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Relaciones entre la Música y las
Matemáticas
Víctor Martín García
1.Introducción
• ¿Hay matemática en la Música?
• ¿Están relacionadas?
• ¿Qué relaciones son estas?
1.Introducción
SIMILITUDES:
• Lenguaje universal
• Numeración en la música
• Disciplinas abstractas
• Materias imprescindibles
2.Los Pitagóricos
Pitágoras:
- Buscó unificar los fenómenos del mundo físico y del
mundo espiritual en términos de números.
- Estudió la naturaleza de los sonidos musicales.
- Consideraba que la esencia última de la realidad se
expresaba a través de números.
- Las propiedades y relaciones de la armonía musical
están determinadas por los números.
2.Los Pitagóricos
Dividían las artes en:
2.Los Pitagóricos
Teoría desarrollada:
- Existe una proporción entre las notas musicales y las
longitudes de las cuerdas que las producen.
- Encontró una relación numérica entre tonos que
sonaban “armónicos”.
- El mundo físico y el emocional podían ser descritos
con números sencillos y existía una relación armónica
entre todos los fenómenos perceptibles …
3.Relaciones entre sonidos
- Intervalo: la relación que existe entre la
frecuencia de los distintos sonidos:
o Octava
o Quinta
o Cuarta
3.Relaciones entre sonidos
Nota
Frecuencia
Long.
cuerda
Original
f
L
Tercera menor
(6/5)f
(5/6)L
Tercera mayor
(5/4)f
(4/5)L
Cuarta justa
(4/3)f
(3/4)L
Fa
Quinta mayor
(3/2)f
(2/3)L
Sol
Octava justa
2f
(1/2)L
Do (+alto)
Ejemplo
Do
3.Relaciones entre sonidos
- Escala musical: sucesión de sonidos constitutivos de un
sistema (tonalidad) que se suceden regularmente en
sentido ascendente o descendente, y todos ellos con
relación a una nota que da nombre a la escala, o tónica.
o
o
o
o
Escala musical occidental (actual)
Escala temperada
Escala natural
Escala loudness
3.Relaciones entre sonidos
- Pentagrama: pauta sobre la que se escribe la
representación gráfica de los sonidos se hace por medio
de unos símbolos (las notas).
- Redonda
- Blanca
- Negra
- Corchea
- Semicorchea
- Fusa
4.El sonido en términos matemáticos
- Sonido: Resultado de las vibraciones de los cuerpos
elásticos sometidos al efecto del choque o roce con un
agente externo. Esta vibración transmitida en forma de
movimiento ondulatorio impresiona el sentido del oído,
experimentándose la sensación sonora.
- Cualidades del sonido: el oído distingue un sonido por su
- Intensidad o sonoridad
- Tono
- Timbre
4.El sonido en términos matemáticos
• La vibración fundamental de B.Taylor:
- Vibración fundamental: en general, todo movimiento
armónico simple de amplitud A y frecuencia f puede
representarse como:
y(t )  A sin 2ft  0 
en la práctica real estos movimientos son amortiguados,
movimientos armónicos amortiguados o forzados
4.El sonido en términos matemáticos
• Vibración de las cuerdas sonoras:
- Wallis y Sauveur: experimentaron que una cuerda
tensada puede vibrar en parte con ciertos puntos a los
que se denominó nodos, y entre ellos se producían
movimientos dando origen a los vientres.
yt    sin x cos t   sin 2x cos 2t   sin 3x cos 3t  ...,
4.El sonido en términos matemáticos
• El método de D’Alembert. Reflexión de ondas:
- D’Alembert prueba que la forma de la cuerda vibrante
posee infinitas soluciones además de la fundamental.
2
2 y

y
2
c
2
t
x 2
- Condiciones iniciales:


y 0, t   y L, t   0;
y  x,0   f  x ;
 vx  
y
x,0;
t
4.El sonido en términos matemáticos
• El método de Fourier:
- Las funciones periódicas pueden analizarse usando
series trigonométricas.


1
 nx 
 nx  
 x   a0    an cos
  bn sin 
 
2
 L 
 L 
n 1 
- La frecuencia f y el periodo T de un movimiento vibratorio
sobre una cuerda no depende de su posición inical, ni de
la velocidad inicial y vienen dados por:
1
1

f  
T 2 L dr 2
4.El sonido en términos matemáticos
• El método de Fourier:
- Concluyó que los sonidos producidos por los
movimientos vibratorios yn , n   , de una cuerda sonora
se denominan armónicos. El correspondiente para n=1 el
cual es el más grave de todos, se denomina fundamental.
• NODOS:
nx
sin
0
L
- Demostró teóricamente la teoría de los nodos y los
vientres.
4.El sonido en términos matemáticos
• Leyes de Mersenne:
La frecuencia del sonido producido por una cuerda:
- es inversamente proporcional a la longitud de la misma.
- es directamente proprocional a la raíz cuadrada de la tensión a la
que está sometida.
- es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad de
la misma.
- es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la sección de la
misma, o lo que es los mismo a su diámetro.
5.Simetría y Recursividad
- Un procedimiento básico para obtener cohesión en
una pieza de música es la reafirmación de una
secuencia de sonidos una y otra vez, de una forma
variada, para evitar la monotonía y dar carácter a la
composición.
o
o
o
o
Rotación
Traslación
Reflexión
Repetición
5.Simetría y Recursividad
Traslación


5.Simetría y Recursividad
Inversión o movimiento contrario


5.Simetría y Recursividad
Retrogradación


5.Simetría y Recursividad
Inversión retrógrada


5.Simetría y Recursividad
• Ejemplos:
“Quinta sinfonía”
Ludwig van Beethoven
“El bolero”
Joseph Maurice Ravel
6.Ejemplo práctico
Teoría Musical de Conjuntos:
MÚSICA:

MATEMÁTICAS:
(1,29,9),(2,27,9)
6.Ejemplo práctico
Altura:
Duración:
6.Ejemplo práctico
(1,29,9),(2,27,9),(3,32,8),…
Funciones:
o Transportar: (a, b, c)  (a, b+k, c); con |k| < 12
o Octavar: (a, b, c)  (a, b+k, c); con |k| = 12
o Invertir: (a, b, c)  (n-a+1, b, c); n=nº notas totales
Mozart
• Juego de los dados:
“Marcha turca”
Wolfgang Amadeus Mozart
3.797498335832 (10e14) valses diferentes
¡361 millones de años!
Fibonacci
• Razón áurea:
Bartok
• Desarrolló un método para integrar
todos los elementos de la música
(escalas, estructuras de acordes, etc.)
basado en la razón áurea.
• Bartok escribió que seguía a la
naturaleza en la composición y que fue
guiado indirectamente por fenómenos
naturales
para
descubrir
estas
regularidades.
“Allegro barbaro”
Bela Bartok
 • El Allegro Bárbaro es una composición
para piano en la cual Bartok utiliza los
números de Fibonacci 2, 3, 5, 8, y 13