Download Monomios y polinomios

EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
U.D. 3
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
1
POLINOMIOS
U.D. 3.1 * 1º BCS
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
2
Expresión algebraica
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Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas
por los signos de las operaciones aritméticas.
Las letras se llaman variables (en polinomios), incógnitas (en ecuaciones) o
indeterminadas (en general).
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EJEMPLOS
a)
4.x2
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VALOR NUMÉRICO
Es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y
realizar las operaciones indicadas.
Si la expresión es un polinomio cobra especial importancia, pues si P(a) = 0
entonces decimos que a es una raíz del polinomio.
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EJEMPLOS
a)
4.x2
b)
2.π.r
b) a.b
c)
y - 4 + x2
d) 2.π.r
 Para x = 5  4.52 = 4. 25 = 100
 Para r = 10  2.3,1416. 10 = 62,832
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3
Monomio
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Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a
las letras son la MULTIPLICACIÓN y la POTENCIACIÓN DE EXPONENTE
NATURAL.
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EJEMPLO
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El 4 es el coeficiente numérico.
La a es el coeficiente no numérico.
La letra x es la variable.
El 3 es el exponente de la variable, que se llama GRADO del monomio.
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CONTRAEJEMPLOS
4.a.x3
- 3.x - 2 no es un monomio.
3
----- no es un monomio.
2.x
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5.(x / y) no es un monomio
- 3.x.√y
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Polinomio
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Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de
monomios.
Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO,
Grado es el mayor de los términos o monomios que lo forman.
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Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama
TÉRMINO INDEPENDIENTE.
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EJEMPLOS
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P(x) = - 7.x + 5
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P(x, y) = x3 + 7.y2 - 5.x.y
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P(x) = 5.x2 - 7.x + a
P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x
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Tipos de polinomios
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REDUCIDOS
Tiene sumados los términos semejantes
NO REDUCIDOS
Contiene dos o más términos semejantes.
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COMPLETOS
Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero.
INCOMPLETOS
Falta algún término de grado menor que el del polinomio.
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ORDENADOS
Sus términos están ordenados por el grado de la variable.
NO ORDENADOS
Sus términos están desordenados según el grado de los mismos.
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Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO
DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.
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REDUCIDOS
• P(x) = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6
•
NO REDUCIDOS
• P(x) = 2.x3 + 7.x - 31.x2 + 4.x – 6
•
COMPLETOS
• P(x) = x3 + 3.x2 + 4.x – 6
•
INCOMPLETOS
• P(x) = 3.x3 + 4.x – 6  Falta término en x2
•
ORDENADOS
• P(x) = x3 - 3.x2 – 6  Ordenado de forma decreciente.
•
NO ORDENADOS
• P(x) = 7.x - 3.x3 + 6.x2 – 6
•
Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y
ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente
con él.
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Valor numérico de un polinomio
• Dado un número real a y un polinomio P(x) se llama valor numérico
de P(x) para x=a y se escribe P(a) al número que se obtiene al
sustituir x por a.
• EJEMPLOS
•
• a) P(x) = x3 – 4.x + 5
 Para x = 2 
P(2) = 8 – 8 + 5 = 5
• b)
P(x) = x4 – 4. x3 + 1  Para x = – 1  P(– 1) = 1 + 4 + 1 = 6
• c)
P(x) = 3.x3 – 4.x  Para x = – 2  P(– 2 ) = – 24 + 8 = – 16
• d)
P(x) = x4 – 4. x2
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 Para x = √2 
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P(√2) = 4 – 8 = – 4
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Raíces de un polinomio
•
Se llama raíz de un polinomio P(x) a cualquier valor de x para el que el
valor del polinomio es cero.
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•
•
EJEMPLOS
a)
P(x) = x3 – 4.x
•
b)
P(x) = x4 + 4.x3 – 5
•
c)
P(x) = 3.x101 + 3
•
d)
P(x) = x4 – 3.x2
•
d)
P(x) = x4 – e2
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 Para x = 2 
P(2) = 8 – 8 = 0
 Para x = 1 
P(1) = 1 + 4 – 5 = 0
 Para x = – 1  P(– 1) = 3.(– 1) + 3 = 0
 Para x = √3 
P(√3) = 9 – 3.3 = 0
 Para x = –√e 
P(–√e) = e2 – e2 = 0
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Aplicación geométrica 1
•
Se quiere construir un depósito
abierto por arriba de modo que el
ancho mida 10 m más que el largo y
de una altura suma de largo y
ancho. Expresa el área del suelo, de
las paredes y el volumen del
depósito en función del menor
número de variables.
•
Resolución:
•
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Sea x = largo
Sea x + 10 = ancho
Sea x + x + 10 = 2.x + 10 = altura.
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Suelo: A = largo.ancho
Paredes: A = perímetro.altura
Volumen: V =largo.ancho.altura
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2.x+10
x
x+10
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•
•
•
•
•
Suelo:
A = x.(x+10) = x2 + 10.x
Perímetro de la base:
P = 2.x + 2.(x+10) = 4.x + 20
Paredes:
A = (2.x+20).(2.x+10) =
A = 4.x2 + 60.x + 200
Volumen:
V = x.(x+10).(2.x+10)
V = 2.x3 + 30.x2 + 100.x
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Aplicación geométrica 2
•
•
Se quiere construir un marco para
una ventana rectangular. La
diagonal de la ventana debe medir
3 metros. El largo del marco vale 7
€/m y el ancho vale 10 €/m.
Expresa las dimensiones del
marco, el área de la ventana y el
coste total del mismo en función del
menor número de variables.
•
Resolución:
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•
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•
Sea x = largo
Por Pitágoras:
Ancho = √(Diagonal 2 – largo 2)
√(32 – x2) = √(9 – x2) el ancho
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3
y
x
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•
•
•
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Área:
A = largo.ancho
A = x. √(9 – x2) = √(9.x2 – x4)
Coste:
C = 7.(2.x) + 10.(2.y)
C = 7.2.x + 10.2. √(9 – x2)
C = 14.x + 20.√(9 – x2)
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Aplicación geométrica 3
•
•
Se tiene un cilindro inscrito en un
cono de 3 cm de radio de la base y
de 5 cm de altura.
Hallar el volumen del cilindro
utilizando como única variable el
radio de su base, r.
r
h
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Resolución:
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•
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Por Thales:
5
5–h
--- = ---------3
r
Operando queda:
5.r = 15 – 3.h
3h = 15 – 5.r
h = (15 – 5.r) / 3 = 5 – (5/3).r
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5 cm
3 cm
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Volumen del cilindro:
V = π.r2.h
V = π.r2.[5 – (5/3).r]
V = 5.π.r2 – 5.π.r3 / 3
V = 5.π.r2.(1 – r / 3)
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