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2° E.S. – MATEMÁTICA
Prof. Claudia Mazzini
Nos espera un año de mucho trabajo, de grandes desafíos, que nos invita a descubrir los maravillosos caminos
de esta ciencia.
Te invito a participar de este viaje por el mundo matemático, juntos podemos disfrutarlo.
Claudia
Bloque: Números y operaciones
Unidad 1: Números enteros.
Actividad disparadora:
Anotá en un papelito un número entero comprendido entre -10 y +10. Recogemos todos los papelitos en una
caja. Asumiendo que cada papel que contenga un número positivo representa un importe a nuestro favor y
cada número negativo una deuda. ¿Cómo harías para determinar el valor total contenido en la caja?
Anotamos los números contenidos en los papeles de la caja en el pizarrón y compartimos nuestras ideas.
Conclusiones.
Actividades:
1. Escribí un valor para agregar a la caja y beneficiarla?
2. ¿Y si agregamos dos papeles?
3. Escribí dos números para agregar a la caja de manera tal que no modifiquen su valor final.
4. Escribí un número para agregar a la caja de forma tal que se perjudique, es decir que disminuya su valor.
5. Escribí dos números para agregar a la caja de tal forma que se perjudique. ¿Qué números se pueden
escribir para responder satisfactoriamente esta pregunta?
6. ¿Qué números debemos agregar a la caja para que quede en cero? ¿Es la única opción?
7. Sacá un número de tal forma que no se altere el resultado de la caja.
8. Sacá dos números que no alteren la situación de la caja.
9. Sacá tres números de manera tal que el valor no se modifique.
10. Sacá un número de tal forma que se perjudique la caja.
11. Quitá dos números de manera que la caja se perjudique.
12. Sacá un número de la caja para que esta se beneficie.
13. Sacá dos números de la caja para que se beneficie.
14. Conclusiones: ¿en qué situaciones se beneficia la caja?; ¿en qué situaciones se perjudica?
Actividades complementarias:
15. Tenemos una caja cuyo valor es +48. Queremos que valga +100, ¿qué debemos hacer?
16. Fabricá una caja cuyo valor sea -23.
17. Fabricá una caja cuyo valor sea +40; de la que pueda extraerse el -8.
18. Fabricá una caja cuyo valor sea -35; de la que pueda extraerse el +6, con la condición de que esta caja
contenga solamente tres papeles.
Señalá en cada caso si la solución es única, si hay más de una o no tiene solución.
Definiciones y convenciones:
El conjunto de los números enteros se simboliza con la letra y está formado por los enteros positivos, el cero
y los enteros negativos.
Los números negativos están precedidos por el signo -.
Si un número no está precedido por ningún signo se entiende que es positivo.
El cero no es positivo ni negativo.
Por convención, los positivos se ubican en la recta numérica a la derecha del cero y los negativos a su
izquierda.
Para representar números en una recta numérica es necesario establecer la posición de un número cualquiera
(en general el cero, pero podría ser cualquier otro) y una escala (por ejemplo la distancia que representa la
unidad o cualquier otra cantidad según la conveniencia).
Valor absoluto o módulo:
El valor absoluto de un número es la distancia que lo separa del cero (ojo; las distancias se consideran
siempre positivas) y se indica poniendo el número entre barras,
Valor absoluto de 5 = 5 = 5
Valor absoluto de -2 = -2 = 2
Números opuestos:
Dos números son opuestos cuando sumados dan cero.
Ejemplo: 3 + -3 = 0, entonces 3 y -3 son opuestos.
Observación: Dos números opuestos tienen igual valor absoluto y distinto signo, salvo el cero que es el único
opuesto de sí mismo.
Recordamos:
Símbolos:
Para escribir que un número es mayor que otro usamos el símbolo , por ejemplo decimos que 5  2.
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También conocemos el símbolo  que se lee “es menor que”, por ejemplo decimos 3  7.
Propiedades:
Una vieja conocida es la propiedad distributiva.
Sabemos que la multiplicación es distributiva respecto a la adición (o suma) ya que, por ejemplo
2. (13 + 5) = 2. 13 + 2. 5
2. 18 = 26 + 10
36
=
36
También se cumple que, por ejemplo
(2 + 5).(8 + 6) = 2.8 + 2.6 + 5.8 + 5.6
7 . 14 = 16 + 12 + 40 + 30
98
=
98
En general expresamos que:
a.(b+c) = a.b + a.c
Y que
(a+b).(c+d) = a.c + a.d + b.c + b.d
Actividades:
19. Verificá ahora si será válida la propiedad distributiva en estos casos:
a) (13 – 4) . 2 = 13 . 2 – 4 . 2
b) (15 + 20) : 5 = 15 : 5 + 20 : 5
c) 42 : (3 + 1 + 2) = 42:3 + 42:1 + 42:2
20. ¿Qué otras propiedades conocés?
21. Expresá cada dato como un número entero
a) El año 356 a.C.: …………..
b) Ganancia de $ 356: …………..
c) 76 m bajo el nivel del mar: …………..
d) Deuda de $ 5000: …………..
e) Pérdida de $ 370: …………..
f) Altura del Aconcagua, 6900 m: …………..
g) Temperatura en Bariloche, 3° bajo cero: …………..
h) 5° subsuelo: …………..
22. En el gráfico se muestran las temperaturas promedio mensuales registradas en una isla del sur
0
Temperatura (°C)
-2
E
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
-4
-6
-8
-10
-12
-14
Mes del año
a) ¿Cuál es la máxima temperatura promedio registrada?
b) ¿En qué meses la temperatura promedio fue 2° bajo cero?
c) Si se llama amplitud térmica a la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima, ¿Cuál es la
amplitud térmica anual en esa isla?
23. Completá el siguiente cuadro:
-5
8
-13
-21
0
49
Opuesto
Módulo
24. a)¿Cuántos números enteros hay entre -2 y 4? Escribilos
b) ¿Cuántos números enteros hay entre -5 y -4?
c) ¿Cuántos números enteros hay entre a y a+4, siendo a un número entero?
25. Completá el cuadro con los anteriores y siguientes de cada número:
Anterior
-7
-2
0
1
4
Siguiente
26. Escribí:
a) Un número negativo cuyo valor absoluto sea mayor que 3 ………………….
b) Un número negativo cuyo valor absoluto sea menor que 4 ………………….
c) Todos los números enteros que tengan módulo menor que 3 ………………………………………………….
d) Cuatro números enteros, (dos positivos y dos negativos) que tengan módulo mayor que 5 …………………...
27. Dada la siguiente recta, completá con Verdadero o Falso en cada una de las siguientes afirmaciones:
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a) a es mayor que -50 ………….
c) a es negativo ………….
b) 0 es menor que b ………….
d) b es menor que c ………….
28. La siguiente tabla muestra las temperaturas mínimas registradas en una determinada ciudad a lo largo de
una semana.
Lun
Mar
Mie
Jue
Vie
Sáb
Dom
2°C
5°C
-2°C
-4°C
0°C
1°C
-1°C
a) ¿Qué día se registró la temperatura más baja? ¿Cuál fue esa temperatura?
b) ¿Qué día se registró la temperatura más baja de esa semana? ¿Cuál fue?
c) ¿Cuántos grados de diferencia hubo entre ambas temperaturas?
29. La temperatura en la ciudad A, a las 12 del mediodía era de 6°C, a la madrugada se registraron 11°C
menos. ¿Cuál fue la temperatura a la madrugada?
30. Completá cada afirmación con Verdadero o Falso, si es falso mostrá un contraejemplo.
a) Al comparar dos números enteros, es menor el que se encuentra a la izquierda en la recta numérica.
b) Un número negativo es siempre menor que cero.
c) El módulo de un número positivo es siempre mayor que el de un número negativo.
d) El cero es menor que todos los números positivos.
e) El módulo de los números negativos es menor que cero.
f) Si el módulo de un número es menor que el módulo de otro, entonces el primer número es menor que el
segundo.
31. Los números a y b representados en la recta numérica son números enteros. Ubicá en la misma recta el
cero y el opuesto de b, es decir –b.
¿qué signo tiene a? ¿y su opuesto? ¿qué signo tiene b? ¿y su opuesto? ¿cómo hiciste para determinar la
ubicación del cero?
32. ¿Qué se puede decir de los enteros m y p si sabemos que:
a) m + p = m
b) m + p = 0
c) m + m = 0
33. Representá en la siguiente recta: 200, -125, 50, -50, -150 y 75
Las cuatro operaciones básicas en
.
Hasta aquí sumamos y restamos con números enteros, les propongo ahora completar lo que sepan de la
siguiente tabla de multiplicación, no se apuren en completar lo que no sepan, juntos analizaremos la
estructura lógica de la tabla y compartiremos ideas para completarla.
.
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5
+5
+4
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
-4
-5
Conclusiones:
Cuando multiplicamos un número entero por cero el resultado será …………………..
Cuando multiplicamos dos números de igual signo el resultado será …………………..
Cuando multiplicamos dos números de distinto signo el resultado será …………………..
Actividades:
34. Calculá:
a) +7 . -4 =
e) -1 . -1. -1 .+6 =
b) -8 . -5 =
f) -20 . +3 – (-2) . (-1 + 1) =
c) -10 . -1. 0 =
g) (-4 + 7) . 3 – (-2) . -1 =
d) -4 . +3 . -20 =
h) 50 – (-6) + -4 . -3 + -64 =
35. Obtené el número más grande posible combinando los números: +24; -6; 0; +5; -8 sin repetirlos, usando
las operaciones: +, -, . y :
36. ¿Qué valores deben tomar a y b para que sean verdaderas cada una de las siguientes igualdades?
Decidí en cada caso si la solución es única, si hay muchas soluciones, ¿cuántas?, o si no tiene solución
a) a.b = -16
f) a . b = 0
k) a . a = -36
b) a : +8 = 0
g) a : b = -1
l) a . –a = 49
c) a : -6 = -2
h) +8 : b = -1
m) a . 0 = b
d) a2 = +81
i) a . -1 = b
n) a . b = +12
e) a : b = 0
j) a : 0 = 3
ñ) 0 : a = b
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37. Completá la siguiente tabla:
+4
-6
0
-2
+64
+1
-216
-4
0
-1
-8
-2
x
El doble de
El siguiente de
El anterior de
La mitad de
El cuadrado de
El triple de
El doble del siguiente de
El siguiente del doble de
El cuadrado de la mitad de
La mitad del cuadrado de
El anterior del doble del siguiente de
38. Escribí en lenguaje matemático y luego resolvé:
a) El doble de un número j, aumentado en dos unidades es igual a -8, ¿Cuál es el número?
b) El anterior de un número h, multiplicado por -7 y luego disminuido en 3 unidades es igual a 4, ¿Cuál es el
número?
c) Si a un número z lo triplico obtengo lo mismo que al hacer “-5 . 8 + -5”, ¿Cuál es z?
d) La octava parte de un número, menos 154 da -162, ¿Cuál es el número?
e) La suma de tres números enteros consecutivos es -37, ¿Cuáles son esos números?
39. Completá el siguiente cuadro, cuando el resultado sea entero:
a
b
a+b
a-b
a.b
a:b
+7
+4
-6
-3
-5
-7
+3
+11
-5
-3
-6
+3
-12
-4
56
0
-7
+6
40. Completá la siguiente pirámide, sabiendo que cada ladrillo es el producto de los dos que le sirven de base.
-6
-2
-10
+2
41. Completá con un número entero.
a) -3 . 2 .
= 24
d) 47 :
= - 47
b) (-1) . (-1).
= -1
e) -4 .
. 120 = 0
c) -60 :
. 3 = 90
f) 5 . (-2) .
= - 40
42. Resolvé:
a) 2 + 3 - 8 =
d) 2 . -3 . -8 =
b) 2 +  3 – 8  =
e) 2 . (-3) . -8 =
c) -2 - 3 -  -8  =
f) (-2) . -3 . -8 =
43. Resolvé de dos formas distintas, es decir aplicando la propiedad distributiva y sin aplicarla.
a) 2 . (13 + 5 – 7) =
d) (-28 + 32) : 2 =
b) (26 – 9 + 1) . (-4) =
e) (36 + 27 – 18) : (-3) =
c) (-4 + 10 – 3) . (-12) =
f) (-40 + 10 – 50) : (-10) =
44. Separá en términos y resolvé:
a) 20 : (-7 + 2) + (-3) . 3 + 11 =
d) (3 + 14) : (-1) – (4 – 7) . 2 =
b) (-3) . (-5) + 21 : (-3) =
e) 10 + (-3) . (-4): (-2) – (8 – 4 . 2) =
c) (10 – 3 . 8) : 2 – (-35) : (-1 - 4) =
f) [25 : (-4 + 9)] : 5 + 3 . (-1) . (-2) =
45. Completá con Verdadero o Falso, explicá por qué.
a) 2 . (t + 3) = 2.t + 6
c) (q – 8) . (-3) = (-3) . q + 24
b) 4 : (m – x) = 4 : m – 4 : x
d) (50 + b) : (-2) = -25 + b : (-2)
46. a) ¿Qué número obtenés si a 7 les sumás 8 y al resultado le restás -15?
b) ¿Cuál es el número que al restarle 10 da 37?
47. a) Si multiplicás cinco números distintos de cero y sólo tres de ellos son números negativos, ¿qué signo
tendrá el resultado?
b) Si multiplicás siete números distintos de cero y exactamente dos de ellos son negativos, ¿qué signo tendrá
el resultado?
48. a) Ubicá en la recta numérica los números que están a una distancia 4 del número -7.
b) ¿Cuántos números enteros están a una distancia menor que 5 del número -1? ¿Cuáles son?
c) Ubicá en la recta numérica los puntos A y B que representan números enteros de modo que cumplan
simultáneamente: A< -1 ; B>0 y la distancia entre A y B es 3.
d) ¿Qué diferencia hay si se pide que la distancia ente A y B sea 5?
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Potenciación y radicación.
Definimos xn = x . x . … . x; siendo n un número natural; y llamamos base a la “x”, exponente a la “n”, y
potencia a “xn”
n factores
Por convención: si n = 0, el resultado es 1; es decir: x0 = 1
Y si n = 1, el resultado es x; es decir que: x1 = x
Esta operación presenta propiedades especiales, que nos serán muy útiles.
Analizaremos primero la distributividad de la potenciación con otras operaciones:
1) Con la adición: (2 + 3)2 = 22 + 32
52 = 4 + 9
25 ≠ 13 por lo que está claro que la potenciación no es distributiva con la suma.
2) Con la multiplicación: (3 . 5)2 = 32 . 52
152 = 9 . 25
225 = 225, lo que no prueba que la propiedad se cumpla en todos los casos,
pero al menos sospechamos que así es. Para comprobar que se cumple en todos los casos debemos trabajar
“genéricamente”, es decir con letras que representen absolutamente a cualquier número, y no con números
particulares.
(x . y)n = xn . yn
(x . y) . (x . y). … . (x . y) = x.x. … . x . y.y. … . y
n factores
n factores n factores
Pero como la multiplicación es asociativa podemos sacar los paréntesis del primer miembro (lo que está a la
izquierda del igual). Y por la propiedad conmutativa de la multiplicación, podemos conmutar el orden de los
factores y mostrar que ambos miembros son iguales.
Ahora sí podemos afirmar que la potenciación es distributiva respecto de la multiplicación.
Observemos ahora qué pasa cuando multiplicamos potencias de igual base:
Por ejemplo:
x3 . x4 = (x.x.x) . (x.x.x.x) = x.x.x.x.x.x.x = x7
En el primer paso aplicamos la definición de la potencia, en el segundo sacamos los paréntesis por la
asociatividad de la multiplicación y nuevamente aplicamos la definición de la potenciación.
Así las cosas podemos concluir:
xa . xb = x(a+b)
Esta propiedad se llama producto de potencias de igual base.
𝑥5
Análogamente cuando dividimos potencias de igual base, x5 : x2 = 𝑥 2 =
Por lo que concluimos: xa : xb = x(a-b)
Esta propiedad se llama cociente de potencias de igual base.
𝑥.𝑥.𝑥.𝑥.𝑥
𝑥.𝑥
= x.x.x = x3
Cuando elevamos una potencia a otro exponente, por ejemplo:
(x3)2 = (x.x.x) . (x.x.x) = x.x.x.x.x.x = x6
Y en general decimos que: (xa)b = x(a.b)
Esta propiedad se llama potencia de potencia.
𝑛
Llamamos raíz enésima de x y lo anotamos √𝑥 , al número que elevado a la “n” da “x”, siendo “n” el índice de
la raíz. Cuando n = 2 no lo escribimos, es decir que entendemos que √𝑥 es la raíz cuadrada de x, o raíz de
índice 2.
5
Por ejemplo √32 = 2, ya que 25 = 32
√16= 4, ya que 42 = 16; en este caso (y siempre que el índice es par) existen dos números que
elevados al cuadrado dan 16: el 4 y el -4. Para que la radicación sea una operación, la solución debe ser
única, por lo cual se adopta como solución a la positiva, por lo que decimos que la raíz cuadrada de 16 es 4 y
no -4.
Actividades:
49. Calculá:
a) 23 =
f) (-1)0 =
k) (-1)32 =
b) (-3)2 =
g) (-1)1 =
l) (-1)245 =
2
2
c) - 3 =
h) (-1) =
m) -1358 =
0
3
d) (-25) =
i) (-1) =
n) 01 =
0
4
e) – 25 =
j) (-1) =
ñ) 0234=
50. Completá con ,  ó =:
a) 52 . 5
52
d)75 : 72
73
2 3
5
3 3
b) (9 )
9
e) [(-2) ]
(-2)7
2
5
5
3
c) (-2)
(-2)
f) (-4) : (-4)
(-4)8
51. Completá para que las expresiones resulten verdaderas:
a) (m……)2 = m6
d) t7 : t……. = t0
10
8 …….
8
b) (x : x )
=x
e) (b…….)5 . b3 = b3
c) a…….. . a5 = a11
f) (y8 : y…….)2 = y8
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52.Completá el cuadro:
n
n2
n2 + 1
n2 - 1
17
19
21
23
25
27
29
31
33
53. Decidí si es Verdadero o Falso. Explicá.
a) (3 + 2)10 = 310 + 210
d) (4 – 7)3 = 43 - 73
2
b) (3 + 5) = (3 + 5) . (3 + 5)
e) (6 . 2)4 = 64 . 24
3
3
3
c) (8 : 4) = 8 : 4
f) (9 – 6)2 = (9 – 6) . (9 + 6)
54. Resolvé aplicando las propiedades de la potenciación, enunciá en cada paso la propiedad aplicada:
a) (a5)3 . (a4 : a2)2 =
c) (t . t2)7 : t5)3 =
2
4 3
10
b) (b . b ) : b =
d) [(a + b)2 . (a + b)4]5 =
55. Calculá, cuando sea posible, si no es posible explicá porque:
3
a) √4 =
h) √125 =
3
5
b) √8 =
i) √32 =
3
7
c) √64 =
j) √1 =
3
d) √64 =
k) √−1 =
3
e) √−16 =
l) √−343 =
4
f) √16 =
m) √−100 =
g) √0 =
n) √169 =
56. Resolvé aplicando la propiedad distributiva de la radicación:
a) √32 . √2 =
d) √18 ∶ √2 =
3
3
3
3
b) √100 . √10 =
e) √9 . √3 =
4
4
4
4
c) √162 ∶ √2 =
f) √48 ∶ √3 =
57. Completá escribiendo los dos números enteros consecutivos entre los que está comprendida cada raíz.
a) ……….  √30  ……….
d) ……….  √139  ……….
b) ……….  √5  ……….
e) ……….  √75  ……….
c) ……….  √90  ……….
f) ……….  √120  ……….
58. Separá en términos y resolvé, aplicando propiedades siempre que se pueda:
a) 3 + 42 : (-2) – (4 – 30) =
i) √18 . √12 + (-3 -4 . 2) . (-1) =
3
2
b) 25 : (-2 - 3) + (-1).((10 – 30) =
j) √3. √3 + √−216 + (-16)0 =
3
c) (-3 + 8)3 – (4 -2 . 3)2 =
k) 2. (5 – 9) + √3 .40 + 5 =
d) 4 – 10. (-1 -2)3 + (10 – 88)0 =
l) √(−6). (−8) − 4.3 + (-8 – 3)2 =
e) [16 : (-2)4 + 4 – 2.(-4)]2 =
m) √(5 .4 + 5). 4 =
3
3
35
33
2
f) (-3) : (-3) – (6 + 2 . 3 ) =
n) √3 + 4.6 – 8: √−8 =
3
4
4
g) 3 + (2 – 6)3 - √−125 =
ñ) 3 + √144 ∶ (−4) + √9. √9 =
3
h) [(-2)5 : (-2)3]3 – (2 – 3.4) =
o) - √52 + 2 . (−2 + √16) =
Revisión e integración:
1. a) Escribí los opuestos de los siguientes números: 4, -3, 2, -5, 6 y -6
b) Ordená todos los números del ítem a) en forma creciente.
c) Ubicalos sobre una recta numérica.
2. Resolvé cada situación y escribí la operación que corresponda:
a) Juliana sube 6 pisos en el ascensor y luego baja 8 pisos, ¿cuántos pisos más arriba o más abajo que al
principio termina?
b) Un buzo desciende 15 metros bajo el nivel del mar y luego 7 metros más, ¿en qué posición respecto del
nivel del mar se encuentra luego del último descenso?
3. Leandro y Jorge salen de su casa a pasear en bicicleta. Leandro avanza 6 Km y luego retrocede 2Km;
mientras que Jorge avanza 8 Km y retrocede 5 Km.
a) ¿a qué distancia del punto de partida se encuentra cada uno?
b) ¿quién recorrió más Km?
4. ¿Cuántos números enteros de una cifra hay? ¿y de dos cifras? ¿y de tres?
5. Calculá:
a) -7 - 7 = ………
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b) 5 + -3 = ………
c) -2 - 3 = ………
d) 3. -7 = ………
6. Ordená de menor a mayor, teniendo en cuenta que a  0:
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a; a; a2; a3; a+1
7. Indicá si es Verdadero o Falso. Si es falso mostrá un contraejemplo.
a) El producto de dos números enteros siempre es un entero positivo.
b) El producto de varios números enteros negativos es siempre un entero negativo.
c) El producto de varios números enteros positivos es siempre un entero positivo.
8. Ubicá en la recta numérica el -3, 0, 1, 2, 5 y 6:
9. A, B y C representan números enteros. Las siguientes son sus representaciones en la recta numérica:
a) Analizá los signos de los números que representan cada una de las letras.
b) Ubicá en la misma recta los opuestos de A, B y C.
c) Analizá los signos de –A, –B y –C.
d) De los siete números representados: ¿Cuál es el menor? ¿Por qué?
¿Cuál es el mayor? ¿Por qué?
10. De acuerdo con la siguiente representación del número M sobre la recta numérica:
Ubicá en la recta numérica los siguientes números:
a) M + 1
d) - M + 1
b) M – 1
e) - (M + 1)
c) - M – 1
f) - (M – 1)
11. Decidí si cada una de las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas, explicando el por qué de la
decisión. Si decís falso proponé un contraejemplo.
a) Si en una multiplicación de números enteros, la cantidad de factores es impar, el producto será negativo.
b) Si en una multiplicación de números enteros negativos, la cantidad de factores es impar, el producto será
negativo.
c) Si en una multiplicación de números enteros, la cantidad de factores negativos es mayor que la de
positivos, el producto será negativo.
d) Si en una multiplicación de números enteros, la cantidad de factores negativos es impar, el producto será
negativo.
12. Calculá:
a) El área de un cuadrado cuyo perímetro es 24 m.
b) El volumen de un cubo de arista 12 cm.
c) El volumen de un cubo cuya cara tenga 64 m2 de área.
13. Si un cubo de arista a + 2cm tiene un volumen de 343 cm3, ¿cuánto mide a?
14. Separá en términos y resolvé, aplicando propiedades siempre que se pueda:
5
a) √|−16| + 2. (-3 - √−1) =
d) (-2)34 : (-2)32 – (-6 – 3) + 4 . (-1)33 =
3
b) √7 . √32 − 2 − 144 ∶ (−62 + 04 ) =
e) √3 . √12 - (-2)5 : (-2)2 + √−125 =
3
c) 32 – 2 . (-4) + √4 .45 + 24 =
f) √4.250 − 102 - (24 – 42)2 - √1000 =
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Unidad 2: Números racionales. Noción de número irracional. Notación científica.
Actividad disparadora
Trabajaremos en grupos. Cada grupo recibirá un folio con una hoja A4 amarilla y piezas de papel blanco.
Deberán identificar qué fracción del papel amarillo representa cada una de las piezas. Cotejarán conmigo los
resultados obtenidos.
A continuación deberán armar el rompecabezas y decidir cuántas hojas A4 necesitarían como mínimo para
reproducir el rompecabezas que recibieron.
Intentaremos codificar la información a través de operaciones matemáticas.
Definiciones y convenciones.
Hasta aquí trabajamos con números naturales y enteros. Pero desde mucho antes conocés las fracciones y
números decimales. Todos los números que puedan expresarse como cociente de dos enteros se llaman
números racionales. El conjunto de todos los números racionales se denomina con la letra
Existen distintas expresiones para este tipo de números; por ejemplo, del cociente entre 1 y 2 obtenemos el ½
(en su expresión fraccionaria) o el 0,5 (en su expresión decimal); pero entendemos que ambos representan el
mismo número.
En la fracción ½ decimos que 1 es el numerador y 2 el denominador, este nunca puede ser cero; ya que no
está definida la división por cero.
Por convención, cuando una fracción es negativa, escribimos el signo menos a su numerador, para que no se
confunda con la raya de fracción.
En la escuela primaria aprendiste que el denominador indica la cantidad de partes iguales en que se divide el
entero, mientras que el numerador indica cuántas de esas partes tomamos.
A su vez las fracciones se pueden clasificar en:
Propias, cuando el numerador es menor que el denominador
3
Por ejemplo:
4
Impropias, cuando el numerador es mayor que el denominador. Éstas pueden expresarse también como
números mixtos.
5
1
Por ejemplo: 4 = 1 4
Aparentes, cuando el numerador es múltiplo del denominador, por lo que representan números enteros.
15
Por ejemplo: 3 = 5
Las expresiones decimales también admiten clasificaciones, decimos que pueden ser:
Exactas, aquellas con una cantidad finita (limitada) de decimales
Por ejemplo: 0,27 ó 3,125
Periódicos puros, parte decimal se repite infinita cantidad de veces
̂
Por ejemplo: 0,33333… que anotamos 0, 3̂ ó 5,7272727272… = 5, 72
Periódicos mixtos, tienen algún o algunos decimales no periódicos y otros periódicos
̂
Por ejemplo: 0,1666666… = 0,16̂ ó 3,27454545454… = 3,2745
Para operar con expresiones decimales periódicas tenemos dos posibilidades, trabajar con sus expresiones
fraccionarias (y así lograr exactitud en los resultados) o bien hacerlo con expresiones decimales aproximadas,
ya que sería imposible operar con los infinitos decimales.
Muchas veces no necesitamos suma exactitud y nos basta con una buena aproximación. Es importante que
reconozcamos que al “aproximar” estamos introduciendo un “error”.
Existen dos formas de aproximar, una es el “truncamiento” y otra el “redondeo”.
Para truncar directamente cortamos y nos quedamos con los decimales que queremos considerar, es decir
para aproximar por truncamiento el 0,16̂ con tres decimales escribiríamos 0,166.
Para aproximar por redondeo no sólo cortamos, sino que al hacerlo consideramos el valor de la primera cifra
descartada; si esta es 5, 6, 7, 8 ó 9 aumentamos en 1 el último decimal considerado, es decir que para
redondear ese mismo número con tres decimales escribiríamos 0,167, ya que el primer dígito descartado era
6.
Actividades:
3
−3
1. Indicá cuales de estos números son Naturales, Enteros o Racionales: -1; ; 2;
;
12
5
13
7
−8 10
;
4 10
2. ¿Cuál es mayor, 13 ó 14? Justificá de varias maneras.
3. Odená en forma creciente:
1 1 2 1 3
; ; ; ;
2 3 3 4 4
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4. Escribí todas las fracciones irreducibles que:
a) tengan denominador 15 y están comprendidas entre 0 y 1.
b) tengan denominador 17 y están comprendidas entre 1 y 2.
c) tengan denominador 11 y estén comprendidas entre -2 y-1.
5. Escribí todas las fracciones irreducibles de denominador menor o igual que 5, comprendidas entre 0 y 1; y
ordenalas en forma creciente.
6. Las siguientes figuras son cuadrados. ¿Qué parte del cuadrado está sombreada en cada caso?
7. Sombreá de tres formas distintas 3/8 de un cuadrado.
5 7 4
8. Representá en forma gráfica estas fracciones: 4 ; 3 ; 5 ;
6
6
𝑦
8
7
−1 3 1
3
−7
; 4 ; 4 ; −0,25; 2 ; 0,50 𝑦 2
2
4
representa 5 del entero, ¿cuántos cm
9. Representá en la recta numérica:
10. Si un segmento de 8 cm
11. Ubicá el 0, el 1 y el -1 en la siguiente recta numérica:
12. De los siguientes números:
indicá cuáles son:
−3 2 −4 −5
; ; ; ;
2 3 3
7
1
2
−5; ;
5
4
𝑦
de largo mide el entero?
−5
6
a) Menores que cero
b) Mayores que cero y menores que uno
c) Mayores que uno
d) Menores que -1.
13. ¿Es lo mismo 3/5 que 3,5? Dá una justificación a tu respuesta.
14. a) ¿Qué número está justo en la mitad entre 100 y 200?
b) ¿Y entre 60 y 120?
c) ¿Y entre 18 y 19?
d) ¿Y entre 6,3 y 6,4?
e) ¿Y entre 8,4 y 8,5?
f) ¿Y entre 4,42 y 4,43?
3
15
g) ¿Y entre 2 𝑦 4 ?
15. a) Transformá estas fracciones en expresiones decimales y señalá cuáles son exactas, cuáles periódicas
7 −25 15 −27
13
puras y cuáles periódicas mixtas: 18 ; 16 ; 18 ; 15 ; 2 26
b) Indicá en cada una de las anteriores entre qué números enteros consecutivos se encuentran.
c) Aproximá la primera de ellas a los centésimos por truncamiento y por redondeo.
Definiciones y convenciones
Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte del entero, por ejemplo:
2/3
4/6
8/12
Para obtener fracciones equivalentes se multiplica o divide numerador y denominador por el mismo número
2
2.2
4
entero distinto de cero, así 3 = 3.2 = 6
Llamamos fracción irreducible a aquella cuyo numerador y denominador tienen como único divisor común el
1.
Simplificar una fracción es hallar su equivalente irreducible.
Decimos que una fracción es decimal cuando tiene como denominador sólo potencias de 10, o es equivalente
a una fracción de estas características. Las fracciones que admiten una fracción decimal equivalente son
aquellas cuyos denominadores tienen como únicos divisores primos el 2 y/o el 5.
7
3
Ejemplo: ,
son fracciones decimales,
1
2
7
4
=
10 100
1.5
5
= , por lo que es una fracción decimal.
2.5
10
7.25
175
= 100, por lo que es una fracción decimal.
4.25
=
En una fracción decimal con denominador 100, el numerador representa un porcentaje, así si nos referimos a
23
de los casos, estamos indicando 23 de cada 100, es decir el 23%;
100
por lo que aceptamos que
23
100
= 0,23  23%
Actividades
3
16. a) Elegí cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a 5:
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6 9 21 27 36
;
;
;
;
8 15 35 54 60
20
b) Elegí cuál o cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a 45:
4 10 8
60 12
;
;
;
;
9 15 16 135 27
17. Hallá el valor de x para que se verifiquen las igualdades:
5
𝑥
7
49
𝑥
3
144
9
a) 6 = 18
b) 𝑥 = 56
c) 20 = 5
d) 𝑥 = 2
18. Para preparar un color verde intenso se mezclan 12 latas de azul con 9 latas de amarillo. Si se quiere
preparar pintura conservando esa tonalidad, usando 15 latas de azul, ¿cuántas latas de amarillo serán
necesarias? ¿y si se usaran 10 latas de amarillo, cuántas de azul necesitaríamos agregar?
19. Hallá la fracción irreducible de cada una de las siguientes expresiones decimales:
a) 0,8
b) -1,4
c) 2,5
20. Expresá como porcentaje las siguientes fracciones:
3
1
4
a) 5
b) 2
c) 5
21. Calculá de manera fraccionaria:
a) el 10% de 120
b) el 30% de 80
c) el 45% de 180
d) el 70% de 150
22. Indicá el porcentaje que representa cada fracción:
21
11
33
3
a) 100
b) 25
c) 50
d) 20
23. Expresá como fracción irreducible:
a) 18%
b) 35%
c) 45%
d) 80%
Equivalencias entre decimales y fracciones
Como vimos, para pasar una fracción a decimal bastará con realizar el cociente entre el numerador y el
denominador, pero ¿cómo hacemos el camino inverso, es decir encontrar una fracción equivalente a un
determinado decimal?
El caso de los decimales exactos ya lo viste en la escuela primaria:
27
133
7
2,7 =
1,33 =
0,007 =
10
100
1000
En cambio para pasar a fracción decimales periódicos debemos trabajar un poco más.
Nos basaremos en que al multiplicar toda una igualdad por un número distinto de cero obtenemos otra
igualdad, así como al sumar o restar igualdades obtenemos otra igualdad, así por ejemplo, para encontrar la
fracción equivalente al número n = 0, 3̂ = 0,333333…
10n = 3,33333…
restando
n = 0,33333…
obtenemos:
de donde:
9n =3
3
n=9=
1
3
Para el caso de un periódico mixto como por ejemplo: n = 0,16̂ = 0,1666666…
100n = 16,6666…
restando
10n = 1,6666…
obtenemos:
90 n = 15
15
1
de donde:
n = 90 = 6
Y siempre podrás comprobar si lo hiciste bien, ya que al hacer los cocientes 1/3 obtendremos 0,33333… así
como haciendo 1/6 obtendremos 0,166666…
Actividades:
24. Expresá como fracción irreducible las siguientes expresiones decimales:
̂
̂
a) 0, 6̂
b) 4,36
c) 4, 36
d) 4,36̂
e) −0,016
f) 0, 9̂
Operaciones en
Para sumar o restar fracciones, ambas deben tener el mismo denominador; por lo que, en los casos en que no
es así deberemos buscar fracciones equivalentes a ambas con un mismo denominador, que será el mínimo
común múltiplo de los denominadores originales.
3
1
4
3
3
5
−2
3
1
15
2
17
Por ejemplo: + =
− 1= − =
+ =
+
=
5
5
5
5
5
5
5
2
5
10
10
10
Para multiplicar fracciones multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador, antes
podemos verificar si se puede simplificar algo (es decir dividir por el mismo número algún valor del numerador
con algún otro del denominador.
3 −5
3.−5
−15
−25 21
−5 3
−15
Por ejemplo: 4 . 7 = 4.7 = 28
. 5 = 2 . 1 = 2 ; ya que -25 y 5 se pueden
14
simplificar por cinco, mientras que 14 y 21 se puede dividir por siete.
Para dividir fracciones transformamos la división en una multiplicación del inverso, es decir:
−1 6
−1 5
−5
∶ =
. =
4 5
4 6
24
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Para elevar una fracción a un exponente natural, se elevan el numerador y el denominador a dicho exponente,
3 3
33
27
por ejemplo: (2) = 23 = 8
Para hallar la raíz de índice n de una fracción se halla la raíz del numerador y del denominador, entonces:
81
9
√81
√ =
=
16
4
√16
Como vimos en la unidad 1, la potenciación dispone de ciertas propiedades, que por supuesto se deberán
seguir cumpliendo con los racionales.
Pero aún nos falta averiguar qué significa elevar a un exponente negativo, y resolverlo.
3 −2
Por ejemplo queremos calcular (2) , por supuesto que se deberán seguir cumpliendo las propiedades
estudiadas.
Les propongo estudiar un rato el caso y luego compartiremos las propuestas y las pondremos a prueba
Elaboraremos juntos las conclusiones.
Actividades:
3
4
25. ¿Cuánto hay que agregar a 4 para obtener 5?
7
2
26. ¿En cuánto excede 𝑎 ?
9
5
27. Indicá el sumando que falta:
2
−9
a) + … . . = 1
c) + … . . = 0
7
−3
−3
8
−5
+
3
b) ….. + 2 = 2
d)
28. Completá el cuadrado mágico:
5
6
−2
9
e) ….. + = 0
f) ….. +
… . . = −2
2/5
= −1
0
- 1/5
- 4/5
29. ¿Cuánto valen los 5/8 de un terreno que mide 260,35 m2 a razón de $550 el m2?
30. ¿Cuántos alfileres de 3,5 cm de largo se pueden fabricar con un alambre de 285m?, sabiendo que hay
una pérdida de 2 mm de alambre por cada alfiler.
31. Dos caminantes deciden hacer el viaje de Buenos Aires a Luján en tres etapas. El primero recorre 1/3 del
camino en la primera etapa y 5/9 en la segunda etapa. El segundo hace ¼ del camino en la primera etapa y
3/5 en la segunda etapa.
Al finalizar la segunda etapa, ¿cuál de los dos está más cerca de Luján?
32. Un alpinista intenta llegar a la cumbre de una montaña con el siguiente plan de viaje: el primer día
recorrerá la mitad del camino, el segundo día la mitad de lo que le falte, y cada uno de los días siguientes
recorrerá la mitad de lo que le falte para alcanzar la cumbre.
Al finalizar el quinto día de marcha, de acuerdo con su plan, ¿qué parte del recorrido le falta para llegar a la
cumbre?
33. Al cumplir 21 años el maestro de artes marciales recorrió el mundo para aprender la sabiduría de la
naturaleza; en este viaje ocupó la séptima parte de su vida. Dedicó la mitad de su vida a enseñar en el templo.
Y su ancianidad que duró un séptimo de su vida, la pasó lejos del templo, dedicado a la meditación. ¿Cuántos
años vivió el maestro?
34. En un curso de 25 alumnos, 2/5 de esa cantidad estudia computación, la quinta parte de los restantes
estudia inglés y el resto practica deportes.
¿Cuántos alumnos estudian computación?
¿Cuántos alumnos estudian inglés?¿y cuántos practican deportes?
35. Laura gastó los 2/5 de sus ahorros en regalos, ¼ en ropa y le quedaron $49.
a)¿Cuánto dinero había ahorrado?
b)¿Cuánto dinero gastó en ropa?
c)¿Cuánto dinero gastó en regalos?
36. Aldo y Bruno tenían cada uno la misma cantidad de dinero para pasar sus vacaciones.
Aldo gastó 1/3 la primera semana, 1/2 la segunda semana y el resto lo ahorró.
Bruno gastó 1/4 la primera semana pero ahorró el doble de lo que ahorró Aldo.
Si Bruno ahorró $156, ¿cuántos pesos gastó Bruno la segunda semana?
37. Un corredor se entrena en una pista. El afirma que en la primera etapa de la carrera recorrió 1/3 de la
pista, y en la segunda y última etapa recorrió los ¾ restantes. ¿Es posible?
38. De una jarra que contiene 2 ¼ litros de agua llene dos vasos de ¼ litro cada uno y un vaso de 1/3 de litro.
¿Cuánta agua quedo en la jarra?
39. A Juan le proponen que elija la bolsa de golosinas más pesada. La primera bolsa pesa
3 ½ kg y la segunda pesa 20/6 kg. ¿Cuál pensás que eligió Juan? ¿Cuánto pierde si elige mal?
40. María gastó 1/3 de sus ahorros en libros para la escuela y 5/9 de los mismos en un regalo de cumpleaños
para su mamá.
a) ¿Qué parte de sus ahorros gastó?
b) ¿Qué parte le quedó?
c) ¿Gastó más en los libros o en el regalo?
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d) Si tenía ahorrados $ 126, ¿Cuánto le costaron los libros?
e) ¿Y el regalo?
f) ¿Cuánto dinero le quedó?
41. La cuarta parte de un camino es de tierra; las dos quintas partes, de empedrado y el resto está asfaltado.
a) ¿Qué parte del camino está asfaltado?
b) ¿Cuál de las tres partes del camino es más largo?
c) ¿Está asfaltada más de la mitad del camino?
d) Si el camino tuviera 140 Km, ¿Cuántos kilómetros estarían empedrados?
e) ¿Cuántos de tierra?
f) ¿Y asfaltados?
42. Calculá, pasando previamente todo a fracción, simplificando y aplicando propiedades cuando sea posible:
7
4
4
121
+ √ 64 . 2 − 0,25 =
27
14
−9 −1
3
∶
(
) + √1 − 0,875 − 0,6 =
45
7
−5 −1
9
49 −1
0,4 . ( 2 ) + 25 : 0,2 − √ 25 . 7 + 2
3
3
3 −2
22
√0,22 + − (0, 6̂ − 3) : ( ) +
5
7
15
−2
4
−8
49
−2
5
−3
2 2
a) (−0, 3̂) :
2
2
1
f) (3) : (3) + √0, 2̂ . (2)
b)
g) √(−2)−4 + 5. 16 + (1 − 1,5)5 ∶ ( 2 ) .
c)
d)
e)
5
. √16 + 2 − 1,75 − ( 3 )
: (7) =
−1 8 −1
2
3
=
h)
−2
+
7
√
9
16
∶
−21
−
8
1 −2
(2)
=
=
=
=
Revisión:
1. Señalá entre los números siguientes, cuáles son naturales (N), cuáles enteros (Z), y cuáles racionales (Q) :
2/3 ; 5 ; 0,7 ; 1/7 ; -3 ; 2 ; -3,7
Representálos en la recta numérica.
2. Completá el cuadrado mágico
2,25
6
1,25
1,25
2,5
3,75
3,5
1,5
5,25
5,5
3
4,75
0,75
2,75
0,5
2,25
3. Ordená los números de menor a mayor: -3,090 ; -3,1 ; -3,0901 ; -3,092 ; 5,001 ; 5,009 ; 5,09 ; 5,0012
4. ¿Cuál es mayor 11/12 ó 12/13? Justificá de tres formas diferentes.
5. Tres recipientes contienen agua: el primero 50/47 de litro, el segundo 62/55 de litro y el tercero 33/30 de
litro. ¿Qué recipiente contiene menos agua y cuál más?
6. Si de un camino se han recorrido las tres séptimas partes, ¿Cuántos más debe recorrer para llegar a la
mitad del camino?
7. Escribí dos racionales comprendidos entre:
a) -3 y -2
d) 0,2 y 0,22223
1
1
b) 3 𝑦 2
e) -12,976 y -12,975
−5
−4
c)
𝑦
f) 6,0008 y 6,00009
3
3
Explicá en cada caso el procedimiento empleado.
8. El 45% de los alumnos de un curso son varones y 22 son mujeres, ¿Cuántos alumnos hay en el curso?
9. Matías tiene dos bolsas de 120 caramelos cada una. Le regala a Pedro la mitad de una bolsa, a Juan un
sexto del total de caramelos y a Martín dos quintos de los que le quedaban, ¿Cuántos caramelos le quedan?
10. ¿Es posible establecer cuántas fracciones con denominador 13 hay entre dos números enteros
consecutivos, sin considerar esos números?
11. La siguiente tira mide 2/3 de cierta unidad. Dibujá otra tira que mida 5/6 de esa misma unidad
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12. Inés tiene una jarra y un balde. A partir de volcar el contenido de la jarra en el balde establece que, con 8
jarras llena 3 baldes.
a) ¿Qué parte del balde es la jarra?
b) ¿Cuántas jarras necesita para llenar un balde?
13. Ubicá en la recta el 1 y el -1/2 en la siguiente recta:
14. Ubicá los números 0,5 y 1 en la siguiente recta:
15. Ubicá el cero en la siguiente recta:
Bibliografía:
 Álvarez, M. D. (2009). Prácticas Matemática II. Buenos Aires: Santillana.
 Andrés, M., Carione, N., Paccosi, L. (2006). Actividades de Matemática 8. Buenos Aires: Santillana.
 Becerril, M. M., Grimaldi, V., Ponce, H., Urquiza, M. (2008). Estudiar Matemática 2. Buenos Aires: Santillana.
 Berio, A., Mancini, G., Mastucci, S. (2008). Logonautas, Matemática 2. Buenos Aires: Puerto de Palos.
 Colacelli, S., García, P., García, A. M., Zorzoli, G. (1996). Proyecto educativo Lápiz y Papel- Números Enteros.
Buenos Aires: Tiempos editoriales.
 Effenberger, P. (2010). Matemática II educación secundaria. Buenos Aires: Kapelusz.
 Illuzzi, M. A., Menéndez, S. M. (2002). Matemática 8. Buenos Aires: Kapelusz.
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