Download Capítulo 2. Ley de Gauss

Capítulo 2. Ley de Gauss
En estos apuntes se presenta un resumen de los contenidos tratados en más detalle en el libro:
“Física para la Ciencia y la Tecnología” (Volumen 2)
Autors P. A. Tipler i E. Mosca
Editorial Reverté (5a Ed) 2005
En particular, consultad los siguientes capítulos y secciones:
Capítulo 21 (Sección 21.2)
Capítulo 22 (Secciones 22.2, 22.3, 22.4 y 22.5)
Capítulo 23 (Secciones 23.4 y 23.5)
Os recomendamos que utilicéis estos apuntes como guía de los contenidos tratados en las clases.
Sin embargo, es importante que consultéis las fuentes originales para profundizar en los
conceptos trabajados en el aula. En aquellos apartados en que se sigan otras fuentes os
proporcionaremos las referencias apropiadas.
1. Introducción
En este tema se va a mostrar un método para calcular el campo eléctrico creado por
distribuciones de carga que no requiere el uso directo de la ley de Coulomb (de mayor
complejidad cuando se tratan distribuciones continuas de carga). A cambio, será necesario un
alto grado de simetría para que realmente se pueda aplicar otro procedimiento que facilite los
cálculos. Este método se basa en la aplicación de la ley de Gauss, una de las cuatro ecuaciones
de Maxwell y que relaciona el campo eléctrico con sus fuentes.
La ley de Gauss relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga neta
incluida dentro de la superficie. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que
resultan de ciertas distribuciones simétricas de carga. A menudo, cuando se estudia la ley de
Gauss, se utilizan argumentos que permiten relacionar de forma cualitativa el número neto de
líneas de campo eléctrico que atraviesan una superficie cerrada con la carga eléctrica contenida
en el interior de la misma (ver P. Tipler y G. Mosca Sección 22.2). La magnitud matemática que
se relaciona con el número de líneas de campo que atraviesa una superficie recibe el nombre de
flujo eléctrico.
2. Flujo eléctrico
En esta sección introduciremos el concepto de flujo eléctrico y su definición matemática
partiendo de un caso particular sencillo (superficie planas y perpendiculares al campo eléctrico)
y añadiendo paulatinamente complejidad hasta llegar a la definición más general.
En el caso de superficies planas y perpendiculares a un campo eléctrico homogéneo, el flujo
eléctrico (
) que atraviesa la superficie A viene dado por el producto del módulo del campo
1
eléctrico y el área A. Puesto que la intensidad del campo es proporcional al número de líneas de
campo eléctrico que atraviesan la superficie, el flujo eléctrico será también proporcional al
número de líneas de campo que atraviesan el área. Las líneas anteriores pueden formularse
matemáticamente como:
ΦE = E ⋅ A
€
(a)
(b)
Figura 1: (a) Ilustración de un campo eléctrico que atraviesa una superficie de área A perpendicular al mismo, y (b)
ilustración de un campo eléctrico que atraviesa una superficie de área A que no es perpendicular al mismo.
Si consideramos la situación en que el campo eléctrico no es perpendicular a la superficie sino
que forma un cierto ángulo con ésta, podemos generalizar la anterior expresión haciendo uso de
la noción de producto escalar. Puesto que se trabaja con superficies, seguiremos el convenio
de notación según el cual la superficie se representa mediante un vector unitario normal a la
misma ( ) (que por convenio apunta hacia fuera de la superficie) y una magnitud que es el área
de la superficie (A).
En el caso en que se tiene un campo eléctrico homogéneo y una superficie plana, el flujo
eléctrico viene dado por la siguiente expresión:
donde
es la componente de
perpendicular a la superficie. Podéis comprobar que
la expresión que hace uso del producto escalar se reduce a la anteriormente presentada en el
caso que los vectores campo eléctrico y superficie sean paralelos.
Finalmente, el caso más general, viene dado cuando la superficie que se considera es curvada.
En la Figura 2 se muestra un ejemplo en el que además la superficie es cerrada. Si se toma un
incremento de esta superficie cerrada y curvada (
) es posible definir un vector que
representa este pequeño incremento de superficie y que es perpendicular a la misma:
2
De este modo, el flujo que atraviesa este incremento de
área es:
El flujo total se encuentra sumando todos los flujos
asociados a los pequeños incrementos de área. Cuando
los incrementos son muy pequeños, es decir, cuando se
tienen diferenciales, esto nos conduce a la definición
del flujo eléctrico como:
Figura 2: Superficie curvada en la que existe
un campo eléctrico.
ΦE = lim




∑E ⋅ ΔA = ∫∫ E ⋅ dA
i
ΔAi →0
i
S
3. Ley de Gauss
€
Consideremos una carga puntual Q tal y como se ilustra en la Figura 3. En el capítulo anterior
hemos visto, haciendo uso de la ley de Coulomb, que el campo eléctrico producido por una
carga puntual Q a una distancia r de la misma es igual a:

kQ
E n = 2 rˆ
r
€
Figura 3: Campo eléctrico creado por una carga puntual
Si se sustituye esta última expresión en la ecuación que permite el cálculo del flujo a través de
una superficie esférica de radio r (ilustrada en verde en este dibujo), se obtiene:
ΦE = lim
∑


E i ⋅ ΔA i =
= En
∫∫ E ⋅ dA =
S
ΔAi →0
∫∫ dA = rk Q4 πr
2
2
= Q4 πk =
S
=
1
Q
Q4 π =
4 πε 0
ε0
donde ke se ha expresado como
€
,y
recibe el nombre de permitividad del espacio
libre que tiene como valor ε0= 8,85·10-12 C2/Nm2. Además se ha considerado que 4 πr 2 es el área
de una esfera de radio r. Como puede observarse, el resultado sólo depende de la carga en el
interior de la superficie (que denominamos superficie gaussiana) y de la permitividad del medio.
€
3
La ley de Gauss, precisamente establece la relación que hay entre el flujo del campo eléctrico y
la carga encerrada por la superficie a través de la cual se evalúa el flujo. En última instancia
evalúa la relación entre el campo eléctrico y las fuentes que lo generan. La ley de Gauss para
campo eléctrico se formaliza mediante la expresión:
ΦE =

S
€

∫∫ E ⋅ dA = Qε
int
0
donde Qint es la carga encerrada en el volumen definido por la superficie de integración
(superficie gaussiana) S escogida. Si bien este resultado lo hemos obtenido para el caso
particular del campo asociado a una carga puntual, la ley de Gauss es general y, por tanto, válida
para cualquier distribución de cargas.
Figura 4: El flujo eléctrico neto es el mismo independientemente de la superficie que se considere si todas las
superficies encierran la misma carga.
La ley de Gauss se utiliza a menudo para calcular el campo eléctrico debido a distribuciones de
carga que gozan de un alto grado de simetría. A continuación, mostraremos una serie de
ejemplos que ilustran tal utilidad. En todos los casos se verá que es clave una elección óptima
de la superficie gaussiana.
3.1. Cálculo del campo eléctrico creado por un plano infinito con densidad superficial de
carga σ homogénea
Consideremos un plano infinito (o muy grande para poder obviar el efecto de los bordes)
cargado con una densidad superficial de carga σ homogénea. Elegimos una superficie
gaussiana cilíndrica tal y como se ilustra en la Figura 5(b). Ésta es una superficie adecuada
dada la estructura del campo eléctrico (ver Figura 5(a)). Esta estructura puede entenderse si
utilizamos razonamientos basados en la simetría de la distribución de carga tal y como
discutiremos en clase.
4
(a)
(b)
Figura 5: (a) Campo eléctrico creado por una superficie con una densidad superficial de carga σ, (b) esquema de la
selección de una superficie de Gauss para el cálculo del campo eléctrico generado por una superficie infinita.
Tal y como se puede observar, la superficie gaussiana se puede descomponer en tres superficies
(S1, S2 y S3). El producto escalar entre el campo eléctrico y el vector normal a la superficie se
anula en la superficie lateral. De este modo, sólo se tiene flujo en ‘las tapas’ del cilindro (que
tienen un área A). El flujo eléctrico se calcula, por tanto, en este caso como:
ΦE =
∫∫
 
E ⋅ dA =
S
€
∫∫
 
E ⋅ dA +
S1
∫∫
 
E ⋅ dA +
S2
∫∫
 
E ⋅ dA
S3
Para la superficie gaussiana escogida, se tiene S1= S2. Además, la superficie se ha colocado
centrada en el plano, de modo que S1 y S2 se encuentran a la misma distancia del plano. Por
tanto, el campo eléctrico tiene el mismo módulo en ambas superficies y el flujo eléctrico queda:
ΦE =
∫∫
S
 
E ⋅ dA =
∫∫
E ⋅ dA +
S1
∫∫
E ⋅ dA = E 1
S2
∫∫
S1
dA + E 2
∫∫
dA =
S2
= E 1A1 + E A2 = A(E 1 + E 2 ) = 2AE z
€
Apliquemos ahora la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico. ¿Qué carga neta encierra el
volumen definido por la superficie de integración gaussiana escogida? Podéis comprobar en la
Figura 5(b) que la carga es la correspondiente a un círculo de área A, definido por la
intersección del volumen definido por la superficie gaussiana cilíndrica y el plano de carga. Al
tratarse de una distribución de carga con densidad superficial homogénea σ, la carga neta es
Qint = σ·A
E z 2A =
Qint
σ ⋅A
= 4 πkQint =
ε0
ε0
€
5
De modo que el módulo del campo eléctrico es:
(N/C)
Fijaos que el módulo del campo
eléctrico obtenido es independiente
de la distancia al plano infinito. La
expresión vectorial del campo,
considerando el vector unitario en la
dirección z, es decir
, es:
N/C
Figura 6: Gráfica del módulo del campo eléctrico en función de la
distancia (z) a la distribución continua superficial de carga.
3.2. Cálculo del campo eléctrico generado por una distribución lineal de carga homogénea e
infinita
En este apartado se utilizará la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico generado por una
distribución lineal de carga homogénea e infinita. Es importante destacar que el problema sólo
se simplifica si la distribución de carga es considerada infinita, o muy larga en relación a la
distancia en que se va a evaluar el campo eléctrico. En este caso, utilizando argumentos de
simetría, podemos comprobar que el campo eléctrico será perpendicular a los elementos de
carga en todos los puntos de la distribución de carga. De este modo, la elección ideal de la
superficie gaussiana es una superficie cilíndrica concéntrica a la distribución de carga, tal y
como se muestra en la Figura 7.
Figura 7: Distribución lineal e infinita de carga con densidad homogénea y elección de la superficie gaussiana.
La superficie cilíndrica puede dividirse en tres superficies: dos ‘tapas’ (S1 y S2) , es decir,
secciones perpendiculares a la distribución de carga y una superficie lateral S3 . Por tanto, el
cálculo del flujo del campo eléctrico a través de estas superficies se lleva a cabo resolviendo tres
integrales de superficie.
6
Como el campo eléctrico es perpendicular a las superficies S1 y S2, su producto escalar será 0, y
por tanto no se tiene flujo en las ‘tapas’ del cilindro. Sin embargo, en la superficie lateral del
cilindro el campo eléctrico y el vector superficie son paralelos. Además, el campo eléctrico tiene
el mismo valor en cada punto de la superficie, de este modo, la magnitud del campo se puede
sacar de la integral, y sólo es necesario calcular la integral de la superficie, es decir, sumar todos
los pequeños elementos de superficie. Así pues, el flujo eléctrico es:
ΦE =
∫∫
∫∫
S
ΦE =
S
€
€
 
E ⋅ dA =
 
E ⋅ dA =
∫∫
∫∫
 
E ⋅ dA +
S1
∫∫
 
E ⋅ dA +
S2
∫∫
 
E ⋅ dA
S3
E n ⋅ dA = E n ⋅ 2πrL
S3
donde
representa el área lateral del cilindro. Si se considera la ley de Gauss, sabemos que
el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es igual a:
Igualando las dos expresiones que se han obtenido para el flujo, se puede determinar el valor del
campo eléctrico. Antes, debemos determinar el valor de la carga encerrada en el volumen
definido por la superficie gaussiana. Al tratarse de una distribución lineal de carga y de densidad
homogénea, podemos ver de forma sencilla que la carga Qint=λL
E n 2 πrL =
Qint
λL
= 4 πkQint =
,
ε0
ε0
de donde se deduce que el campo eléctrico a una distacia r de la distribución es:
€
€
En (r) =

λ
λ
(N /C) → E (r) =
rˆ
2 πrε 0
2 πrε 0
El módulo del campo eléctrico de una distribución lineal de carga infinita y homogénea a
distancia r variable sigue el comportamiento ilustrado en la Figura 8.
Figura 8: Representación del módulo del campo eléctrico en función de la distancia r entre la línea de carga y el
punto donde se calcula el campo.
7
3.3. Cálculo del campo eléctrico creado por una corteza esférica (con densidad homogénea de
carga)
En primer lugar, es necesario explicar qué se entiende por corteza esférica. Intuitivamente, se
tiene una corteza esférica en casos como la piel de cuero de un balón o de una pelota de tenis en
cuyo interior se tiene aire. En el caso que nos va a ocupar en este tema, en el interior de la
corteza se tiene el vacío. La densidad superficial de carga en el caso de la corteza esférica
homogénea de radio a y carga total Q es:
σ=
€
Q
4 πa 2
Es conveniente resolver el problema considerando dos regiones distintas, tal y como se ilustra
en la Figura 10.
Figura 9: Campo eléctrico creado por una corteza esférica
Figura 10: Superficies gaussianas para encontrar el campo eléctrico para los casos (a) r < a y (b) r > a,
respectivamente.
Caso r < a
Puesto que no existe carga en el interior de la corteza esférica, cuando se toma como superficie
gaussiana una superficie esférica concéntrica con la distribución de cargas, puesto que ésta no
encierra ninguna carga, se puede deducir que el campo eléctrico (radial dada la simetría de la
distribución de cargas) será nulo.
Caso r > a
Si se considera la ley de Gauss y se toma como superficie gaussiana una superficie esférica
concéntrica con la distribución de cargas, se tiene:
ΦE =
∫∫
S( r>a )
 
E ⋅ dA =
∫∫
S(r>a )
E ⋅ dA ⋅ cos θ = E n
∫∫
S(r>a )
8
€
⋅dA = E n 4 πr 2 =
Qint
= 4 πkQint
ε0
Fijaos que, dada la simetría de la distribución de carga, el módulo del campo eléctrico tiene el
mismo valor en todos los puntos de la superficie gaussiana (esférica), ya que todos los puntos
están a la misma distancia r del centro de la distribución. Además, el campo eléctrico es
necesariamente radial, de modo que su dirección es normal a la superficie en todos los puntos y,
por tanto, el vector campo eléctrico y el vector superficie son siempre paralelos. El campo
eléctrico es por tanto:
En =
Qint
kQint σ ⋅ a 2
=
=
4 πε 0 r 2
r2
ε0 ⋅ r 2

σ ⋅ a2
(N /C) → E (r) =
rˆ (N /C)
ε0 ⋅ r 2
donde se ha tenido en cuenta que la carga está uniformemente distribuida en la esfera.
€
3.4. Cálculo del potencial eléctrico debido a una corteza esférica
Recordad que el campo eléctrico creado por una corteza esférica cargada de forma homogénea
es:
 Q
σ ⋅ a2
ˆ
r
=
rˆ (N/C), r > a

2
2
4
πε
r
ε
⋅
r
0
0


E (r) = 
 0,
r<a


€
Figura 11: Corteza esférica de radio a y carga Q
El potencial eléctrico se calcula a partir de la relación:
VB −VA = −
€
∫
B
A
 
E ⋅ d = 0
En cualquier punto que esté a una distancia r > a respecto del centro de la corteza, el valor de la
diferencia de potencial respecto del infinito se puede obtener de la siguiente forma:
V (r) − V (∞) = −
€
∫
r
Q
Q
Q
⋅ dr' =
= ke
2
4 πε0 r'
r
4 πε0 r'
∞
Tened en cuenta que, en este caso, estamos tomando el infinito como origen de potenciales.
Recordad que podemos tomar el origen de potenciales de forma arbitraria. Sin embargo, en el
caso de distribuciones de carga de tamaño finito, resulta conveniente considerar el origen de
potenciales en un punto del infinito, dado que la influencia del campo eléctrico creado por las
cargas puede despreciarse si estamos suficientemente lejos de ellas. Por otro lado, en cualquier
9
punto que esté a una distancia r < a respecto del centro de la corteza, el valor de la diferencia
de potencial respecto del infinito se puede obtener de la siguiente forma:
V (r) − V (∞) = −
€
∫
r
 
E ⋅ d = −
∞
∫
a
Q
⋅ dr' −
2
4
πε
r'
0
∞
∫
r
 
E ⋅ d =
a
Q
4 πε0 a
puesto que, como hemos visto anteriormente, el campo eléctrico en el interior de la corteza es
nulo. Una forma alternativa de obtener el valor del potencial eléctrico en cualquier punto r < a
considera la condición de continuidad que verifica la función potencial eléctrico. Es decir, el
valor del potencial eléctrico debe verificar la siguiente condición: V(a+) = V(a-) .
Si dibujamos una gráfica que represente el potencial eléctrico respecto del infinito en función de
la distancia r respecto al centro de la corteza esférica, tenemos:
Figura 12: Potencial eléctrico (respecto del infinito) en función de la distancia r al centro de una corteza esférica.
donde queda claro que el potencial V es constante dentro de la corteza esférica y decae como 1/r
a medida que nos alejamos de la superficie de la corteza. Finalmente, la Figura 13 ilustra el
comportamiento del módulo del campo eléctrico en función de la distancia al origen
(considerado en el centro de la esfera).
Figura 13: Gráfica del módulo del campo eléctrico en función de la distancia r al origen de coordenadas (situado en
el centro de la corteza esférica)
Fijaos que, tal y como se ha indicado anteriormente, el potencial eléctrico es una función
continua. Por el contrario, en este caso, el campo eléctrico es una función discontinua. La
discontinuidad en el campo se encuentra, precisamente, en r = a, donde se encuentra la carga.
10
4. Aplicación de la ley de Gauss al estudio de los conductores
En muchos materiales, tales como el cobre y otros metales, parte de los electrones pueden
moverse libremente en el seno del material. Estos materiales se denominan conductores. En
otros materiales como la madera o el vidrio, todos los electrones están ligados a los átomos
próximos y ninguno puede moverse libremente. Estos materiales se conocen como materiales
aislantes. En realidad, el término conductor se utiliza para cualquier material que ofrezca poca
resistencia al flujo de electricidad. La diferencia entre un conductor y un aislante, que es un mal
conductor de electricidad, es de grado más que de tipo, ya que todas las sustancias conducen
electricidad en mayor o en menor medida. Un buen conductor de electricidad, como la plata o el
cobre, puede tener una conductividad muchísimos órdenes de magnitud superior a la de un buen
aislante, como el vidrio o la mica.
4.1. Propiedades básicas de los conductores
Las propiedades básicas de un conductor son:
a) El campo eléctrico dentro de un conductor en equilibrio electrostático es cero
Si ponemos un conductor sólido esférico en un campo externo homogéneo
separación de cargas y se inducirá un campo eléctrico
conductor,
apunta en la dirección opuesta a
libremente, se continuarán moviendo hasta que
conductor. En el equilibrio electrostático,
, se producirá una
(ver Figura 14) . Dentro del
. Como las cargas pueden moverse
cancele completamente a
dentro del
desaparece dentro del conductor. Fuera del
mismo, el campo eléctrico eléctrico total es simplemente
Figura 14: Conductor sometido a un campo eléctrico homogéneo.
b) Cualquier carga neta debe residir en la superficie del conductor
Si existiese una carga neta dentro del conductor, la aplicación de la ley de Gauss nos llevaría a
concluir que el campo eléctrico total
no puede ser cero allí. Por lo tanto, todo exceso neto de
carga debe fluir hacia la superficie del conductor.
11
Figura 15: Superficie gaussiana dentro de un conductor: la carga encerrada es cero.
c) La componente tangencial del campo eléctrico
es cero en la superficie de un conductor
Hemos visto que en un conductor en equilibrio electrostático, el campo eléctrico es cero en su
interior. Cualquier exceso de carga situado en el conductor debe entonces distribuirse en la
superficie tal como implica la ley de Gauss.
Figura 16: Componentes normales y tangenciales de un campo eléctrico fuera del conductor
Tal y como vimos al introducir el concepto de energía potencial electrostática, el campo
eléctrico es conservativo. Eso significa que la integral de línea alrededor del camino abcda
(camino cerrado) debe ser cero:


∫ E ⋅ d  = E ⋅ Δl − E
t
abcda
€
n
⋅ Δx'+0 ⋅ Δl'+En ⋅ Δx = 0
Si los incrementos Δx y Δx’ son muy pequeños, serán prácticamente paralelos e iguales. Lo que
significa que los componentes normales del campo eléctrico por su correspondiente incremento
se cancelarán y, como consecuencia, el producto de la componente tangencial por el Δl tiene
que ser cero. Puesto que el incremento Δl no es cero, necesariamente tendrá que serlo la
componente tangencial.
Esto implica que la superficie de un conductor en equilibrio electrostático es una superficie
equipotencial. Para verificarlo, considerad dos puntos A y B en la superficie de un conductor.
Como la componente tangencial del campo eléctrico es cero, la diferencia de potencial es:
VB −VA = −
€
∫
B
A
 
E ⋅ d = 0
Al ser el campo eléctrico perpendicular a la superficie, el resultado debe ser cero. Lo cual
implica que los puntos A y B tienen el mismo potencial eléctrico VA = VB
d) El campo eléctrico total es normal a la superficie fuera del conductor.
12
Si la componente tangencial del campo total es inicialmente diferente de cero, las cargas se
moverán hasta que se cancelen quedando únicamente la componente normal.
Figura 17: Superficie Gaussiana para calcular el campo eléctrico fuera del conductor
Podemos calcular el campo eléctrico en la superficie del conductor utilizando la ley de Gauss.
Por tanto,
 σ
N
σ ⋅A
ΦE =
→ En = nˆ  
C
ε0
ε0
4.2. Campo eléctrico cuando se sitúa una carga en el interior de una cavidad en un conductor
€
Vamos a calcular a continuación qué sucede con el campo eléctrico cuando se sitúa una carga
dentro de una cavidad dentro de un conductor neutro (conductor que no tiene carga neta).
Figura 18: Conductor con una cavidad
Sabemos que el campo eléctrico debe ser cero dentro de un conductor en equilibrio
electrostático. Por tanto, la carga neta encerrada por una superficie Gaussiana (como la que se
ve en la ilustración anterior) debe ser cero. Esto implica que se debe inducir una carga igual a –q
en la superficie interior de la cavidad. Puesto que el conductor no tiene carga neta deberá existir
una carga positiva +q inducida sobre la superficie exterior del conductor. Si queremos visualizar
la estructura del campo eléctrico, podemos recurrir al uso de las líneas de campo eléctrico. Por
un lado, éstas comienzan en la carga interna +q y acaban en la superficie interna del conductor
13
y, por otro, empiezan de nuevo en la superficie externa del mismo y apuntan hacia fuera del
conductor. En el interior del conductor, puesto que el campo eléctrico se anula, no habrían
líneas de campo eléctrico. Si el mismo conductor tuviese una carga +Q, la suma de cargas en la
superficie exterior del conductor sería igual a Q+q.
Recursos de interés
Clase magistral (¡en todos los sentidos!) del curso de electromagnetismo impartido por el Prof.
Walter Lewin del MIT. Los siguientes enlaces os permiten visualizar las clases completas. En
cada uno de ellos se ilustran los conceptos clave trabajados en las clases de teoría.
• Flujo eléctrico y ley de Gauss
http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02-electricity-and-magnetism-spring-2002/videolectures/lecture-3-electric-flux-and-gausss-law/
14