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Unidad III.Variables aleatorias
Prof. Eliana Guzmán U.
Semestre A-2015
Variable Aleatoria
Concepto:
p es una función que
q asigna
g un
número real, a cada elemento del espacio
muestral.
y Solo los experimentos aleatorios que dan
lugar
g a espacios
p
muestrales no numéricos,,
requieren formalmente la definición de
una variable aleatoria sobre ellos.
y
Variable Aleatoria
y
Ejemplo:
j p en el lanzamiento de una
moneda balanceada.
R
S
X(S)
Cara
Sello
0
1
La variable aleatoria X se definiría como:
X: cantidad de sellos obtenidos en el lanzamiento
d la
de
l moneda.
d
Tipos de Espacios Muestrales
Espacio
p
muestral discreto: si contiene
un número finito de posibilidades o una
secuencia interminable con tantos
elementos, como números naturales
existen.
y Espacio muestral continuo: si
contiene un número infinito de
posibilidades, igual al número de puntos
g
de línea.
en un segmento
y
Espacios Muestrales
Para un mismo espacio
p
muestral se pueden
p
definir múltiples variables aleatorias,
dependiendo
p
de lo que
q se esté interesado
en estudiar.
Por ejemplo, si se está haciendo un estudio de control de calidad
en una línea
lí
de
d producción,
d ió y para esto se seleccionan
l i
3
artículos al azar sin reemplazo y se clasifican como defectuoso
(D) o no defectuoso (N), se pueden definir las siguientes
variables aleatorias:
Espacios Muestrales
◦ X: cantidad de artículos defectuosos
seleccionados.
◦ Y: cantidad de artículos no defectuosos
seleccionados.
◦ Z: diferencia entre la cantidad de artículos
d f
defectuosos
y la
l cantidad
id d de
d artículos
í l no
defectuosos seleccionados.
◦ W: pérdida monetaria generada por los
artículos defectuosos seleccionados.
Clasificación de las Variables
Aleatorias
Las variables aleatorias se clasifican en:
◦ Variables aleatorias discretas: son aquellas que
sólo pueden tomar un número finito o infinito
numerable de valores enteros.
◦ Variables aleatorias continuas: son aquellas
que pueden tomar un número finito no
numerable de valores,, es decir,, ppuede tomar
cualquier valor en una escala continua de
medición.
Función de Probabilidad para
Variables Aleatorias Discretas
y
Una variable
U
i bl aleatoria
l
i asume cada
d uno de
d
sus valores con una cierta probabilidad.
P esta razón,
Por
ó es común
ú expresar dichas
di h
probabilidades de forma tabular.
x
x1
x2
x3
xn
f(x)
f(x1)
f(x2)
f(x3)
f(xn)
Función de Probabilidad para
Variables Aleatorias Discretas
Con frecuencia es conveniente representar
con una fórmula, todas las probabilidades
de una variable aleatoria X. Dicha fórmula
debe ser necesariamente una función de
los valores numéricos de X, que se
expresa normalmente por f(x). Por lo
tanto se escribe:
f(x)=P(X=x)
Función de Probabilidad para
Variables Aleatorias Discretas
Definición: El conjunto de pares ordenados
(x,f(x)), es una función de probabilidad de
la variable aleatoria discreta X si,
si para
cada valor posible x:
1) f(x)
f( ) ≥ 0
2) ∑ f ( x) = 1
3) P(X=x) = f(x)
x
Función de Distribución para
Variables Aleatorias Discretas
La Función de Distribución Acumulada F(x)
de una variable aleatoria discreta X, cuya
función de probabilidad es f(x)
f(x), es:
F ( x) = P( X ≤ x) =
∑ f (t )
t≤x
−∞ < x < ∞
Función de Probabilidad para
Variables Aleatorias Continuas
Una variable
U
i bl aleatoria
l
i continua
i
tiene
i
una
probabilidad cero de asumir cualquiera de
sus valores
l
exactamente.
Consecuentemente su función de
probabilidad
b bilid d no puede
d d
darse d
de forma
f
tabular:
P(a<X≤b) = P(a<X<b) + P(X=b)
= P(a<X<b)
Función de Probabilidad para
Variables Aleatorias Continuas
La función de probabilidad de una variable
aleatoria continua, normalmente es una
fórmula que necesariamente debe ser una
función de los valores numéricos de dicha
variable y se expresa con f(x) y recibe el
nombre de función de densidad de
probabilidad de X.
X
Función de Probabilidad para
Variables Aleatorias Continuas
f(x)
f(x)
x
f(x)
x
x
El área total comprendida bajo la curva f(x)
es igual a 1, cuando se calcula para el
rango de valores de X.
Función de Probabilidad para
Variables Aleatorias Continuas
f(x)
b
P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx
a
a
b
x
Ejercicios de Funciones de
Probabilidad de variables aleatorias
discretas
Valor Esperado para Variables
Aleatorias Discretas
El valor esperado es el centro de la
distribución, también llamado el centro de
gravedad de la misma,
misma por esto no es
necesario que sea igual a uno de los
valores que toma la variable aleatoria.
aleatoria
Se expresa en las mismas unidades que la
variable
i bl aleatoria.
l
i
Valor Esperado para Variables
Aleatorias Discretas
y
Definición:
D
fi i ió SSea X una variable
i bl aleatoria
l
i
discreta, con función de probabilidad f(x),
l media
la
di o valor
l esperado
d de
d X es:
μ = E ( x) = ∑ xff ( x)
x
Varianza para Variables Aleatorias
Discretas
Mide el grado de dispersión de los
valores que toma la variable aleatoria con
respecto a su valor central (media).
(media)
y Definición: sea X una variable aleatoria
con función de probabilidad f(x) y media
μ. La varianza es:
y
σ = E ( x ) − (E ( x ) )
2
2
2
Varianza para Variables Aleatorias
Discretas
y
Se expresa
p
en las mismas unidades de la
variable aleatoria, pero elevadas al
cuadrado. Por lo cual, se usa mucho para
p
comparar distribuciones del mismo tipo:
f(x)
( )
σ2
f(x)
( )
1
>σ2
2
σ22
σ21<σ22
σ21
σ21
σ22
x
b
x
Desviación Estándar para Variables
Aleatorias Discretas
y
Es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
varianza
σ = σ2
y
Se expresa
p
en las mismas unidades de la
variable aleatoria.
Ejercicios
j
de valor esperado,
p
,
varianza y desviación estándar de
variables aleatorias discretas
Distribuciones Conjuntas de
variables aleatorias discretas
y
y
Si X y Y son dos variables aleatorias
discretas, la función de probabilidad de sus
ocurrencias simultáneas, ppuede ppresentarse
por una función de valores f(x,y), para
cualquier par de valores (x,y) dentro del
rango de
d llas variables
i bl aleatorias
l
i X y Y.
Y
f(x,y)=P(X=x,Y=y), esto es, los valores de
f(x y) proporcionan la probabilidad de que
f(x,y)
los resultados x y y ocurran al mismo
p
tiempo.
Distribuciones Conjuntas de
variables aleatorias discretas
Definición:
D
fi i ió la
l ffunción
ió f(
f(x,y)) es una ffunción
ió
de probabilidad conjunta de las variables
aleatorias
l
i di
discretas X y Y,
Y si:i
1. f(x,y)≥0 ∀ (x,y)
2. ∑∑ f ( x, y ) = 1
3.
x
y
P(X=x,Y=y)=f(x,y)
(
, y) ( ,y)
Distribuciones Marginales de
variables aleatorias discretas
y
El término marginal se utiliza debido a
que en el caso discreto, los valores de
g(x) y h(y) son exactamente los totales
marginales de las columnas y filas
respectivas cuando los valores de f(x,y)
respectivas,
f(x y)
se muestran en forma tabular.
Distribuciones Marginales de
variables aleatorias discretas
y
Definición:
D
fi i ió llas di
distribuciones
ib i
marginales
i l
de X y Y, están dadas por:
g ( x ) =
∑ f ( x, y )
y
y
h ( y ) = ∑ f ( x, y )
x
Distribuciones Condicionales de
variables aleatorias discretas
Sean X y Y variables aleatorias discretas.
discretas La
distribución condicional de la variable
aleatoria Y,
Y dado que X=x,
X=x está dada por:
f ( x, y )
g ( x)
g ( x) > 0
f ( x, y )
f ( x / y) =
h( y )
h( y ) > 0
f ( y / x) =
Similarmente,
Ejercicios
j
de distribuciones
conjuntas, marginales y
condicionales
Covarianza
y
y
La covarianza entre dos variables
aleatorias es una medida de la naturaleza
de la asociación entre ellas, en otras
palabras, es una medida de la forma en
qque varían conjuntamente
j
dos variables
aleatorias.
El signo
g de la covarianza indica si la
relación entre las dos variables aleatorias
es p
positiva o negativa.
g
Covarianza
La covarianza entre dos variables aleatorias,
discretas o continuas, se determina por:
COV(X,Y)=E(XY)
CO
( , ) ( ) – E(X)E(Y)
( ) ( )
Entre más se alejada esté la covarianza de
cero mayor es el grado de asociación
cero,
entre las variables y entre más cercano es
el valor a cero,
cero es menor la relación que
existe entre las variables.
Covarianza
y
¿¿Cómo se calcula la covarianza?
E ( XY ) = ∑∑ xyf ( x, y )
x
y
E ( X ) = ∑ xg ( x)
x
E (Y ) = ∑ yh( y )
y
Finalmente se usa la fórmula:
( , ) ( ) – E(X)E(Y)
( ) ( )
COV(X,Y)=E(XY)
Covarianza
y
Cómo se interpreta
p
los valores obtenidos
al calcular la covarianza:
>0 valores pequeños de X se asocian con valores pequeños de Y, y valores grandes de X >0
valores pequeños de X se asocian con valores pequeños de Y y valores grandes de X
se asocian con valores grandes de Y.
COV(X,y)=
=0 no existe relación entre X y Y.
<0 valores pequeños de X se asocian con valores grandes de Y, y valores grandes de X se asocian con valores pequeños de Y.
Independencia Estadística
y
Sean X y Y dos variables aleatorias
discretas o continuas, con función de
pprobabilidad conjunta
j
f(x,y),
( y) y
distribuciones marginales g(x) y h(y),
p
las variables aleatorias X
respectivamente,
y Y, se dice que son estadísticamente
p
si y solo si f(x,y)
( y) =
independientes
g(x)h(y) para todo (x,y) dentro de sus
g
rangos.
Independencia Estadística
Cuando X y Y son estadísticamente
independientes, puede demostrarse que la
covarianza es cero. Lo contrario, sin
embargo, generalmente no es cierto, lo
que indica que
q
q dos variables aleatorias
pueden tener covarianza igual a cero y
aún así no ser estadísticamente
independientes.
Ejercicios de covarianza e
independencia estadística
Tema 7.
Distribuciones de Probabilidad para
variables aleatorias discretas
(Parcial 4)
Distribuciones de variables
aleatorias discretas
Con ffrecuencia las
C
l observaciones
b
que se
generan en diferentes experimentos
estadísticos tiene el mismo tipo de
estadísticos,
comportamiento en términos generales. En
consecuencia, las variables aleatorias
discretas que se asocian con estos
experimentos, pueden describirse
esencialmente,
i l
t por la
l misma
i
ffunción
ió d
de
probabilidad y por lo tanto se representan
por una sola fórmula.
Distribución de Bernoulli
y
Es aquel
q modelo que
q sigue
g un
experimento de Bernoulli, que se realiza
una sola vez y qque puede
p
tener dos
posibles resultados, clasificados como
éxito o fracaso.
Distribución de Bernoulli
Ejemplos:
j p
◦ Lanzamiento de una moneda.
◦ Nacimiento de un bebé.
◦ Se aprueba o no un examen. (Estudio
estadístico de aprobados en una facultad).
◦ Un artículo seleccionado es defectuoso o no
(control de calidad).
◦ Curar o no una enfermedad (Medicina).
◦ Dar en el blanco o errar (Militar).
Distribución de Bernoulli
Al existir solo 2 p
posibles resultados se trata
de eventos complementarios:
Probabilidad
obab a dee ééxito
to → p
p+q=1
Probabilidad de fracaso → q
Distribución de Bernoulli
f(x)
F(x)
x
x
Experimento de Bernoulli
El p
proceso de Bernoulli, debe tener las
siguientes propiedades:
◦ El experimento
p
consiste en n intentos
repetidos.
◦ Los resultados de cada uno de los intentos
pueden clasificarse como éxito o fracaso.
◦ La probabilidad de éxito representada por p,
permanece constante para todos los intentos.
◦ Los intentos repetidos son independientes
(
(muestreo
con reemplazo).
l )
Distribución Binomial
Parte o surge
g del Experimento
p
de
Bernoulli.
y Se ap
aplica
ca cuando
cua o se realiza
ea a un
u número
ú e on
de veces el experimento de Bernoulli,
estando interesados en el número ó
cantidad de éxitos obtenidos.
y
Distribución Binomial
Definición: La cantidad X de éxitos en n
repeticiones del experimento de
Bernoulli recibe el nombre de v.a.
Binomial : X ~ b(x; n, p)
⎛ n ⎞ x n− x
f ( x) = ⎜⎜ ⎟⎟ p q
⎝ x⎠
x = 0,1,2,..., n
Donde: n: número de intentos o repeticiones
p
del experimento.
p
p: probabilidad de éxito en un intento.
q: probabilidad de fracaso en un intento (q = 1 – p).
Distribución Binomial
Media: μ = np
y Varianza: σ2 = npq
y
f(x)
x
Distribución Hipergeométrica
Son experimentos
p
donde, al igual
g que
q la
Distribución Binomial, en cada ensayo hay
tan solo dos p
posibles resultados (éxito
(
o
fracaso). Pero se diferencia de la
Distribución Binomial, en q
que los distintos
ensayos son dependientes entre sí
((muestro sin reemplazo).
p
)
Ejemplo: prueba de vida útil de un bombillo.
Distribución Hipergeométrica
y
Experimento
p
hipergeométrico:
p g
consiste
en calcular la probabilidad de seleccionar
x éxitos de los k p
posibles resultados
considerados éxitos, y n-x fracasos de los
N-k p
posibles resultados considerados
fracasos, cuando una muestra de tamaño
n se selecciona de N resultados posibles.
p
Distribución Hipergeométrica
Posee las dos características siguientes:
g
◦ Una muestra de tamaño n se selecciona, sin
reemplazo, de un total de N.
◦ k resultados del total de N pueden clasificarse
como éxitos y N-k como fracasos:
k: éxitos
N
N-k:
N
k: fracasos
Distribución Hipergeométrica
y
Definición: La distribución de probabilidad de una
v.a. hipergeométrica X, que representa el número
o cantidad de éxitos en una muestra aleatoria de
t
tamaño
ñ n, seleccionada
l i d de
d N resultados
lt d posibles,
ibl
de los cuales k son considerados éxitos y N-k
como fracasos es:
⎛k ⎞⎛ N − k ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
x n−x ⎠
f ( x) = ⎝ ⎠ ⎝
⎛N⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝n ⎠
x = 0,1,2,..., n
Distribución Hipergeométrica
Media: μ = nk/N
y Varianza: σ = N − n × n × k × ⎛⎜1 − k ⎞⎟
N −1
N ⎝
N⎠
y
2
Distribución Hipergeométrica
Distribución de Poisson
Experimento de Poisson: son experimentos
que resultan de valores numéricos de una
v.a. X que representa la cantidad de
resultados
lt d obtenidos
bt id durante
d
t un intervalo
i t
l
de tiempo dado ó una región específica. El
intervalo de tiempo puede ser de
cualquier duración: un minuto, una
semana, un mes, un año….Y la región
podría ser un segmento de línea, un área,
pedazo de material, etc.
un volumen, un p
Distribución de Poisson
Ejemplos:
y Estudio de las colas o líneas de espera.
y Cantidad de fallas de equipos
q p en un
intervalo de tiempo dado.
y Número de errores de impresión en un
libro.
y Cantidad de pacientes que llegan al
servicio de emergencias de un hospital.
y Cantidad de bacterias en un cultivo.
Distribución de Poisson
y
Definición: La distribución de probabilidad
p
de la v.a. de Poisson X, que representa la
cantidad de resultados q
que ocurren en un
intervalo de tiempo dado ó en una región
específica
p
indicada por
p t, es: X ~ P(x;
( λt))
e − λt (λ t ) x
f ( x) =
x!
y
x = 0,1,2,...
Media y varianza: μ = σ2 = λt
Distribución de Poisson
Distribución de Poisson
Tema 8
Distribuciones de variables
aleatorias
l
continuas
Distribución Uniforme o
Rectángular
á
Es aquella que puede tomar cualquier
valor dentro de un intervalo, todos ellos
con la misma probabilidad de ocurrencia.
y Definición: la variable aleatoria continua X
tiene una distribución uniforme continua
con parámetros
á t
a y b,
b sii su función
f ió de
d
densidad es:
y
f ( x) =
F ( x) = ∫
x
a
1
b−a
para a ≤ x ≤ b
1
x−a
dx =
b−a
b−a
para a ≤ x ≤ b
Distribución Uniforme o
Rectángular
á
Media: E(X)
( ) = ((a+b)/2
)
y Varianza: σ2= (b-a)2/12
y
Distribución Exponencial
Tiene múltiples
p aplicaciones
p
y está
emparentada con la Distribución de
Poisson, yya que
q describe el tiempo
p hasta
que ocurre un evento de Poisson (o
tiempo
p entre eventos de Poisson).
)
Distribución Exponencial
Se aplica
p
en muchos campos,
p como ppor
ejemplo:
y Modelar
o e a laa vida
v a útil
út dee equipos
equ pos y también
ta b é
de organismos vivos.
y En estudios de confiabilidad.
confiabilidad
y Tiempo entre llegadas en las instalaciones
de servicio.
servicio
Distribución Exponencial
Definición: la variable aleatoria continua X
tiene una distribución exponencial, con
parámetro β
p
β, si su función de densidad es:
1
f ( x) =
β
e −x / β
x
1
0
β
F ( x) = ∫
e
−t / β
x>0
dt = 1 − e
−x
β
x>0
Distribución Exponencial
Media: E(X) = β
y Varianza: σ2= β2
y
Distribución Exponencial
Distribución Normal
Es la distribución de p
probabilidad más
importante, ya que describe en forma
aproximada
p
muchos fenómenos que
q
ocurren en la naturaleza, la industria y la
investigación.
g
Distribución Normal
Una v.a. continua X q
que tiene la
distribución en forma de campana se
llama v.a. normal.
y La ecuación matemática para la
distribución de p
probabilidad de la variable
aleatoria normal, depende de los
parámetros: media μ y desviación
p
estándar σ. X ~ normal (x; μ, σ).
y
Distribución Normal
Definición: La función de densidad de la v.a.
normal X, con media μ y desviación
estándar σ es:
n( x; μ , σ ) =
1
2π σ
e
−1 / 2[( x − μ ) / σ ]2
para − ∞ < x < ∞
Distribución Normal
Propiedades
p
de la curva normal:
y La moda, que es el punto sobre el eje
horizontal
o o ta donde
o e laa curva
cu va tiene
t e e su
máximo ocurre en x = μ.
y La curva es simétrica respecto a su eje
vertical, donde se tiene la media μ.
Distribución Normal
La curva tiene sus p
puntos de inflexión en
x = μ ± σ.
y La
a cu
curva
va normal
o a se ace
acerca
ca aal eje
horizontal en forma asintótica en
q
de las dos direcciones
cualquiera
alejándose de la media.
y El área total bajo la curva y arriba del eje
horizontal es igual a 1.
y
Distribución Normal
Distribución Normal
Distribución Normal
Distribución Normal
y
Áreas bajo
j la curva normal:
x2
P( x1 < X < x 2 ) = ∫ n( x; μ , σ )dx
x1
x1
x2
Distribución Normal Estándar
Es p
posible transformar todas las
observaciones de cualquier v.a. normal X,
en un nuevo conjunto
j
de observaciones
de una v.a. normal Z, con media cero y
varianza 1. Esto puede realizarse por
medio de la transformación:
Z=
X −μ
σ
que recibe el nombre de estandarización.
Distribución Normal Estándar
Entonces P(x
( 1 < X < x2) = P(z
( 1 < Z < z2)),
donde Z es una v.a. normal con media
cero y varianza uno.
y Tablas de la Distribución Normal
Estándar: P(Z
( < z).
)
y
Tabla de la Normal Estándar