Download Números racionales

INICIO
1
ESQUEMA
INTERNET
Números
racionales
ACTIVIDAD
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
¿Por qué algunas combinaciones de notas
musicales suenan bien a nuestros oídos mientras
que otras no? La razón es que las frecuencias de
las ondas sonoras de las diferentes notas están
relacionadas por números racionales sencillas,
como es el caso de la Escala Justa.
LECTURA INICIAL
ESQUEMA
INTERNET
ACTIVIDAD
Piano ed035306.jpg
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Las coordenadas temporales
Busca en la Web
Enlace a los calendarios
de las diferentes culturas
Enlace al calendario y
el nacimiento de Jesús
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Esquema de contenidos
Números racionales
Fracciones
Partes de la unidad
Fracciones equivalentes
Operaciones con fracciones
Suma y resta
Producto y cociente
Potencias
Números decimales y fracciones
Tipos
Fracción generatriz
Conjuntos numéricos
Problemas con fracciones
Gráficas
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Problemas con fracciones
En una amplia variedad de problemas tenemos que realizar cálculos con fracciones.
Se tienen dos recipientes con mezclas de vinagre y agua en distinta proporción,
como se ve en la figura. ¿Cuál será la proporción del recipiente que se obtuviese
mezclando la misma cantidad de cada recipiente?
Quizás pienses que, si juntamos los dos líquidos,
tendríamos 2 partes de vinagre y 5 de agua...
Pero ¡esto es falso!..., porque, a la izquierda, la
expresión “1 parte de vinagre” es 1/3 del recipiente,
mientras que a la derecha “1 parte de vinagre” es 1/4 del
recipiente, que son cantidades diferentes.
¿Puedes hallar la proporción correcta?
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Problemas con fracciones
En una amplia variedad de problemas tenemos que realizar cálculos con fracciones.
Se tienen dos recipientes con mezclas de vinagre y agua en distinta proporción,
como se ve en la figura. ¿Cuál será la proporción del recipiente que se obtuviese
mezclando la misma cantidad de cada recipiente?
Tomando la mitad de cada recipiente se obtiene la
mezcla pedida. En ella habrá la siguiente cantidad de
vinagre:
1 1 1 1 1 1 43 7
     

2 3 2 4 6 8
24
24
Así, pues, habrá 7 partes de vinagre
y 17 (= 24 – 7) de agua.
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Problemas con fracciones
Si mezclamos 1 parte del primer recipiente y 2 del
segundo, ¿cuál será la proporción de la mezcla?
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Problemas con fracciones
Si mezclamos 1 parte del primer recipiente y 2 del
segundo, ¿cuál será la proporción de la mezcla?
Tomamos 1 de la primera mezcla y 2 de la segunda.
3
3
Si nos fijamos sólo en el vinagre, tendremos:
1 1 2 1 1 1 2 1 5
     

3
4
9
6
18
18
3
3
Es decir, la mezcla tendrá 5 partes de vinagre y 13
(18 – 5) partes de agua.
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Problemas con fracciones
Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos
concentrada que la de la izquierda y más que la de la
derecha.
En efecto,
1 es mayor que 30 , porque...
3
100
30 es menor que 1 , porque...
100
4
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Problemas con fracciones
Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos
concentrada que la de la izquierda y más que la de la
derecha.
En efecto,
1 es mayor que 30 , porque
3
100
1 100

3 300
30
100
es mayor que
y
30
90

100 300
1 , porque 1  25
4 100
4
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Problemas con fracciones
Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos
concentrada que la de la izquierda y más que la de la
derecha.
¿Qué cantidad tendrías que tomar de cada recipiente
para preparar una mezcla con el 30 % de vinagre?
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Problemas con fracciones
Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos
concentrada que la de la izquierda y más que la de la
derecha.
¿Qué cantidad tendrías que tomar de cada recipiente
para preparar una mezcla con el 30 % de vinagre?
Si del primer recipiente tomamos la parte x, del segundo recipiente, tomamos (1 – x).
Escribimos una ecuación similar a los dos casos anteriores:
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Problemas con fracciones
Una mezcla que tuviese el 30 % de vinagre sería menos
concentrada que la de la izquierda y más que la de la
derecha.
¿Qué cantidad tendrías que tomar de cada recipiente
para preparar una mezcla con el 30 % de vinagre?
Si del primer recipiente tomamos la parte x, del segundo recipiente, tomamos (1 – x).
Escribimos una ecuación similar a los dos casos anteriores:
1
1 30
3
x   (1  x)  

3
4 100 10
Multiplicando los dos miembros de la ecuación por 60, queda:
20 x + 15 – 15 x = 18
De aquí, 5 x = 3, es decir, x = 3/5. Por tanto, habrá que tomar 3 partes del recipiente de
la izquierda y 2 (= 5 – 3) del de la derecha.
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
1
4
1
13
+
1
3–
3
2
1
2
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
1
4
1
13
1
9
13
1
+
3
3–
2
1
2
1
+
3–
3
5
2
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
1
4
1
13
1
9
13
1
+
3
3–
2
1
2
1
+
3
3–
5
2
SIGUIENTE
13
9
1
+
3–
6
5
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
1
4
1
13
1
9
13
1
+
13
3
3–
2
1
2
+
9
1
9
5
1
+
3
3–
5
2
SIGUIENTE
13
9
1
+
3–
6
5
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
1
4
1
13
1
9
13
1
+
13
3
3–
2
1
+
3
3–
1
2
+
9
13
9
+
1
9
5
5
9
5
2
SIGUIENTE
13
9
1
+
3–
6
5
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Operaciones con fracciones
La expresión con fracciones oculta un número entero. ¿De qué número se trata?
1
4
1
13
1
9
13
13
9
1
+
13
3
3–
2
1
+
3
3–
3–
9
13
9
+
1
9
5
5
9
5
2
18
9
1
+
1
2
+
2
6
5
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Pasando de fracción a decimal
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador,
prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, 5
11
= 0,454545... = 0,45
Pero, ¿cómo harías si el periodo no se descubre tan pronto?
Vas a ver cómo puedes hallar cualquier periodo por largo que sea.
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Pasando de fracción a decimal
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador,
prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, 5
11
= 0,454545... = 0,45
Pero, ¿cómo harías si el periodo no se descubre tan pronto?
Vas a ver cómo puedes hallar cualquier periodo por largo que sea.
Halla la expresión decimal de la fracción
15
19 .
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Pasando de fracción a decimal
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador,
prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, 5
11
= 0,454545... = 0,45
Halla la expresión decimal de la fracción 15
Si dividimos en una calculadora nos da: 15
19
19
.
= 0,78947368... Vamos a tomar las
cinco primeras decimales de este número: 78947.
El producto de 0,78947 x 19 = 14,99993 queda a 7 ciénmilésimas de 15, lo que
nos indica que el último resto de la división interrumpida es 7. Seguiremos
la división calculando 7
y repitiendo el proceso. Disponemos todos los cálculos
19
en una tabla:
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Pasando de fracción a decimal
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador,
prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, 5
11
= 0,454545... = 0,45
Halla la expresión decimal de la fracción 15
Dividimos
Tomamos
cinco cifras
19
.
Cociente x Divisor
Resto
15 /19 = 0,78947368...
78947
0,78947 x 19 = 14,99993
7
7 / 19 = 0,36842105...
36842
0,36842 x 19 = 6,99998
2
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Pasando de fracción a decimal
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador,
prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, 5
11
= 0,454545... = 0,45
Halla la expresión decimal de la fracción 15
Dividimos
Tomamos
cinco cifras
19
.
Cociente x Divisor
Resto
15 /19 = 0,78947368...
78947
0,78947 x 19 = 14,99993
7
7 / 19 = 0,36842105...
36842
0,36842 x 19 = 6,99998
2
2 / 19 = 0,10526315...
10526
0,10526 x 19 = 1,99994
6
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Pasando de fracción a decimal
Para pasar de fracción a decimal, dividimos numerador por denominador,
prolongando la división con decimales hasta obtener el periodo correspondiente.
Por ejemplo, 5
11
= 0,454545... = 0,45
Halla la expresión decimal de la fracción 15
Dividimos
Tomamos
cinco cifras
19
.
Cociente x Divisor
Resto
15 /19 = 0,78947368...
78947
0,78947 x 19 = 14,99993
7
7 / 19 = 0,36842105...
36842
0,36842 x 19 = 6,99998
2
2 / 19 = 0,10526315...
10526
0,10526 x 19 = 1,99994
6
6 / 19 = 0,31578947...
315
SE TIENE YA REPETICIÓN
Hemos encontrado que: 15 /19 = 0,789473684210526315, un periodo de 18
cifras que no podemos hallar directamente en una calculadora.
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar
un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible.
La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta
3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar
un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible.
La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta
3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
Un rectángulo apropiado nos ayudará a seguir la “narración” de los gastos. Puesto
que los denominadores de las fracciones que se citan son 3, 3 y 5, será conveniente
que el rectángulo que representa el dinero inicial sea de tamaño 9 x 5 (ó 3 x 15), que
puedes dibujar fácilmente en tu cuaderno cuadriculado.
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar
un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible.
La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta
3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total.
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar
un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible.
La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta
3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total.
La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto.
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar
un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible.
La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta
3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total.
La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto.
La 3ª semana se gastó 3 / 5 de lo que quedaba.
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar
un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible.
La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta
3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total.
La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto.
La 3ª semana se gastó 3 / 5 de lo que quedaba.
Para final de mes quedan 440 €
Como esta cantidad, 440 €, viene representada por 8 casillas, cada casilla cuadrada
equivale a 440 / 8 = 55 €. Por tanto, es inmediato responder a las preguntas.
SIGUIENTE
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Gráficas de fracciones
En muchos tipos de problemas con fracciones una gráfica adecuada puede transformar
un confuso enunciado en un problema casi resuelto.
En un hogar la primera semana de un mes se ha gastado 1 / 3 del dinero disponible.
La segunda semana se gasta 1 / 3 del dinero restante. La tercera semana se gasta
3 / 5 del dinero disponible. Para el final de mes quedan 440 €.
¿De cuánto dinero se disponía al comienzo? ¿Cuánto se gastó en cada semana?
La 1ª semana se gastó 1 / 3 del total.
La 2ª semana se gastó 1 / 3 del resto.
La 3ª semana se gastó 3 / 5 de lo que quedaba.
Para final de mes quedan 440 €
Se disponía al comienzo de 55 € x 45 casillas = 2.475 €. El gasto de la 1ª semana fue
55 € x 15 casillas = 825 €; el de la 2ª semana, 55 € x 10 casillas = 550 €, y el de la
3ª semana, 55 € x 12 casillas = 670 €.
ANTERIOR
SALIR
INICIO
INTERNET
ESQUEMA
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Enlaces de interés
Los conjuntos numéricos
Matemáticas y Música
IR A ESTA WEB
IR A ESTA WEB
ANTERIOR
SALIR
INICIO
ESQUEMA
INTERNET
MATEMÁTICAS 3.º ESO
Unidad 1: Números racionales
ACTIVIDAD
Actividad: Un juego sobre la razón entre dos números
Dirección:
http://www.bbc.co.uk/education/mathsfile/shockwave/games/saloonsnap.html
En esta sección de la BBC puedes jugar
a hallar equivalentes a fracciones en
forma decimal (y en porcentaje). Has de
ser más rápido que el personaje que
tienes enfrente cuando los dos números
propuestos sean iguales.
Para conocerlo, sigue este enlace.
ANTERIOR
SALIR