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6. FLUJO ELÉCTRICO
Cantidad de líneas de campo que atraviesa la
superficie ds.
ds
θ
ds
E
La definición general de flujo eléctrico es:
 
  E  ds

s
El flujo eléctrico es una cantidad escalar y su
signo depende de si entra o sale de la superficie.
Campo eléctrico
n1
n2
S1
El flujo eléctrico
en la superficie
S1 es negativo,
las líneas de
campo entran a
la superficie
S2
El flujo eléctrico en la
superficie S2 es positivo, las
líneas de campo salen de la
superficie
En general, el flujo neto para una superficie cerrada será:
 
  E  ds

s
El flujo neto es cero si no
hay cargas dentro de la
superficie (Figura N°1).
ds
ds
ds
Figura N° 1
Si hay carga adentro, el flujo neto es proporcional a la
carga neta. Mire las cuatro superficies en la figura N° 2 y
es fácil entender por qué esto es así.
Figura N° 2
Ejemplo 1.- Una carga puntual q está situada en el centro de
una superficie esférica de radio R. Calcula el flujo neto de
campo eléctrico a través de dicha superficie.
ds
R
q

E
El campo eléctrico creado por una
carga puntual viene dado por

q 
E  k 2 ur
r
En la superficie de la esfera se
cumple que r = R, luego

q 
E  k 2 ur
R
Para calcular el flujo a través de la superficie esférica, tenemos en
cuenta que el campo eléctrico es paralelo al vector superficie en cada
punto, por lo tanto


 
E  ds 

k
q
R
2
ds  k
q
R
2

ds
El área de una superficie esférica viene dada por S =4pR2, luego

Flujo total
kq
4p R 2
2
R
  4p k q
Independiente de R
Ejemplo 2.- Supongamos un cilindro de radio R colocado en el
seno de un campo eléctrico uniforme con su eje paralelo al
campo. Calcula el flujo de campo eléctrico a través de la
superficie cerrada.

ds

E

E

ds
El flujo total es la suma de tres términos,
dos que corresponden a las bases (b1 y
b2) mas el que corresponde a la superficie
cilíndrica. En ésta última el flujo es cero ya
que los vectores superficie y campo son
perpendiculares. Así


 
E  ds 
b1

ds

E

0

E ds cos p 


 
E  ds
b2
E ds cos 0
El flujo sólo es proporcional a la carga
que encierra una superficie, no a la
forma de dicha superficie.
7. LEY DE GAUSS
Esta ley da una relación general entre el flujo de campo
eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga
encerrada por ella.
Ya hemos visto que el flujo neto a través de una superficie
esférica viene dado por
  4p k q
Vamos a comprobar que este flujo es
independiente de la forma de la distribución.
Sólo depende de la carga que haya en el
interior.
I
s1
q
s2
Consideremos varias superficies
centradas en una esférica que
contiene una carga q.
s3
El flujo a través de la
superficie esférica es
q
  4p k q 
o
Como el número de líneas que atraviesan las tres
superficies es el mismo, se cumple que
1   2   3
Por lo tanto el flujo es independiente de
la forma de la superficie.
II
Supongamos ahora una carga q próxima a una
superficie cerrada de forma arbitraria. En este caso
el número neto de líneas de campo que atraviesa
la superficie es cero (entran el mismo número de
líneas que salen), por lo tanto
0
q
El flujo a través de una superficie que no
encierra carga es nulo.
Generalización de los resultados
Para distribuciones de carga, ya sean discretas o
continuas, podemos aplicar el principio de superposición.
Ejemplo:
S’
S
q1
q1
 (S ) 
o
q2
q3
(q 2  q3 )
 (S ' ) 
o
 (S ' ' )  0
S’’


  q
E  d s  int
o
Enunciado de la ley de Gauss
El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie
gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentre
dentro de ella, dividida por la permitividad del vacío.
Esta ley sólo puede aplicarse a problemas con
gran simetría.
Procedimiento para aplicar la ley de Gauss
Dada una distribución
de carga, buscar una
superficie gaussiana
que cumpla estas
condiciones


E paralelo a d s

E constante
en todos los puntos
de la superficie
El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada viene
dado por
  q
  E  d s  int
o

Si la superficie cerrada gaussiana cumple las dos
condiciones anteriores
 
E  d s  E ds  E ds  E s

Por lo tanto

ES

q int
o
S es el área de la superficie
gaussiana
qint es la carga encerrada en
dicha superficie
Ejemplo 1: Campo eléctrico próximo a un plano infinito
de carga.
  q
  E  d s  int
o

Φtotal = EA cos 0° + EA cos 0°
Un caso importantísimo – Placas Paralelas
Uniforme – Independiente de la
Posición.
Esta estructura se usa mucho en
la práctica.
Ejemplo 2: Campo eléctrico a una distancia r de una
carga lineal infinitamente larga de densidad de carga
uniforme λ.


  q
E  d s  int
o
Ejemplo 3: Campo eléctrico debido a una corteza
esférica uniformemente cargada.


  q
E  d s  int
o
Ejemplo 4: Campo eléctrico debido a una esfera
uniformemente cargada.

ds

  q
E  d s  int
o
Conductores en equilibrio electrostático
Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando no se tiene
movimiento neto de la carga dentro del conductor.
PROPIEDADES:
• E=0 en el interior del conductor.
• La carga está localizada en la superficie (si es
sólido) o las superficies (si es hueco).
• El campo electrico afuera del conductor es σ/ϵo.
• En un conductor de forma irregular la carga tiende
a acumularse en regiones donde el radio de
curvatura de la superficie es mas pequeño, es
decir, en las puntas.
Para un conductor, E=0 en el interior del
conductor.
Un conductor hueco la carga está en las
superficies ya sea externa o interna o ambas.
Definición operacional de trabajo
Fuerza aplicada a
la partícula
 
  F  dl
b
Wab
a
Trabajo realizado por la
fuerza
F,
cuando
la
partícula viaja desde a
hacia b.
Elemento
infinitesimal de la
trayectoria
seguida
por la partícula.
¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico generado por una carga
puntual q, cuando una partícula q0 se desplaza desde a hacia b, por
la trayectoria T1?
T1
b
Wab   Fdl cos 
a
 es el ángulo entre la fuerza F y la tangente a la trayectoria
dlcos es la proyección de dl en la dirección de la fuerza F
dl cos  dr
b
Wa b   k
a
q q0
r
2
rb
dr
Wab
 1
 kq q0  
 r  ra
Wab
1 1
 kq q0   
 rb ra 
resultado sólo depende del estado inicial y final
de la distribución de cargas
trabajo realizado por el campo eléctrico (trabajo
interno) es independiente de la trayectoria seguida
por la carga q0 en su viaje desde a hacia b
La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa, esto
permite definir la función energía potencial eléctrica:
Para un desplazamiento finito de la carga de prueba entre los
puntos a y b el cambio en energía potencial es
b
b
a
a
Wab   U   F . ds   qo E. ds
b
U  U b  U a  q0  E  ds
a
La cantidad U / q0 se llama potencial eléctrico, de este
modo el potencial es
V
U
q
k
q0
r
Para una c arg a puntual 
POTENCIAL ELECTRICO DE DOS O MAS CARGAS PUNTUALES
n
V k
i 1
qi
ri
La diferencia de potencial, V = Vb – Va, entre los puntos a
y b se define como el cambio en la energía potencial dividida
entre la carga de prueba q0:
b
U
V 
   E  ds
a
q0
Si elegimos el potencial como cero en el infinito, el potencial
eléctrico en un punto arbitrario es igual al trabajo requerido
por unidad de carga para llevar una carga de prueba positiva
desde el infinito hasta ese punto, o sea
P
VP   E  ds

Definimos una superficie equipotencial como los puntos que
tienen el mismo potencial eléctrico.
Líneas de campo y superficies equipotenciales de una carga
puntual
Líneas de campo y superficies equipotenciales para planos
paralelos cargados
Líneas de campo y superficies equipotenciales de un dipolo
eléctrico
Líneas de campo y superficies equipotenciales para dos
cargas iguales
Diferencia de potencial en un
campo eléctrico uniforme
b
Si E es constante, podemos
escribir:
b
b
a
a
V   E  ds   E   ds  E  s
a
c
E
El cambio en la energía
potencial es
U  q0 V  q0 E  s
Potencial de una carga puntual
Para una carga puntual
se tiene
q
dr
ds
r
b
E  ds  k
a
rb
^r
ra
q
q
rˆ  ds
r2
La diferencia de potencial entre
a y b es:
Vb  Va    E  ds    Er dr 
1 1
kq  
 rb ra 
Si tomamos V = 0 en r = :
q
V k
r
Considere un sistema de dos cargas puntuales, la energía
potencial esta dada por:
r12
q2
q1q2
U  q 2V1  ke
r12
q1
Para un sistema de tres cargas puntuales tenemos:
r12
q1 r
13
q2
r23
q3
 q1q2 q1q3 q2 q3 

U  ke 


r13
r23 
 r12