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LECCIÓN 5
Portadores fuera de equilibrio
-
-
Generación y recombinación de portadores.
Difusión y arrastre de portadores: Constante de
difusión. Relación de Einstein.
Ecuación de difusión unipolar. Longitud de difusión.
Ecuación de difusión bipolar. Recombinación por
trampas.
Las características, eficiencia y limitaciones de los
dispositivos están determinados por las propiedades
de los portadores fuera de equilibrio. Los parámetros
de los portadores minoritarios son los que juegan un
papel principal en estas propiedades.
Generación y Recombinación
- Mecanismos
de generación internos
(excitación
térmica)
o
externos
(radiación
electromagnética, campos intensos, inyección, …).
n  p
p0  p  n0
Tasa de generación en procesos de
absorción óptica
F0
Generación y Recombinación
FT
a = coeficiente de
absorción
FR
R
S
FR
F0
x
F T ( x ) = F 0 (1  R )e ax
Portadores generados en dV=Sdx
F(x)
F(x+dx)
Fotones absorbidos en dV=Sdx
dN  S F( x)  F( x  dx)   SdF  SF 0 (1  R)ae ax dx
dN  SaF ( x)dx
G  G ( x) 
dx
dN dN

 aF ( x )
dV Sdx
Generación y Recombinación
Las características, eficiencia y limitaciones de los
dispositivos están determinados por las propiedades
de los portadores fuera de equilibrio. Los parámetros
de los portadores minoritarios son los que juegan un
papel principal en estas propiedades.
Mecanismos de recombinación
que tienden a
hacer volver al sistema a su estado inicial de
equilibrio.
Radiativa
Auger
-
Por trampas
Recombinación lineal
DE~Eg
R
EC
-
e
-
e
-
e
ET
+ h

Recombinación cuadrática
R   Dn 
hn~Eg
EV
Dn
2
+ h
+ h
Recombinación cúbica (Auger)
R   Dn 
3
Generación y Recombinación
- e
 fon
Generación
hn>Eg
Tiempo de relajación
(colisiones)
- e
Recombinación
Termalización
hn ~ Eg
+ h
 fon
+ h
Tiempo de vida
(recombinación
radiativa o no)
Generación y Recombinación
Gth = Rth  a r n0 p0  a r ni2
En el equilibrio térmico, la
velocidad de generación es
igual a la de recombinación,
manteniéndose constante la
concentración de portadores.
R = a r n(t ) p (t )

U = a r ni2  n(t ) p (t )

R
es
la
velocidad
de
recombinación
de
los
portadores fuera de equilibrio,
U sería la velocidad efectiva de
recombinación
de
los
portadores en exceso.
Si, por alguna causa externa, la concentración de portadores n
aumenta con respecto a la de equilibrio n0, los portadores en
exceso comienzan a recombinar hasta alcanzar la concentración
de equilibrio (si desaparece la causa externa que los generó). Si
n = n - n0 << n0 estamos en el caso de recombinación lineal, y:
t  0;n(0)
n(t ) = n(0) e

Tiempo de vida medio
n  n0
n
n
=
=
t
e
e
t
e
e
--- tiempo de vida medio de
recombinación de portadores en exceso
n  p

dn(t )
= a r ni2  n(t ) p (t )
dt
d n(t )
= a rn(t )n0  p0  n(t )
dt

d n(t )
= a r ni2  n0  n(t ) p0  p (t )
dt


Rn  
d n(t )
n(t )
= a r p0n(t ) 
dt
n
p0  n, n0
Si, por alguna causa externa, la concentración de portadores n
aumenta con respecto a la de equilibrio n0, los portadores en
exceso comienzan a recombinar hasta alcanzar la concentración
de equilibrio (si desaparece la causa externa que los generó). Si
n = n - n0 << n0 estamos en el caso de recombinación lineal, y:
n(t ) = n(0) e
Rn  R p =
Rn  R p =

Tiempo de vida medio
n  n0
n
n
=
=
t
e
e
t
e
e --- tiempo de vida media de electrones
n(t )
n
(tipo p)
p (t )
p
(tipo n)
n  p
n p --- tiempos de vida medio de electrones y huecos (como portadores minoritarios)
Puede ocurrir también, especialmente a altas densidades de portadores fuera de equilibrio,
p=n>>n0,p0, que la tasa de recombinación sea proporcional al cuadrado de la concentración en
exceso. En ese caso hablamos de recombinación cuadrática:
n
=   (n) 2
t
1
=  t C
n
t  0;1 / n(0)  C
n(0)
n(t ) =
1   n(0)t
La ecuación de continuidad expresa la conservación del número de
partículas. Comencemos por la variación del flujo de corriente de
partículas:


Ec. Continuidad

F p
p


dxdydz = F p ( x  dx)  F p ( x) dydz  
dxdydz
t
x
F(x)
Corrientes
F(x+dx)
p
J p = e p pE  eD p
x
J n = e n nE  eDn
n
x
Jp
e
Corrientes de
partículas
= F p   p pE  D p
p
x
Jn
n
= F n    n nE  Dn
e
x
La ecuación de continuidad expresa la conservación del número de
partículas y hay que tener en cuenta, además, los procesos de
generación y recombinación,

F n
n
n
=
 Gn 
t
x
n
F p
p
p
=
 Gp 
t
x
p
F(x)
F(x+dx)
Ec. Continuidad
Ecuación de continuidad para electrones y huecos
Jp
e
Corrientes de
partículas
= F p   p pE  D p
p
x
Jn
n
= F n    n nE  Dn
e
x
p
( pE )
2 p
p
=  p
 Dp 2  Gp 
t
x
p
x
 2 (p)
E 
p (p)
 (p)
Dp


E

p

G

=
p
p
2


x

x

t


x
p
n
 (nE )
 2n
n
=  n
 Dn 2  Gn 
t
x
n
x
 2 (n)
E 
n (n)
 (n)
Dn


E

n

G

=
n
n
2


x

x

t


x
n
 2 (p)
E 
p (p)
 (p)
Dp


E

p

G

=
p
p
x
x 
p
t

x 2
 2 (n)
E 
n (n)
 (n)
Dn


E

n

G

=
n
n
2



x

x

t


x
n
Difusión Unipolar
n  p
p0  p  n0
- Semiconductor de tipo n
n / t  0
- Condiciones estacionarias
2 p
dp p
d
Dp
  pE

=0
2
dx  p
dx
d 2 p   p E dp  p = 0
D p dx  p D p
dx2
El exceso de carga desaparece en un intervalo de tiempo del orden de ε/σ=M, que es el llamado tiempo de
relajación de Maxwell. En un semiconductor dicho tiempo es del orden de 10-14 s. Se puede
eliminar el término que contiene la divergencia del campo eléctrico en la ecuación de difusión.





=   J =   ( E) =    E = 
t

(t) =  0 e

t
M
M =


Difusión Unipolar
ecuación de difusión pura unipolar
d 2 p  E dp  p = 0
D dx  D
dx2
L=  D
longitud de difusión
LE =  E 
longitud de arrastre
(portadores minoritarios)
p = Ae

x

dp
1
=  Ae
dx


d p 1
= 2 Ae
2
dx

2
d 2 p  L E dp  p = 0
2
2 dx
2
dx
L
L
x


1
1
L
E1
 2  2=0
2

L  L
x

2
1
L
L
E + 1
=  E2 

2L
4 L4 L 2
1 1 
L 2E L E 
=
 1+ 2 

 L
2L 
4L
n = n(0)e

1 1 
L2E L E 
=
1+ 2 

 L
2L 
4L
x

Difusión Unipolar
La longitud de difusión es una cantidad positiva. Si E = 0
(no hay corriente de arrastre) LE = 0 y l = L, por lo que la
distribución de portadores fuera de equilibrio viene
controlada por L.
 (n) eDn

=

eD
=
= ev Dn
JD
x
L
vD =
D L
=
L 
En el caso de que el campo eléctrico sea muy intenso, y positivo (LE>>L), de modo que las
corrientes de arrastre y difusión tengan el mismo sentido, es fácil ver que l = LE. Los portadores en
exceso pueden penetrar muy profundamente en el semiconductor, dándose una situación a la que se
llama inyección de portadores, en la que hay exceso y extracción, si hay defecto de portadores. Si el
campo eléctrico es negativo e intenso, l = L2/LE. La longitud efectiva de difusión, l, disminuye al
aumentar el campo y se da una situación llamada acumulación (exceso) o exclusión (defecto) de
portadores.
agotamiento

E

E
acumulación
Difusión Unipolar
Experimento
Haynes-Shockley
Difusión Bipolar
Para introducir los conceptos, hemos planteado la difusión para un solo tipo de portador. Ahora bien,
los portadores en exceso, salvo algunas excepciones, son generados como pares electrón-hueco, y la
condición de neutralidad impone restricciones muy estrictas a la difusión independiente de cada tipo
de portador. El proceso de difusión será simultáneo y los portadores interactuarán entre sí, de manera
que los mas rápidos arrastrarán a los más lentos y estos frenarán el movimiento de aquellos. Los
coeficientes de difusión efectivos serán un promedio de los coeficientes de cada tipo de portador.
 2 (p)
E 
p (p)
 (p)
Dp


E

p

G

=
p
p
x
x 
p
t

x 2
 2 (n)
E 
n (n)
 (n)
Dn


E

n

G

=
n
n
2


x

x

t


x
n
Los portadores de signo contrario se atraerán (Eint) lo que permite, como consecuencia positiva, que
queden arrastrados por el campo aplicado o difundan de forma simultánea. Para ello basta un campo
interno muy débil (que la condición de neutralidad eléctrica no se verifique al 100%).
 2 (p)
E 
p (p)
 (p)
Dp


E

p

G

=
p
p
2



x

x

t


x
p
 n n
 2 (n)
E 
n (n)
  (n)
Dn


E

n

G

=
n
n
x
x 
n
t

x 2
p p
Difusión Bipolar
 2 (n)
 (n)
 n nD p   p pDn



(
n

p
)
E

n p
2

x
x



p
n 
 (n)

 nn   p p G  nn
 p p
= n n   p p

p
 n 
t





 2 (n)
 (n)
 n nD p   p pDn



(
n

p
)
E

n p
x
x 2


Difusión Bipolar

p
n 
 (n)

 nn   p p G  nn
 p p
= n n   p p

p
 n 
t





n  p
2 n
dn
n n
d
Da


E

G


a
2
dx
a
t
dx
2 n
dn n
d
Da


E

0
a
2
dx  a
dx
Da es el llamado coeficiente de difusión bipolar. Resulta obvio comprobar que en un semiconductor
extrínseco el coeficiente de difusión bipolar, para bajos niveles de excitación, coincide con el de los
portadores minoritarios.
 n nD p   p pDn Dn D p (n  p)
Da 

n n   p p
Dn n  D p p
 n, p 
a =
 p n
eDn, p
kT
d 2 n  LE dn  n  0
L2 dx L2
dx2
n p
n p
+
a=
(  n n +  p p) n p
 n  n n + p  p p
Estudiaremos el caso en que la recombinación no radiativa está controlada por una
única trampa y definiremos los parámetros que regulan los procesos de emisión y
captura de portadores libres por dicha trampa, procesos que determinan el tiempo de
vida medio de los portadores limitados por este mecanismo.
Transiciones electrónicas
en el sistema:
(1)
-
G
hn>Eg
-
e
R
(2)
(3)
ee
(5)
NT = concentración de trampas
m = concentración de electrones en trampas
NT-m = concentración de trampas vacías
(4)
EC ,NC , n
e
ce
DET
ET , NT, m
hn~Eg
+ h
-
e
Trampas
eh
+ h
(6)
ch
+ h
EV ,NV , p
(1) Creación de un par electrón-hueco.
(2) Recombinación directa (radiativa) de un par electrón-hueco.
(3) Emisión de un electrón desde la trampa a la banda de conducción.
(4) Captura de un electrón libre por la trampa.
(5) Captura de un electrón de la banda de valencia por la trampa (emisión de un hueco desde la trampa a la banda de valencia).
(6) Emisión de un electrón desde la trampa a la banda de valencia (captura de un hueco libre por la trampa ).
Estudiaremos el caso en que la recombinación no radiativa está controlada por una
única trampa y definiremos los parámetros que regulan los procesos de emisión y
captura de portadores libres por dicha trampa, procesos que determinan el tiempo de
vida medio de los portadores limitados por este mecanismo.
(4)
Trampas
(6)
(3) Emisión de un electrón desde la trampa a la banda de conducción.
(4) Captura de un electrón libre por la trampa.
(5) Captura de un electrón de la banda de valencia por la trampa (emisión de un hueco desde la trampa a la banda de valencia).
(6) Emisión de un electrón desde la trampa a la banda de valencia (captura de un hueco libre por la trampa ).
La recombinación por trampas equivale a la sucesión de los procesos 4 y 6. El proceso
de captura dependerá de la densidad de electrones libres, n, y de la densidad de
trampas vacías, NT-m, y de la sección eficaz asociada a la trampa. La variación de la
concentración de electrones debida a las capturas será:
n
 dn 
  =   n vn n (N T  m) = 
 dt c
 cT
Trampas
1
 cm =
 n vn (N T  m)
tiempo medio de captura
Por otra parte, la velocidad de emisión debe ser proporcional a la densidad de electrones en la trampa,
αnm. En el equilibrio térmico, ambos procesos deben compensarse, por lo que podemos escribir:
 dn 
  = a n m0   n vn n0  NT  m0  = 0
 dt eq
NT
m0 =
1+
an
 n vn n0
Si comparamos esta ecuación con la deducida a partir de la estadística de Fermi-Dirac
para niveles localizados:
gn = factor de degeneración de la trampa
(1/2 para un dador simple)
m0 =
NT
ET  E F
1 + g n e kT
an =
ET  E F
g n nvn n0 e kT
=
E C  E F ET  E F

g n nvn NC e kT e kT
a n = g n nvn N CT
N CT =
=
E C  ET

g n nvn NC e kT
Trampas
D
 ET
N C e kT
Igualmente, podemos definir los parámetros de la captura y emisión de huecos por la trampa. Con la
diferencia de que el tiempo de captura será proporcional a la concentración de trampas ocupadas (con
electrones) y la velocidad de emisión a la concentración de trampas vacías:
 dp 
  =  p v p p m + a p (N T  m) = 0
 dt eq
a p = g p p v p N V e

E g D ET
kT
= g p p v p N VT
Supongamos que existe una excitación exterior que da lugar a una tasa de generación G de pares
electrón-hueco. Las ecuaciones que rigen la cinética de recombinación serán:
dn
= G + g n  n v n N CT m   n v n n (N T  m)
dt
dp
= G + g p  p v p N VT (N T  m)   p v p pm
dt
dm dp dn
=
dt dt dt
Trampas
En régimen estacionario dm/dt =0, luego:
 n v n n(NT  m)  g n  n v n N CT m =  p v p pm  g p  p v p N VT (N T  m) = G
 n v n [n(NT  m)  g n N CT m] =  p v p [pm  g p N VT (NT  m)] = G
Podemos despejar m y obtener expresiones para m y NT-m en función de NT:
m=
 n vn n +  p v p g p N VT
 n vn (n + g n N CT ) +  p v p (p + g p N VT )
NT
 p v p p +  n vn g n N CT
NT  m =
NT
 n vn (n + g n N CT ) +  p v p (p + g p N VT )
Utilizando estas expresiones, obtenemos una relación entre las concentraciones de portadores y
la tasa de generación de portadores G (ésta nos impondrá la cantidad de portadores en exceso
en el sistema, pero tenemos un límite para NT):
G=

NT  p v p p n vn n  p p v p g p N VT  g p N VT  p v p p  g p N VT  n vn g n N CT
 n vn (n + g n N CT ) +  p v p (p + g p N VT )

 p v p n vn np  g p g n N VT N CT 
G=
NT
 n vn (n + g n N CT ) +  p v p (p + g p N VT )
Si definimos el tiempo de vida medio a partir de una ecuación del tipo:
Trampas
dn
n
=G
dt

tendremos, en el estado estacionario :
 = n/G. Si la concentración de trampas es pequeña, la
concentración de portadores apenas cambia al cambiar m, ya que esá determinada por las
concentraciones de otro tipo de centros (los niveles hidrogenoides).
n n vn (n + g n N CT ) +  p v p (p + g p N VT )
=
 p v p n vn np  n0 p0 NT
ya que gn gpNCTNVT = n0p0 . Por otra parte, np – n0p0 = (n0+p0+n)n, obtenemos, finalmente,
para el tiempo de vida de los portadores:
p0 + n + g p N VT
n0 + n + g n N CT
=
 p0 +
 n0
n0 + p0 + n
n0 + p0 + n
 p0 =
1
NT  p v p
 n0 =
1
N T  n vn
p0 + n + g p N VT
n0 + n + g n N CT
=
 p0 +
 n0
n0 + p0 + n
n0 + p0 + n
Trampas
Si el material es de tipo N y la trampa está mas cerca de la banda de conducción:
n0 >> gnNCT >> gp NVT >> p0 .
Si, además, el nivel de excitación es pequeño:  =  po, es decir, el tiempo de vida medio está
determinado por el tiempo medio de captura de huecos por parte de la trampa.
Semiconductor de tipo n
Trampa llena
-
e
EC ,NC , n
Captura de
electrones
instantánea
EF
ce
ET , m=NT
ch
+ h
EV ,NV , p<<n
Tiempo de vida
determinado por la
captura de huecos
   p0 =
1
 p v p NT
Trampas
Semiconductor de tipo p
-
e
EC ,NC , n
Trampa vacía
Captura de
huecos
instantánea
ce
ET , m=0
ch
+ h
EF
EV ,NV , p<<n
  cn =
1
 n vn NT
Recombinación Superficial
La superficie de cualquier semiconductor presenta una gran cantidad de defectos de diferentes tipos
en mayor concentración que el interior. Así, existen defectos específicos de la superficie debido a la
existencia de enlaces no saturados, que pueden dar lugar a la adsorción de átomos o moléculas. Por
todo ello la recombinación en la superficie puede ser mucho mas intensa que en el interior del
material.
Si la superficie fuese perfecta, en presencia de una excitación exterior que crease portadores en
exceso, la distribución de éstos en estado estacionario debe ser tal que la corriente de difusión (en
condiciones de circuito abierto, es decir cuando no hay circulación de corriente) se anule sobre la
superficie:
 dp 
=0
Dp

dx

 x=0
Si en la superficie existe una alta concentración de
defectos podrá existir un flujo neto de portadores
hacia la superficie, ya que ésta actúa como sumidero
de portadores: el flujo neto de portadores en la
superficie es igual a la tasa de recombinación en ella
y proporcional al exceso de portadores
 dp 
= S p x=0
Dp

dx

 x=0
A S se le llama velocidad de recombinación
superficial. Su magnitud es una medida del estado
de la superficie y depende del procesamiento a que
haya sido sometida.