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Operaciones con matrices
Objetivos:
• Distinguir y realizar los cálculos con las operaciones matriciales
básicas.
Introducción:
Las operaciones matriciales permiten el abordaje de los métodos
del álgebra lineal para resolución de sistemas de ecuaciones.
Tiempo aproximado de estudio:
30 minutos.
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Las operaciones
matriciales básicas
son
Producto de una matriz por un número
Producto de matrices
Propiedades simplificativas
Matrices inversibles
Trasposición de matrices
Dada una matriz de tamaño m x n, A = (aij), se llama matriz
transpuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene
cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.
A=
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
.
.
.
.
am1 am2 … amn
a11
a21
t
A=
.
an1
a12
a22
.
an2
… a1m
… a2m
.
.
… amn
Propiedades de la trasposición de matrices
1ª. Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y además es
única.
2ª. La transpuesta de la matriz transpuesta de A es A. a (At)t = A.
El procedimiento para su obtención es:
La transpuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando
filas por columnas y se representa por At.
Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, dan otra
matriz.
S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico
S = (aij + bij).
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Se suman estos dos
1 1/2
-4 0
A
+
3
0
1/4
-2
B
=
1+3 = 4
-4
½+¼=¾
-2
A+B
Sin embargo, no se pueden sumar matrices de tamaños diferentes.
1 1/2
-4 0
A
+
1/4
-2
= NO ES POSIBLE SUMARLAS
B
Por tanto, para poder sumar dos matrices éstas han de tener la
misma dimensión.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B y se define
como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)
Propiedades de la suma y adición de matrices
Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces:
I. Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
II. Conmutativa:
A+B=B+A
III. Elemento neutro:
A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.
IV. Elemento opuesto:
A + (– A) = (– A) + A = 0
V. La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los
elementos de A.
VI. Si A + C = B + C  A = B
VII. Si kA = kB  A = B si k es distinto de 0
VIII. Si Ka = hA  H = K SI a es distinto de 0
Ejemplo
Se invierte su posición
A=
1
4
2
5
3
6
At =
1
2
3
4
5
6
Propiedades:
I. Para la matriz A,
(At)t = A
II. Para las matrices A y B,
(A + B)t = At + Bt
III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At
IV. Para las matrices A y B,
(A . B)t = Bt . At
V. Si A es una matriz simétrica,
At = A
Producto de un número por una matriz
Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada
uno de los elementos de la matriz por dicho número.
Si A = (aij), entonces kA = (kaij)
a11 a12 a13
(k)(a) = (k)(aij) = k a21 a22 a23 =
a31 a32 a33
ka11 ka12 ka13
ka21 ka22 ka23 = (kaij)
ka31 ka32 ka33
Ejemplo
(3)
1
0 -1
2 1/4 9
-5 -4 5/7
Se multiplica cada
uno por 3
=
3
6
-15
(3)(1) (3)(0) (3)(-1)
(3)(2) (3)(1/4) (3)(9)
(3)(-5) (3)(-4) (3)(5/7)
0
-3
1/4 27
-12 15/7
=
Propiedades de la multiplicación de un número por una matriz
Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.
I. Distributiva I:
II. Distributiva II:
k(A + B) = kA + kB
(k + h)A = kA + hA
III. Elemento neutro:
1·A=A
IV. Asociativa mixta:
k(hA) = (kh)A
El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto
por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial
Producto de matrices
Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos
elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas
de B (por lo que deben coincidir éstas).
De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Pij =  aik · bkj con k=1,….n
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el
número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B
dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p.
Ejemplo
1. Se multiplica cada uno
 4 7
 9 -2 
A=
 ,B=

3
5
6
8




 (4)(9) + (7)(6) (4 ) (-2) + (7)(8)   78 48 
AB = 
=

 (3) (9) + (5)(6) (3) (-2) + (5)(6)   57 34 
2. Se suman después
Ejemplo
5 8
 -4 -3 


A = 1 0 , B = 

 2 0
2 7


 5 x (-4) + 8 x 2 5 x (-3) + 8 x 0   -4 -15 

 

AB =  1 x (-4) + 0 x 2 1 x (-3) + 0 x 0  =  -4 -3 
 2 x (-4) + 7 x 2 2 x (-3) + 7 x 0   6 -6 

 

¿Cuándo es posible el producto de matrices?
filas
(aij)m,n  (bij)n,p =
Posible
(cij)m,p
columnas
El producto de matrices es posible cuando coincide el número de
columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.
Propiedades del producto de matrices
I.
Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión m x n, B
de dimensión n x p y C de dimensión p x r, tenemos que:
A . (B . C) = (A . B) . C
II.
Elemento unidad. Si A es una matriz de tamaño m x n, y las
matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:
Im · A = A · In = A
Propiedad distributiva
IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de
dimensión m x n, B de dimensión m x n y C de dimensión n x p.
Se cumple que:
(A + B) . C = A . C + B . C
III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de
dimensión m x n, B de dimensión n x r y C de dimensión n x r.
Tenemos que:
A . (B + C) = A . B + A . C
Producto: Potencia de una matriz
Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente
natural, se definen como en el caso de los números naturales: el
exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz
por sí misma.
An = A . A . ........... . A
An = A … A = A  A
n- veces
n-1
=
1
0
1
1
1
0
n-1
1
=
1
0
n
1
Ejemplo
A=
1
0
1
1
A2
=
1
0
1
1
A2 =
1
0
2
1
A2
=A A =
1
0
1
1
1
0
1
1
Referencias Bibliográficas
Unidad 1 Matrices y Determinantes. (pp. 27 a 30) disponible en:
http://gc.scalahed.com/buscador/recurso/ver/13166