Download Maldonado, E. (2005). - Programa de Matematica Educativa

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
del Instituto Politécnico Nacional
Departamento de Matemática Educativa
UN ANÁLISIS DIDÁCTICO DE LA FUNCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
Tesis que presenta:
Elika Sugey Maldonado Mejía
Para obtener el Grado de
Maestra en Ciencias
en la Especialidad de
Matemática Educativa
Dirección: Dra. Rosa María Farfán Márquez
México, D.F.
Abril de 2005.
Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología,
por la beca otorgada durante cuatro semestres, con la cual,
pude dedicarme de tiempo completo en mis estudios de maestría.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
Capítulo
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y OBJETIVO
Página
1
- Planteamiento del problema
1
- Objetivo
6
2. MARCO TEÓRICO Y MÉTODO
- Marco teórico
- Método
3. ANÁLISIS DIDÁCTICO: FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
7
7
10
12
- Presencia de la función trigonométrica en los programas
de estudio del nivel NMS
14
- Presencia de la función trigonométrica en los libros de texto
24
4. ANÁLISIS DEL DISEÑO DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
47
- Intenciones del diseño aplicado a estudiantes del NMS
47
- Análisis de las preguntas del cuestionario
48
- Resultados del diseño
52
5. COMENTARIOS FINALES
69
Bibliografía
INTRODUCCIÓN
Uno de los principales problemas que acontece nuestro sistema escolar, se refiere al
concepto de función, pues de ella se tienen diferentes concepciones y
representaciones, que por la enseñanza tradicional no se permite pasar de una
representación a otra, dando lugar a que el estudiante no se apropie de este
concepto. Diversas teorías se han ocupado en dar respuesta a esta problemática.
De las funciones trascendentes, como la función trigonométrica, encontramos sólo
trabajos que se refieren a la construcción o al entendimiento del comportamiento
de las gráficas de las funciones del tipo f ( x) = Asen( Bx − C ) + D , (Zúñiga, L. 1993,
Hornsby, J. 1990). Respecto a la apropiación de concepto de función
trigonométrica, encontramos en el medio escolar, que es presentada primero, en el
contexto del triángulo rectángulo, definiéndose como razones. Dado que el uso que
se tiene de éstas razones no se reduce sólo a los ángulos agudos, se considera al
sistema de ejes coordenados, teniendo ahora razones trigonométricas de ángulos
(medido en grados) de cualquier valor (negativos y positivos). A partir del círculo
unitario se da la conversión de ángulos medidos en grados a radianes y de esta
i
manera tratar a las funciones trigonométricas como funciones reales de variable
real.
Dada la forma de tratar a la función trigonométrica, ¿qué percibe el estudiante de
este tratamiento? Nos interesamos en inferir la presencia de la función en el medio
escolar, planteándonos la siguiente pregunta
¿Cómo vive la noción de función trigonométrica en nuestro sistema escolar?
A partir de la mirada de la función en el medio escolar, inferimos sobre la
concepción que queda en el estudiante del concepto de función trigonométrica por
medio de un cuestionario.
Puesto que hacemos un análisis didáctico, la teoría de la Transposición didáctica
nos dará elementos necesarios para dar respuesta a nuestra pregunta,
permitiéndonos estudiar cómo se da la articulación del saber, su progresión lógica
y las estructuras conceptuales. Es decir, encontrar la significación y las intenciones
didácticas y concepciones que conlleva la incursión en la currícula del objeto de
enseñanza, de esta forma mostramos el modo de apropiación del significado y las
nociones a las que lleva la manera en cómo es presentado el objeto matemático, en
nuestro caso, la función trigonométrica.
Este trabajo contiene cinco capítulos, en el primero presentamos cómo se da el
planteamiento a nuestro problema de investigación y los objetivos a realizar. En el
siguiente presentamos la teoría que sustenta nuestro trabajo, la teoría de la
Transposición Didáctica, así como el método que llevamos a cabo para el análisis
didáctico.
ii
El capítulo 3 contiene el análisis didáctico de la función trigonométrica en
programas de estudio y libros de texto, que a partir de éste, realizamos un diseño
con el cual inferimos sobre las concepciones que quedan en los estudiantes del
concepto de función. Los resultados de este diseño los encontramos en el capítulo
cinco. Y los comentarios finales respecto a la vida escolar de la función
trigonométrica lo encontramos el último capítulo.
iii
Planteamiento del problema y objetivo.
Capítulo 1
PPL
LA
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Y
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BJJE
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VO
O
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Del estudio del sistema didáctico1, respecto al saber matemático, se ocupa nuestra
disciplina, la matemática educativa, que estudia los procesos de transmisión y
adquisición de los saberes en situación escolar. De manera que se propone
describir y explicar los fenómenos que se originan respecto a la relación entre
enseñanza y aprendizaje, afectando de manera positiva dicha relación.
Al respecto, podemos encontrar diversas investigaciones, como lo mencionan
(Cantoral, R. y Farfán, R. M. 2003), tratando sobre la evolución del estudio de los
fenómenos didácticos que se suceden cuando los saberes matemáticos constituidos
socialmente en ámbitos no escolares, se introducen al sistema de enseñanza y ello
obliga a una serie de modificaciones que afectan directamente tanto a su estructura
como a su funcionalidad; de manera que afectan también las relaciones que se
establecen entre estudiantes y profesor.
1
Siguiendo a Chevallard, el sistema didáctico es la relación entre profesor, estudiante y saber.
1
Planteamiento del problema y objetivo.
Uno de los principales problemas que tiene nuestro sistema escolar, se refiere al
concepto de función, pues, de ella se tienen diferentes concepciones y
representaciones, en donde la enseñanza tradicional no permite pasar de una
representación a otra, dando lugar a que el estudiante no se apropie de este
concepto. Encontramos también, que la noción de función es presentada en nuestro
sistema escolar actual como un procedimiento que se aplican a unos ciertos objetos
llamados números (Cantoral et al. 2000).
Existen diversos estudios que se han ocupado de esta problemática, por ejemplo
(Ferrarri 2001) presenta, desde algunas perspectivas teóricas, un estudio que se ha
hecho del concepto de función, en el que reporta varias de las aportaciones en
cuanto a la apropiación del concepto de función por parte del alumno, así como de
la problemática en torno a la enseñanza de este concepto.
Hablando de las funciones trascendentes, la exponencial, la logaritmo y la
trigonométrica, y de una en particular, como la función trigonométrica,
encontramos sólo trabajos que se refieren a la construcción o al entendimiento del
comportamiento de las gráficas de las funciones del tipo f ( x) = Asen( Bx − C ) + D ,
(Zúñiga, L. 1993), y (Hornsby, J. 1990) presenta un método para la construcción de
las gráficas de este tipo y así, promete el entendimiento de cómo afectan las
constantes A, B, C y D, a la gráfica.
En relación a cómo vive la función trigonométrica en el medio escolar,
encontramos diversas representaciones de ella. Es decir, es presentada primero, en
el contexto del triángulo rectángulo, definiéndose como razones; para ampliar el
dominio de los ángulos (ángulos medidos en grados, de cualquier valor: negativos
y positivos) se refiere al sistema de ejes coordenados, definiéndolas también como
razones. Con el círculo unitario se hace la conversión de ángulos medidos en grados
2
Planteamiento del problema y objetivo.
a radianes, para tratar, posteriormente, a las funciones trigonométricas como
funciones de variable real.
Esbozando el tratamiento escolar de las funciones trigonométricas
Usando el triángulo rectángulo se definen como razones de los lados (catetos e
hipotenusa), refiriéndolas sólo con ángulos agudos, es decir, si θ es el ángulo, θ
estará comprendido entre 0 y 90 grados,
hip
op
θ
ady
Por ejemplo, a las razones seno, coseno y tangente de θ son definidas de la forma
siguiente,
senθ =
cos θ =
op
,
hip
ady
y
hip
tan θ =
op
ady
Como el tratamiento de las razones trigonométricas por el triángulo rectángulo se
reduce a ángulos entre 0 y 90 grados, sin incluir a éstos, y el uso de ellas, en el
medio escolar, se extiende a ángulos (medidos en grados) de cualquier valor,
negativos y positivos, se considera el sistema de ejes coordenados. A partir del
punto coordenado (ordenada, abscisa) en el plano y la distancia al origen,
formando un triángulo rectángulo, como lo muestra la figura siguiente,
3
Planteamiento del problema y objetivo.
y
P(x, y)
r
θ
x
Se definen a las razones seno, coseno y tangente de θ , siguiendo la definición por
el triángulo rectángulo, como
senθ =
y
,
r
cos θ =
x
y
r
tan θ =
y
x
El signo que pueden tomar estas razones, depende del cuadrante en el que se
encuentre el punto coordenado, es decir, el lado terminal del ángulo.
Posteriormente se hace uso del círculo unitario, para mostrar los valores de las
razones de ángulos cuadrantales, como 0°, 90°, 180°, 270°, etc.
y
(0,1)
90°
0° (1,0)
360°
180°
(-1,0)
x
270°
(0,-1)
4
Planteamiento del problema y objetivo.
También, con el círculo trigonométrico, se da el paso de los ángulos medidos en
grados a radianes y de estos a reales, teniendo de esta manera, las funciones
trigonométricas como funciones reales de variable real,
(x, y)
cos t
t
(1, 0)
cos t
Por ejemplo, t está medido en radianes, considerándolo así como real se tiene que
sen t = y
cos t = x
Evolución de la función trigonométrica
Triángulo rectángulo
Estático
Ejes coordenados
Variación
Círculo trigonométrico
Ángulo medido en grados
Radianes
Función
Reales
Esquema de la evolución del concepto de función trigonométrica.
5
Planteamiento del problema y objetivo.
OBJETIVO
Dada la forma de tratar a la función trigonométrica, el estudiante en la escuela
¿qué percibe de este tratamiento? De esta manera, nos interesamos en inferir la
presencia de la función en el medio escolar, por lo que, nos planteamos la siguiente
pregunta para este trabajo de investigación,
¿Cómo vive la noción de función trigonométrica en nuestro sistema escolar?
A partir de la mirada de la función en el sistema escolar, inferimos sobre la
concepción que queda en el estudiante del concepto de función trigonométrica por
medio de un cuestionario.
Por tanto, el interés estará en mirar la presencia de la función trigonométrica en los
programas curriculares y los libros de texto, para inferir sobre: cuáles son las
intenciones didácticas al llevarlo a nuestro sistema escolar y cuál es la
trascendencia de esta noción entre los estudiantes del nivel medio superior.
6
Marco teórico y método.
Capítulo 2
M
MA
AR
RC
CO
OT
TE
EÓ
ÓR
RIIC
CO
OY
YM
MÉ
ÉT
TO
OD
DO
O
MARCO TEÓRICO
Puesto que hacemos un análisis didáctico de la función trigonométrica, la teoría de
la transposición didáctica nos proporcionará los elementos teóricos necesarios para
dar respuesta a la pregunta planteada en este trabajo.
Transposición didáctica
Los contenidos de saberes a enseñar (explícitamente: en los programas;
implícitamente: por la tradición evolutiva, de la interpretación de los programas),
en general preexisten al movimiento que los designa como tales. Sin embargo,
algunas veces son verdaderas creaciones didácticas, suscitadas por las
“necesidades de la enseñanza” (Chevallard, Y. 1991).
De tal manera que, un saber que ha sido designado como saber a enseñar, sufre a
partir de entonces un conjunto de trasformaciones adaptativas que van a hacerlo
7
Marco teórico y método.
apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza. El trabajo que
transforma un objeto de saber a enseñar, en un objeto de enseñanza, es
denominado Transposición didáctica. Ésta, está conformada por el esquema
siguiente:
Objeto de saber
Objeto de enseñanza
Objeto a enseñar
De esta manera el saber al trasponerlo al aula sufre algunos cambios en donde el
estudiante genera ciertas concepciones en cuanto al saber en juego.
Chevallard dice que un objeto de saber se trata como tal, cuando se presenta como
útil para la economía del sistema didáctico, el cual lo establece como:
Nociones matemáticas, que son considerados como objetos y herramientas de
estudio, poseen propiedades y tienen ocasiones de uso, es decir, son objetos de
enseñanza para un matemático (que están explícitamente en programas de
estudio). Por ejemplo, la función trigonométrica es tratada como objeto de estudio
y también como herramienta para el estudio de otros objetos matemáticos.
Nociones paramatemáticas, éstas son nociones-herramientas de la actividad
matemática las cuales son objeto de saber auxiliares que no son enseñados pero
son necesarios para la enseñanza de los objetos matemáticos. Por ejemplo la
conversión, en el tratamiento de las funciones trigonométricas, puesto que se
utiliza para pasar de los ángulos medidos en grados a radianes o viceversa.
8
Marco teórico y método.
Nociones protomatemáticas, estas nociones son utilizadas implícitamente en la
solución de algún problema y no son reconocidos ni como objetos de estudio, ni
como herramientas para el estudio de otros objetos. Por ejemplo, la “medida” de
los ángulos, esta noción es tratada implícitamente, puesto que se trabaja o con
ángulos medidos en grados o medidos en radianes.
Los requisitos de la transposición didáctica se encuentran satisfechos a través del
proceso de preparación didáctica, es decir, de la puesta en textos del saber.
Teniendo entonces, en cuanto al saber:
La exigencia de explicitación, la textualización del saber conduce en primer lugar a
la delimitación de saberes parciales, la desincretización del saber. Es decir, la división
de la práctica teórica en campos de saber delimitados que dan lugar a prácticas de
aprendizaje especializadas.
La despersonalización del saber, en cada una de sus prácticas, la separación del saber
y de la persona, que es requisito para la publicidad del saber.
La programación de los aprendizajes y de los controles, según las secuencias
razonadas que permitan una adquisición progresiva de los conocimientos
expertos, es decir, la programabilidad de la adquisición del saber.
En cuanto a la transmisión:
La publicidad del saber, es la definición explícita, en comprensión y extensión, del
saber a transmitir.
9
Marco teórico y método.
Y por último, el control regulado de los aprendizajes según procedimientos de
verificación que autoricen la certificación de los conocimientos expertos, es decir, el
control social de los aprendizajes.
MÉTODO
Dado el carácter de la pregunta, planteada para este trabajo de investigación, nos
hemos propuesto hacer el análisis de materiales didácticos de la siguiente manera:
Programas de estudio, y los objetivos o propósitos del mismo.
Consideramos cómo se presenta la función trigonométrica y las intenciones
didácticas.
Libros de texto, utilizados para el estudio de la función trigonométrica.
Para la revisión de los libros de texto, dado el interés de la revisión, hacemos el
análisis siguiendo a (Ruiz, 1998):
Cómo presentan el concepto de función trigonométrica; si antes de presentarlos
plantea algún problema para dar la definición; y qué tipo de ejercicios y/o
problemas se presentan;
De qué manera define a las funciones trigonométricas y qué tipo de ejemplos se
proponen después de dar dicha definición.
10
Marco teórico y método.
El análisis didáctico nos permite estudiar cómo se da la articulación del saber, su
progresión lógica y las estructuras conceptuales. Es decir, encontrar la significación
y las intenciones didácticas y concepciones que conlleva la incursión en la currícula
del objeto de enseñanza, de esta forma mostramos el modo de apropiación del
significado y las nociones a las que lleva la manera en cómo es presentado el objeto
matemático, de modo que esto nos servirá para mostrar los efectos en la enseñanza
y aprendizaje de la noción de función trigonométrica.
Para dar tal resultado, contrastamos con estudiantes mediante un cuestionario,
producto del análisis realizado.
A continuación mostramos el esquema del método que llevamos a cabo para este
trabajo de tesis.
Libros de texto
Programas de estudio
Concepto
Objetivos o
propósitos
Ejercicios
Definición
Ejemplos
Cuestionario
Grupo de estudiante de NMS
Vida escolar de la función trigonométrica
Esquema del método para la realización de este trabajo.
11
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Capítulo 3
A
AN
NÁ
ÁL
LIIS
SIIS
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OM
MÉ
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TR
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A
Para dar respuesta a la pregunta, ¿cómo vive la noción de función trigonométrica
en nuestro sistema escolar?, presentamos en este capítulo, el análisis de materiales
en los que es introducida la noción de función trigonométrica.
Puesto que la noción de función trigonométrica se incluye en la currícula del nivel
medio superior (NMS), hacemos la revisión de los materiales de este nivel, como
son: programas de estudio y libros de texto. Los libros que hemos considerado
para la revisión aparecen como parte de la referencia bibliográfica en los
programas de estudio, y desde nuestro punto de vista son los más utilizados por
los profesores de este nivel para presentar la función trigonométrica.
De esta manera, tratamos de inferir la presencia de la noción de función
trigonométrica en el sistema escolar; asimismo, de mostrar las intenciones
didácticas presentes en la incursión de la función trigonométrica.
12
Capítulo 3: Análisis didáctico.
En primer lugar, hacemos el análisis de los programas de estudio, de los cuales
mostramos la secuenciación del concepto de función trigonométrica, junto con las
intenciones didácticas al tratarlo como objeto de enseñanza. Posteriormente
presentaremos el análisis de libros de texto usados como herramienta didáctica.
La currícula de matemáticas que revisamos es de las escuelas:
Escuela Nacional Preparatoria, de la Universidad Nacional Autónoma de
México,
Escuela Preparatoria, de la Universidad Autónoma del Estado de México, y
Centro de Estudios Científicos y Tecnológicos, del Instituto Politécnico
Nacional.
CURSO EN QUE SE
PRESENTA FUNCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
PERIODO EN EL QUE SE PRESENTA
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA
ESCUELA
Escuela Nacional Preparatoria
Segundo año (medio superior)
(ENP)
M
Maatteem
mááttiiccaass V
V
Escuela Preparatoria (EP)
TTrriiggoonnoom
meettrrííaa
Tercer semestre
Centro de Estudios Científicos
Segundo semestre
y Tecnológicos (CECyT)
G
Geeoom
meettrrííaa yy
TTrriiggoonnoom
meettrrííaa
Tabla 1. Ubicación de los programas de estudio.
Y los libros que analizamos son:
[1] Baldor, J. Geometría plana y del espacio y Trigonometría.
[2] Granvillle, Smith y Mikesh. Trigonometría plana y esférica.
[3] Guzmán Herrera A. Geometría y Trigonometría.
[4] Swokowsky-Cole. Álgebra y Trigonometría con geometría analítica.
[5] Zill, D. Álgebra y trigonometría.
13
Capítulo 3: Análisis didáctico.
PRESENCIA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA EN LOS PROGRAMAS
DE ESTUDIO DEL NIVEL NMS
Para mostrar la presencia de la función trigonométrica, en la curricula de
matemáticas, hacemos el análisis de:
Programas de estudio, y los objetivos o propósitos del mismo.
En donde mostramos cómo se presenta la función trigonométrica y las intenciones
didácticas de este programa.
Antecedentes de la función trigonométrica en el sistema escolar
Las escuelas de medio superior están programadas para concluirlas en tres años
que se dividen en seis semestres; y en cada semestre se tiene un curso de
Matemáticas. De las escuelas que consideramos están dados por semestre; excepto
la Escuela Nacional Preparatoria (ENP), pues el plan de estudios es por año.
Un estudio que antecede a las funciones trigonométricas es la trigonometría
presentada en el tercer año de educación media (secundaria), del que la Secretaría
de Educación Pública1 (SEP) se encarga de la organización y programabilidad de
los saberes a enseñar en este nivel; este argumenta que, ... la trigonometría sigue
siendo importante por sus aplicaciones en la ciencia y la tecnología y presenta numerosas
situaciones interesantes que muestran las relaciones de la geometría con la aritmética y el
álgebra...(SEP). En este nivel el programa de matemáticas está constituido por áreas,
y justamente en el de geometría se presenta la trigonometría, en el que se propone que
1
Para estos datos, consultamos la página: http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_514_matematicas.
14
Capítulo 3: Análisis didáctico.
los alumnos conozcan y estudien las razones trigonométricas de un triángulo y las utilicen
en la solución de los problemas en los que esta disciplina es tan rica, como con el cálculo de
distancias inaccesibles a la medición directa (SEP). Es decir, se definen razones
trigonométricas (razones de los lados) de un triángulo rectángulo, únicamente para
utilizarlas como medios de solución.
La Escuela Nacional Preparatoria (ENP) atiende también la educación media
llamándole iniciación universitaria, y de la misma manera que la SEP, en el tercer
año se presenta el estudio de función trigonométrica2, dándole una orientación
para los estudiantes de ...incrementar su capacidad de raciocinio, reafirmar y enriquecer
sus habilidades operatorias, comunicativas y de descubrimiento... sobre la base de un
pensamiento ordenado que mejore su disposición e incremente su aptitud para resolver
problemas. Partiendo de ...elementos sencillos e incorporar progresivamente mayor
dificultad en los planteamientos y problemas que habrán de resolverse a través de todo el
curso (PE-ENP), para lograr los propósitos del programa. De esta manera se orienta
hacia un aprendizaje basado en la solución de problemas incorporando
gradualmente mayor dificultad.
La currícula de matemáticas en el NMS
Presentamos un esquema de los programas de la currícula de Matemáticas de las
escuelas que consideramos para este estudio.
2
Aunque en los programas se presentan como funciones trigonométricas, únicamente son tratadas como
razones, de los lados de un triángulo, las cuales son utilizados para la solución de problemas planteados y
presentación de algunos conceptos referidos a razones trigonométricas.
15
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Escuela Nacional Preparatoria
(ENP)
SEMESTRE 1
Escuela Preparatoria
(EP)
Centro de Estudios Científicos
y Tecnológicos (CECyT)
Álgebra I
Álgebra
Álgebra II
G
Geeoom
meettrrííaa yy TTrriiggoonnoom
meettrrííaa
TTrriiggoonnoom
meettrrííaa
Geometría analítica
Geometría analítica
Cálculo diferencial
Cálculo diferencial e integral
Cálculo integral
Estadística
Probabilidad y Estadística
Matemáticas IV (Álgebra)
SEMESTRE 2
SEMESTRE 3
M
Maatteem
mááttiiccaass V
V ((G
Geeoom
meettrrííaa))
SEMESTRE 4
SEMESTRE 5
SEMESTRE 6
Matemáticas VI (Cálculo
diferencial e integral)
Tabla 1. Esquema de los programas de estudio.
16
Capítulo 3: Análisis didáctico.
La currícula es presentada por bloques, en los que la función trigonométrica se
encuentra en el bloque de geometría. De manera que, la currícula de matemáticas
sigue una secuencia en la presentación de su contenido, decimos entonces, que
sigue una programabilidad de los saberes a enseñar.
Las funciones trigonométricas después de presentarlas en los semestres
respectivos, se hace uso de ellas en el bloque de cálculo, no interesándose en el
entendimiento de este concepto, puesto que, sólo son utilizándolas como objetos, a
los cuales se aplican ciertos procedimientos (Cantoral y Farfán, 1998). Sólo en el
programa del CECyT, se pide hacer una revisión del círculo trigonométrico y del
comportamiento de las gráficas al variar parámetros.
Los programas son establecidos por unidades, por consiguiente, sólo presentamos
las que contienen criterios para el estudio de las funciones trigonométricas y con
base en ellos presentamos nuestro análisis.
Anotamos, en primer lugar, el estudio del contenido de los programas en el que
inferimos sobre la presencia de la noción de ft, posteriormente, daremos
seguimiento de los objetivos o propósitos a lograr en los programas; y de los
objetivos y propósitos al estudio de función trigonométrica.
Análisis de los programas de estudio y de objetivos o propósitos
Matemáticas V (ENP)
Unidad 2. Funciones trigonométricas
- Razones trigonométricas.
- Resolución de triángulos rectángulos.
17
Capítulo 3: Análisis didáctico.
-
Funciones trigonométricas de dos ángulos.
Ley de los senos.
Ley de los cosenos.
Resolución de los triángulos oblicuángulos.
Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante.
Medida de un ángulo.
Círculo trigonométrico.
Funciones trigonométricas directas.
- dominio, rango, periodicidad, amplitud, desfasamiento y asíntotas de la gráfica.
Funciones trigonométricas inversas.
Ramas principales.
- dominio, rango y gráfica de las funciones trigonométricas inversas.
Se prioriza el tratamiento de procedimientos algorítmicos, pues, después de definir
a las razones trigonométricas, se presenta el uso de ellas en la resolución de
triángulos y de problemas de aplicación. Aparecen términos como: triángulo
rectángulo, plano coordenado, medida del ángulo (grados y radianes), círculo
trigonométrico (para el cálculo de ángulos cuadrantales). En esta unidad se
presentan las propiedades de las funciones trigonométricas (ft) y el trazo de éstas y
de las ft inversas.
Trigonometría (EP)
Unidad 1. Conceptos básicos.
- Definición de ángulo.
- Definición de triángulo.
- Congruencia y semejanza de triángulos.
Unidad 2. Razones trigonométricas.
- Ángulo en posición normal y reducido.
- Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal.
- Signos de las razones trigonométricas.
- Para un punto contenido en el lado terminal de un ángulo obtener las razones
trigonométricas.
- Determinación de las razones trigonométricas conocida una de ellas.
- Valores de las razones trigonométricas de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° y
360°.
- Valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo.
18
Capítulo 3: Análisis didáctico.
- Dado el valor de una razón trigonométrica, obtener el ángulo.
Unidad 3. Triángulos.
- Triángulo rectángulo.
- Aplicaciones con triángulos rectángulos.
- Triángulo oblicuángulo.
- Aplicaciones con triángulos oblicuángulos.
Unidad 4. Circunferencia y círculo.
- Definición de circunferencia y círculo.
- Elementos notables de la circunferencia y círculo.
- Área y perímetro.
- Relación entre las unidades de los sistemas sexagesimal y cíclico.
- Sector circular.
- Aplicaciones de longitud de arco y área de un sector circular.
- Circunferencia unitaria.
- Arco reducido.
- Razones trigonométricas de un arco.
- Valores de las razones trigonométricas de un arco en radianes o de un número
real.
Unidad 5. Funciones trigonométricas.
- Funciones trigonométricas reales de variable real.
- Gráficas de las funciones trigonométricas.
Unidad 6. Identidades trigonométricas.
- Definición de identidad trigonométrica.
- Las ocho identidades fundamentales.
- Demostración de identidades trigonométricas.
- Identidades trigonométricas de argumentos compuestos.
- Verificación de identidades con argumentos compuestos.
- Aplicaciones de las identidades trigonométricas de argumentos compuestos a valores
exactos.
Unidad 7. Ecuaciones trigonométricas.
- Ecuaciones trigonométricas.
Vemos que aparece el término de razones primero y luego del tratamiento del
ángulo medido en radianes (con el círculo unitario) se presentan las funciones
trigonométricas como funciones reales de variable real. Posteriormente se
presentan las gráficas de éstas.
Se regresa a razones trigonométricas para presentar las relaciones entre ellas. Estas
relaciones serán utilizadas para evitar procesos algebraicos engorrosos; y las
funciones serán tratadas bajo otro proceso en cursos posteriores.
19
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Geometría y Trigonometría (CECyT)
-
Circunferencia y círculo
- Ángulos y arcos.
- Transformación de medidas angulares de grados a radianes y viceversa.
Unidad 3. Trigonometría.
- Funciones trigonométricas.
- Definición.
- Relación entre funciones trigonométricas.
- Círculo trigonométrico.
- Funciones trigonométricas inversas.
- Gráficas de funciones trigonométricas (para seno, coseno y tangente).
- Resolución de triángulos.
- Rectángulos.
- Oblicuángulos.
- Ecuaciones trigonométricas.
Define primero, por medio del triángulo rectángulo, como razones, se presentan
las relaciones entre estas razones, y posterior al círculo trigonométrico se tienen a
las funciones como funciones reales presentando así las gráficas de éstas.
En general observamos que, en los programas, para el estudio de las funciones
trigonométricas, están presentes conceptos tales como: ángulo, triángulo
rectángulo, sistema de ejes coordenados, círculo trigonométrico. También vemos
que posterior a la definición como razones se hace uso de ellas en la resolución de
triángulos, y aparecen también las relaciones entre las razones, las cuales tendrán
uso como herramientas que facilitará procesos algebraicos en cursos posteriores.
La siguiente tabla resumimos la presencia de la función trigonométrica en los
programas de estudio, con esto queremos resaltar el tratamiento que se le da a esta
función.
20
Capítulo 3: Análisis didáctico.
ENP (UNAM)
EP (UAEM)
CECyT (IPN)
Razones trigonométricas.
Definición de ángulo.
Ángulos y arcos.
Medida de un ángulo.
Razones trigonométricas de un ángulo
en posición normal.
Funciones trigonométricas.
Círculo trigonométrico.
Circunferencia unitaria.
Círculo trigonométrico.
Funciones trigonométricas directas y
gráficas.
Funciones trigonométricas reales de
variable real.
Funciones trigonométricas inversas.
Funciones trigonométricas inversas y
gráficas.
Gráficas de las funciones
trigonométricas.
Gráficas de funciones trigonométricas
Esquema sobre la presencia de la función trigonométrica en el medio escolar.
21
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Como vemos en la tabla, para llegar a tener a la función trigonométrica como
función real de variable real, se definen primero como razones3, que involucra a
ángulos medidos en grados; y con la conversión de estos ángulos medidos en
grados a radianes en el círculo unitario, se definen a estas funciones como
funciones reales, presentando así, las graficas de éstas.
Los programas entonces siguen cierto razonamiento para presentar el estudio de
estas funciones, manteniendo los mismos criterios, es decir, primero se hace el
tratamiento de ellas como razones, con las cuales se hace uso,
Intenciones para el estudio de FT
Observamos que los programas presentan propósitos u objetivos a cumplir al
término de este, es decir, presentan la programabilidad de los saberes a enseñar. Es
decir, lo que se espera en el aprendizaje de cada estudiante. Presentamos entonces
los propósitos u objetivos generales del programa; y los particulares, referidos a la
sección que presenta el estudio de función trigonométrica.
Intenciones generales
ENP
Iniciar a los alumnos en el conocimiento, la comprensión y las aplicaciones de la
geometría analítica, de esta manera adquirirán la preparación necesaria para acceder a
los cursos de Matemáticas del sexto año de bachillerato.
Reafirmar y profundizar los conocimientos de Geometría euclidiana y trigonometría
adquiridos en cursos anteriores para plantear y resolver problemas de diversas
disciplinas.
3
Esta definición se da con triángulo rectángulo y el sistema de ejes coordenados.
22
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Fomentar en los alumnos la capacidad de razonamiento lógico, su espíritu crítico y el
deseo de investigar para adquirir nuevos conocimientos, lo que resulta necesario para
plantear y resolver numerosos problemas de aplicación, tanto en la misma Matemática
como en otras disciplinas.
UAEM
Comprenderá la importancia de la Trigonometría y su aplicación en las diferentes ramas
del conocimiento que la involucran.
Resolverá problemas cuyo modelo matemático implique soluciones trigonométricas.
IPN
Que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento, como son: razonamiento,
análisis, reflexión, comunicación y valoración, a través de una actitud participativa,
crítica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la aritmética, álgebra,
geometría y trigonometría, para resolver problemas surgidos de situaciones cotidianas,
sociales, de la naturaleza y la tecnología, con la finalidad de desarrollar las estructuras
conceptuales necesarias para validar resultados mediante demostraciones formales.
Se espera del curso tener los conocimientos necesarios de conceptos relacionados a
las ft que serán usados en cursos posteriores o en otras áreas de la matemática; es
decir, el uso de estos conceptos será en resolución de problemas.
De manera que se introduce el estudio de ft, de manera secuenciada, es decir
llevando un ordenamiento en los saberes a enseñar, cumpliendo así, con la
programabilidad del saber.
Intenciones particulares al estudio de función trigonométrica
ENP
Que el alumno enriquezca los conceptos trigonométricos adquiridos anteriormente,
manejándolos ahora como funciones, con sus respectivas gráficas.
Que aplique estos conceptos en la resolución de problemas que le sean significativos.
23
Capítulo 3: Análisis didáctico.
EP
Comprenderá el concepto de función trigonométrica.
Graficará las funciones trigonométricas directas.
CECyT
El estudiante establecerá, con los fundamentos teóricos de las
trigonométricas, modelos geométricos que le permitan resolver problemas.
funciones
Se presentan los objetivos particulares al estudio de función trigonométrica, de tal
forma que sólo interesa que se conozcan, es decir, aprender cómo las definen. Se
pierde el interés de saberlas construir, aunque uno de los objetivos de la EP es que
se comprenda el concepto de ft, pero el tratamiento que se da a la ft no cumple con
este objetivo, de manera que, no interesa comprender el significado de ft. Así que,
de ellas sólo se hará uso como herramienta en la resolución de ejercicios
planteados en cursos posteriores.
PRESENCIA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA EN LOS LIBROS DE
TEXTO
El análisis de los libros de texto lo hacemos siguiendo el planteamiento de (Ruiz,
1998):
cómo presentan el concepto de función trigonométrica; si antes de presentarlos
plantea algún problema para dar la definición; y qué tipo de ejercicios y/o
problemas se presentan;
24
Capítulo 3: Análisis didáctico.
de qué manera define a las funciones trigonométricas y qué tipo de ejemplos se
proponen después de dar dicha definición.
Con este análisis pretendemos inferir la presencia de función trigonométrica en los
libros de texto.
Análisis de los libros de texto
Libro [1]
Baldor (1992), no presenta ningún ejercicio o problema para introducir el concepto,
sólo hace el planteamiento del trazado de un ángulo y el valor que éste puede
tomar.
En el capítulo 22, llamado Trigonometría, en el tema 384 - Funciones trigonométricas
de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, define de la siguiente manera
C
b
A
“Consideremos un triángulo rectángulo ∆ ABC.
a
c
B
Las llamadas funciones o razones trigonométricas
de los ángulos agudos B y C son las siguientes:
Mostramos la definición para el ángulo B
SENO: Es la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa.
Notación. Seno del ángulo B se escribe senB.
25
Capítulo 3: Análisis didáctico.
b
a
senB =
COSENO: Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
cosB =
c
a
TANGENTE. Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
tanB =
b
c
COTANGENTE: Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
cotB =
c
b
SECANTE: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
secB =
a
c
COSECANTE: Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
cscB =
a
”
b
Posteriormente, en el tema 385-Funciones y cofunciones trigonométricas de un ángulo
cualquiera, define considerando los lados terminales de ángulos en un plano
coordenado de la siguiente manera,
Tomemos un punto en el lado terminal y consideremos sus coordenadas y su
distancia al origen.
SENO: Es la razón entre la ordenada y la distancia al origen.
sen α =
AE
OA
COSENO: Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen.
cos α =
OE
OA
TANGENTE: Es la razón entre la ordenada y la abscisa.
26
Capítulo 3: Análisis didáctico.
sen α =
AE
OE
COTANGENTE. Es la razón entre la abscisa y la ordenada.
SECANTE. Es la razón entre la distancia y la abscisa.
COSECANTE. Es la razón entre la distancia y la ordenada.
Vemos pues, que son consideradas como razones entre la ordenada, la abscisa y la
distancia al origen de un punto en el lado terminal de un ángulo, formando así un
triángulo rectángulo, definiéndolas entonces como razones de segmentos.
El capítulo 23-Funciones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios,
etc. son definidas como razones entre segmentos, que son trazados en el círculo
trigonométrico, formando así, triángulos rectángulos. Por ejemplo para seno se
tiene que
sen a =
BD BD BD
=
=
= BD.
r
1
OB
De modo que el seno del ángulo a es el segmento BD que corresponde con el valor
de la abscisa.
Posterior a cada definición presenta las relaciones entre las razones, por ejemplo la
reciprocidad entre ellas, identidades.
Después de la definición le siguen ejemplos, en los que se muestra el empleo de la
definición, es decir su uso, de esta manera se ejercita para el manejo de éstas,
siguiendo ciertos algoritmos. Los ejemplos son del tipo:
27
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Ejemplo 1: Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 y 8 cm,
calcular las funciones trigonométricas del ángulo agudo mayor.
Por medio del teorema de Pitágoras, calculamos la hipotenusa.
Ejemplo 2: a) Calcular las funciones trigonométricas del ángulo ∠XOA = α
(Fig. 1), sabiendo que A(3, 4).
b) Calcular las funciones trigonométricas de ángulo ∠XOA = β (Fig 2),
sabiendo que B(2, -3)
y
A (3, 4)
4
0
3
2
1
2
x
d= 13
-1
4
d=5
-2
1
α
0
x
1
2
-3
B (2, -3)
3
y'
Figura 1
Figura 2
Los ejercicios propuestos al término de cada capítulo presentan las mismas
características. De esta manera el interés radica en que los estudiantes mecanicen el
uso de la definición, para su uso posterior, utilizándolas como fórmulas para la
resolución de los ejercicios. No aparece ningún problema de aplicación.
Baldor (1992) no presenta gráficas puesto que él sólo hace el tratamiento de
razones trigonométricas, de manera que los ángulos tratados son los medidos en
grados.
28
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Libro [2]
El primer capítulo de libro de Granvillle, Smith y Mikesh (1982) se llama Las
Funciones trigonométricas, menciona que en la trigonometría se interesa en el
estudio de ciertas magnitudes llamadas funciones trigonométricas (razones
trigonométricas); también menciona que el objetivo del capítulo es definir a estas
funciones y hacer algunas aplicaciones elementales de ellas. Hace una presentación
el trazado y el valor de ángulos.
Presenta las definiciones y después de hacer relaciones entre ellas, muestra
ejemplos en los que se hace un reconocimiento de las definiciones, es decir, se hace
uso de las definiciones.
Los ejercicios los va planteando después de dar alguna definición.. La secuencia de
los ejercicios a resolver los presenta de forma que van adquiriendo mayor
complejidad en la resolución de estos.
Empieza definiendo las razones de un ángulo agudo por medio del triángulo
rectángulo, mencionando que las razones de los lados se llaman funciones
trigonométricas. La definición la presenta de la siguiente manera:
senA =
lado opuesto ⎛ a ⎞
⎜ = ⎟;
hipotenusa ⎝ c ⎠
cosA =
lado adyacente ⎛ b ⎞
⎜ = ⎟;
hipotenusa ⎝ c ⎠
B
a
C
tgA =
c
b
A
lado opuesto ⎛ a ⎞
⎜ = ⎟;
lado adyacente ⎝ b ⎠
csc A =
hipotenusa ⎛ c ⎞
⎜ = ⎟;
lado opuesto ⎝ a ⎠
29
Capítulo 3: Análisis didáctico.
sec A =
hipotenusa ⎛ c ⎞
⎜ = ⎟;
lado adyacente ⎝ b ⎠
ctgA =
lado adyacente ⎛ b ⎞
⎜ = ⎟.
lado opuesto ⎝ a ⎠
Para definir las razones de de cualquier ángulo medido en grados lo hace trazando
ángulos, positivos y negativos, en el plano coordenado presentando la siguiente
definición
ordenada
senXOB =
cos XOB =
tgXOB =
radio
abscisa
radio
ordenada
ctgXOB =
sec XOB =
csc XOB =
abscisa
abscisa
=
=
ordenada
radio
abscisa
radio
r
y
;
;
x
x
y
r
=
;
r
x
=
=
ordenada
y
=
y
;
;
r
y
.
El capítulo III-Líneas trigonométricas y gráficas, aquí se definen a partir de segmentos
trazados en el círculo trigonométrico, haciendo referencia al planteamiento
anterior, de manera que se tiene para seno
sen AOP =
QP
= QP;
OP (= 1)
Para graficar se encuentran valores mostrándolas en una tabla, mencionando que
30
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Es más conveniente, cuando se busca una función trigonométrica de un
ángulo, usar la medida en grados del ángulo, y en cambio, al trazar una
gráfica es preferible usar su medida circular.
Presenta algunas relaciones de estas funciones, después da ejemplos tales como:
Ejercicio 1. Calcular las funciones trigonométricas del ángulo A en el
triángulo rectángulo cuyos catetos son a=3, b=4.
El valor que falta es el de la hipotenusa, lo calcula y siguiendo las fórmulas de la
definición encuentra los valores de las funciones.
Seguido de esto, muestra los signos posibles a cada cuadrante del plano
coordenado, calcula los valores de las razones de ángulos específicos. Dice también
que las razones tienen aplicación en la resolución de problemas en los que
teniendo el valor de una razón se pueden calcular los valores de las demás,
considerando las posiciones que puede tener el ángulo en el plano coordenado.
Para la representación gráfica de las funciones trigonométricas lo hace por medio
del círculo unitario, en el que traza las líneas trigonométricas, aplicando la
definición para cualquier ángulo medido en grados las vuelve a definir.
Geométricamente explica el cambio que tiene cada razón al variar su ángulo. Antes
de graficar, presenta la gráfica de una función algebraica mostrando una regla de 4
pasos a seguir. Sigue esta misma regla para graficar la función seno y hace una
discusión de la forma de la gráfica. Después de esto trata la periodicidad de las
funciones. Presenta las gráficas de las otras funciones a partir del círculo unitario.
31
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Libro [3]
Guzmán, H (1991), para definir no presenta algún problema, presentando primero
las razones de ángulos agudos, presenta algunas relaciones de estas, antes de
definir las razones trigonométricas de cualquier valor menciona características de
los ángulos y traza un ángulo en el plano coordenado.
La definición la presenta primero para ángulos agudos por medio del triángulo
rectángulo y son definidas a partir de los lados de este, diciendo que son razones o
relaciones entre sus lados.
Para definir las razones de ángulos de cualquier valor lo hace por medio del plano
coordenado, que se considera la razón de la ordenada, la abscisa y la distancia al
origen de un punto trazado en el lado terminal del ángulo considerado.
senθ =
P(x,y)
d
y
tan θ =
θ
O
-
cos θ =
x
cot θ =
sec θ =
csc θ =
ordenada
distancia
abscisa
distancia
ordenada
abscisa
abscisa
ordenada
distancia
abscisa
distancia
ordenada
=
=
=
=
=
=
y
d
x
d
y
x
x
y
y
d
d
y
Al término de cada definición presenta ejemplos de forma que se hace un
reconocimiento de la definición como fórmulas aplicándolo en la resolución de
éstos.
32
Capítulo 3: Análisis didáctico.
El círculo unitario es presentado para definir las funciones trigonométricas como
segmentos que son trazados en el círculo, en el que considera los triángulos
formados por estos segmentos.
Y
E
G
1 unidad
C
O
θ
H
A
r=1
θ
B
D
F
X
Aplicando a los triángulos así formados, las definiciones de las funciones
trigonométricas tenemos que:
Es decir, la definición de las razones trigonométricas, por ejemplo para seno
senθ =
AB AB AB
=
=
= AB
r
1
OA
Con el círculo unitario presenta las variaciones que tiene cada función.
En el capítulo 10 Resolución de triángulos rectángulos presenta el uso de la definición
de las razones en la resolución de triángulos rectángulos, ofrece ejemplos y una
serie de ejercicios a resolver siguiendo los ejemplos que el autor muestra, estos son
presentados de forma que van adquiriendo mayor complejidad en su resolución.
En este mismo capítulo presenta las gráficas de las funciones utilizando el círculo
unitario para trazarlas. Al trazar senx hace una discusión alrededor de ésta,
33
Capítulo 3: Análisis didáctico.
presentando características tales como su periodicidad y amplitud; y a partir de
esta gráfica construye la del coseno recordando una relación entre ambas. Las
gráficas de las otras funciones las dibuja considerando el círculo unitario.
Libro [4]
Swokowsky-Cole (2002) en el capítulo 6 Funciones trigonométricas de números reales,
presenta las funciones trigonométricas, dividiendo este capítulo en siete partes, el
primero de ellos es el de Ángulos donde se da una explicación del trazo, lectura y
valor del ángulo, los define y presenta la relación de un ángulo medido en grados a
radianes,
...si el arco AP (denotado por o
AP ) de la circunferencia subtiende a θ ...si la
longitud de o
AP es igual al radio r del círculo, entonces θ mide un radián,
conforme la siguiente definición.
Definición de
Un radián es la medida del ángulo central de un
radián
círculo subtendido por un arco igual en longitud al
radio del círculo.
Después de dar está definición y presentar esquemas con las que trata de explicar
la definición, expone la relación que hay entre grados y radianes
Relación entre
grados y radianes
(1)
(2)
180° = π radianes
1° =
π
180
radián ≈ 0.0175 radián
⎛ 180° ⎞
(3) 1 radián = ⎜
⎟ ≈ 57.2958°
⎝ π ⎠
34
Capítulo 3: Análisis didáctico.
En general se ofrecen los conceptos a partir de un esquema, posteriormente
muestra ejemplos utilizándolos como aplicaciones. Los ejercicios se encuentran al
término de cada tema del capítulo, de forma gradual en cuanto a la complejidad en
la resolución de estos; presentando un gran número de ejercicios junto con
problemas de aplicación. Estos ejercicios inducen a mecanizar el uso de las
razones, no interesando el entendimiento de estos.
El tema de Funciones trigonométricas de ángulos, presenta las razones de ángulos
agudos, es decir, de ángulos comprendidos entre 0 y 90º, posteriormente de
ángulos medidos en grados de cualquier valor, definiéndolas en el plano
coordenado. Las funciones se presentan como las razones de los lados de un
triángulo rectángulo, y como razones de los lados comprendidos por el ángulo
trazado en el plano.
Para definir a las razones de ángulos agudos lo hace por medio del triángulo
rectángulo. Tomando a θ como un ángulo agudo del triángulos rectángulo, y a las
longitudes de los lados del triángulo lado opuesto (op), lado adyacente (ady) y la
hipotenusa (hip).
hip
op
θ
ady
Definición de las
funciones trigonométricas
de un ángulo agudo de un
triángulo rectángulo
senθ =
csc θ =
op
hip
hip
op
cos θ =
ady
sec θ =
hip
hip
ady
tan θ =
cot θ =
op
ady
ady
op
35
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Presenta algunas relaciones entre estas razones, y unos ejemplos a manera de
reconocimiento de lo planteado, calculando valores de las funciones de algunos
ángulos específicos.
Uno de los ejemplos que presenta para mostrar el uso de estas razones es el
siguiente,
Ejemplo 1: Hallar valores de funciones trigonométricas de un ángulo agudo.
Si θ es un ángulo y cos θ =
3
4
, halla los valores de las funciones
trigonométricas de θ .
Para resolver este ejemplo, hace referencia a la definición de razones, al triángulo
rectángulo y al teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lado del triángulo
faltante.
Posteriormente, para definir a las razones trigonométricas de ángulos medido en
grados de cualquier valor, negativos y positivos, considera el sistema de ejes
coordenados, así como se aprecia en la siguiente figura:
y
P(x,y)
r
y
θ
O
x
Q(x,0)
x
36
Capítulo 3: Análisis didáctico.
En éste, toma un punto coordenado del lado terminal del ángulo y la distancia de
este punto al origen.
Da una explicación similar para un ángulo trazado en cualquier cuadrante y define
las razones haciendo referencia a la definición a partir del triángulo rectángulo.
Definición de
Sea θ un ángulo en posición estándar en un sistema de
las funciones
coordenadas rectangulares, y sea P ( x, y ) cualquier punto
trigonométricas
de cualquier
ángulo
fuera del origen O en el lado terminal de θ.
Si d (O, P ) = r = x 2 + y 2 , entonces
senθ =
csc θ =
y
r
r
y
cos θ =
(si y ≠ 0) sec θ =
x
r
r
x
tan θ =
(si x ≠ 0) cot θ =
y
x
x
y
(si x ≠ 0)
(si y ≠ 0)
Da una breve explicación del dominio de estas razones, mostrándolos como en la
tabla siguiente
Función
Dominio
seno,
coseno
todo ángulo θ
tangente,
secante
todo ángulo θ excepto θ =
cotangente, cosecante
π
2
+ π n = 90° + 180° ⋅ n
todo ángulo θ excepto θ = π n = 180° ⋅ n
Presenta ejemplos en los que se da un punto coordenado para trazar en el plano y
posteriormente aplicar las fórmulas de la definición.
37
Capítulo 3: Análisis didáctico.
EJEMPLO 7. Hallar valores de funciones
y
trigonométricas de un ángulo en posición
P(-15, 8 )
estándar.
r
Si θ es un ángulo en posición estándar en
θ
O
x
un sistema de coordenadas rectangulares, y
si P ( −15, 8 ) está en el lado terminal de θ , halla los valores de las seis
funciones trigonométricas de θ .
El tercer tema es Funciones trigonométricas de números reales. Señala que en temas del
cálculo y muchas aplicaciones, las funciones son dadas con números reales, de lo
que dice
Definición de las
funciones
trigonométricas de
números reales
El valor de una función trigonométrica de un
número real t es su valor en un ángulo de t
radianes en el supuesto de que ese valor existe.
De manera geométrica da la relación entre un ángulo en radianes a reales, usando
la circunferencia unitaria,
Sea t un número real tal que 0 < t < 2π , y
y
s=t
P(x, y )
denotemos con θ el ángulo (en posición
θ=t
O
U
A(1,0) x
estándar) de t radianes... en donde P ( x, y ) es
el punto de intersección de lado terminal de θ
y la circunferencia unitaria U, en donde s es la
longitud del arco circular de A(1, 0) a P ( x, y ) . Dada la fórmula s = rθ para
la longitud de un arco de circunferencia, con θ = t y r = 1 , vemos que
s = rθ = 1(t ) = t
38
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Por tanto, t se puede tomar como la medida en radianes del ángulo θ o como
la longitud del arco circular AP en U...
De esta manera dice que
... se puede asociar un punto único P( x, y ) en U con cada número real t.
Con esta explicación se considera entonces que el valor del ángulo en radianes será
considerado en números reales.
Definiendo ahora las funciones apoyándose en la circunferencia unitaria se tiene,
Definición de las Si t es un número real y P( x, y ) es el punto de la
funciones
trigonométricas en circunferencia unitaria U que corresponde a t,
términos de una entonces
circunferencia
unitaria
y
sen t = y
cos t = x
tan t = (si x ≠ 0)
x
x
1
1
csc t = (si y ≠ 0) sec t = (si x ≠ 0) cot t = (si y ≠ 0)
y
x
y
Seguido de la definición se presentan ejemplos, en los que solo se maneja la
definición usando las fórmulas en la resolución del ejemplo
Uno de los ejemplos es como el que sigue
39
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Ejemplo 1. Hallar valores de las funciones trigonométricas.
En la figura 4 se presenta un punto P ( x, y ) en la circunferencia unitaria U
correspondiente a un número real t, para π < t < 3π / 2 . Halla los valores de
las funciones trigonométricas en t.
El círculo unitario es usado también para graficar las funciones, en el que presenta
la variación del seno y coseno en cada cuadrante, definiendo función periódica.
Para graficar hace el cambio de t por x, teniendo por ejemplo,
y = sen x
Traza los valores mostrados en una tabla y obtiene la gráfica recordando cómo
varia el seno y como tiene periodo 2π, dice entonces que se repite tanto a la
izquierda como a la derecha. La gráfica del coseno es presentado de manera
similar.
Para trazar la gráfica de la tangente presenta un teorema sobre la paridad e
imparidad de las funciones.
Las gráficas de las otras funciones las obtiene a partir de las tres anteriores,
utilizando la reciprocidad entre ellas.
Se tiene entonces que el concepto de función trigonométrica sólo quede aprendida
como fórmulas, pues de ella sólo se hará uso para algunas aplicaciones o se usará
en la resolución de problemas, y en cursos posteriores se deben conocer estas
funciones, por ejemplo en cálculo diferencial e integral.
40
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Libro [5]
Zill D, en el capítulo 6 presenta como primer tema aparece el trazado de ángulos,
así como la conversión de ángulos medidos en grados a radianes. En la sección 6.2
Funciones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos, muestra la
definición de acuerdo a las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo,
definiéndola como razones, como se aprecia en el cuadro siguiente,
Las seis funciones trigonométricas de un ángulo agudo θ en un triángulo
rectángulo se definen así:
,
csc θ =
hip
cos θ =
ady
,
sec θ =
hip
tan θ =
op
,
cot θ =
senθ =
op
hip
hip
ady
op
ady
ady
op
Posteriormente presenta algunas relaciones que hay entre las razones definidas,
dando antes un ejemplo en el que se plantea el empleo de la definición.
Presenta una serie de ejercicios al término de esta sección, prevaleciendo ejercicios
para ejercitar el manejo de la definición planteada. En la siguiente sección se
presentan aplicaciones de la trigonometría a triángulos rectángulos, presentando al
final de esta sección una serie de ejercicios de aplicación.
En la sección 6.4 Funciones trigonométricas de ángulos generales extiende el dominio
del ángulo, medido en grados, a cualquier valor, mencionando que muchas
aplicaciones de la trigonometría incluyen ángulos que no son agudos. Define
ahora, a partir de un ángulo marcado en el plano coordenado de la siguiente
manera,
41
Capítulo 3: Análisis didáctico.
y
P(x, y)
r
y
θ
O
x
x
Sea θ un ángulo en posición normal, y sea P(x, y) cualquier punto distinto
de (0, 0) en el lado terminal de θ . Si r = x 2 + y 2 es la distancia entre (0,
0) y (x, y), entonces las seis funciones trigonométricas de θ se definen como:
senθ =
cos θ =
tan θ =
y
r
,
x
r
y
x
, x≠0
csc θ =
r
sec θ =
r
cot θ =
y
x
x
y
, y≠0
, x≠0
, y≠0
A esta definición le siguen ejemplos en los que se hace referencia a la definición
dada, al termino de la sección da una serie de ejercicios. Dada las características de
éstos, se orienta a la algoritmia en el manejo de la definición. El resto del capítulo
trata sobre la resolución de triángulos, y al final de éste se da otra serie de ejercicios
como repaso de lo visto en el capítulo.
En el capítulo 7, Zill D. en la sección 7.1 Funciones circulares, menciona que dado
que en cálculo y otros cursos se considera a las funciones trigonométricas con
dominios a los números reales, es necesario definirlas a en números reales, como:
El valor de cada función trigonométrica para un número real t se define
como su valor en un ángulo de t radianes, si ese valor existe.
42
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Es decir,
Sean (x, y) las coordenadas de P, como se indica en la figura.
y
P t (x, y)
= (cos t, sen t)
t
(1,0)
x
Retoma la definición dada para ángulos de cualquier valor, teniendo ahora:
sen t = y r = y 1 = y,
cos t = x r = x 1 = x,
csc t = r y = 1 y , y ≠ 0
sec t = r x = 1 x , x ≠ 0
tan t = y x ,
cot t = x y
x≠0
y≠0
A partir de la explicación del rango del seno y del coseno expone las funciones,
mencionando que el dominio de estas funciones es el conjunto de los reales.
f (t ) = sen t y g (t ) = cos t
De manera que Zill D. escribe como funciones, posterior a la definición dada a
partir del círculo unitario.
Después, ofrece un ejemplo, continuando con algunas propiedades de las ft y al
término de esta sección presenta una serie de ejercicios y por la cantidad, se
sobreentiende que es para ejercitar sobre lo planteado en esta sección.
En la sección 7.2 Gráficas de las funciones trigonométricas menciona que para un
mejor entendimiento de las funciones trigonométricas es examinar sus gráficas,
43
Capítulo 3: Análisis didáctico.
mostrándolas (seno y coseno) a partir de la circunferencia unitaria. Para graficar la
función tangente, lo hace considerando el conciente de seno y coseno, tabulando y
marcando los puntos.
Resaltamos que Zill va retomando las relaciones y propiedades que muestra,
relacionándolas
en
los
ejemplos
presentados,
después
de
las
gráficas.
Posteriormente da una serie de ejercicios, asentando lo definido en la sección.
Hay una sección en la que muestra el comportamiento de las gráficas, junto con
ejemplos y ejercicios de aplicación.
Comentarios finales
En general los libros antes de empezar a hablar de las funciones, presentan las
características de un ángulo, para posteriormente definirlas como razones de los
lados de un triángulo rectángulo o de las magnitudes en el plano coordenado. Para
mostrar a las funciones trigonométricas como funciones reales de variable real, lo
hacen por medio de la circunferencia unitaria, por ésta también se trazan las
gráficas de las funciones, cabe mencionar que Baldor en ningún apartado del libro
las presenta, por tanto no menciona propiedades de las funciones, solo menciona
las variaciones de las razones.
En la siguiente tabla mostramos un resumen de cómo definen a las funciones
trigonométricas, en los libros analizados, en un triángulo rectángulo y en una
circunferencia unitaria.
44
Capítulo 3: Análisis didáctico.
LIBRO DE TEXTO
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
CÍRCULO UNITARIO
Swokowski, E. y Cole, J.
(2002). Álgebra y
trigonometría con
geometría analítica.
“Presentaremos
las
funciones
trigonométricas como se originaron
históricamente: como razones de los lados
de un triángulo rectángulo”.
“Sea θ un ángulo en posición estándar en un sistema de
coordenadas rectangulares, y sea P(x,y) cualquier punto
fuera del origen O en el lado terminal de θ”. (x y y en el
dominio de números reales)
“Consideremos el triángulo rectángulo
Baldor, J. A. (1992).
ABC. Las llamadas funciones o razones
Geometría plana y del
espacio y Trigonometría trigonométricas de los ángulos agudos B y
C son las siguientes...”. (y empieza a
definirlas como la razón entre los lados
del triángulo)
“Tracemos el círculo trigonométrico... Consideremos un
ángulo cualquiera a, en el primer cuadrante y tracemos
(segmentos, formando triángulos). Aplicando las
definiciones ya dadas de las funciones trigonométricas,
tenemos:...”(definidas por segmentos)
Granvillle, W., Smith, P.
y Mikesh, J. (1982).
Trigonometría plana y
esférica.
“La Trigonometría comienza por enseñar “Es conveniente emplear una representación geométrica
la naturaleza exacta de esta dependencia, y de los valores de las funciones por medio de segmentos de
para este objeto emplea las razones de los recta dirigidos, llamados líneas trigonométricas...”.
lados. Estas razones se llaman funciones
trigonométricas”.
Guzmán Herrera A.
(1991) Geometría y
Trigonometría.
Las funciones trigonométricas de un “...aplicando a los triángulos así formados, las
triángulo rectángulo son las razones o definiciones de las funciones trigonométricas tenemos
relaciones entre sus lados
que:...las funciones trigonométricas son segmentos
rectilíneos”.
Como razones de las longitudes de los El valor de cada función trigonométrica para un número
lados de un triángulo rectángulo.
real t se define como su valor en un ángulo de t radianes,
si ese valor existe.
Zill D. (1992)
Algebra y
Trigonometría
Cómo definen los libros a partir del triángulo rectángulo y del círculo unitario.
45
Capítulo 3: Análisis didáctico.
Encontramos que se prevalece el dominio algorítmico de las razones por la
infinidad de ejercicios y problemas que se presentan después de definir a las
funciones trigonométricas (razones) o de presentar relaciones entre ellas.
En la presentación de las funciones trigonométricas en los materiales (libros y
programas) revisados, vemos que siguen un orden, es decir que se sigue una
programabilidad del saber. En ambos casos, no se explicita el paso que hay de la
relación de radianes a reales, de manera que ya definida a la función como función
real, se retoman a las razones para ejercicios de aplicación.
46
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Capítulo 4
A
AN
NÁ
ÁL
LIIS
SIIS
SD
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EL
LD
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ÑO
OS
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BR
RE
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GO
ON
NO
OM
MÉ
ÉT
TR
RIIC
CA
A
INTENCIONES DEL DISEÑO APLICADO A ESTUDIANTES DEL NMS
Realizamos un cuestionario con la intención de mostrar las concepciones que
quedan en los estudiantes, de la noción de función trigonométrica.
Con el cuestionario, no intentamos evaluar los resultados, sino, tratamos de inferir
sobre las concepciones, en cuanto a la noción de función trigonométrica que tienen
los estudiantes, considerando que, la concepción del “sujeto” nos refiere los
conocimientos que éste tiene sobre un objeto, que son originados como
consecuencia de los procesos de enseñanza-aprendizaje en el seno del sistema
didáctico. Esto es, el resultado de un intercambio permanente de los sujetos con las
situaciones de enseñanza o con su entorno (Ruiz L., 1998).
De esta manera correspondemos los resultados obtenidos con los del análisis de
programas curriculares y los libros de texto, analizados en el capítulo anterior.
47
Capítulo 4. Análisis del diseño.
El propósito de este cuestionario es de inferir sobre la noción de función
trigonométrica en estudiantes del NMS.
Por tanto, esperamos tener como resultado el cómo el estudiante se enfrenta ante
una situación en la que está involucrada la función trigonométrica.
El diseño es realizado basándonos en el contenido de los programas de estudio, al
igual que el de los libros de texto analizados, el diseño contiene entonces, de
acuerdo a nuestro criterio1, lo elemental, en cuanto a la noción de función
trigonométrica, en un estudiante al término del curso.
Elegimos dos grupos de estudiantes (del NMS) para la aplicación del instrumento,
que los consideramos de acuerdo a las escuelas de los programas que analizamos,
éstas son: uno de la UNAM con 19 estudiantes en el último semestre y otro del IPN
con 38 estudiantes de tercer y cuarto semestre, ambos grupos habían tomado el
curso en el que se les presenta la función trigonométrica.
Con los resultados obtenidos en la aplicación del cuestionario, intentamos
completar nuestro estudio, el de mostrar la presencia de la noción de función
trigonométrica en el sistema escolar.
ANÁLISIS DE LAS PREGUNTAS DEL CUESTIONARIO
Si consideramos que las intenciones de los programas llevan al estudiante a
comprender el significado del concepto, se espera que resuelvan sin dificultad los
1
Según lo establecido en los programas de estudio y libros de texto.
48
Capítulo 4. Análisis del diseño.
ejercicios planteados. A continuación, presentamos el análisis del cuestionario
siguiendo este criterio.
El diseño realizado consta de cinco preguntas y en algunas se pide que
argumenten, con la intención de lograr la concepción del estudiante. De acuerdo al
criterio de las preguntas las dividimos en tres partes.
Primera parte: Planteamiento de razón trigonométrica.
1. a) Dado cot B =
3
, ¿cuál es el seno, el coseno y la tangente del ángulo B?
4
b) ¿Cuál es el valor de sen
π
2
, cos
π
2
? Argumente.
Se espera que el estudiante resuelva sin mucha dificultad, ya que los libros y los
programas de estudio del análisis del capítulo anterior, incitan el uso de la
definición, como fórmulas en la resolución de infinidad de ejercicios de este tipo,
prevaleciendo entonces la algoritmización como resultado en la solución de este
tipo de ejercicios. Entonces para el inciso (a), se hará el reconocimiento de la
definición de ft como razones entre los lados de un triángulo rectángulo.
Para el inciso (b), se esperaría que la respuesta y el argumento se dieran con base
en el círculo unitario. Ya que, por el análisis de libros y programas, cuando el
ángulo es expresado en radianes, se hace por medio del círculo unitario.
Pretendemos entonces que el argumento nos dé pauta a esto.
49
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Segunda parte: Estableciendo la relación entre ángulos, en grados y en radianes.
2. Encuentra el valor de
a) cos
π
2
=
b) cos 90° =
c) sen
π
6
=
d) sen30° =
¿Existe alguna relación entre las respuestas de a), b), c) y d)? Argumenta tu
respuesta.
Se espera que distingan la igualdad del ángulo dado en grados y en radianes,
argumentando las formas (medidas) en que se puede expresar un mismo ángulo,
es decir, la relación que existe entre el ángulo en grados y en radianes.
Al tratar a los ángulos en radianes en el círculo trigonométrico, se está dando la
relación con números reales, dado que, teniendo un ángulo medido en radianes
(como x), entonces se tiene a la función seno definida en reales, es decir, que a cada
x real le corresponde un número real ( senx ). Por tanto, esperamos que el
argumento nos dé evidencia de la concepción del estudiante en cuanto a esta
relación.
Tercera parte: Comprensión de las propiedades de la función trigonométrica.
La tercera parte comprende tres preguntas, con la intención de reflexionar sobre las
propiedades de la función trigonométrica como: periodo, dominio, rango,
periodicidad, amplitud, desfasamiento y asíntotas de las gráficas. Esperando que la
programabilidad de la adquisición del saber sea el adecuado, entonces los estudiantes
no tendrán dificultad en la graficación de las funciones. Si el círculo unitario no se
50
Capítulo 4. Análisis del diseño.
viera sólo como una más de las representaciones de las ft, éste sería útil para
mostrar parte de las propiedades de las gráficas. Por tanto, las preguntas las
desarrollamos de la siguiente manera.
3. Para qué valor de x se satisface senx = 5 .
En esta pregunta, el estudiante debe responder especificando el rango de sen x, se
esperaría que respondiera que no existe un x que pueda satisfacer la igualdad.
Aunque, siguiendo el análisis de libros y programas, es evidente que el resultado
no se dará de esta forma, pues el interés está en el trabajo algorítmico del uso de ft.
Por tanto, cuando se presenta este tipo de ejercicios se incita a un proceso
algebraico y el uso de la calculadora, para así, dar el resultado.
4. Para qué valores de x, se satisface que senx = cos x . Argumenta tu respuesta
graficando senx y cos x .
Si los programas y los libros de texto atendieran a que el estudiante comprendiera
ft, entonces, éste contestaría señalando en las gráficas2 los valores de x que
cumplen con la igualdad. En este caso el estudiante debe saber las propiedades de
las gráficas. Al pedirles que argumenten con las gráficas, se espera entonces, que
por medio de éstas, el estudiante mostrará su concepción de ft.
5. Grafica tan x y explica sus propiedades.
Al igual que en la anterior, se espera que con esta pregunta se pueda inferir sobre
la concepción del estudiante en cuanto a la noción de función trigonométrica.
2
Gráficas dibujadas correctamente en el mismo plano.
51
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Se espera entonces, para dar respuesta a cada pregunta, se haga uso del triángulo
rectángulo, y del círculo unitario, de la misma forma que los ángulos en grados y
en radianes, sin llegar a una relación en cada uno de estos elementos. Por tanto, no
se tratará de función trigonométrica pero no definida en reales.
RESULTADOS DEL DISEÑO
Mostramos los resultados en general, posteriormente reflexionamos sobre éstos. La
descripción de cada pregunta la presentamos a continuación:
Análisis de los resultados de los estudiantes de NMS de la UNAM
El grupo de la UNAM presentó, en su mayoría, dificultades en la solución de los
ejercicios planteados. Podría tenerse como motivo que esta noción matemática es
vista a inicios del tercer semestre y los estudiantes estaban por terminar el sexto
semestre. La idea que de función trigonométrica tenían fue demasiado imprecisa,
pues, también el uso de la herramienta tecnológica (calculadora) fue inconsistente,
dado que era indistinto para ellos el teclear el ángulo en grados o en radianes, por
tanto, el resultado fue otro.
El esquema siguiente ilustra lo anterior,
52
Capítulo 4. Análisis del diseño.
que en realidad lo que hace es evaluar ¾ en seno, coseno y tangente. Y para el
inciso (b)
Evalúa incorrectamente y el argumento se refiere por una parte al valor de π y por
otra, sobre el resultado al evaluar incorrectamente en la calculadora. Tenemos
entonces, que para el estudiante es indistinto tener el argumento en grados o
radianes.
53
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Para los ejercicios restantes, mencionamos que en su mayoría no los resolvieron y
otros pocos trataron de resolverlos sin tener éxito.
Ahora, si retomamos el contenido de los programas vemos que aparecen todos los
conceptos que se presentan en el cuestionario, de modo que, si el programa es
abordado completamente, los estudiantes debieron de haber contestado
correctamente en su mayoría.
Unidad 2. Funciones trigonométricas
- Razones trigonométricas.
- Resolución de triángulos rectángulos.
- Funciones trigonométricas de dos ángulos.
- Ley de los senos.
- Ley de los cosenos.
- Resolución de los triángulos oblicuángulos.
- Razones trigonométricas para un ángulo en cualquier cuadrante.
- Medida de un ángulo.
- Círculo trigonométrico.
- Funciones trigonométricas directas.
- dominio, rango, periodicidad, amplitud, desfasamiento y asíntotas de la gráfica.
- Funciones trigonométricas inversas.
- Ramas principales.
- dominio, rango y gráfica de las funciones trigonométricas inversas.
Además de que el objetivo para esta unidad es:
Que el alumno enriquezca los conceptos trigonométricos adquiridos anteriormente,
manejándolos ahora como funciones, con sus respectivas gráficas.
Que aplique estos conceptos en la resolución de problemas que le sean significativos.
Entonces, reconocemos que si los programas siguieran una programabilidad
adecuada, en cuanto al concepto de función trigonométrica, los estudiantes
contestarían correctamente el cuestionario.
54
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Cabe mencionar, que al término del tiempo destinado para resolver el cuestionario
y haber visto rápidamente lo hecho por los estudiantes, se preguntó que cuál había
sido la dificultad; algunos comentaron que no recordaban cómo se resolvía (de ahí
que el uso de la calculadora no fue de mucha ayuda en la resolución), y otros más
que su profesor no había abordado este tema.
Por otro lado, de los libros3 que analizamos, por ejemplo en el de Baldor sólo se
trata de razones, con las cuáles únicamente se prevalece en el tratamiento
algorítmico. Es decir, la utilidad de este libro pretende en el conocimiento de las
relaciones entre las razones trigonométricas, sin razonar en la noción matemática.
Por tal motivo, en este análisis sólo nos enfocamos a los resultados obtenidos con el
grupo de estudiantes del NMS del IPN.
Análisis de los resultados del grupo de estudiantes de NMS del IPN
La mayoría de los estudiantes en las preguntas uno y dos resolvieron
correctamente. Para la pregunta tres no se contestó en su mayoría como se
esperaba de la misma manera que para las preguntas cuatro y cinco. A
continuación, hacemos la revisión de los resultados por pregunta.
3
Los libros son el de Baldor A. y el de Swokowky E. éstos son libros de trigonometría que aparecen en la
bibliografía del programa
55
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Pregunta 1.
Hemos mencionado que se haría el reconocimiento de la definición como razones,
de los lados de un triángulo rectángulo, de esta manera los estudiantes han
resuelto en su mayoría correctamente (inciso a), por ejemplo:
Para b) ¿Cuál es el valor de sen
π
2
, cos
π
2
?, en general, el resultado fue correcto,
pero, el argumento que dieron se basó en la conversión que hicieron de radianes a
reales. Diciendo por ejemplo,
56
Capítulo 4. Análisis del diseño.
1.-Como el valor
π
2
está dado en radianes tendríamos que convertir a
grados y la fórmula para convertir es x ⋅
π 180 180
⋅
=
= 90
2 π
2
180
π
entonces deducimos que
sen 90 = 1
cos 90 = 0
Sólo tres de los 38 estudiantes hicieron referencia al círculo unitario para
argumentar, por ejemplo, un estudiante hizo lo siguiente,
Aunque, de igual manera los tres estudiantes, hicieron la conversión de radianes a
grados para mostrar su resultado.
Pregunta 2
57
Capítulo 4. Análisis del diseño.
En general los estudiantes contestan correctamente, pero también hacen la
conversión de radianes a grados para dar el resultado. Ellos notan que se está
hablando del mismo ángulo, por ejemplo, argumentan de la siguiente manera:
Sí, porque son los mismos ángulos, lo diferente es que uno están
dados en radianes y tenemos que convertir a grados. Con la fórmula
180
y así multiplicas tus radianes con la fórmula.
π
Hasta aquí, podemos decir que se tiene la necesidad de hacer la conversión de
radianes a grados para resolver.
Pregunta 3
Todos en general evaluaron en la calculadora, derivando de éste su resultado. Los
resultados obtenidos difieren, por lo que las respuestas las dividimos en 3
secciones. Una tercera parte de los estudiantes el resultado lo dan con base en el
rango de seno, por ejemplo:
Otra tercera parte de estudiantes, al no obtener un valor al evaluar
5 en sen-1,
concluyen que x tiene infinitos valores. Y el resto de estudiantes muestran algún
otro resultado.
Pregunta 4
58
Capítulo 4. Análisis del diseño.
La mayoría de los estudiantes dan un solo valor, aunque al graficar muestren mas
valores,
59
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Cabe resaltar que el valor o los valores son dados en grados y algunos al graficar lo
hacen también en grados. Algunos se apoyaron de una calculadora graficadora
para mostrar las gráficas, teniendo un poco de dificultad con el dominio de éstas al
copiarlas.
Algunos otros estudiantes sólo dan los valores de x, considerando el siguiente
esquema, suponemos que puede ser una forma de cómo el profesor muestra la
relación que existe entre seno y coseno.
60
Capítulo 4. Análisis del diseño.
El estudiante sólo percibe lo que “ve” sin reflexionar sobre las bondades de este
esquema; vemos también que se utilizan grados y no radianes.
En su mayoría los estudiantes no presentan las graficas correctas, por ejemplo
61
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Puesto que al tratar las gráficas de seno y coseno tratamos con funciones de las
cuales se tiene un dominio y un rango para éstas, es así que hasta lo que hemos
mostrado de los resultados del cuestionario para los estudiantes no hay un
entendimiento en cuanto a la noción de función trigonométrica, ya que al tratar de
graficar dibujan el plano coordenado en grados y reales. De tal forma que, como
mostramos en el análisis de los libros, se prioriza en el tratamiento algorítmico en
la solución de triángulos, tratando sólo ángulos en grados.
Pregunta 5
En su totalidad el grupo de estudiantes no logró escribir algunas de las
propiedades de la función tangente, únicamente tres estudiantes de 38 lograron
graficar, pero con ayuda de la calculadora graficadora, sin dar algún argumento y
las gráficas que presentaron son como las siguientes:
62
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Otros seis estudiantes más dibujaron la gráfica pero en su argumento aparecen
expresiones en grados, al igual que en la gráfica, por ejemplo:
63
Capítulo 4. Análisis del diseño.
64
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Y dentro de estos seis estudiantes uno indica la asíntota, relacionándola con
infinito,
El resto de estudiantes, que fue la mayoría, o no contestaron, o intentaron graficar
tabulando, sin llegar a tener éxito, por ejemplo,
65
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Resaltamos que, para graficar lo hacen tabulando (en grados). Esto puede ser a
causa de que los libros de texto que revisamos incitan en la algoritmización de las
razones trigonométricas, en donde se induce a calcular valores de ángulos
específicos de estas razones.
Comentarios finales
Retomando los resultados del cuestionario de ambos grupos y dado que son
diferentes, miremos cuáles son las intenciones de cada escuela para haber tenido
este resultado. Por ejemplo, los propósitos del programa del NMS de la UNAM, se
tiene que:
Reafirmar y profundizar los conocimientos de Geometría euclidiana y trigonometría
adquiridos en cursos anteriores para plantear y resolver problemas de diversas
disciplinas.
66
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Fomentar en los alumnos la capacidad de razonamiento lógico, su espíritu crítico y el
deseo de investigar para adquirir nuevos conocimientos, lo que resulta necesario para
plantear y resolver numerosos problemas de aplicación, tanto en la misma Matemática
como en otras disciplinas.
Y para el programa del IPN tenemos
Que el estudiante desarrolle sus habilidades de pensamiento, como son:
razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración, a través de una actitud
participativa, crítica y creativa, que permita relacionar los conocimientos de la
aritmética, álgebra, geometría y trigonometría, para resolver problemas surgidos de
situaciones cotidianas, sociales, de la naturaleza y la tecnología, con la finalidad de
desarrollar las estructuras conceptuales necesarias para validar resultados mediante
demostraciones formales.
Vemos que las intenciones son diferentes, en uno se intenta hacer algo con los
estudiantes, mostrándoles sus necesidades sobre el saber; mientras que en el otro,
se deja que el estudiante haga, que sea parte su aprendizaje. Deducimos entonces
de esto, la diferencia de resultados.
De los estudiantes en general, en las preguntas cuatro y cinco tuvieron dificultades
para resolver. La intención de estas preguntas era identificar el tratamiento que se
hacía de las funciones trigonométricas. Vemos entonces, que al tratar a las
funciones trigonométricas con funciones reales, se tienen serias dificultades para
tratarlas como tal, puesto que en el tratamiento escolar de las funciones como
funciones reales, cuando se pasa de radianes a reales, no se hace explícito.
Podemos entonces decir, que los estudiantes no logran profundizar el concepto de
función trigonométrica, puesto que no hacen diferencia, cuando se les presenta la
función como función real. Esto lo muestra claramente los resultados de la
pregunta 4 y 5 del cuestionario. Ellos tratan por igual a los grados con los reales.
67
Capítulo 4. Análisis del diseño.
Esto también es una consecuencia, como mostramos en el análisis del capítulo
anterior, el tratamiento que se le da a la función trigonométrica es sólo de tener
conocimiento de ella para después hacer uso de ella, ya sea como objeto o como
una herramienta en la presentación de cursos posteriores. Puesto que ésta sólo es
utilizada sin necesidad de ser comprendida.
68
Capítulo 4. Análisis del diseño
Capítulo 5
C
CO
OM
ME
EN
NT
TA
AR
RIIO
OS
SF
FIIN
NA
AL
LE
ES
S
Dado que la función trigonométrica es una noción matemática, un objeto de
estudio que se encuentra en la currícula de matemáticas, y que, posteriormente es
utilizada como herramienta para el estudio de otros objetos matemáticos,
consideramos importante analizarla, desde un punto de vista didáctico.
Asumimos entonces, que la presencia de la función trigonométrica sigue una
programabilidad del saber a enseñar dado que se encuentra explícitamente en los
programas de estudio siguiendo una secuencia razonada1, por ejemplo, a la
función trigonométrica la antecede la noción de función y los conceptos de la
geometría euclidiana, que algunos de los conceptos de esta geometría son
necesarios para el estudio de la función trigonométrica.
En el análisis realizado de programas, en general, para el estudio de la función
trigonométrica, están involucrados los términos como ángulos, triángulo
1
Pero no por ello la más adecuada, como lo muestra los resultados del cuestionario aplicado a los estudiantes.
68
Capítulo 4. Análisis del diseño
rectángulo, razones trigonométricas, círculo unitario, que después de éste, se hace
el estudio de las gráficas así como sus propiedades.
En los libros de texto consultados, encontramos la presencia también de los
conceptos mencionados, que, al definir las razones trigonométricas y de presentar
ejemplos en los que se hace uso de la definición, se muestran las relaciones entre
estas razones, las cuales son utilizadas la resolución de problemas o ecuaciones
algebraicas, que posteriormente tendrán uso como herramienta para facilitar
soluciones.
A partir de la relación de los radianes a los números reales, se definen a las
funciones trigonométricas como funciones reales de variable real. Esta relación no
se hace explicita en el medio escolar,
Conversión
Ángulo medido en grados
Radianes
Reales
Relación no
explícita
Triángulo rectángulo
Ejes coordenados
Círculo trigonométrico
Función
Esquema de la vida escolar de función trigonométrica
Así lo reflejan las concepciones de los estudiantes, y el análisis de programas y
libros de texto.
69
Capítulo 4. Análisis del diseño
Por ejemplo, en los resultados del grupo de la UNAM, estudiantes que estaban por
terminar el NMS, tuvieron dificultad de resolver los ejercicios planteados. El
conocimiento que ellos tenían sobre las razones trigonométricas no fue suficiente
para contestar correctamente, puesto que un sólo estudiante logró contestar al
inciso (a), de la pregunta 1, (Fig. 1).
Figura 1.
Este mismo estudiante, para el inciso (b), responde también con un triángulo
rectángulo, como se aprecia en la figura siguiente
70
Capítulo 4. Análisis del diseño
Señalamos que este estudiante no concibe a las funciones trigonométricas como
funciones reales, puesto que no distingue la expresión dada en radianes. De
manera tal, que no contesta el resto de los ejercicios.
De los resultados de los estudiantes del IPN, tenemos que ellos recientemente
habían cursado la materia en la que se presenta la función trigonométrica, que en
general contestaron correctamente a los dos primeros ejercicios, pero para los dos
últimos ejercicios, que se relaciona a la función trigonométrica en sí, no logran
contestar acertadamente.
Decimos entonces, que los estudiantes no conciben a la función trigonométrica
como tal, puesto que para ellos es indistinto el tratamiento que se da en cuanto a
razón trigonométrica (definidos a partir de ángulos medidos en grados) y a
función trigonométrica, dado que al graficar, ellos lo hacen sin considerar la
relación2 que se ha dado de radianes a reales, considerando a los grados de la
misma manera. Esto plantea un problema de interés para futuras investigaciones
en Matemática Educativa.
2
Esta relación no se hace explícita en el medio escolar, como lo mencionamos en el esquema anterior.
71
Bibliografía
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Publicaciones Cultural.
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ingeniería didáctica. Tesis de maestría no publicada. Departamento de Matemática
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http://www.sep.gob.mx/wb2/sep/sep_514_matematicas