Download Mecánica Celeste 1

Mecánica Celeste
Sistemas geocéntrico y heliocéntrico
Nacimiento de la Física con Galileo
Leyes de Kepler
Leyes de Newton
Contribuciones de Lagrange y Laplace
Poincaré (¿Es estable el Sistema Solar?)
Relatividad Especial y General
Mecánica Cuántica
Unificación, supercuerdas…
Una concepción mitológica del Universo
Modelo de Filolao
Platón pensó que los planetas
se mueven uniformemente en
órbitas circulares.
Eudoxio de Cnido (408-355 a. C.), con
quien nace la Astronomía Matemática, fue
el primero en explicar los movimientos del
Sol, la Luna y los planetas: propuso un
sistema de esferas con un centro común
(homocéntricas), en el que la Tierra
ocupaba el centro y los siete cuerpos
celestes móviles de la antigüedad (Sol,
Luna, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y
Saturno), estaban fijos a grupos de esferas.
Primero también en establecer que el año tiene
una duración de 365 días y 6 horas.
El modelo de esferas homocéntricas de Eudoxio es adoptado por
Calipo y posteriormente por Aristóteles. Pero lo que para Eudoxio
eran esferas matemáticas, en Aristóteles se vuelven objetos
tangibles de cristal. Para Eudoxio se requerían 27 esferas (Sol 3,
Luna 3, y 4 para cada planeta); Calipo requiere 34.
El modelo de esferas homocéntricas fue
incapaz de explicar los movimientos
retrógrados y la variación del brillo de los
planetas. Por este motivo Apolonio de
Perga (262-290 a. C) introdujo el modelo
de epiciclos, el cual es retomado después
por Hiparco y Ptolomeo.
Modelo de
Epiciclos
Epiciclo
Deferente
Ampliamente
utilizado por
Ptolomeo para
describir el
movimiento de
los planetas
Claudio Ptolomeo
(Alejandría, 100-200 d. C.)
Escribió el ALMAGESTO,
texto fundamental en la
Edad Media, compuesto por
13 libros, donde describe el
movimiento de los planetas
mediante el sistema de los
epiciclos, según el cual el
Sol y los planetas (incluida
la Luna) giran en torno a la
Tierra en una combinación
de movimientos circulares.
Explicación del Movimiento Retrógrado
en el Modelo Geocéntrico
Modelo de Epiciclos de Hiparco,
posteriormente adoptado por Ptolomeo
Tierra
http://www.galeon.com/anadcafeudea/aficiones279481.html
Explicación del Movimiento Retrógrado
en el Modelo Geocéntrico
Tierra
Para mejorar el nivel predictivo de los
movimientos planetarios se amplió el
modelo de epiciclos para incluir más
movimientos, lo que lo volvió cada
vez más complejo.
REVOLUCIÓN COPERNICANA
Copérnico pintado por Jan Matejko a fines del siglo XIX
• Nicolás Copérnico
(Mikolaj Kopernik)
Nació en Torum, Polonia,
el 14 de febrero de 1473
y murió en Frombork,
Polonia, el 21 de mayo de
1543.
Estudió en Italia. Cuando tenía
31 años observó la conjunción
de cinco planetas y la Luna. Se
dio cuenta en esa ocasión de
que las posiciones planetarias
diferían
mucho
de
las
predicciones del modelo de
epiciclos.
Modelo
Heliocéntrico
de Copérnico
REVOLUCIÓN COPERNICANA
Parte aguas en la historia universal.
Copérnico establece que el Sol es el
centro del Sistema Solar; con esto el
ser humano debe adoptar una actitud
más realista (humilde) acerca de su
lugar en el cosmos. Históricamente
representa uno de los golpes más
fuertes contra el antropocentrismo.
Explicación del Movimiento Retrógrado
mediante el Modelo Heliocéntrico
Movimiento Retrógrado de los Planetas
Giordano Bruno
(Nola, Nápoles, Italia, 1548-1600)
Giordano Bruno
Fue uno de los primeros en aceptar y difundir el
modelo heliocéntrico de Copérnico. Siguiendo la
lógica de que deberían existir infinidad de mundos,
pensó en la probabilidad de vida en otras partes del
Universo.
Fue quemado en la hoguera el 17 de febrero de
1600 en Campo di Fiori, Roma (después de estar
encarcelado durante 8 años). Hay discrepancia de
opiniones acerca del motivo de la sentencia. La
Enciclopedia Católica asegura que ésta se debió a
“errores teológicos” y no por haber manifestado
públicamente sus ideas sobre heliocentrismo y
multiplicidad de mundos. Desafortunadamente, no
ha podido encontrarse el archivo de su proceso.
• Tycho Brahe
Nace en Dinamarca
en el año de 1546, en
el seno de una familia
muy rica. Construye
el famoso
observatorio de
Uraniborg (Castillo
del Cielo), en una isla
cercana a
Copenhague.
Sextante de Tycho
Modelo de Tycho Brahe
La nueva ciencia de la Mecánica.
Fundador: Galileo Galilei.
Galileo Galilei
Nació en Pisa, Italia, el año de
1564; vive varios años en Padua
y muere en Arcetri, Florencia, en
1642.
Por múltiples razones se le
considera el padre de la Física (y
de la ciencia en general).
Realizó enormes aportaciones a
la Astronomía, gracias a que fue
el primero en utilizar el telescopio
para observar el cielo.
Galileo descubrió que
Saturno presenta un
abultamiento (debido a
que tiene anillos).
Saturno
También descubrió que
Venus presenta fases,
parecidas a las que
observamos en nuestra
propia Luna.
Conoció los tamaños
angulares de los
planetas conocidos.
Venus
Júpiter Marte
El dibujo de la derecha presenta
las observaciones efectuadas por
Galileo del 7-24 de enero de 1610,
del movimiento de los 4 satélites
más brillantes de Júpiter: Europa,
Io (que a veces no se ve por su
cercanía con Júpiter), Calisto
(muchas veces fuera del campo), y
Ganimedes.
El descubrimiento de estas lunas
le dio un fuerte apoyo al modelo
heliocéntrico de Copérnico, ya que
puede verse como un pequeño
sistema Solar, en el que en este
caso, Júpiter es el cuerpo central.
Observación de manchas solares
por Galileo
Christopher Scheiner, jesuita alemán, estudió las manchas
en la misma época que Galileo, pero Scheiner pensaba que
se debían a objetos que giraban alrededor del Sol. Galileo
concluyó correctamente que están en la superficie del Sol.
Dos de los libros más famosos
de Galileo
Discurso y demostración
matemática en torno a
dos nuevas ciencias.
Este libro contiene los
trabajos que hizo Galileo
durante su arresto
domiciliario.
Con este libro nace la
ciencia de la Dinámica.
Descubrimiento de Estrellas Débiles
en Orión
Con observaciones como ésta se da cuenta
Galileo de que la Vía Láctea era mucho más
grande de lo que se pensaba.
Johannes Kepler
(1571-1630)
Usa los datos de
Brahe y se da cuenta
de que las órbitas de
los planetas no son
circulares sino
elípticas. Formula las
leyes que llevan su
nombre y las publica
en dos libros: Nueva
astronomía (1609) y
La armonía de los
mundos (1619).
Kepler descubre
que Marte y los
demás planetas
se mueven en
orbitas elípticas.
Poco después
enuncia sus tres
leyes empíricas
del movimiento
de los planetas.
Modelo del universo
La esfera exterior es Saturno
De Mysterium Cosmographicum (1597, edición de 1621)
Leyes de Kepler
1. Cada planeta se mueve en una órbita
elíptica con el Sol en uno de sus focos.
2. La línea entre el Sol y un planeta recorre
áreas iguales en tiempos iguales.
3. El cuadrado del periodo de un planeta es
proporcional al cubo del semieje mayor.
Primera Ley: Cada planeta se mueve
en una órbita elíptica con el Sol en uno
de sus focos
SOL
Propiedades de la Elipse
2b
F´
ae
2a
F
2. La línea entre el Sol y un planeta recorre
áreas iguales en tiempos iguales.
SOL
2a Ley de Kepler
T1
T4
A1
A2
T3
T2
Si T2-T1=T4-T3, entonces A1=A2
De acuerdo a la segunda ley, la velocidad
más alta es alcanzada en el perihelio
Tercera Ley de Kepler
Los cuadrados de los periodos de revolución son
proporcionales a los cubos de los semiejes mayores
de la elipse.
Los planetas más lejanos al Sol orbitan
a menor velocidad que los cercanos: el
periodo de revolución depende de la
distancia al Sol.
T2 / R3 = k
Animaciones de las tres Leyes de Kepler:
http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/teoria/A_Franco/Introduccion/indiceApplets/indice_celeste.htm
Tercera Ley de Kepler
Planeta P(año)
Mercurio
0.24
Venus
0.62
Tierra
1.00
Marte
1.88
R(AU)
P2
R3
0.39
0.06 0.06
1.00
1.00 1.00
Júpiter
5.20
142
141
Saturno
9.54
870
868
P2
P2 = R 3
P está expresada en años y
R en unidades astronómicas
R3
Tercera Ley de Kepler
Planeta P(año)
R(AU)
P2
R3
Mercurio
0.24
0.39
0.06 0.06
Venus
0.62
0.72
0.39 0.37
Tierra
1.00
1.00
1.00 1.00
Marte
1.88
1.52
3.53 3.51
Júpiter
11.9
5.20
142
141
Saturno
29.5
9.54
870
868
P2
P2 = R 3
P está expresada en años y
R en unidades astronómicas
R3
Basílica de San Petronio
Bolonia, Italia
Cassini convenció a sus
constructores de hacer un
pequeño orificio en la parte
superior del domo. Debido
a la oscuridad, se convirtió
en cámara de pinhole. La
imagen del disco solar era
proyectada en una franja
de bronce. Cassini pudo
así probar las teorías de
Kepler. Posteriormente se
usó para investigar el Sol
(4,500 observaciones).
Nave Cassini
Excentricidad de
órbitas planetarias
0.3
0.25
0.248
0.2056
0.2
0.15
0.0935
0.1
0.048 0.056 0.047
0.05
0.007 0.0167
0.009
Pl
ut
ón
ep
tu
no
N
ra
no
U
tu
rn
o
r
Jú
pi
te
ar
te
M
er
ra
Ti
nu
s
Ve
Sa
M
er
cu
rio
0
Masas planetarias (Tierra=1)
Plutón
0.002
Neptuno
17.2
Urano
14.6
Saturno
95.2
Júpiter
318
Marte
0.107
Tierra
1
Venus
0.815
Mercurio
0.055
0
50
100
150
200
250
300
350
Nace en la Navidad de 1642
(Enero 4 de 1643 en el calendario gregoriano)
Algunos de sus grandes logros:
Isaac Newton
(1642-1727)
 Formula las tres leyes de Newton de la
mecánica clásica.
 Inventa el cálculo diferencial.
 Descubre la ley de la gravitación universal, y
con ella explica las leyes empíricas de Kepler.
 Explicó el fenómeno de las mareas.
Las leyes de Newton son básicas para
entender los movimientos del Sistema Solar, y
fundamentales en Astronáutica, ya que todo
satélite las obedece. Son indispensables para
entender el movimiento de los sistemas
estelares, por lo que son universales.
Leyes de Newton
1. Ley de Inercia: Un cuerpo permanece en reposo
o en movimiento constante a menos que se le
aplique una fuerza externa.
2. Ley de Fuerza: La fuerza es igual a la masa por
la aceleración (F=ma).
3. Ley de Acción y Reacción: A cada fuerza
(acción) corresponde una fuerza de reacción que
es igual pero en sentido contrario.
Ley de Gravitación Universal de
Newton
Una partícula 1 es atraída por una partícula 2 con una fuerza
directamente proporcional al producto de las masas de las
partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
de separación entre ellas.
F12 = -G m1m2 / r2
G = 6.673 x 10-11m3/(s2.kg): constante de gravitación universal.
1
F21
F12
r
2
Leyes de Newton
Fundamentales para comprender los
movimientos en el Sistema Solar, en
sistemas estelares y galácticos, por
lo que tienen carácter universal.
Newton demostró a partir de sus leyes las
leyes de Kepler, las cuales habían sido
encontradas empíricamente por Kepler. Y
que no solo son aplicables al movimiento de
los planetas, sino a todo tipo de órbitas.
Después de Newton, la 3a Ley de Kepler
queda como sigue:
P2 = 4 π2 a3 / [ G (m1 + m2) ]
Donde m1 y m2 son las masas de los cuerpos
1 y 2, P es el período orbital y a es el semieje
mayor.
Debido a que normalmente la masa de un
satélite es mucho menor que la del cuerpo
que está orbitando, basta conocer el período
P y el semieje mayor a de un satélite para
encontrar la masa del cuerpo central.
Por ejemplo, para el satélite Io sabemos que:
P = 1.77 días
a = 4.22x1010 cm
Demostrar que la masa de Júpiter es
1.9x1030gramos = 318 MTierra
Verificar que la relación es consistente con
las otras lunas galileanas
Satélite
Distancia (km)
Periodo (h)
Io
422,000
42.46
Europa
671,000
85.22
Ganimedes
1,070,000
171.70
Calisto
1,883,000
400.56
Dibujo de Newton para explicar las posibles órbitas de un satélite
Es la velocidad que debe superar un cuerpo
para poder abandonar completamente a su
cuerpo central. La condición que se debe
cumplir es que su energía total sea igual a 0.
ETotal = Ecinética + Epotencial = 0
= mV2/2 - GMm/r = 0
V = √2GM/r
Substituyendo valores para la Tierra tenemos:
Vescape = 11.2 km/s.
Calcular Vescape para el Sol y para la Galaxia.
Las leyes de Newton son también válidas
para describir sistemas estelares.
William Herschel demostró a través de
cálculos y observaciones que los
sistemas binarios de estrellas obedecen
la 3a Ley de Kepler y que éstos pueden
utilizarse para medir la masa de las
estrellas. Hasta la fecha esta es la técnica
más confiable para estimar las masas
estelares.
Sistema Binario de Cástor
1790
1830
1870
1950
1910
Sistema Binario de Sirio
5 arcseg
Centro de
masa
Órbita
enana blanca
Movimiento del Sistema de Sirio
Oeste
Norte
La Masa de las Estrellas
R1 es la distancia a la estrella con masa M1 medida desde el
centro de masa C.M. del sistema. Por definición de C.M.,
M1R1=M2R2.
Por la 3a Ley de Kepler, M = R3/P2, donde M=M1+M2 (en masas
solares), R=R1+R2 (en A.U.) y P es el periodo (en años terrestres).
M2
R2
C.M.
R1
M1
Para el sistema binario de Sirio tenemos: R= 20.0 A.U., P=50 años. La 3a
Ley de Kepler nos da: M=3.2 MSol. Y como R2/R1=2, M1/M2=2. Entonces
M1+M2=M1+M1/2= 3.2 MSol. Y M1=3.2 MSol/1.5=2.13 MSol y M2=1.07MSol.
La estrella 2 es una enana blanca.
Principio Cosmológico de Einstein:
Hipótesis esencial para la comprensión del Universo
Espacio fijo de Newton
Espacio-tiempo flexible de
Einstein
http://science.nasa.gov/headlines/y2005/28mar_gamma.htm?list77318
 Desviación de luz estelar por el Sol
 Precesión de la órbita de Mercurio
 Corrimiento al rojo relativista
 Lentes gravitacionales
 Ondas gravitacionales
Trayectoria de la luz en un campo gravitacional
δ
De acuerdo con la
mecánica clásica, la
luz viaja siempre en
línea recta, por
carecer de masa. En
contraste, en
Relatividad General
la luz que pasa
cerca de un objeto
masivo es desviada
de acuerdo con la
curvatura del
espacio-tiempo.
Desviación de la luz de una estrella por el Sol
Una de las primeras demostraciones de la Relatividad
General fue la predicción del ángulo con que se desvía la luz
proveniente de una estrella al pasar muy cerca del Sol (cosa
que se comprobó durante el eclipse total de Sol de 1919).
Carta de Einstein al
Astrónomo George
E. Hale en 1913, en
la que le propone
medir la desviación
de la luz de las
estrellas debida al
campo gravitacional
del Sol.
Revolution in science - New theory of the Universe - Newtonian ideas overthrown.
The London Times
El telegrama original a Einstein
confirmándole la exitosa observación de
Eddington de la desviación de la luz de
estrellas en la trayectoria del Sol
durante el eclipse del 29 de mayo de
1919. El telegrama fue enviado por el
físico holandés H. A. Lorentz y dice que
“Eddington ha encontrado una deflexión
estelar en el limbo solar
provisionalmente entre 0.9 segundos de
arco y el doble de eso”.
Derechos sobre la
imagen: Museum
Boerhaave, Leiden.
El 29 de mayo de 1919 Arthur Eddington, al analizar fotografías
tomadas durante el eclipse, comprobó que el ángulo de
desviación de la luz proveniente de una estrella en la dirección
del Sol es consistente con la teoría de la Relatividad General.
Este experimento se realiza en la actualidad (sin necesidad de esperar a que
ocurra un eclipse) con radio-interferómetros.
Observación por Eddington del
eclipse total de Sol
Posición aparente
Posición real
Mercurio
La precesión de la órbita de Mercurio es de 5600
segundos de arco por siglo. Considerando los
efectos gravitacionales debidos a la influencia de
los demás planetas, la mecánica newtoniana
predice una precesión de sólo 5557 arcseg/siglo
(una diferencia de 43” / siglo).
La Relatividad General predice el valor correcto.
El efecto de la R. G. es mucho menor en los
otros planetas. Por este motivo, su precesión es
correctamente explicada (dentro de la precisión
de las observaciones) por la mecánica clásica.
Se ha intentado explicar la precesión de
Mercurio en términos de una distribución
uniforme de polvo, pero dicha distribución no se
ha observado.
Lentes Gravitacionales
Hand-held GPS Receiver
Los GPS son un ejemplo de aplicación de la
Relatividad. Estos tienen una precisión de
unos cuantos metros, debido a que se toman
en cuenta las correcciones relativistas.
Una 100 millonésima de un segundo en la
medición del tiempo da un error de 30 metros.
Materia Obscura
Fritz Zwicky en 1933 descubrió que existe más
materia en el Universo que la que podemos ver
con nuestros ojos.
La materia obscura hace acto de presencia
El 23% del Cosmos lo
constituye la exótica
materia obscura, que no
podemos ver, pero que
ejerce fuerza gravitacional,
misma que actúa como un
lente que curva el camino
de la luz de objetos que se
encuentren detrás de ella.
Podemos usar telescopios
para localizar materia
normal y después medir la
distorsión de objetos en el
fondo por el efecto de la
materia obscura. El
resultado son imágenes
espectaculares como esta
del cúmulo CL0024+1652, a
5 mil millones de años luz
de distancia.
Hubble Space Telescope
Los agujeros negros son
objetos tan densos que ni
siquiera la luz puede escapar
de ellos.
Agujeros Negro
Agujero Negro
Una estrella que al final de su evolución
tiene una masa superior a tres masas
solares, no puede hacer nada para evitar
su colapso. La materia caerá hasta llegar
a un punto de densidad infinita conocido
como la singularidad de un hoyo negro.
Historia del Estudio
de los Agujeros Negros
En 1916 el astrofísico alemán Karl Schwarzschild
calculó la curvatura del espacio-tiempo producido
por una estrella esférica que no rota, utilizando las
ecuaciones de campo de la R. G. de Einstein.
Encontró la singularidad asociada con los hoyos
negros.
Estructura de un agujero negro
Dos regiones del A. N.
Horizonte eventos
Radio Schwarzschild
Singularidad
RSch = 3 km para el Sol.
Singularidad: Punto
central, en que se
encuentra toda la masa.
Horizonte de eventos:
Punto de no retorno. Todo
objeto que llega a él cae al
H.N. La luz tampoco puede
escapar.
Grandes telescopios han
estado observando las
estrellas más próximas al
centro galáctico en luz
infrarroja. Su movimiento
nos permite determinar la
masa de un hoyo negro de
gran tamaño.
La Vía Láctea no es la
excepción: la mayoría de las
galaxias tienen un H. N.
Keck, 2 m
Ghez, et al.
Ghez, et al.
ΔDec de SgrA* (arcseg)
Agujero Negro en el Centro de la Vía Láctea
ΔAR de SgrA* (arcseg)
http://www.spaceweather.com/meteors/gallery-18nov01.html
Mark A Brown. 200mm @ f4.5. Guiado por
~3.5 minutos. Película Fuji Superia 800.
http://neo.jpl.nasa.gov/orbits/
Es sumamente importante conocer las
órbitas de todos los asteroides que nos
puedan impactar. Este es un ejemplo
en el cual podemos ver la importancia
de la observación astronómica y de la
mecánica celeste.
Hasta el momento se conocen 462
ACTs considerados potencialmente
peligrosos. Entre los más famosos
podemos mencionar al 2002 NY40 y al
1997 XF11, que han causado alarma al
ser descubiertos.
Aún no se sabe de algún ACT que
vaya a impactar a nuestro planeta. Lo
que sí es cierto es que de alguna
forma debemos estar preparados, por
si esto llegara a ocurrir.
Actualmente se utilizan dos escalas para medir el
riesgo de impacto: la de Palermo y la de Torino. De
acuerdo con éstas, el objeto que tiene la mayor
probabilidad de impacto es el 2000 LG6, con una
probabilidad de unas cuantas diez milésimas para el
año 2088, por lo que no hay que preocuparse
demasiado.
Los registros de cráteres más conocidos en la Tierra
son: el de Barringer (Arizona), Chicxulub (Yucatán,
México), el de Aorounga (Chad), Manicouagan
(Canadá), y el de Roter Kamm (Namibia). En el
Sistema Solar: Shoemaker-Levy 9 (Júpiter) y las
cadenas de cráteres en la Luna, en Calisto y en
Ganimedes.
Se cree fue producido por impacto de un meteorito de hierro de 40 m de diámetro
Localización: 21.3°N y 89.6°O, al norte de la
Península de Yucatán.
Diámetro
: ~250-280 km.
Edad
: 64.98 ± 0.05 millones de años.
Cráter Kebira
Descubierto recientemente (6/03/2006) en el
suroeste de Egipto. Tiene 31 km de diámetro.
Proyecto de ESA (European Space Agency) para
estudiar la posibilidad de desviar asteroides
http://www.esa.int/SPECIALS/NEO/SEMZRZNVGJE_0.html
Satélite Ishtar de la
Agencia Espacial
Europea (ESA)
Su misión será medir la masa,
la densidad y las propiedades
superficiales de un ACT, así
como estudiar su estructura
interna, a través de la técnica
de tomografía de RADAR.
El insólito caso del
objeto J002E3.
http://spaceguard.esa.int/tumblingstone/issues/num17/eng/apollo.htm
La mecánica celeste
para el estudio de
satélites artificiales y
basura en el espacio.
Estrella
Luz corrida
al azul
Luz corrida
al rojo
Planeta
Se puede inferir la presencia de un
planeta estudiando el bamboleo de
una estrella, por medio del efecto
Döppler.
Los puntos L4 y L5 son los únicos estables a
perturbaciones. Es el sitio de los asteroides
troyanos en la órbita de Júpiter.
L4
L3
L1
L5
¿Tiene Troyanos
la órbita terrestre?
L2
• Una de las imágenes más espectaculares de lente
gravitacional se ha tomado en 1999 con el telescopio
NOT, del Observatorio del Roque de los Muchachos (La
Palma). Muestra a una galaxia espiral que parece tener
en su parte central cinco condensaciones brillantes. En
realidad son cuatro imágenes gravitacionales de un
cuásar lejano (que no tiene nada que ver con la galaxia
espiral) más el propio núcleo de la galaxia. ¿Cómo lo
sabemos? Resulta que la luz de las cuatro
condensaciones más externas (identificadas como q1 a
q4 en la figura) es idéntica una a otra (en el lenguaje de
la física diríamos que tienen idéntico espectro), lo que
sólo podemos explicar si son efectivamente imágenes
de la misma cosa
Lentes gravitacionales