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Mecánica Celeste.
MECANICA CELESTE.
Sistemas geocéntrico y heliocéntrico.
Leyes de Kepler
Leyes de Newton
Contribuciones de Lagrange y de Laplace
Poincare (¿es estable el Sistema Solar?)
Conceptos de relatividad especial y
general.
La Mecánica Cuántica
Modelo de Filolao
Epiciclos
El dibujo de la derecha presenta
las observaciones efectuadas por
Galileo del 7-24 de Enero de 1610,
del movimiento de los 4 satélites
mas brillantes de Júpiter: Europa,
Io (que a veces no se ve por su
cercanía con Júpiter) , Calisto
(muchas veces fuera del campo).
El descubrimiento de estas lunas,
le dio un fuerte apoyo al modelo
geocéntrico de Copernico, ya
quepuede verse como un pequeño
sistema Solar, en el que en este
caso, Júpiter es el cuerpo central.
Keppler
descubre
que
Marte y
los
demás
planetas
se
mueven
en orbitas
elípticas.
Es la gran esfera imaginaria que
rodea a la Tierra, en la cual podemos
localizar cualquier objeto celeste. Esta
esfera tiene un movimiento de rotación
aparente de Este a Oeste y su eje de giro
coincide con el eje de rotación de la
Tierra.
En el hemisferio Norte, la estrella
Polaris se encuentra muy cerca de la
dirección del eje polar.
Cenit
Polaris
Eje Polar
Solsticio de
Invierno
S
N
Horizonte
Punto Vernal
Equinoccio de
Primavera
Nadir
23.5º
Conceptos Sobre la Esfera Celeste
• Eje Polar: Eje alrededor del cual tiene su movimiento
aparente la esfera celeste. Es paralelo al eje terrestre e
intercepta a la esfera celeste en los polos N y S.
• Polaris: es la estrella que nos indica la dirección del
polo Norte celeste. Su elevación sobre el horizonte
(altitud), nos da la latitud del lugar donde se encuentra
el observador.
• Paralelos Celestes: son los círculos paralelos al
ecuador celeste.
• Ecuador celeste: es el paralelo celeste de circulo
máximo.
• Meridiano celestes: son los círculos que interceptan
los polos celestes.
• El Meridiano: meridiano celeste que pasa por el cenit.
Eclíptica: trayectoria aparente del sol en su paso
anual por las constelaciones. Este plano existe,
debido a que la Tierra se mueve en un plano
alrededor del Sol. Como todos los planetas se
mueven cerca de dicho plano, ellos siempre se
observan cerca de la eclíptica. Por esta razón, los
planetas son fáciles de identificar si se conocen las
constelaciones del zodiaco. Entre el plano de la
eclíptica y el ecuador hay un ángulo de 23.5º, que
es debido a la inclinación del eje terrestre respecto
al plano Tierra-Sol.
Constelaciones del Zodiaco: las 12 constelaciones
interceptadas por la eclíptica.
Las Estaciones del Año
Aries
Tauro
Piscis
Eq. Vernal
Acuario
Capricornio
Géminis
Sagitario
Solsticio
de
Verano
Tauro
Cáncer
Escorpión
Libra
Leo
Virgo
Constelaciones, etc.
N
23h
α
0h 1h
δ
2h 3h 4h
S
En este ejemplo, las coordenadas son:
α=04h 0m 0s
δ = 25° 0‘ 0"
Ascención Recta (α):
Similar a la longitud
geográfica. Pero se
mide en unidades de
tiempo en horas,
minutos y segundos a
lo largo del ecuador
celeste, usando al
punto Vernal de
refencia.
Declinación (δ): similar a la
latitud. Se mide en (grados,
m, y s angulares, al norte o
al sur del ecuador terrestre.
Para describir movimientos de objetos
que se encuentran en el sistema Solar,
conviene usar coordenadas eclípticas.
Las cuales se miden tomando como
referencia al plano de la eclíptica.
Para movimientos en la Vía Láctea se
utilizan las coordenadas Galácticas. Para
lo cual se toma como referencia el plano
de nuestra Galaxia, tomando como origen
la posición del centro Galáctico en: (l,b)=
α=17h 42m 24s, δ=-28º 55´
El polo norte Galactico está en: 12h49m, +27o24´
Leyes de Kepler
• 1.- Cada planeta se mueve en una orbita
elíptica con el Sol en uno de sus focos.
• 2.- La línea entre el Sol y un planeta
recorre áreas iguales en tiempos iguales.
• 3.- El cuadrado del periodo de un planeta
es proporcional al cubo del semieje mayor.
Propiedades de la Elípse
2b
F´
ae
2a
F
2a Ley de Kepler
Circulo: corte II
(paralelo) a la base
Parábola: corte II
al lado del triángulo
Elipse: resulta de
un corte oblicuo
Hipérbola: corte II al eje
Tercera Ley de Kepler
Planeta P(año)
A(AU)
T2
R3
Mercurio
0.24
0.39
0.06 0.06
Venus
0.62
0.72
0.39 0.37
Tierra
1.00
1.00
1.00 1.00
Marte
1.88
1.52
3.53 3.51
Júpiter
11.9
5.20
142
141
Saturno
29.5
9.54
870
868
T2
R3
Leyes de Newton
• 1.- Ley de la Inercia: Un cuerpo permanece en
reposo o en movimiento constante a menos que
se le aplique una fuerza externa.
• 2.- Ley de Fuerza: La fuerza es igual a la masa
por la aceleración (F=ma)
• 3.- Ley de Acción y Reacción: para cada fuerza
de acción corresponde una fuerza de reacción
que es igual pero en sentido contrario.
Las leyes de Newton son básicas
para comprender los movimientos
que ocurren en el sistema solar. Son
fundamentales en la astronáutica.
Todo satélite obedece las leyes de
Newton. Las mismas leyes sirven
para entender el movimiento de
sistemas estelares en cúmulos a
nivel galáctico, etc. es decir tienen un
carácter universal.
Consideremos una órbita circular alrededor
de la superficie de la Tierra (R = 6370 km).
¿Qué velocidad debe tener un cuerpo para
entrar en órbita terrestre?
mv2 /R = mg
v = √gR
= √9.8x6370000 m/s
V = 7.91 km/s
R
m
v
Ley de Gravitación Universal
• Cada cuerpo en el Universo es atraído por
todos los demás cuerpos con una fuerza
que son iguales al producto de las masas
de los cuerpos divididos entre el cuadrado
de la distancia
F = -G m1m2
r2
Newton demostró a partir de su leyes, las
leyes de Kepler, las cuales habían sido
encontradas empíricamente por Kepler. Y
que no solo son aplicables al movimiento de
los planetas, sino a todo tipo de orbitas.
Después de Newton, La 3a Ley de Kepler
queda como sigue:
P2 = 4 π2 a3 / [ G (m1 + m2) ]
Donde m1 y m2 son las masas de los cuerpos
1 y 2, P es el período orbital y a es el semieje
mayor.
Debido a que normalmente la masa de un
satélite es mucho menor que la del cuerpo
que está orbitando, basta conocer el período
P y el semieje mayor a de un satélite para
encontrar la masa del cuerpo central.
Por ejemplo, para el satélite Io sabemos que:
P = 1.77 días
a = 4.22x1010 cm.
Demuestre que la masa de Júpiter es
1.9x1030gramos
=318 MTierra
Verifique que obtiene resultados
consistentes con las otras Lunas
Galileanas.
Satélite
Distance(km)
Periodo(h)
Io
422,000
42.46
Europa
671,000
85.22
Ganimede
1,070,000
171.70
Calisto
1,883,000
400.56
Otro ejemplo útil es el de los satélites
geoestacionarios, para los que P = 1 día.
Sabiendo que MTierra = 5.974x1027 gr.
¿A que altura deben orbitar a la Tierra?
Porbital = 1 día
= Protacional
de la Tierra
RT
X
Es la velocidad que debe superar un cuerpo
para poder abandonar completamente a su
cuerpo central. La condición que se debe
cumplir es, que su energía total sea igual a 0.
ETotal = Ecinética + Epotencial = 0
= mV2/2 - GMm/r = 0
V = √2GM/r
Substituyendo valores para la Tierra tenemos:
Vescape = 11.2 km/s.
Calcule Vescape para el Sol y para la Galaxia.
Después del descubrimiento de Urano por
Hershel en 1794, surgió un gran interés por
encontrar más planetas en el Sistema Solar.
Pronto se supo que el movimiento de Urano,
no parecía obedecer las leyes de Newton, a
menos de que este planeta estuviera siendo
perturbado por otro planeta más lejano.
John Adams y Le Verrier trabajando en forma
independiente (en Inglaterra y Francia) con
las perturbaciones, predijeron la existencia de
Neptuno. Dicho planeta fue observado por
Galle y D’arrest el 23 de septiembre de 1846.
Friederich Bessel (1784-1846),
El primero en observar el paralaje y utilizarlo
para medir distancias a las estrellas. En 1838
descubre que la estrella 61 del Cisne tiene un
paralaje de 0.314” (el valor correcto es 0.292”),
por lo que se encuentra a 10 años luz del Sol.
Un parsec equivale a 3.2 años luz de distancia.
“El más grande y glorioso triunfo que
ha experimentado la Astronomía
práctica” John Hershell
“Puso por primera vez nuestras ideas
sobre el Universo sobre una base
sólida” Heinrich Olbers
Otras contribuciones de Bessel
Es famoso, por descubrir a Sirio B, la compañera
de Sirio (enana blanca, la primera estrella compacta
en ser descubierta). Esto se estudiará más adelante
en esta sesión.
 En matemáticas son sumamente conocidas las
funciones de Bessel, que encontró por primera vez
en sus estudios sobre perturbaciones planetarias.
 Estudios geodésicos de arcos meridianos, que le
permitieron encontrar que la elipticidad de la Tierra
es de aproximadamente 1/299.
 Estudio las perturbaciones producidas sobre
Urano por un planeta desconocido (Neptuno), pero
murió antes de concluir sus calculo.
Las leyes de Newton son también validas
para describir sistemas estelares.
W. Hershel demostró a través de cálculos
y observaciones que los sistemas binarios
de estrellas obedecen la 3a Ley de Keppler
y que estos pueden utilizarse para medir la
masa de las estrellas. Hasta la fecha esta
es la técnica más confiable para obtener
las masas estelares.
Sistema Binario de Castor
1790
1830
1870
1950
1910
Sistema Binario de Sirio
Movimiento del Sistema de Sirio
La Masa de las Estrellas
Ri es la distancia a la estrella con masa mi medida desde el centro
de masa C.M. del sistema. Por definición de C.M., M1R1=M2R2.
Por la 3a Ley de Kepler, M = R3/P2,donde M=M1+M2 (en masas
solares), R=R1+R2 (en A.U) y P es el periodo (en años terrestres).
M2
R2
C.M
R1
M1
Para el Sistema binario de Sirio tenemos:R= 20.0 A.U, P=50 años. La 3a
Ley de Kepler nos da: M = 3.2 Msol. Y como R2/R1=2, M1/M2=2. Entonces
M1+M2=M1+M1/2= 3.2 Msol. Y M1 = 3.2 Msol/1.5 = 2.13 Msol y M2 = 1.07Msol.
La estrella 2 es una enana blanca.
Materia Obscura
F. Zwicky en 1933, descubrió que existe más
materia en el Universo que lo que podemos
ver con nuestros ojos.
http://neo.jpl.nasa.gov/orbits/
Es sumamente importante conocer las
orbitas de todos los asteroides que nos
puedan impactar. Este es un ejemplo
en el cual podemos ver la importancia
de la observación astronómica y de la
mecánica celeste.
Hasta el momento se conocen 462
NEO´s, que son considerados como
potencialmente peligrosos. Entre los
más famosos podemos mencionar a:
2002 NY40 y el 1997 XF11, que han
causado alarma poco después de
haber sido descubiertos.
Aún no se sabe de ningún NEO que
valla a impactar a nuestro planeta. Lo
que si es cierto es que de alguna
forma debemos estar preparados, por
si esto llegara a ocurrir.
http://cass.jsc.nasa.gov/publications/slidesets/craters.html
LPI, NASA
Localización: 21.3°N 89.6°W al norte
de la Península de Yucatán
Diámetro: ~250-280 km
Edad: 64.98 ± 0.05 millones de años
Proyecto de ESA para estudiar la
posibilidad de desviar asteroides.
La mecánica celeste para
el estudio de satélites
artificiales y basura en el
espacio.
El insólito caso del objeto
J002 E3.
Actualmente se utilizan 2 escalas para medir
el riesgo de impacto: la de Palermo y la de
Torino. De acuerdo con estas, el objeto que
tiene la mayor probabilidad de impacto es el
2000 LG6, teniendo una probabilidad de unas
cuantas diez milésimas, para el año 2088. Por
lo que no hay que preocuparse demasiado.
Los registros de cráteres más conocidos en la
Tierra son: el de Meteoro (Arizona), Chicxulub
(Yucatan, México), el de Aorounga (Chad),
Manicouagan (Canada), y el de Roter Kamm
(Namibia). En el sistema solar: ShumakerLevy 9 (Júpiter), las cadenas de cráteres en la
Luna, en Calisto y en Gamínides.
a semieje mayor
e eccentricidád
w argumento de preiapsis (valor medio)
M anomalía media
i inclinación c.r a la eclíptica (valor medio)
node longitud del modo ascendente
n razón de longitud (valor medio)
P periodo sideral (valor medio)
Pw argumento del periodo de precesión periapsis
Pnode longitud del modo de ascensión
Tilt ángulo entre el ecuador del planeta y el plano
Laplaciano
α y δ del polo c.r al plano Laplaciano.
Estrella
Luz corrida
Luz corrida
al azul
al rojo
Planeta
Se puede inferir la presencia de un
planeta, estudiando el bamboleo de
una estrella, por medio del efecto
Doppler.
http://obswww.unige.ch/~udry/planet/planet.html
Lagrange Joseph Louis, Conde de (1736 - 1813)
Laplace Pierre Simon, Marqués de (1749 – 1827)
Incluyeron los efectos producidos por la
masa de los planetas (perturbaciones) en la
descripción de los movimientos del sistema
solar. Su conclusión fue, que debido a que
las razones de las masas de los planetas en
el sistema solar, c.r a la masa del Sol son
pequeñas (10-3 a 10-9 y a que las
eccentricidades (e~10-2) e inclinaciones (i
~10-2 rad), el movimiento de los planetas
en el sistema solar es estable.
Los puntos L4 y L5 son los únicos estables a
perturbaciones. Es el sitio de los asteroides
troyanos en la órbita de Júpiter.
L4
L3
L1
L5
¿Tiene Troyanos
la órbita terrestre?
L2
Jules Henri Poincare
(1854-1912)
Uno de los más grandes
matemáticos del siglo pasado.
Descubrió que el movimiento de los cuerpos
del sistema solar son muy sensibles a las
condiciones iniciales. Con su trabajo puso en
duda las conclusiones de estabilidad del
sistema solar que propusieron Lagrange y
Laplace.
Pionero en el estudio de sistemas caóticos.
Teoría Especial de la Relatividad
Creador: Albert Einstein
Nace el 14 de Marzo de 1879 en
Ulm, Alemania y muere en
Princeton, Pensilvania, USA en
1955.
Las 2 hipótesis:
1.-Las leyes de la física tienen las
misma forma en todos los
sistemas inerciales.
2.-La velocidad de la luz en el vacío
es constante en cualquier sistema
de referencia en que se propague.
Algunos Resultados de la T. E. de la
Relatividad
Contracción de la distancia
V
L = L0(1-v2/c2)1/2
Dilatación del tiempo
Δt = Δt0/(1-v2/c2)1/2
Paradoja de los gemelos.
Distintos Tipos de Geometrías
Si todos los sistemas acelerados son equivalentes, el espacio no puede ser
Euclidiano.
Ecuaciones de Einstein:
Curvatura= G (Densidad de materia y energía)
Confirmación de la TG de la Relatividad
Lentes Gravitacionales