Download Tema 12: Aproximaciones a la Distribución Normal y

Estadística
Tema 12: Aproximaciones a la
Distribución Normal. Distribución
Exponencial
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Teorema del Límite Central
Dada una v.a. cualquiera, si extraemos muestras de tamaño n, y calculamos
los promedios muestrales, entonces:

Dichos promedios tienen distribución aproximadamente normal;

La media de los promedios muestrales es la misma que la de la variable
original.

La desviación típica de los promedios disminuye en un factor “raíz de n”
(error estándar).

Las aproximaciones anteriores se hacen exactas cuando n tiende a infinito.

Este teorema justifica la importancia de la distribución normal.

Sea lo que sea que midamos, cuando se promedie sobre una muestra grande
(n>30) nos va a aparecer de manera natural la distribución normal.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Función de Densidad
Está caracterizada por dos parámetros: La media, μ, y la
desviación típica, σ; además del tamaño de la muestra.
X
Estadística. UNITEC
 

N ,

n 

Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Estandarización

Dada una variable de media μ, desviación típica σ y muestras de tamaño
n, se denomina valor estandarizado,z, de una media muestral, a la
distancia (con signo) con respecto a la media poblacional, medido en
desviaciones típicas en razón a la raiz cuadrada del tamaño muestral, es
decir

x  
z
n


Nos permite comparar entre dos muestras de dos distribuciones
normales diferentes, para saber cuál de las dos es más extremo.
También podemos hacer inferencias acerca de las medias de las
respectivas poblaciones, etc.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 1: Cobertura de una Pintura
Si una lata de 1 galón de pintura cubre en promedio 513,3 pies cuadrados con una
desviación estándar de 31,5 pies cuadrados, ¿cuál es la probabilidad de que el área
media cubierta por una muestra de 40 de estas latas de 1 galón se halle en un punto
entre 510 y 520 pies cuadrados?.
Solución:
Llamemos X a la v.a. que define el área de cobertura, en pies cuadrados, de un
galón de la pintura.
De esta v.a. se desconoce su distribución; sin embargo en el problema se habla de
cobertura promedio y la muestra es de 40; es decir, lo suficientemente grande como
para asumir que, independientemente de la distribución de la v.a. X, su media
muestral se distribuye normal. Por tanto
X
 

N ,

n 

Debemos hallar :
Estadística. UNITEC

X
31,5 

N  513,3 ,

40 

P(510  x  520)
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 1: Cobertura de una Pintura
P(510  x  520)
Para ello debemos estandarizar la media muestral en los valores 510 y 520 y, con la
ayuda de la tabla, respondemos la interrogante planteada.


 510  513,3 x   520  513,3 
P510  x  520  P


 P 0,66  z 1,35


4,98
4,98


n


Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 1: Cobertura de una Pintura
P(510  x  520)
Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la
función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades
acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:
P 0,66  z  1,35  Pz  1,35  P z   0,66
P 0,66  z  1,35  0,9115  0,2546  0,6569
La cobertura promedio de un galón de pintura tiene una probabilidad de 0,6569 de
estar entre 510 y 520 pies cuadrados.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 2: Barriles de Petróleo Crudo
Supóngase que el número de barriles de petróleo crudo que produce un pozo
diariamente es una variable aleatoria con una distribución no especificada. Si se
observa la producción en 64 dias, seleccionados en forma aleatoria, y se sabe que la
desviación típica del número de barriles por dia es 16, determínese la probabilidad de
que la media muestral se encuentre a no mas de cuatro barriles del valor verdadero.
Solución:
Llamemos X a la v.a. que define el número de barriles producidos por dia.
De esta v.a. se desconoce su distribución; sin embargo en el problema se habla de
una muestra de 64 observaciones; es decir, lo suficientemente grande como para
asumir que, independientemente de la distribución de la v.a. X, su media muestral se
distribuye normal. Por tanto
X
 

N ,

n 

Debemos hallar :
Estadística. UNITEC

X
16 

N ,

64 

P(  - 4  x    4 )
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 2: Barriles de Petróleo Crudo
P(  - 4  x    4 )
Para ello debemos estandarizar la variable x en los valores   4 y, con la ayuda de
la tabla, respondemos la interrogante planteada.


     4 x       4 
P  4  x    4  P


 P 2  z  2


2
2


n


Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 2: Barriles de Petróleo Crudo
P(  - 4  x    4 )
Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la
función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades
acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:
P 2  z  2  Pz  2  P z   2
P 2  z  2  0,9772  0,0228  0,9548
Con una probabilidad de 0,9548 la media muestral se encuentra a no mas de cuatro
bariles de petróleo por dia del valor real de la producción promedio diaria.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Aproximación de una Binomial a una Normal
La distribución binomial es una forma límite de la distribución de Poisson cuando n es
grande (n  50) y p es pequeño. Cuando n es grande; pero p no tiene un valor
cercano a cero, la distribución normal proporciona una mejor aproximación.
TEOREMA DEL LÍMITE DE DEMOIVRE – LAPLACE
Si X es una variable aleatoria que se distribuye binomial con parámetros n y p, y n
es grande; entonces X posee una distribución aproximadamente normal

N n p , n p 1 p
X
Esta aproximación es buena
cuando n es grande y se
cumple que:
Estadística. UNITEC
np  5
n 1  p   5
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial

1
2
1
cuando p 
2
cuando p 
Prof. L. Lugo
Estandarización

Dada una variable X distribuida binomial con parámetros n y p, se
denomina valor estandarizado, z, a la distancia (con signo) con respecto
a la media poblacional, medido en desviaciones típicas, es decir
x  n p 
z
n p 1 p

Para tamaños de muestra grandes, nos permite calcular, de forma
sencilla, aproximadamente valores de probabilidad que no serían fáciles
de calcular usando la distribución binomial.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 3: Preferencia por un Candidato
Una organización política planea llevar a cabo una encuesta para detectar la
preferencia de los votantes con respecto a los candidatos A y B que ocuparán un
puesto en la administración pública. Supóngase que se toma una muestra aleatoria de
1000 ciudadanos. ¿Cuál es la probabilidad de que 550 o mas de los votantes indiquen
una preferencia por el candidato A si la población, con respecto a los candidatos, se
encuentra igualmente dividida?.
Solución:
Sea X la v.a. que define el número de ciudadanos que prefieren al candidato A.
Esta v.a. tiene distribución binomial; sin embargo dado que p = ½ y la muestra es de
1000; es decir, es una muestra grande podemos usar una aproximación a la
distribución normal para resolver el problema. Por tanto
X

N n p , n p 1 p
Debemos hallar :
Estadística. UNITEC


X

N 500 , 5 10
P( x  550)
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo

Ejemplo 3: Preferencia por un Candidato
P( x  550)
Para ello debemos estandarizar la variable x en el valor 550 y, con la ayuda de la
tabla, respondemos la interrogante planteada.

Px  550  P


Estadística. UNITEC
x  np
550  500 

 P z  3,16
np 1  p 
5 10 
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 3: Preferencia por un Candidato
P( x  550)
Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la
función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades
acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:
P z  3,16  1  P z  3,16
P z  3,16  1  0,9992  0,0008
La probabilidad de que 550 o mas votantes manifiesten una preferencia por el
candidato A en la encuesta es de 0,0008.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Aproximación de una Poisson a una Normal
La distribución de Poisson se desarrolla como el límite de una distribución binomial
cuando el número de ensayos tiende a infinito. Por tanto no es de extrañar que la
distribución normal pueda usarse para aproximar las probabilidades de una variable
aleatoria Poisson.
Si X es una variable aleatoria que se distribuye Poisson con parámetro ; entonces
X posee una distribución aproximadamente normal
X

N  , 

 5
Esta aproximación es buena
cuando se cumple que:
Dado que una binomial se aproxima a Poisson mediante
  np
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Estandarización

Dada una variable X distribuida poisson con parámetro , se denomina
valor estandarizado, z, a la distancia (con signo) con respecto a la media
poblacional, medido en desviaciones típicas, es decir
x
z


Para tamaños de muestra grandes, nos permite calcular, de forma
sencilla, aproximadamente valores de probabilidad que no serían fáciles
de calcular usando la distribución poisson.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 4: Partículas de Asbesto
Supóngase que el número de partículas de asbesto en un centímetro cuadrado de
polvo tiene una distribución poisson con media 1000. Si se analiza un centímetro
cuadrado de polvo, ¿cuál es la probabilidad de encontrar menos de 950 partículas de
asbesto?.
Solución:
Llamemos X a la v.a. que define el número de partículas de asbesto por cm2.
X se distribuye poisson; sin embargo su escala de medición complica la aplicación de
la función de distribución de poisson, y por tanto lo recomendable es aproximar
usando la distribución normal.
X

N , 
Debemos hallar :
Estadística. UNITEC


X

N 1000 ,10 10
P(x < 950)
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo

Ejemplo 4: Partículas de Asbesto
P(x < 950)
Para ello debemos estandarizar la variable x en el valor 950 y, con la ayuda de la
tabla, respondemos la interrogante planteada.
 x   950  1000 
Px  950  P

  P z  1,58

10 10 

Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 4: Partículas de Asbesto
P(x < 950)
Para obtener esa probabilidad debemos acudir a la tabla de probabilidades de la
función normal estándar, recordando que esta tabla nos proporciona probabilidades
acumuladas; es decir, el caso que nos ocupa lo resolvemos:
P z   1,58  0,0571
Hay una probabilidad de 0,0571 de que se encuentren menos de 950 partículas de
asbesto en un centímetro cuadrado de polvo.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Distribución Exponencial
Supóngase por un instante que se define una variable aleatoria con distribución de
poisson, que representa el número de fallas en determinada longitud de un alambre de
cobre. En el tema 10 estudiamos el comportamiento de esta v.a.; pero en ocasiones
tambien es de interés estudiar la distancia entre estas fallas.
Sea la variable aleatoria X la longitud desde el punto inicial del alambre hasta el sistio
donde se encuentra una falla. Como es de esperarse la distribución de X puede
obtenerse a partir del conocimiento de la distribución del número de fallas; es decir, nos
planteamos la siguiente relación: la distancia hasta la primera falla es mayor que x si y
solo si no hay fallas en esa longitud x.
La obtención de la distribución de X depende solo de la hipótesis de que el número de
fallas sigue un proceso de Poisson. Asimismo, el punto de partida de X no importa, ya
que la probabilidad del número de fallas en un intervalo de un proceso de poisson
depende solo de la longitud del intervalo y no de la posición.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Función de Densidad
Está caracterizada por el
parámetro de poisson: .
X
  e
f x   PX  x   
 0
1
EX    

Estadística. UNITEC
 x
VX    
2
E  
0x
en otro caso
1
2

Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
1
VX    

Prof. L. Lugo
Características de la Gráfica
Mientras mayor es el valor de  mayor es el sesgo de la gráfica.
Es una gráfica siempre positiva, con comportamiento asintótico con respecto al eje
de las abscisas y con un corte en el eje de las ordenadas para el valor x = 0.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Cálculo de Probabilidades
Las probabilidades en una distribución exponencial representan las áreas bajo la curva
entre dos posiciones. Estas se consiguen por integración de la función de densidad; sin
embargo por ser una función exponencial, cuya integral es siempre la misma, se tienen
expresiones establecidas para el cálculo de probabilidades según:
  e   x
f x   PX  x   
 0

PX  t     e
 x
dx 
PX  t     e
en otro caso
Lim  e 
 x
b 
t
t
0x
 x

dx   e
 x

t
0
b
t
e
1 e
 t
 t
0
t
Ps  X  t     e
 x

dx   e
 x

t
s
e
s
e
0  s  t   
 t
PX  t   1  e
s
 t
Ps  X  t   e
e
 t
P X  t   e
Si
 t
s
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 5: Acceso a una Red de Computadores.
En una red de computadoras grande, el acceso de los usuarios al sistema puede
modelarse como un proceso Poisson con una media de 25 accesos por hora.
Determine: a) la probabilidad de que no haya ningún acceso en un intervalo de 6
minutos, b) la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta el siguiente acceso
esté entre 2 y 3 minutos, c) el intervalo de tiempo para el que la probabilidad de que
no se presenten accesos al sistema durante ese tiempo sea de 0,90.
Sea la va
X = tiempo en minutos desde el inicio hasta el primer acceso.
1h
accesos
  25

 0,417
h
60 min
X
E  0,417 
a) P(X > 6)
P X  t  
e
 t

PX  6  e
 0, 4176 
 0,0819
Hay una probabilidad de 0,0819 de que no se presente ningún acceso en 6 minutos.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 5: Acceso a una Red de Computadores.
b) P(2  X  3)
Ps  X  t  
s
 t
e e


 

P2  X  3  e
e
 0, 4173 
 0, 417 2
 0,1481
Hay una probabilidad de 0,1481 de que el tiempo que transcurre entre accesos esté
entre 2 y 3 minutos.
c) Se pide el tiempo x para el que P(X > x) = 0,90
PX  t  

e
 t

PX  x  
 0,417 x   Ln 0,90
x  0,25
Estadística. UNITEC
e

 0, 417 x 
 0,90
Ln 0,90
x

 0,417
Hay una probabilidad de 0,90 de que no se
presente ningún acceso en 0,25 minutos.
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 6: Detección de una Partícula Rara.
Sea X el tiempo entre las detecciones de una partícula rara por un contador Geiger.
Supóngase que X tiene distribución exponencial con una media de 1,4 minutos.
Determine: a) la probabilidad de detectar una partícula durante el lapso de 30
segundos que transcurre desde que se enciende el contador, b) Si el contador
permanece encendido por un período de 3 minutos sin detectar una partícula, ¿cuál
es la probabilidad de detectar una partícula en los siguientes 30 segundos?.
  1,4 min
X
E  1,4 
a) P(X  0,5)
PX  t   1  e
 t

PX  0,5  1  e
 1, 4 0, 5 
 0,50
Hay una probabilidad de 0,50 de detectar una partícula en los primeros 30 segundos
de funcionamiento del contador.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 6: Detección de una Partícula Rara.
b) Si el contador permanece encendido por un período de 3 minutos sin detectar
una partícula, ¿halle la probabilidad de detectar una en los siguientes 30 segundos?.
Pareciera que debemos calcular: P(X  3,5 / X > 3)
PX  3,5  X  3 P3  X  3,5
PX  3,5 / X  3 

PX  3
PX  3
s
 t
Ps  X  t   e
e

P3  X  3,5 
P X  t  
e
 1, 4 3 
e
 1, 4 3, 5 
 0,0075
 1, 4 3 
 PX  3  e
 0,015
¿?
0,0075
PX  3,5 / X  3 
 0,50  PX  0,5
0,015
e
 t
Hay una probabilidad de 0,50 de detectar una partícula en los 30 segundos siguientes
a los primeros 3 minutos de funcionamiento del contador sin detectar partículas.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 7: Espera por un Taxi.
El tiempo entre arribos de los taxis a un cruce muy concurrido tiene una distribución
exponencial con media de 10 minutos. Determine: a) la probabilidad de que una
persona que esté en el cruce tenga que esperar mas de una hora para tomar un taxi,
b) el valor de x de modo tal que la probabilidad de que la persona tenga que
esperar menos de x minutos para tomar un taxi sea de 0,50.
Sea X = el tiempo en minutos para tomar un taxi en el cruce
1
EX  10     0,1 min

X
E  0,1 
a) P(X > 60)
PX  t  
e
 t

PX  60 
e
 0,160 
 0,025
Hay una probabilidad de 0,025 de que una persona tenga que esperar en el cruce por
mas de una hora para tomar un taxi.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo
Ejemplo 7: Espera por un Taxi.
b) Se pide el tiempo x para el que P(X < x) = 0,50
PX  t   1  e

 t

 0,1x   Ln 0,50
PX  x   1  e

 0,1 x 
Ln 0,50
x
 0,1
 0,50

x  6,93
Hay una probabilidad de 0,50 de que una persona tenga que esperar menos de
6,93 minutos para tomar un taxi en el cruce.
Estadística. UNITEC
Tema 12: Distribuciones Normal y Exponencial
Prof. L. Lugo