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Circuitos Acoplados Magnéticamente
Unidad IV
Circuitos Acoplados Magnéticamente
Conferencia 2
C. R. Lindo Carrión
1
Circuitos Acoplados Magnéticamente
Objetivos
Utilizar adecuadamente el modelo del transformador ideal y las
relaciones de corriente , voltaje y potencia que lo caracterizan.
Describir el funcionamiento de los equipos tales como:
Autotransformadores y Transformadores trifásicos.
Contenido
4.4 El transformador ideal
4.5 Autotransformadores y Transformadores Trifásicos
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Ejemplo
Para el circuito que se muestra en la Figura 11 deseamos determinar
todos los voltajes y corrientes especificados.
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Solución
Debido a las relaciones entre los puntos, las corrientes y voltajes, las
ecuaciones del transformador son:
1
V1  V2
n
I 1  nI 2
1
n
4
La impedancia reflejada en la entrada del transformador es:
Z1 = 16(2 + j)=32 + j16 Ω
Por lo tanto la corriente en la fuente es:
120| 0 o
I1 
 2.33| 13.5o A
18  j 4  32  j16
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4
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El voltaje a través de la entrada del transformador es:
V1 = I1Z1 = (2.33|-13.5º)(32 + j16) = 83.5|13.07º V
De aquí V2 es:
V2  nV1 
1
(83.5| 13.07 o )  20.88| 13.07 o V
4
La corriente I2 es:
1
I 2  I 1  4(2.33| 13.5 o )  9.32| 13.5 o A
n
Otra técnica para simplificar el análisis de circuitos que contienen un
transformador incluye el uso del teorema de Thévenin o de Norton
para obtener un circuito equivalente que reemplace el transformador y
el circuito primario o secundario.
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Sin embargo esta técnica por lo general requiere más esfuerzo que el
método presentado hasta el momento.
Demostraremos el método empleando el teorema de Thévenin para
obtener un circuito equivalente para el transformador y el circuito
primario de la red que se muestra en la Figura 12.
Las ecuaciones para el transformador en vista de la dirección de las
corrientes y voltajes y posición de los puntos son:
1
V1  V2
n
I 1  nI 2
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Al formar un equivalente de Thévenin en
las terminales 2-2’, como se muestra en
la Figura 13, notamos que I2 = 0 y, por
lo tanto I1 = 0. De aquí que:
VTH = V2= nV1= nVS1
La impedancia equivalente de Thévenin obtenida al examinar las
terminales de circuito abierto con VS1 reemplazada por un corto
circuito es Z1 que cuando se refleja en el secundario `por la razón de
vueltas es:
ZTH = n2Z1
Por lo tanto el circuito equivalente
resultante puede verse en la Figura
14.
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De manera semejante, podemos mostrar
que el reemplazo del transformador y de
su circuito secundario por un circuito
equivalente de Thévenin en las
terminales 1-1’, da como resultado la red
que se muestra en la Figura 15.
Se puede mostrar en general, que cuando se desarrolla un circuito
equivalente para el transformador y su circuito primario, cada voltaje
primario se multiplica por n, cada corriente primaria se divide entre n, y
cada impedancia primaria se multiplica por n2.
De manera similar, cuando se desarrolla un circuito equivalente para el
transformador y su circuito secundario, cada voltaje secundario se
divide entre n, cada corriente secundaria se multiplica por n, y cada
impedancia primaria se divide entre n2.
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Se debe recordar, por nuestro análisis anterior, que si cada punto en el
transformador se invierte, entonces n se reemplaza por –n en los
circuitos equivalentes.
Ejemplo
Dado el circuito mostrado en la Figura 16, deseamos dibujar las dos
redes obtenidos reemplazando el transformador y el primario, y el
transformador y el secundario, con circuitos equivalentes.
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Solución:
Debido a la relación entre corrientes y voltajes asignados y la
localización de los puntos, podemos obtener el circuito equivalente para
el secundario como sigue: la fuente del primario al ser pasada al
secundario es nVS1 = -24|0o V y la impedancia es n2Z1 = 15 – j12 Ω, ya
que n=2. Entonces el circuito equivalente se muestra en la Figura 17.
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Para obtener el circuito equivalente para el primario, la fuente del
primario al ser pasada al primario es VS2/n = -24|30o V y la impedancia
es Z1/n2 = 3 + j1 Ω, ya que n=2. Entonces el circuito equivalente se
muestra en la Figura 18.
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Ejemplo
Determinar el voltaje de salida Vo para el circuito mostrado en la Figura
19.
Solución
Comenzamos nuestro análisis formando un equivalente de Thévenin
para el circuito primario, como es mostrado en la Figura 20.
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El Voltaje de Thévenin y la impedancia
de Thévenin son:
VTH 
 j4
(24| 0 o )  4| 90 o  12  j8  14.42| 33.69 o V
4  j4
Z TH  [4 || ( j 4)]  2 
4( j 4)
 2  4  j2 
4  j4
El circuito inicial se reduce al circuito mostrado en la Figura 21.
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Como la variable que buscamos esta en el secundario, entonces
pasamos el primario hacia el secundario obteniendo así el circuito
mostrado en la Figura 22.
Entonces el voltaje de salida es:
Vo 
2
(28.84| 33.69 o )  2.8| 160.35 o V
20  j5
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Autotransformadores ideales
Los transformadores de dos devanados presentados hasta ahora
proporcionan aislamiento eléctrico entre el devanado primario y el
secundario, como se muestra en la Figura 23 (a).
Es posible, sin embargo, interconectar los devanados primario y
secundario en serie, creando un dispositivo de tres terminales, como se
muestra en la Figura 23 (b).
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Los circuitos equivalentes para la
conexión aditiva y sustractiva se
muestran en la Figura 24.
Este arreglo ofrece ciertas ventajas prácticas sobre el caso aislado.
Observe que el arreglo de tres terminales es esencialmente un
devanado continuo con un punto de derivación interno (terminal Y). Tal
dispositivo comúnmente esta disponible y se llama autotransformador.
El punto de derivación puede ajustarse para proporcionar un voltaje
variable en la salida. El autotransformador puede usarse en cualquier
aplicación práctica que requiera un transformador normal, con tal de
que no se requiera aislamiento eléctrico.
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Es particularmente útil donde se necesita un suministro de voltaje de
salida variable (por ejemplo, en el ambiente de un laboratorio).
La Figura 25 muestra los circuitos de conexión del autotransformador
en conexión de disminución y en conexión de elevación.
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Examinemos la conexión del autotransformador en conexión de
disminución que se muestra en la Figura 25.
De las relaciones del transformador tenemos:
VXY
N1

VYZ N 2
N1I 1  N 2 I ZY
Usando LVK nos da:
V2  VYZ
V1  VXY  VYZ
I 2  I 1  I ZY
Entonces:

N1 

 I 1
 1 
 N2 
 N1
 N 2

V2 
VXY I 1  N 2
 N 1  N 2

V2 I 2
V2 I 2
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
 I 2
 
 N1

 
 1 V2
 N2

N1
N1  N 2
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Sabemos que la clasificación de potencia del devanado N1 debe ser la
misma que la clasificación del devanado N2. Sin embargo, la ecuación
anterior ilustra que la clasificación de potencia del devanado N1 (es
decir, la clasificación de potencia del transformador) es sólo una
fracción [N1/(N1+N2)] de la potencia que es requerida por la carga.
Ejemplo
Un transformador de 5KVA 220V/110V se conectará para servir a una
carga de 110V desde una fuente de 330V.
(a) Dibuje el diagrama apropiado del circuito
(b) Determine la carga máxima que puede ser servida sin sobrecargar
el transformador.
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Solución
(a) El diagrama apropiado del
circuito se muestra en la Figura 26,
donde el devanado de 220V se
asigna a N1 y el devanado de 110V
se asigna a N2.
(b) Como N1/N2 = 220/110, N1 = 2N2 y
N1
2N 2
2


N1  N 2 2 N 2  N 2 3
Por lo tanto
VXY I 1 5KVA 2


V2 I 2
S2
3
3
S 2  (S 1 )  7.5KVA
2
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Ejemplo
Un transformador de 5KVA 220V/110V es usado para servir a una carga
de 330V desde una fuente de 220V.
(a) Dibuje el diagrama apropiado del circuito
(b) Calcule todas las corrientes si cada devanado opera a las
condiciones de clasificación
(c) Calcule la potencia aparente de la carga.
Solución
(a) El diagrama apropiado del
circuito se muestra en la Figura 27,
donde el devanado de 220V se
asigna a N1 y el devanado de 110V
se asigna a N2.
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(b)
I YZ
5000

 22.73 A
220
5000
I2 
 45.45 A
110
I1  I YZ  I 2  68.18 A
(c) S2 =V2I2 = (330)(45.45) = 15000VA, Observe que ésta cantidad es
tres veces la clasificación del devanado.
Ejemplo
Para el ejemplo anterior determinemos todos los voltajes y corrientes
fasoriales si V2 = 330|0o V y si el factor de potencia de la carga es 0.8
atrasado.
Solución
Suponemos que V1 = 220| V entonces VXY = (110/220)220| =
110| V. Ahora V2 = V1 + VXY = 220| + 110| = 330| V.
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Sin embargo, como V2 = 330|, =0o. Como el factor de potencia de
la carga esta atrasado, 2 = -cos-1(0.8) = -36.9º, y por consiguiente
I2 = 45.45|-36.9º.. También IYZ=(N2/N1)I2=(110/220)(45.45)|-36.9º
=22.72|-36.9 A.
Como I1=I2 + IYZ= 45.45|-36.9º + IYZ =22.72|-36.9º= 68.18|-36.9 A.
El análisis indica que resultados similares habrían sido alcanzados para
cualquier ángulo  o factor de potencia; es decir, V1, VXY y V2 están en
general en fase, como lo están I1, I2 e IYZ.
Los ejemplos han ilustrados que los transformadores de dos devanados
son capaces de entregar más potencia cuando se conectan como
autotransformador. En el transformador de dos devanados la potencia
se transfiere inductivamente, mientras que en el autotransformador la
potencia es transferida inductiva y conductivamente.
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Transformadores Trifásicos
Los transformadores desempeñan un papel clave en la transmisión de
potencia trifásica de corriente alterna. Se utilizan para elevar el voltaje
de la estación generadora a la red de transmisión de potencia de alto
voltaje y para bajar el voltaje de la red de transmisión a las cargas.
La transformación trifásica puede realizarse utilizando un banco de
transformadores de una sola fase o un transformador trifásico. Si se
usa un banco de transformadores monofásicos, es importante asegurar
que todos los transformadores tengan características similares, para
mantener un sistema balanceado.
Hay cuatro formas posibles balanceadas en las que el transformador
trifásico puede conectarse: Y-Y, delta-delta, Y-delta, y delta-Y, como
puede ser visto en la Figura 28.
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Los transformadores primarios con frecuencia se conectan en delta. La
razón para usar esta configuración delta es que permite que la
componente dominante de tercer armónica, que existe típicamente en
la corriente primaria, circule en la malla primaria sin ser inducida en el
secundario.
La configuración delta-delta tiene una propiedad única. Si uno de los
transformadores por alguna razón se elimina (por ejemplo, para
reparación o mantenimiento), los otros dos transformadores, que forma
ahora una delta abierta, aún pueden proporcionar voltajes trifásicos
balanceados a una carga reducida.
Cada vez que el secundario se conecta en Y y la línea neutra se usa, las
cargas monofásicas (línea a neutro) y trifásica (línea a línea) pueden
ser abastecidas
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En las configuraciones Y-Y y delta-delta, las corrientes y voltajes de
línea difieren por la razón de vueltas n. En las configuraciones Y-delta y
delta-Y, entra en juego un factor 3.
Ejemplo
Una carga trifásica de 100KVA con fp de 0.8 es abastecida por un
alimentador trifásico cuya impedancia por fase es 0.01 + j0.02 Ω. En
su extremo transmisor el alimentador se conecta al lado de bajo voltaje
de un transformador trifásico de 12KV Y: 208V  que suponemos es
ideal. Si el voltaje de línea en la carga es 200V, se desea encontrar:
(a) La corriente de línea en la carga
(b) El voltaje de línea en el extremo transmisor del alimentador
(c) El voltaje y corriente de línea en el lado de alto voltaje del
transformador.
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La red se muestra en la Figura 29
Solución
El voltaje VAB = VL = 200V y por lo tanto VAN = VAB/3= 115.5V
Ya que S =3VLIL entonces la corriente de línea es:
IL 
S
10K

 288.7 A
3 VL
3 (200)
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Si ahora suponemos que VAN = 115|0o V y como el factor de potencia
es 0.8 atrasado,  = cos-1(0.8) = 36.9º, entonces la corriente IA’A =
288.7|-36.9 A.
Entonces el voltaje de fase en extremo transmisor del alimentador es:
VA’N’ = (0.01 + j0.02)IA’A + 115.5|0o = 121.3|1.36º V
Así el voltaje de línea en el lado de bajo voltaje del transmisor es:
VL = 3VA’N’ = 210.1 V
Los transformadores de potencia trifásica se clasifican en el voltaje de
línea, haciendo caso omiso de las conexiones Y o delta internas. Como
se supone que el transformador es ideal, el voltaje de línea en el lado
de alto voltaje del transformador es:
VLHV
12000

(210.1)  12.12 KV
208
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De manera similar, la corriente de línea en el lado de alto voltaje del
transformador es:
I LHV
208

(288.7)  5.004 A
12000
Es interesante notar que la razón de vueltas por fase del transformador
es (12000/3)/208. Sin embargo, el voltaje de fase en el lado de alto
voltaje del transformador es línea a neutro debido a la conexión en Y.
Por tanto, si el voltaje de línea se determina utilizando la razón de
vueltas por fase, obtenemos:
VLHV
 12000 / 3 
VLLV
 3

208


Y el factor 3 se cancela. Consideraciones similares afectan la corriente.
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