Download Monomios. Operaciones.

Polinomios
U.D. 5 * 3º ESO E.Ap.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
1
ÁLGEBRA Y
MONOMIOS
U.D. 5.1 * 3º ESO E.Ap.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
2
Expresión algebraica
• EXPRESIÓN ALGEBRAICA
•
Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas
por los signos de las operaciones aritméticas: Adición, sustracción,
multiplicación, división y potencia.
•
Al factor numérico, o número que multiplica o divide a una letra, se le
denomina COEFICIENTE.
•
A las letras se las llama VARIABLES, y a su exponente GRADO.
•
Ejemplos:
•
•
4.x + y/5 – z
El 4 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -1 de z.
•
•
(4.x + y)/5 – 3.z
El 4/5 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -3 de z.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
3
Utilidad del álgebra: Ejemplo_1
• El IVA, en la mayoría de los artículos, es del 18%.
• Si llamamos x al PVP sin IVA, lo que pagaremos al comprar dicho
artículo con factura será:
•
18
• x + -----. x
•
100
• El precio final será x+0,18.x
• Hemos de pagar 1,18.x , siendo x el PVP.
• Valga lo que valga el artículo, la expresión algebraica la podemos
utilizar siempre.
• Si llamamos P al precio final, queda:
• P = 1,18.x , que es lo que llamamos FÓRMULA.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
4
Utilidad del álgebra: Ejemplo_2
•
•
•
Sea un rectángulo.
Llamamos b a lo que mide el lado de la base.
Llamamos h a lo que mide el lado de la altura.
•
•
•
•
El perímetro de un rectángulo es:
2.b+2.h
El área de un rectángulo es:
b.h
•
Aunque tengamos millones de rectángulos distintos, la expresión algebraica
la podemos emplear siempre, con independencia de lo que midan sus
lados.
•
•
•
•
Si empleamos:
P = 2.b+2.h
A = b.h
Entonces las expresiones se convierten en FÓRMULAS.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
5
Utilidad del álgebra: Ejemplo_3
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
La nota media de dos exámenes más la nota por su actitud en clase es la
nota de la evaluación de un alumno:
Llamamos x a la nota de un examen (máximo 9 puntos).
Llamamos y a la nota del otro examen (máximo 9 puntos).
Llamamos z a la nota de clase (máximo 1 punto).
Cualquiera que sean las notas de los exámenes y el alumno en cuestión, la
nota de evaluación será siempre:
x+y
------- + z
2
Si llamamos N a la nota de la evaluación, la expresión algebraica se
convierte en la Fórmula:
x+y
N = -------- + z
2
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
6
Utilidad del álgebra: Ejemplo_4
•
•
Al reparar un ordenador a domicilio, un técnico cobra 30 € por salida y 10 €
cada media hora de trabajo.
Llamamos x a las horas que ha estado reparando el ordenador.
•
Nos cobrará al final:
•
•
•
30 + 2.x . 10
•
•
•
•
•
Si llamamos P al precio final, la expresión algebraica se convierte en la
Fórmula:
P = 30 + 20.x
Nota: Hay que tener en cuenta que falta el IVA, y además se puede
complicar la expresión si cambia alguna pieza.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
7
Monomios
•
Un monomio es la expresión algebraica más sencilla. Es una expresión
algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la
MULTIPLICACIÓN y la POTENCIACIÓN DE EXPONENTE NATURAL.
•
•
EJEMPLO
•
•
•
El 4 es el coeficiente numérico.
La letra x es la variable.
El 3 es el exponente de la variable, que se llama GRADO del monomio.
•
EJEMPLOS PRÁCTICOS
•
•
•
Por x representaríamos una longitud.
Por x2 representaríamos una superficie.
Por x3 representaríamos un volumen.
4.x3
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
8
Monomios semejantes
•
Dos monomios son SEMEJANTES si tienen la misma parte literal.
•
•
•
EJEMPLO
•
- 5.a5
•
x.y3
•
Para que dos o más monomios se puedan sumar deben ser semejantes.
•
3.x + 2.y no se pueden sumar (¿Tres peras + dos naranjas?)
•
•
5.x2 + 2. x3 no se pueden sumar (¿5 m2 + 2 m3 ?).
4.x3
, 7.x3 , - 23.x3

Parte literal común: x3
, 31.a5 , - 3.a5

Parte literal común: a5
, 7.x.y3 , - 2.x.y3

Parte literal común: x.y3
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
9
Suma de monomios
•
La suma ( o diferencia ) de dos monomios semejantes es otro monomio,
que tiene como coeficiente la suma ( o diferencia ) de coeficientes y como
parte literal la misma que la de los sumandos.
•
Si los monomios no son semejantes, el resultado es un POLINOMIO
•
EJEMPLOS
• 4.x3 + 7.x3 - 5.x3 = ( 4 + 7 – 5 ).x3 = 6.x3

• 4.x3 + a.x3 - x3 = ( 4 + a – 1 ).x3 = ( 3 + a ).x3
Monomio

• 4.x3 + 7.x3 - 5.x2 = ( 4 + 7).x3 - 5.x2 = 11.x3 - 5.x2 
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Monomio
Polinomio
10
Producto de monomios
• El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio,
que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como
variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios
factores.
• EJEMPLO
• Sea 4.x3 y
5.x2
• (4.x3 ). (5.x2 ) = 4.5. x3+2 = 20.x5
• EJEMPLO
• Sea 7.x3 y
5.a.x3
• (7.x3 ). (5.a.x3 ) = 7.5.a. x3+3 = 35.a.x6
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
11
División de monomios
• La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio,
que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como
variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y
divisor.
• EJEMPLO
• Sea 20.x5 y
5.x2
• (20.x5 ) : (5.x2 ) = (20/5). x 5 – 2 = 4.x3
• EJEMPLO
• Sea 2.x3 y
5.x
• (2.x3 ) : (5.x ) = (2/5). x 3 – 1 = 0,4.x2
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
12
Potencia de monomios
• La potencia de un monomio es otro monomio, que tiene como
coeficiente la potencia del coeficiente de la base, como variable la
misma y grado el producto de las potencias.
• EJEMPLO 1
•
• Sea (4.x3)2
•
• (4.x3)2 = (4)2. (x3)2 = 16. x3.2 = 16.x6
• EJEMPLO 2
•
• Sea [ 3 . ( x 5) 2 ] 3
•
• [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 = 33 . ( x 5x2) 3 = 33 . x 5x2x3 = 27 . x 30
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
13
• EJEMPLO 3
•
• Sea [(1/2 ).x2 ]3
•
• (1/2)3. (x2 )3 = (1/8). x2.3 = (1/8).x6
• EJEMPLO 4
•
• Sea (2.x4 )5
•
• (2)5. (x4)5 = 32.x4.5 = 32.x20
• EJEMPLO 5
•
• Sea (2.x3 .y)4
•
• (2)4. (x3)4 .y4 = 16.x3.4 .y4 = 16.x12.y4
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
14
Polinomios
•
Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de
monomios no semejantes.
•
Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO,
•
•
Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama
TÉRMINO INDEPENDIENTE.
•
•
•
EJEMPLOS
•
P(x) = 3.x3 - 7.x + 5
•
P(x) = x3 + 7.x2 - 5.x - 3
P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
15