo:
2
B   0 
 1 
Su tamaño es 3x1
Matrices iguales
Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los
mismos elementos.
Ejemplo:
 x y 1 1 3 1
Si 

entonces x  1; y  3;


 z 1 5  4 1 v 
z  4; v  5
Matriz traspuesta
La transpuesta de una matriz mxn, A es la matriz nxm cuya
fila i es la columna j de A. La transpuesta de A se denota
por AT
Ejemplo:
0 4 
0 3 1 
3 1
T
Si A= 
entonces
A




4

1
4


1 4 
Matrices especiales:
1. Matriz cero
Una matriz mxn cuyas entradas son todas ceros de conoce
como la matriz cero y se denota por 0nxm o solo por 0.
Tenga cuidado que no confunda la matriz cero con el
número cero.
0 0 0
Ejemplo: La matriz cero 2x3 es; 0 = 
2x3
0 0 0


2. Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de
filas que de columnas.
Ejemplo:
 3 1 3
B   3 2 2  Matriz cuadrada 3x3
 4 0 5 
4
A
3
1
6 
Matriz cuadrada 2x2
3. Matriz diagonal
Una matriz cuadrada nxn cuyos elementos son todas ceros
excepto los elementos de la diagonal se llama
matriz diagonal.
Ejemplo:
Una matriz diagonal 2x2 es;
 4 0
A

0
6


Una matriz diagonal 3x3 es;
3 0 0
B   0 2 0 
 0 0 5 
4. Matrices triangularizadas
Una matriz se dice que está triangularizada por arriba si
todas las entradas bajo la diagonal principal son cero.
Una matriz se dice que está triangularizada por abajo si
todas las entradas sobre la diagonal principal son cero.
Ejemplos:
3 1 3

Una matriz triangularizada por arriba es: A  0 2
0


0 0 5 
3 0 0 
Una matriz triangularizada por abajo es; B  3 2 0 


1 0 5 
5. Matriz identidad
Una matriz cuadrada cuyas entradas son todas cero excepto las de la
diagonal principal que tiene entradas iguales a 1, se llama matriz
identidad.
Existe una matriz identidad para cada tamaño de matriz cuadrada nxn.
Ejemplos:
La matriz identidad 2x2 es;
La matriz identidad 3x3 es;
La matriz identidad 4x4 es;
1
I 
0
1
I  0
0
0
1 
0 0
1 0
0 1 
1
0
I 
0

0
0 0 0
1 0 0 
0 1 0

0 0 1
Operaciones con matrices:
1. Suma de matrices
Si A   aij  y B  bij  son dos matrices mxn entonces
definimos la suma de A y B por,
A  B   aij   bij    aij  bij 
La suma de matrices se obtiene sumando los elementos
correspondientes de las dos matrices. Observe que la suma
está bien definida si las dos matrices tienen el mismo tamaño.
Ejemplos: Encuentra la suma las matrices.
 3 0 2 
5 3 6 
1. Si A  
y B
entonces


 2 1 4 
0 2 5 
 3 0 2  5 3 6   3  5 0  3 2  6 
A B  





2

1
4
0
2
5
2

0

1

2
4

4

 
 

8 3 4
A B  

2 1 8
1 2 
 7 2 
2. Si A  3 4  y B   6 4  entonces
5 6 
 3 0 
1 2   7 2  1  7 2  2   8 0 








A  B  3 4    6 4   3  6 4  4    3 8 
5 6   3 0  5  3 6  0   8 6 
Propiedades de matrices nxm:
1. A + B = B + A, propiedad conmutativa.
2. A + (B + C) = (A + B) + C, propiedad asociativa
3. A + 0 = 0 + A , propiedad de identidad
4. (A + B)T = AT + BT propiedad de las transpuestas
Práctica:
 1 2 1
0 1 2 
 2 1 1
Si A  
, B
, C
,



 2 0 1
1 3 1 
 0 2 1 
0 0 0
D

0
0
0


a. Verifica que A + B = B + A.
b. Verifica que A + (B + C) = (A +B) + C.
c. Verifica que A + 0 = A.
Práctica - - - Solución
 1 2 1
0 1 2 
 2 1 1
Si A  
, B
, C
,



 2 0 1
1 3 1 
 0 2 1 
0 0 0
D

0
0
0


a. Verifica que A + B = B + A.
 1 2 1 0 1 2  1 3 3
A B  






2
0
1
1

3
1

1

3
2

 
 

0 1 2  1 2 1  1 3 3 
B A 





1

3
1

2
0
1

1

3
2

 
 

Por lo tanto A + B = B + A
b. Verifica que A + (B + C) = (A +B) + C.
 1 2 1  2 2 1   1 4 2
A B  C  






2
0
1
1

5
2

1

5
3

 
 

 1 2 3   2 1 1  1 4 2


 A  B  C  




1

3
2
0

2
1

1

5
3

 
 

Por lo tanto A   B  C    A  B   C.
c. Verifica que A + 0 = A.
 1 2 1 0 0 0  1 2 1
A0  






2
0
1
0
0
0

2
0
1

 
 

Por lo tanto A + 0 = A
Definición de la multiplicación escalar:
Si A   aij  es una matriz mxn y k es un número real
(un escalar) definimos y denotamos la multiplicación escalar
de A y k por, kA  k  aij    kaij 
   
.
La multiplicación escalar se obtiene multiplicando
cada elemento de la matriz A por el escalar k.
Ejemplo: El producto de las matrices está dada por:
3
 1
 
1.  2 1 3 4 1.  4   2 3  1 1   3 4  4 5   1 6
 
5
 6 
 6   1   12  20   6  7
 1
 5 
2.  3 4 0 1.    3 1   4 5   01  1 0
1
 
0
 3  20  0  0  23
Definición de la multiplicación de matrices
Sea A una matriz de tamaño nxp,y sea B una matriz de
tamaño pxm. Definimos y denotamos la multiplicación de A y B
por A.B = C, donde C es la matriz de tamaño nxm cuyas
entradas cij son el producto interno de la fila i por la columna j.
Ejemplo:
Encuentra los productos AB y BA de las siguientes matrices.
1 3 
6 2 8
5 0 
1. A  
y
B




1
4
5


 2 7 
1 2
 2 5 0


2. A  3 1  y B  

4

1
1


0 1
1 3 
6 2 8 

1. AB  
.
5
0


1
4
5


 2 7 

1 

 6 2 8 5

3

1 

 1 4 5 5 
 

3

 3 



6 2 8 0  
7  

 3 
0  
1
4
5

  
7  
6  10  24 18  0  56 


1

20

15
3

0

35


 20 74 


36 38 
1 3
 9 10 23 
6 2 8 



BA  5 0  

30

10
40
 

1
4
5


 2 7 
19 24 51
1 2
 6 7 1 2
 2 5 3 0 



2. AB  3 1  

10
14
11
1
 

4

1
2
1


0 1
 4 1 2 1
BA no está definida porque ________________
______________________________________
Propiedades de la multiplicación de matrices
Si A, B y C son matrices para las cuales la
multiplicación esta definida y k es un número
real (escalar):
1. A(BC) = (AB)C
propiedad asociativa
2. A( B + C ) = AB + AC propiedad distributiva
3. ( A + B )C = AC + BC propiedad distributiva
4. (kA)B = k(AB) asociativa escalar
Práctica
Demuestren las siguientes igualdades.
5


1. 3 3 1  1   10
 2 
3
2. 5 0 1  9   15
 0 
1
 1
3.  0 1 1 2    3
 2 
 
2
0 1  1 3   0 2
4. 





3
2
0

2

3
5


 

3 1 4  1 3 5
5. 
 no está definida



3 2 5   0 2 1
 1 3 
 9 2 23 
 0 1 5 



6.  0 2 

6

2

12
 


3
1
6
 
 6 0  
 0 6 30
1 3


 2 0 2 1  1 0  5 7 
7. 






2
3

1
1

1
5
3
14






1

3


9 5 4 
1 3
 4
 1 0  2 0 2 1  2

0

2
1

 



8.

 1 5   2 3 1 1  12 15 3 4 




 1 3
 8 9 1 2 
9. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una
matriz 3x4 y B es una matriz 4x3?
10. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una
matriz 5x4 y B es una matriz 3x5?
La matriz identidad
La matriz cuadrada diagonal nxn cuyos elementos en la
diagonal principal son todas 1 y las demás entradas son
todas 0 se conoce como la matriz identidad nxn.
1 0 ... 0 
0 1 ... 0 

In= 




0 0 0 1 
1 0 
I 2= 

0 1 
1 0 0 


I 3=  0 1 0 
0 0 1 
La inversa de una matriz
Sea A una matriz cuadrada nxn. Si existe una matriz B,
nxn tal que AB = BA = In, decimos que B es la matriz
inversa de A y la denotamos por B = A-1.
Práctica.
Verifiquen que:
a. La matriz inversa de
1
2

 1 0
0  es 

1

2   1 

2

9
2

1
0

2




41

b. La matriz inversa de 4 2
es

1
4

  2
1 2 10   5 1

2
9 
2
1 