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UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NUCLEO DE BOLIVAR
COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO
POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS.
V COHORTE
MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION
CODIGO # 806-3120
SECCION A
PROF. HUGAR CAPELLA
Matrices. Parámetros básicos
Definiciones básicas Una matriz m×n es una tabla o arreglo
rectangular A de números reales con m reglones (o filas) y n
columnas. (Reglones son horizontales y columnas son
verticales.) Los números m y n son las dimensiones de A.
Los números reales en la matriz se llaman sus entradas. La
entrada en la fila o reglón i y columna j se llama aij o Aij.
Ejemplo
Aquí es una matriz 4×5..
A=
0
1
2
0
3
1/3
-1
10
1/3
2
3
1
0
1
-3
2
1
0
0
1
A13 = 2
2
EJEMPLO: UNA EMPRESA QUE FABRICA TELEVISORES PRODUCE TRES MODELOS CON DISTINTAS
CARACTERISTICAS EN TRES TAMAÑOS DIFERENTES . LA CAPACIDAD DE PRODUCCION EN LA
PLANTA DE VALENCIA (EN MILES) ESTA DADA POR LA MATRIZ M
TAMAÑO I (20 PULG)= 5X +3Y+2Z
TAMAÑO II (23 PULG) = 7X+4Y+5Z
(EN MILES)
TAMAÑO III(26 PULG) =10X+8Y+4Z
M=
5
3
2
7
4
5
10
8
4
Z=
4
5
3
9
6
4
8
12
2
LA MATRIZ Z DEFINE LA CAPACIDAD DE PRODUCCION DE LA
OTRA PLANTA DE LA EMPRESA ( PTO ORDAZ)
(AMBAS SON MATRICES CUADRADAS)
3
MATRIZ IDENTIDAD Y MATRIZ CERO
Matriz identidad
1 0 0 0
I=
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Matriz Cero
0 0 0 0
0=
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
4
Operaciones con matrices
Trasposición
La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las
filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT,
entonces B es la matriz n×m con bij = aji.
Suma, Resta
Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene
sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma
parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En
símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij.
Producto escalar
Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el
producto escalar por la matriz, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando
cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij).
Producto
Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p,
entonces el producto AB está definido, y tiene dimensiones m×p. La entrada (AB)ij
se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar
sus entradas correspondientes y sumar las resultados.
5
Álgebra de matrices
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual
todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que
son 1. En símbolos:
Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son
cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre
matrices se cumplen las siguientes reglas:
A+(B+C) = (A+B)+C
Regla asociativa de adición
A+B = B+A
Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A
Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A
Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB
Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA
Regla distributiva
1A = A
Unidad escalar
0A = O
Cero escalar
A(BC) = (AB)C
Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A
Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC
Regla distributiva
6
Álgebra de matrices
(A+B)C = AC + BC
Regla distributiva
OA = AO = O
Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT
Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT)
Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT
Trasposición de un producto matriz
La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad
del producto entre matrices. El producto entre matrices no es
conmutativo: AB no es igual a BA en general
7
Ejemplos
Trasposición
0
1
2
1/3
-1
10
T
=
0
1/3
1
-1
2
10
Suma y producto escalar
0
1
1/3
-1
+ 2
1
-1
2/3
-2
=
2
-1
5/3 -5
Producto
0
1
1
-1
1/3
-1
2/3
-2
2/3
-2
-1/3
5/3
=
8
9
De la lamina 3
SUMA Y PRODUCTO ESCALAR
EJEMPLO: UNA EMPRESA QUE FABRICA TELEVISORES PRODUCE TRES MODELOS CON DISTINTAS
CARACTERISTICAS EN TRES TAMAÑOS DIFERENTES . LA CAPACIDAD DE PRODUCCION EN LA
PLANTA DE VALENCIA (EN MILES) ESTA DADA POR LA MATRIZ M
TAMAÑO I (20 PULG)= 5X +3Y+2Z
TAMAÑO II (23 PULG) = 7X+4Y+5Z
(EN MILES)
TAMAÑO III(26 PULG) =10X+8Y+4Z
M =
5
3
2
7
4
5
10
8
4
Z =
4
5
3
9
6
4
8
12
2
LA MATRIZ Z DEFINE LA CAPACIDAD DE PRODUCCION DE LA
OTRA PLANTA DE LA EMPRESA ( PTO ORDAZ)
10
Hallar:
a) CUAL ES LA CAPACIDAD DE PRODUCCION TOTAL DE LA EMPRESA EN LAS DOS PLANTAS?
M+Z =
5
3
2
7
4
5
10
8
4
+
4
5
3
9
6
4
8
12
2
=
9
8
5
16
10
9
18
20
6
b) Cual es nueva producción total si la producción de la planta en Puerto
Ordaz se incrementa en un 20 %
Z+20%Z=1,2x
4
5
3
9
6
4
8
12
2
4.8
=
6
3.6
10.8 7.2
4.8
9.6 14.4
2.4
11
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Forma matriz de un sistema de ecuaciones lineales
Una aplicación importante de multiplicación entre matrices es la siguiente:
El sistema de ecuaciones lineales
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn
=
b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn
=
b2
=
bm
..............
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn
12
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
se puede escribir como la ecuación matriz
AX = B
A=
a11
a21
a12
a22
am1
am2
a13
a23
....
am3
...
...
...
...
; donde
a1n
a2n
amn
X = [x1, x2, x3, . . . , xn]T
y
B = [b1, b2, x3, . . . , bm]T
13
EJEMPLO: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
x
+
y
-
z
=
4
3x
+
y
-
z
=
6
x
+
y
-
2z
=
4
Su forma matricial AX=B
1
1
-1
x
4
3
1
-1
y
6
=
1
1
-2
z
.
4
14
METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
APLICANDO MATRICES.
DADO EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES:
2X – 2Y = 4
X + 3Y = 5
Método
a) Intercambio de filas o renglones
b) Multiplicación o división de una fila por una constante distinta de cero
c) Adición o sustracción de un múltiplo constante de una fila a (o de) otra fila.
3 -2
x
4
=
1 3
y
5 .
1 3
x
5
=
3 -2
y
4
15
16
REDUCCION DE FILAS
1
1
2
x
4
2
-3
4
y
13
.
=
3
-1
5
z
-4
R2-2R1 Y R3-3R1
1
1
2
x
4
0
-5
0
y
5
=
0
2
-7
z
.
-16
17
18
UN CONTRATISTA DISPONE DE 5000 HR-HOMBRES DE MANO DE OBRA PARA TRES
PROYECTOS. LOS COSTOS POR HORAS HOMBRE DE LOS TRES PROYECTOS SON DE
BsF 8, BsF 10, BsF 12 RESPECTIVAMENTE Y EL COSTO TOTAL ES DE BsF 53.000. SI EL
NÚMERO DE HR-HOMBRES PARA EL TERCER PROYECTO ES IGUAL A LA SUMA DE
LAS H-H REQUERIDAS POR LOS PRIMEROS PROYECTOS. CALCULE EL NUMERO DE
H-H DE QUE SE DISPONE EN CADA PROYECTO.
SOLUCION:
X + Y + Z = 5000
(1)
8X +10Y +12Z = 53000
(2)
X + Y - Z = 0
(3)
19