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Sobre las Funciones Trigonométricas
Profa. Caroline Rodríguez
MATE 3002
UPRA
1
Hemos enfatizado en presentaciones anteriores que
podemos extender las definiciones de las razones
trigonométricas para ángulos agudos en un
triángulo recto a ángulos de cualquier magnitud en
el círculo.
Recuerde:
2
También hemos enfatizado el comportamiento de las razones
trigonométricas a medida que rotamos alrededor del círculo
formando ángulos.
Recuerde
que aunque
aquí se
muestran
algunos
ángulos más
conocidos
podemos
hallar el seno
o el coseno a
ángulos con
cualquier
medida.
3
Hallar la razón trigonométrica indicada.
1. sin( 158 )   sin     0.3827
8
2. cos(30 )  cos0  1
 4 
 
   tan     3
3. tan(-240 )  tan  
 3 
3
o
4. sin (5)  - 0.9589
Nota que el 5 representa 5 radianes. Un
ángulo que mide 5 radianes está en 4to
cuadrante. ¿Puedes explicar por qué?
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Funciones Trigonométricas
• Para definir las funciones trigonométricas se define
como entrada, ϴ, cualquier ángulo medido en
radianes.
• De esta forma el dominio de una función
trigonométrica es el conjunto de los números reales.
• El rango de las funciones f(ϴ) = sin(ϴ) y g(ϴ) = cos (ϴ)
es [-1,1].
• Estudiaremos algunos detalles sobre las siguientes
funciones trigonométricas
f(ϴ) = sin(ϴ), g(ϴ) = cos (ϴ) y h(ϴ) = tan (ϴ).
5
Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x) = cos(x)
• Comenzaremos el estudio de las gráficas
de las funciones de seno y coseno
armando una tabla de valores.
6
Gráfica de f(x)=sin(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una
curva suave y continua.
7
Gráfica de f(x)=sin(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una
curva suave y continua.
8
Gráfica de g(x)=cos(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una
curva suave y continua.
9
Gráfica de g(x)=cos(x)
Localizemos estos puntos en un plano trigonométrico.
Unamos los puntos con una
curva suave y continua.
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Gráficas de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
Observemos las gráficas en un mismo plano trigonométrico.
11
Gráficas de f(x)=sin(x)
12
Gráficas de f(x)=cos(x)
13
Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
1. En las gráficas anteriores se puede observar el
gran parecido que existe entre ambas.
2. De hecho, parece que podemos trasladar la
gráfica de g(x)=cos(x) π/2 unidades y obtener la
gráfica de f(x)=sin(x).
3. Podemos describir este parecido diciendo que
f(x)= sin(x) = cos(x-[/2]).
Es conveniente recordar que el ángulo que mide 90º
mide /2 (en números reales o radianes).
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Características de f(x)=sin(x) y g(x)=cos(x)
4. En las gráficas anteriores también se
puede observar que los valores de ambas
funciones se repiten cíclicamente para
múltiplos de 2.
5. Este comportamiento se puede describir
f(x) = sin(x) = sin(x + 2n ) donde n
pertenece a los enteros (n  ).
6. También podemos decir que
g(x) = cos(x) = cos(x + 2n ) donde n  .
15
Creando nuevas funciones
trigonométricas: transformaciones
• Construya una tabla de valores para
cada una de las siguientes funciones.
•
•
•
•
F(x)=2 sin(x)
F(x) = sin(2x)
F(x) = 2 sin(x +1)
F(x) = 2 sin(x) + 1
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Gráfica de f(x) = 2sin(x)
17
Gráfica de f(x) = sin(2x)
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Creando nuevas funciones
trigonométricas: transformaciones
• Construya una tabla de valores para
cada una de las siguientes funciones.
•
•
•
•
F(x)=2 cos(x)
F(x) = cos(2x)
F(x) = 2 cos(x +1)
F(x) = 2 cos(x) + 1
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Gráfica de f(x)=2cos(x)
20
Gráfica de f(x)=cos(2x)
21
Gráfica de h(x)=tan(x)
• Vamos a construir una tabla con algunos
valores de tangente para varios ángulos.
• Recordemos que la h(x)=tan(x) NO está
definido para algunos ángulos. ¿Por qué?
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Como se muestra en siguiente gráfica,, no siempre es
posible definir la función tangente de un ángulo (x).
De hecho, cuando la función coseno del ángulo toma
el valor de cero, la función tangente no está definida
(¿por qué?).
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-3
-10
-8
-2
-6
-4
-
-2
0
2

4
6
2
8
3
10
1.000
0.800
0.600
0.400
0.200
0.000
-0.200
-0.400
-0.600
tan(x)
-0.800
-1.000
Figura 2. Función tangente del ángulo x (en radianes).
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