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Música y Matemáticas
http://www.anarkasis.com/pitagoras/menu.htm
En la búsqueda de la explicación de la repetición existen dos grandes
estrategias que siempre han demostrado su gran capacidad para aclarar las
cosas: la medición y la simplificación.
La medición consiste en anotar cuidadosamente los resultados de nuestras
observaciones hasta tener los suficientes datos para aventurar una ley que
resuma las relaciones que parecen existir entre ellos.
Ejemplo: ¿La velocidad del sonido es siempre de 340 m/s?
Por su parte, la simplificación consiste en desnudar a la naturaleza de todas
sus propiedades salvo aquellas que consideramos universales (como número,
distancia o dirección) y utilizar el razonamiento lógico para extraer conclusiones
(teoremas).
Ejemplo: ¿La proporción entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su
diámetro es siempre la misma?
A la medición se le conoce por Física, mientras que a la simplificación se le
llama Matemática. No son dos estrategias separadas: ambas necesitan
frecuentemente la una de la otra para su progreso.
Por otra parte está nuestro sentido de la belleza y la "armonía". Simplificando
mucho, nuestra mente tiende a sentirse cómoda (a veces alegre) con lo
inmediatamente reconocible, ligeramente inquieta (a veces triste) cuando
observa alguna leve variación en lo esperado, y por último muy inquieta (a
veces enojada) cuando no consigue encajar el estímulo. Observa los siguientes
tres cuadros, variaciones de un círculo.
La repetición y la armonía son también la base de una creación humana que otorga
enorme placer a sus admiradores: la música. En las páginas que siguen exploraremos
la estrecha relación existente entre la música, las matemáticas y la física. Para ello,
comenzaremos retrocediendo 50 siglos. ¡Buen viaje!
Para el hombre primitivo había dos señales que evidenciaban la separación
entre vida y muerte. El movimiento y el sonido. Los ritos de vida y muerte se
desarrollan en esta doble clave. Danza y canto se funden como símbolos de la
vida. Quietud y silencio como símbolos de la muerte.
El hombre primitivo encontraba música en la naturaleza y en su propia voz.
También aprendió a valerse de rudimentarios objetos (huesos, cañas, troncos,
conchas) para producir nuevos sonidos.
Hay constancia de que hace unos 50 siglos en Sumeria ya contaban con
instrumentos de percusión y cuerda (liras y arpas). Los cantos cultos eran más
bien lamentaciones sobre textos poéticos.
En Egipto (siglo XX a.C.) la voz humana era considerada como el instrumento
más poderoso para llegar hasta las fuerzas del mundo invisible. Lo mismo
sucedía en la India. Mientras que en la India incluso hoy se mantiene esta idea,
en Egipto, por influencia mesopotámica, la música adquiere en los siguientes
siglos un carácter profundo, concebida como expresión de emociones
humanas.
Hacia el siglo X a.C., en Asiria, la música profana adquiere mayor relieve
gracias a las grandes fiestas colectivas.
Es muy probable que hacia el siglo VI a.C., en Mesopotamia, ya conocieran las
relaciones numéricas entre longitudes de cuerdas. Estas proporciones, 1:1
(unísono), 1:2 (octava), 2:3 (quinta), y 3:4 (cuarta), y sus implicaciones
armónicas fueron estudiadas por Pitágoras (siglo IV a.C.) y llevadas a Grecia,
desde donde se extendería la teoría musical por Europa.
El término "música" proviene del griego "musiké" (de las musas). Por eso la
paternidad de la música, tal como se la conoce actualmente, es atribuida a los
griegos. En la mitología griega, las musas eran nueve y tenían la misión de
proteger
las
artes
y
las
ciencias
en
los
juegos
griegos.
En la antigua Grecia la música abarcaba también la poesía y la danza. Tanto la
danza como el atletismo se sabe que tenían su acompañamiento musical en
tiempos de Homero.
Hacia principios del siglo V a.C., Atenas se convirtió en el centro principal de
poetas-músicos que crearon un estilo clásico, que tuvo su expresión más
importante en el ditirambo.
El ditirambo se originó en el culto a Dionisos (Baco). Las obras -tragedias y
comedias- eran esencialmente piezas músico-dramáticas. La poesía, la música
y la danza se combinaban y las piezas eran representadas en los anfiteatros
por cantores-actores-danzadores.
La poesía era modulada y acentuada por sílabas, e interpretada indistintamente
en prosa común, recitado y canto. La melodía estaba condicionada, en parte,
por los acentos de la letra, es decir, por la melodía inherente a la letra, y el
ritmo musical se basaba en el número de sílabas. Es dudoso que hubiese
diferencia real entre los ritmos musicales y los metros poéticos.
Desde el siglo IV a.C., el músico comenzó a considerarse a sí mismo más
como ejecutante que como autor. El resultado fue el nacimiento del virtuosismo
y el culto al aplauso.
La música, en general, se había convertido en mero entretenimiento, por lo que
el músico perdió mucho de su nivel social. La enseñanza musical acusó un
gran descenso en las escuelas, y los griegos y romanos de las clases elevadas
consideraban degradante tocar un instrumento.
La división entre el ciudadano y el profesional ocasionó el divorcio social y
artístico que en nuestro tiempo todavía afecta a la música europea.
Se considera a Pitágoras el fundador de una corriente místico-filosófica, el
pitagorismo, que alcanzó su esplendor entre los siglos VI y III a.C.
En su escuela se enseñaba, entre otras cosas, el teorema que lleva su nombre
y que comer alubias es "pecado" (y se quedaban tan anchos). Desde nuestra
visión actual, se puede decir que estas enseñanzas constituían una mezcla de
esoterismo y ciencia. En lo que respeta a esta última, y en particular, en lo
concerniente a las matemáticas, el pitagorismo crea los fundamentos sobre los
que el espíritu matemático se basará durante siglos. Toma la palabra Bertrand
Russell, quien, desde su Historia de la Filosofía, nos dice:
Para Pitágoras, “la contemplación simpática apasionada” era
intelectual y desembocó en la ciencia de las matemáticas. Para los que
de mala gana han aprendido en la escuela un poco de matemáticas,
les parecerá algo extraño; pero los que han experimentado el placer
embriagador de la súbita intelección que producen las matemáticas de
vez en cuando, a los que las aman, el concepto de Pitágoras les
parecerá muy natural, aunque no fuese cierto. Podría parecer como si
el filósofo empírico fuese esclavo de su materia, pero que el
matemático puro, como el músico, es creador libre de su mundo de
belleza ordenada. (...)
Él descubrió la importancia de los números en la música, y la relación que
estableció entre la música y la aritmética sobrevive en los términos
matemáticos media armónica y progresión armónica.
La propia palabra matemáticas proviene del término griego Mathema, que
significa conocimiento. Los pitagóricos dividieron esta ciencia en cuatro
secciones: aritmética, geometría, astronomía y música, que constituían la
esencia del conocimiento. Veamos qué nos cuenta Aristóteles sobre la relación
que encontraban los pitagóricos entre matemática y música:
Como los pitagóricos veían que las propiedades y relaciones de la armonía
musical están determinadas por los números y que todas las cosas están
también conformadas según los números y que estos son lo primero en toda la
naturaleza, pensaron que las relaciones de los números son las relaciones de
todas las cosas y que el cielo entero es armonía y número.
Esta clasificación muestra lo que fue el plan de estudios durante siglos: desde
la Antigua Grecia hasta el Renacimiento.
Las siete artes se dividen en “saberes exactos” (Quatrivium o Matemáticas) y
“saberes humanos” (Trivium).
La música estaba considerada una parte de las matemáticas.
Matemáticas
(el estudio de lo inmutable)
Cantidad
(lo discreto)
absoluta
Aritmética
relativa
Música
Magnitud
(lo continuo)
en reposo
Geometría
en movimiento
Astronomía
Quatrivium
Propiedades que comparten Música y Matemáticas
La primera propiedad, excepcional, que tienen en común la Matemática y la
Música es que ambas son lenguajes universales.
Aprovechando esta universalidad, en 1817 el francés François Sudre creó el
idioma artificial solresol, que también servía como lenguaje para sordomudos.
Así, "sol-la-si" (tres tonos ascendentes) significa subir. "Fa-la" significa bueno,
mientras que "la-fa", significa malo. Lo bueno que tenía este lenguaje, que no
prosperó por ser demasiado artificial, es que podía cantarse siguiendo sus
propias notas.
La segunda propiedad, es que la teoría física de las ondas juega un papel
fundamental en nuestra percepción de la música. Y esta teoría puede ser
analizable matemáticamente.
La tercera propiedad nos la recuerda Bertrand Russell (se pronuncia “rasel”):
"...el matemático puro, como el músico, es creador libre de su mundo de
belleza ordenada."
LA ESCALA DIATÓNICA
*
3 : 4 es la media
aritmética de 1 y 1/2
2 : 3 es la media
armónica de 1 y 1/2
Pitágoras estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias
(aritmética, geométrica y armónica) y el misticismo de los números naturales,
especialmente los cuatro primeros (tetrakis). Había experimentado que cuerdas
con longitudes de razones 1:2 (los extremos 1 y 2), 2:3 (media armónica de 1 y
2), y 3:4 (media aritmética de 1 y 2) producían combinaciones de sonidos
agradables y construyó una escala a partir de estas proporciones. A estos
intervalos los llamó diapasón, diapente y diatesaron. Hoy los llamamos octava,
quinta y cuarta porque corresponden a esas notas de la escala pitagórica
diatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do).
Las tres medias (armónica, geométrica y aritmética) forman una progresión
geométrica. Pero, ¿qué le pasó a la media geométrica?.
¿Fue rechazada por su inconmensurabilidad? ¡Correspondía exactamente al
Fa sostenido de la escala cromática!
En su lugar, usaron la quinta repetidas veces (ciclo de quintas). Cada vez que
sobrepasaban la octava, multiplicaban por 2 la longitud de la cuerda para
retroceder a la octava original.
SOL (por 2:3) > RE (por 2:3) > LA (por 2:3) > MI (por 2:3) > SI
Las longitudes de las cuerdas correspondientes quedan así:
do
re
mi
1
8:9
64:81
h
fa
sol
la
si
3:4
2:3
16:27
128:243
do
h
La proporción entre cada cuerda y la siguiente es de 9:8 (tono), salvo en los
casos de fa/mi y do/si, en donde es de 256:243 (hemitono). La pauta entre
tonos y hemitonos es 2-h-3-h.
El problema reside en que aplicar dos hemitonos no equivale a aplicar un
tono. Además, la distribución de tonos y hemitonos es irregular.
La escala usual se obtiene tomando las dos primeras como las mejores
combinaciones (octava y quinta) y repitiéndolas sistemáticamente hasta que
vuelvan a coincidir. Resulta entonces que 12 quintas equivalen (casi ) a 7
octavas.
(3/2)12 / (2:1)7 = 1'0136...
A la diferencia entre estos dos ciclos se le llamó coma pitagórica.
Esta diferencia (que acumulada a lo largo de las octavas produce la coma
pitagórica) condiciona la escala "según la nota en que se empiece" (tonalidad).
Por ello, se crean varios modos distintos. Los más importantes, el modo mayor
(a partir de do, 2-h-3-h) y el modo menor (a partir de la, 1-h-2-h-2).
Prokofiev compuso a los 7 años su ópera El gigante, usando sólo las teclas
blancas del piano.
LA ESCALA CROMÁTICA
1:2
En 1627 el matemático francés Mersenne (el de
los primos 2p-1) formula con precisión la relación
entre longitud de cuerda y la frecuencia en su
obra Armonía Universal. Esto permitiría la
creación de una escala en donde todos los
intervalos son iguales (12 semitonos): la escala
cromática. Se resolvía así el problema de cambiar
de tonalidad (modular) sin reajustar la afinación.
La coma pitagórica había desaparecido.
Eso sí, bajo el coste de eliminar las proporciones
justas de quinta y cuarta.
Marin
(1588 - 1648)
do
2
Mersenne
do#
211:12
re
210:12
re#
29:12
mi
28:12
fa
27:12
|--- --------
--------
------- 7 semit. -------
fa#
26:12
sol
25:12
------- ----|
sol#
24:12
la
23:12
la#
22:12
si
21:12
do
1
Un siglo después, Bach compone El clave
bien temperado, que consiste en 24 piezas en
las doce tonalidades, usando el modo mayor y
menor de cada una de ellas.
Bach (se pronuncia "baj") demuestra de esta
manera las posibilidades de modulación
creadas por una afinación igual (aunque él
mismo no pudiese ejecutarla perfectamente
debido a las limitaciones del clavicordio).
Johann Sebastian Bach
(1685 - 1750)
Leonhard Euler
(1707 - 1783)
Mientras Bach, Handel, Haydn, Mozart,
Beethoven, etc., elevaban la música a alturas de
vértigo, dos famosos matemáticos, Euler y
d'Alembert, producían teorías de música,
continuando la tradición empezada por Descartes
(Compendio
musical),
Galileo
(Discurso),
Mersenne (Armonía Universal) y Leibniz (en
diversas digresiones). Pero la nueva escala
cromática necesitaba nuevas teorías de armonía,
en las que trabajaron Euler (Nueva teoría
musical, en la que trata de ordenar la
consonancia, demasiado matemático para los
músicos y demasiado musical para los
matemáticos) y d'Alembert.
Música y matemáticas ya se estudiaban por separado.
ARITMÉTICA MODULAR
El compositor polaco Chopin (se pronuncia “xopén”)
describió la fuga como “lógica pura”. Era un gran
admirador de la obra de Bach. Siguiendo sus pasos,
aplicó el principio del contraste, alternando los modos
mayor y menor, en su obra 24 preludios (op. 28).
Frédéric Chopin
(1810 - 1849)
Aunque teóricamente daría igual qué tonalidad se
eligiese (los 12 semitonos son iguales), puede que el
pianista, inconscientemente, no toque todos con el
mismo ánimo pues la distribución de teclas negras y
blancas varía en cada caso.
Chopin describió la fuga como " lógica pura"
Las tonalidades de estos preludios de Chopin siguen el orden: Do mayor, La
menor, Sol mayor, Mi menor, Re mayor, etc. ¿Qué orden es este?
Podemos disponer estas 24 tonalidades en un reloj. La parte externa indica el
modo mayor y la interna el modo menor. Así expuesto, se ve claramente que
Chopin sigue “el ciclo de quintas”. Es decir, cada nueva tonalidad está 7
semitonos más arriba que la tonalidad anterior del mismo modo.
Matemáticamente, esto equivale a sumar 7 (módulo 12) en sentido horario.
REPETICIÓN, SIMETRÍAS Y PATRONES
La repetición no continúa indefinidamente en su manifestación física,
pero nos ofrece una imagen del infinito que en potencia contiene.
La repetición es probablemente el procedimiento más usado en música. La
repetición constante puede causar un efecto hipnótico. También puede
provocar una adaptación del oído, como cuando dejamos de percibir el sonido
de una lámpara fluorescente.
Las oberturas de Rossini son un ejemplo de traslación melódica. Las frases se
repiten, cada vez con más intensidad (crescendo), provocando la expectativa
de continuación. El climax se alcanza rompiendo la traslación.
La combinación de simetría y asimetría es el principio
de la música, pues sólo así se puede conjugar unidad y libertad.
Gioachino Antonio
Rossini
(1792 - 1868)
Un eje de simetría funciona como un espejo.
Por otra parte, una reflexión en el plano es
equivalente a un giro espacial de 180 grados.
La característica fundamental de la simetría musical es la repetición.
Todos los tipos de simetría son formas de repetición.
Estamos acostumbrados a encontrarnos con una simetría
general mezclada con detalles asimétricos. Los modelos de
belleza clásicos suelen estar basados en la simetría perfecta y
la proporción.
Las pequeñas asimetrías enriquecen
básico
(humanizan y personalizan) la expresión del rostro.
Puedes comprobar fácilmente cuánto se acerca tu rostro a la
simetría perfecta con una foto tuya (de frente) y un editor de
imágenes.
Y EN TODO ESTO... ¿DÓNDE ESTÁ LA MÚSICA?
Reflexión de la altura en la melodía
Reflexión de la altura en el acorde
Reflexión del ritmo en el tiempo
a tempo ---- accel.---- decel.---- a tempo
Reflexión de la intensidad en el tiempo
p<f>p
Rotación de la altura en el tiempo
Traslación y reflexión de la altura en el
tiempo
Reflexión con homotecia en la duración
(disminución)
Reflexión con homotecia en los intervalos
(compresión)
Traslación en el Estudio Op. 10, No. 12, de
Chopin
Homotecia en la duración, Sonata para piano Op. 90,
Beethoven
Fragmento palíndromo de la Sonata nº 4 para violín y piano, de
Haydn.
Reflexión desplazada en la gigantesca Sonata Hammerklavier Op.
106, de Beethoven
(la imagen reflejada aparece ¡al cabo de 132 compases!) :
Rizando el rizo
En la siguiente composición, Mozart parte de un punto de rotación en el centro
de la partitura y agrega notas hacia ambos extremos. Esto le permite crear un
“dueto de mesa” en donde la partitura debe colocarse entre dos pianos
enfrentados y tocarse al unísono. La misma partitura es interpretada así de dos
formas diferentes a la vez. La rotación sobre el centro permite conservar la
armonía entre los dos pianos.
Composición y combinación
Pulsa juegos de combinatoria y composición
Componer es el arte de combinar distintas ideas buscando una unidad formal.
Cuanto más largo sea el desarrollo de las distintas ideas, más costará
combinarlas. La combinación resulta más fácil cuando se trata de juntar frases
muy cortas (como los compases). Tanto es así que si se establecen bien unos
cuantos compases es posible combinarlos de una variedad increíble de formas,
todas ellas placenteras al oído.
En su obra Musikalisches Würfelspiel (Juego de
dados musical) K516f, de 1787, Mozart compone
176 compases para los minuetos y 96 compases
para los tríos. Cada pieza consta de 16
compases. Estos compases están sueltos, pero
Mozart ofrece unas reglas basadas en el
lanzamiento de dados que permite combinarlos de
múltiples formas. ¿De cuántas?:
Wolfgang Amadeus
Mozart
(1756 - 1791)
Minuetos: 1116 (casi 46 mil billones) formas no
equiprobables correspondientes a dos dados.
Tríos:
616 (casi 3 billones) equiprobables
correspondientes al lanzamiento de un solo dado.
Obra conjunta (minueto + trío): 6616 (más de 1029
). Es decir, más que granos de arena hay en la
Tierra.
Minueto
1
2 96
3 32
4 69
2
22
6
95
3
141
128
158
4
41
63
13
5 6 7
105 122 11
146 46 134
153 55 110
8
30
81
24
9 10 11 12 13
70 121 26 9 112
117 39 126 56 174
66 139 15 132 73
14
49
18
58
15
109
116
145
5 40 17 113 85 161 2 159 100 90 176 7 34 67 160 52
6 148 74 163 45 80 97 36 107 25 143 64 125 76 136 1
7 104 157 27 167 154 68 118 91 138 71 150 29 101 162 23
8 152 60 171 53 99 133 21 127 16 155 57 175 43 168 89
9 119 84 114 50 140 86 169 94 120 88 48 166 51 115 72
1
98 142 42 156 75 129 62 123 65 77 19 82 137 38 149
0
1
3 87 165 61 135 47 147 33 102 4 31 164 144 59 173
1
1
54 130 10 103 28 37 106 5 35 20 108 92 12 124 44
2
16
14
83
79
17
0
93
15
1
17
2
11
1
8
78
13
1
Trío
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
172 6 59 25 81 41 89 13 36 5 46 79 30 95 19
256 82 42 74 14 7 26 71 76 20 64 84 8 35 47
375 39 54 1 65 43 15 80 9 34 93 48 69 58 90
440 73 16 68 29 55 2 61 22 67 49 77 57 87 33
583 3 28 53 37 17 44 70 63 85 32 96 12 23 50
618 45 62 38 4 27 52 94 11 92 24 86 51 60 78
1
6
6
6
8
8
2
1
1
0
9
1
3
1
Podemos oír cada uno de los 176 compases por separado. Los compases
señalados fueron elegidos al azar según las normas de Mozart. Una vez
combinados, el minueto y trío resultantes los hemos oído por primera vez en la
historia ya que la probabilidad de que alguien hubiera generado la misma
combinación es despreciablemente pequeña.
La partitura correspondiente a esta combinación es (pulsa sobre ella para
oírla):
LA PROPORCIóN áUREA en la MúSICA
Si deseamos que la parte menor sea a la parte mayor como esta al todo,
la proporción que buscamos es necesariamente la razón áurea.
La proporción áurea se encuentra también en las creaciones musicales
humanas.
En los instrumentos
En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción
entre el desarrollo del tema y su introducción es la más
cercana posible a la razón áurea. ¿Intuición?
Tampoco se sabe si fue consciente de ello, pero en su
Quinta Sinfonía Beethoven distribuye el famoso tema
siguiendo la sección áurea.
Ludwig van Beethoven
(1770 - 1827)
Los músicos de jazz autodidactas pueden no ser conscientes de la teoría de
escalas, armonía y formas que usan habitualmente.
LA SUCESIÓN DE FIBONACCI
Estrechamente emparentada
con la razón áurea (a la que
tiende la razón de dos
términos consecutivos) se
encuentra la sucesión de
Fibonacci.
Leonardo Pisano Fibonacci
(1170 - 1250)
De
modo
intuitivo
o
consciente,
esta
serie
numérica ha sido utilizada por
las distancias proporcionales
que guardan sus términos.
Bartók usó la serie para crear su "escala Fibonacci". En
su obra Música para instrumentos de cuerda, percusión y
celesta, un análisis de su fuga nos muestra la aparición
de la serie (y de la razón áurea).
Béla Bartók
(1881 - 1945)
CONCLUSIÓN
La música y las matemáticas han estado a lo largo de la historia y continúan
estando muy cercanas. La música necesita del orden y la matemática analiza
ese orden. Proporciones, simetrías, transformaciones, homotecias,
progresiones, módulos, logaritmos... Toda la construcción armónica y parte de
la melódica es pura matemática.
Sin embargo, no todo está clarificado. Como ya anunciaba el compositor Aaron
Copland, hay algo en una buena melodía que no sabemos qué es pero nos
conmueve. Ni siquiera somos capaces de definir qué es una buena melodía.
Parece que nos encontramos como ante el cuadro de Holbein: todo el marco,
todos los símbolos, toda la historia y el contexto parecen muy claros. Pero
queda una sospechosa y extensa mancha en la parte inferior del cuadro que no
sabemos qué es. Y sin embargo intuimos, con razón, que en ella reside la clave
del cuadro.
¿Podremos algún día descifrar este componente anamórfico de la música? Si
se consigue será porque hemos cambiado radicalmente nuestro punto de vista
(o de oído).
* Semitono
De Wikipedia, la enciclopedia libre.
Intervalo musical equivalente a la distancia que hay entre dos teclas adyacentes de
cualquier instrumento de teclado (como el piano).
En música, un semitono se define también como cada una de las dos partes en que se
divide un tono, por lo que es la división más pequeña de la escala cromática.
Tabla de contenidos
1 Afinación pitagórica
2 Tabla de frecuencias en hertz
3 Buen temperamento
4 Temperamento igual
Afinación pitagórica
La primera escala que se usó fue la escala diatónica natural, que fue construida por los
pitagóricos.
Para construirla, se basaron en un hilo tenso de un largo fijo amarrado entre dos tablas
también fijas. Una tercera tabla en contacto con el hilo permitía elegir la longitud del
trozo de cuerda que vibraba al tocarla. Observaron que al variar esta longitud, el sonido
que se producía se modificaba, haciéndose más agudo cuando la longitud se hacía
menor.
Seleccionaron ciertos sonidos, como la octava (que se produce cuando vibra la mitad de
la cuerda), la quinta (cuando vibran dos tercios de la cuerda) y la cuarta (cuando vibran
tres cuartos de la cuerda). Eligiendo otros sonidos adicionales generaron la escala cuya
afinación es conocida como pitagórica.
Tabla de frecuencias en hertz
Usando nombres modernos para las notas, la escala se define como se muestra en la
tabla:
Afinación diatónica natural
Nota Frecuencia fundamental en [Hertz]
do4
fdo4 = 260.74
re4
fre4 = 9 / 8 * fdo4
mi4
fmi4 = 9 / 8 * fre4
fa4
ffa4 = 256 / 243 * fmi4
sol4 fsol4 = 9 / 8 * ffa4
la4
fla4 = 9 / 8 * fsol4
si4
fsi4 = 9 / 8 * fla4
do5
fdo5 = 256 / 243 * fsi4
Re5 fre5 = 9 / 8 * fDo5
Al definir las notas de este modo, se obtienen intervalos de octava, quinta y cuarta
justos.
Octava = diferencia de altura entre do4 y do5 o entre re4 y re5, etc.
Quinta = diferencia de altura entre do4 y sol4 o entre re4 y la4, etc.
Cuarta = diferencia de altura entre do4 y fa4 o entre re4 y sol4, etc.
La diferencia de altura que hay entre do y re o entre re y mi se denomina tono. En
cambio, la diferencia de altura que existe entre mi y fa, que es menor, es un semitono,
es decir, en la escala diatónica natural las distancias entre todas las notas consecutivas
no son todas iguales (algunas son tonos y otras semitonos). Posteriormente se
introdujeron los símbolos # (sostenido) y b (bemol) para indicar que la nota debía
agudizarse o agravarse un semitono, por ejemplo la nota do# (do sostenido) está ubicada
entre medio de do y re, mientras que la nota sib (si bemol) está ubicada entre la y si. De
este modo, se agregaron otras posibles notas a la escala, con lo que se generó la escala
cromática, donde todas las notas están separadas por un semitono.
Se puede notar que tanto entre do y do# como entre mi y fa existe una distancia de un
semitono. En el primer caso se habla de un semitono cromático (ya que una de las notas
no pertenece a la escala diatónica) mientras que en el segundo caso se habla de un
semitono diatónico (ambas notas pertenecen a la escala diatónica).
Debido a la forma los pitagóricos definieron la escala, antes de 1870 había diferencia
entre los semitonos diatónicos (llamados mayores, como los que hay entre el mi y el fa o
entre el si y el do) y los semitonos cromáticos (llamados menores, como los que hay
entre el do y el do sostenido, o entre el do sostenido y el re, etc). La diferencia entre un
semitono mayor y uno menor se llamaba una coma (del latín comma).
Buen temperamento
En los instrumentos de teclado afinados con el sistema antiguo (pitagórico) se
generaban intervalos inaceptables llamados en broma "intervalos del lobo" (por ejemplo
la quinta formada entre si y fa#) que impedían a los músicos utilizar todas las
tonalidades, durante el periodo barroco, el clasicismo y el romanticismo evolucionaron
varios sistemas, llamados en general "buen temperamento" (well temperament), que
desafinaban ligeramente varias notas para "repartir" la desafinación del intervalo lobo
entre otras teclas.
Johann Sebastian Bach escribió su obra El clave bien temperado con ese tipo de
afinación.
Temperamento igual
El temperamento igual de doce tonos fue diseñado para permitir la ejecución de música
en todas las tonalidades con una cantidad parecida de desafinación en cada una,
mientras todavía no se alejaba demasiado de la afinación justa o natural.
Esto permitía un movimiento armónico más fácil, mientras no se perdía del todo la
perfecta afinación natural. Los músicos no consiguieron un verdadero temperamento
igual hasta cerca de 1870, debido a que todavía no se había inventado la medición y la
afinación científica.
En el temperamento igual (o sistema de afinación uniformemente temperado) todos los
semitonos son iguales. En este sistema el sumar un semitono a una nota corresponde a
multiplicar la frecuencia fundamental de la nota por un factor r, mientras que restar un
semitono corresponde a dividir la frecuencia por r. El factor r está dado por:
r = 21 / 12
Se toma como base la nota la4, a la que se le asigna una frecuencia fundamental de 440
Hz. De este modo se logra que todos los semitonos de la escala cromática tengan el
mismo valor, aunque se afecta levemente la calidad sonora de los intervalos de quinta y
cuarta (ya que no se conservan las proporciones fijadas por los pitagóricos).
Escala diatónica
De Wikipedia, la enciclopedia libre.
La escala diatónica es una escala musical , que se puede simbolizar con las teclas
blancas del piano. Tienen dos intervalos, el semitono (mi-fa y si-do) y los tonos
completos (entre las otras notas adyacentes). Tienen siete notas por octava, siendo la
octava nota la repetición de la primera pero una octava mayor.
Su formula Mayor
T=tono st=semitono
T-T-st-T-T-T-st
Ej:Do mayor
T T st T T T st
Do Re Mi Fa Sol La Si Do
Su formula Menor
T-st-T-T-st-T-T
Ej:La menor
T st T T st T T
La Si Do Re Mi Fa Sol La

la escala menor de La es relativa a la escala mayor de Do
lo que quiere decir que tienen las mismas notas en diferente pocision
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Escala_diat%C3%B3nica"
Hacia una cartografía sonora.
http://www.ciem.edu.mx/articuloabstract.htm
En el año 2004 el, compositor y guitarrista Carlos Santos Burgoa y el matemático Elio Atenógenes Villaseñor García, con
apoyo del Fondo Nacional para la Cultura y las Artes, por medio del programa de fomento a proyectos y coinversiones
culturales, realizan un proyecto para la creación de un software para el análisis y la composición musical. Este software
tiene como finalidad crear una herramienta poderosa, practica, sencilla y eficiente, que apoye la creación y aplicación
automática de ciertos códigos composicionales en la música, así como la posibilidad de analizar automáticamente partituras
desde el punto de vista armónico, melódico, estadístico y pitch class set (teoría derivada de la rama de las matemàticas de
los conjuntos), ahorrando tiempo y posibilitando la experimentación.
Como segundo resultado de este proyecto, se ha escrito un libro titulado fundamentos matemáticos de las alturas en la
música en el que se retoma, expande y formaliza la teoría de pitch class set . El libro va llevando al lector a comprender de
una manera clara, desde los conceptos básicos de la teoría de conjuntos hasta la comprensión de un modelo matemático
que abarca, amplia y clarifica los escritos de autores como Allen Forte, Rahn, Morris y Solomon.
Este articulo titulado hacia una cartografía sonora abarca el concepto general presentado en el libro, su utilidad en la
composición y análisis musical, y las posibilidades que abre la interacción con la tecnología dentro del campo de la música
y las matemáticas, en especial con la teoría de conjuntos. Como se plantea en esta teoría, estas posibilidades no se limitan
al ámbito de composición atonal y pueden darse dentro de cualquier estilo y época, apoyando al compositor, interprete,
maestro, estudiante e investigador dentro de todas las áreas e intereses.
Por otro lado, también se aborda la importancia de un método científico para revelar secretos de la composición musical así
como una breve reflexión sobre las investigaciones modernas y tecnologías en surgimiento, y las enormes posibilidades
teóricas, tecnológicas y artísticas que pueden estar a punto de darse en el futuro cercano a favor de la liberación de la
creatividad del conocimiento en la música.
Hacia una cartografía sonora.
Un pasado visionario; un futuro de conocimiento.
Hubo una época en donde se creía en un espíritu humano completo. La importancia de la ciencia, la filosofía, la religión, el
arte y la “gimnasia” eran resaltadas como aspectos trascendentales en la vida de un ser humano. La música era parte de
una ciencia y la ciencia era música. Esta concepción de la música fue poco a poco desapareciendo en el mundo occidental
hasta que en el siglo XVIII la música se separó de la matemática y adoptó una filosofía diferente, satisfaciendo las
necesidades de la burguesía europea.
Actualmente se habla mucho de la relación entre la música y las matemáticas. Un músico hoy en día habla mucho acerca
de la importancia de un “orden” en sus obras musicales, pero desafortunadamente un estudio riguroso de las matemáticas
ya no es implementado dentro de la disciplina de un músico. Eso lleva necesariamente a un estancamiento de
posibilidades. La literatura está llena de temas sobre la tradición pitagórica o la manera de crear afinaciones,
temperamentos y escalas a partir de cálculos matemáticos. Sin embargo estas aplicaciones tan solo son una de tantas
infinitas utilidades que nos ofrece esta interrelación con la ciencia. En un mundo tecnológico, donde la información y la
educación son cada vez más un valor necesario, es hora de reintegrar ambas disciplinas milenarias, es hora de despertar la
libertad de las posibilidades.
Mirando al pasado nos encontramos curiosamente con manuscritos y tablas lógicas extrañas que contienen supuestos
“secretos” composicionales. Una de estas es la Tabula Mirifica de Athanasius Kircher, un monje jesuita del siglo 17, gran
estudioso de todos los campos del conocimiento incluyendo la música.
La explicación de esta tabla es un poco compleja, por ahora nos limitaremos a decir que fue creada para denotar todas las
posibilidades contrapuntísticas existentes (de acuerdo a la música de la época) y funcionaba como una especie de “ábaco
musical”. Tablas como esta eran comunes en los tratados de la época y conformaban parte del estudio de lo que se conoce
como ars combinatoria en la música. Paralelamente, tenemos referencias a un tratado que publica C.F.E Bach en 1757
donde describe una manera de generar 429,536, 481 ejemplos de contrapunto invertible “sin saber las reglas”, fue en estas
épocas también en donde se crearon los primeros juegos de dados musicales. La idea de estos juegos era que uno tiraba
los dados y de acuerdo a los resultados se armaban combinaciones aleatorias de compases pre-escritos; en cualquier
combinación supuestamente se generaba una pieza perfectamente armada.
Todos estos esquemas teóricos, juegos y métodos se pueden concebir como un intento inicial de lo que podemos llamar un
“mapeo” o cartografía de posibilidades sonoras. En todos los casos se tenía necesariamente un esquema o “mapa” formallógico de las posibles combinaciones que se podían generar para la composición de una pieza musical. Tomando esta idea,
cualquier pieza musical tendría invariablemente un lugar dentro del esquema-mapa en cuestión ya que estos nos denotan
todas las posibilidades.
Hagamos una analogía con un mapa estelar real. En el mapa del cielo tenemos constelaciones, estrellas, planetas, lunas,
etc., y el cielo esta dividido en regiones. Cada vez que se descubre un objeto nuevo, se da la coordenada para denotar su
ubicación, sólo que en el caso del cielo hablamos de grados y ascensiones rectas. En el caso de la música tendremos que
usar otros términos, sin embargo, hagamos una reflexión; existen una infinidad de posibilidades reales de combinaciones
sonoras existentes y no existe a la fecha una cartografía que las denote todas............(mazzola)
Ahora, tratemos por unos momentos de imaginar el gran universo de todas las posibilidades sonoras. Aquel universo
incluye todos los posibles patrones de alturas, duraciones, timbres, masas, intensidades y combinaciones de colores
sonoros existentes. Dentro de él se encuentran todos los sonidos, ruidos y música que emiten los objetos, instrumentos,
voces, animales, personas y demás fenómenos naturales. De este universo sonoro, solamente conocemos una pequeña
porción y nuestra relación con el, está condicionada por nuestra percepción, nuestras pre-concepciones y la cultura. A su
vez, sólo una parte de esta porción conocida, se puede decir que tiene un “sentido artístico”, a este sentido, siempre en
movimiento, le hemos llamado música.
Si hacemos la analogía de la inmensidad de este universo con un mar inexplorado y enorme que tenemos enfrente de
nosotros, nos vemos puestos en el tablero, como navegantes dedicados a explorar y a descubrir tierras ocultas en un
mundo que ni en milenios terminaríamos de recorrer. La realidad es que muchas veces la teoría nos queda corta para
guiarnos en esta búsqueda y quizás siempre sea así.
Se dice que hay música que aún contiene enigmas sin resolver. ¿Dentro del universo de posibilidades sonoras, cuantas
obras “existen” que comparten un espíritu especial? ¿Cuántas posibilidades quedan por explorar? ¿Cómo podemos
comprender y guiarnos en este universo?
Sería un sueño y una fuente de poder maravilloso, dentro de esta era tecnológica, concebir una teoría más global, un
lenguaje lógico-formal más amplio que nos permita cartografiar la totalidad de este universo sonoro, para ayudarnos a
revelar todos sus secretos. Dentro de esta cartografía estarían incluidas todas las posibilidades sonoras posibles, todas las
obras musicales compuestas o incluso no existentes aún. Esta cartografía, tendría que ser relativamente sencilla,
fundamentada en las características de nuestra percepción y neutral a cualquier estilo o época. Sin duda esta parece una
tarea de siglos. A menos de que para auxiliarnos, nos valgamos de un lenguaje igualmente milenario que la música: las
matemáticas.
Teoría de conjuntos en la música.
Si uno quisiera crear una teoría de las alturas de la forma más natural posible y por demás neutral a cualquier estilo
musical, la manera más acertada quizás sea utilizar la teoría de conjuntos, ya que los conjuntos representan una manera
intuitiva y abstracta de percibir el mundo. De hecho, se ha demostrado que como músicos ya aplicamos de una manera
intuitiva y semi-formal las nociones de la teoría de conjuntos, cada vez que analizamos una partitura.
Un conjunto es una colección de elementos.
Ej. El conjunto A = {a, b, c, d}.
Un subconjunto (B
A) se puede entender como un conjunto que esta contenido en otro conjunto.
La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que contiene este conjunto: 1 elemento, 2 elementos, 3 etc. Ej:
La cardinalidad de un acorde de séptima es = 4.
La unión de A y B (A
B) se puede entender como un conjunto C que está formado por A y por B simultáneamente.
C es la unión de A con B (A
La intersección de A con B (A
B)
B) es el subconjunto común a A y a B.
El complemento de un conjunto A (
contenidos en A.
) es el conjunto que contiene todos los elementos del universo que no están
En esta gráfica, B es el complemento de A.
Estos conceptos de conjunto, subconjunto, intersección, unión, complemento etc., son tan sólo las definiciones básicas
dentro de la teoría de conjuntos. La teoría es muy vasta y puede llegar a ser muy compleja. En el ámbito de la música, la
teoría de conjuntos nos ayuda además para definir conceptos como los de relación, función y similitud, los cuales
desgraciadamente en la teoría musical no presentan definiciones formales. La teoría de conjuntos ha sido formalmente
aplicada dentro del análisis y composición de música atonal, sin embargo, también es posible construir un modelo
matemático formal de la armonía tonal (o cualquier otra) utilizando definiciones básicas dentro de la teoría de conjuntos.
Pitch y Pitch class set.
Durante el siglo pasado, diferentes compositores y teóricos desarrollaron una teoría basada en los conjuntos pero
enfocados a la música. Esta teoría cada vez más común se le llama comúnmente pitch class set theory y dentro de la
amplia literatura sus exponentes más conocidos son Allen Forte, Milton Babbit y Rahn.
Recientemente hemos terminado la escritura de un libro titulado fundamentos matemáticos de la teoría de las alturas en la
música en donde recopilamos definiciones y conceptos de varios autores, los formalizamos matemáticamente cuando era
necesario y ampliamos varios conceptos. A diferencia de otros libros, este esta escrito para el músico que quiere entender
de manera sencilla TODOS LOS CONCEPTOS DESDE UN INICIO, y sin embargo, presentamos en recuadros opcionales
separados también la notación matemática junto con un glosario para quien quiera entenderla y no tenga conocimientos
suficientes de matemáticas de antemano.
El concepto que se plantea va mas allá de ser una teoría creada para el análisis y composición atonal, nuestra idea fue
crear los cimientos para un modelo cartográfico neutral a cualquier estilo, época o género musical y basado puramente en
las características de nuestra percepción de similitudes y simetrías en el sonido. Desde este punto de vista cualquier
fragmento de música ya sea música de concierto, comercial, oriental, microtonal, medieval, incluso la música que no se ha
compuesto todavía puede decirse que tiene una coordenada dentro de un mapa lógico matemático. No nos limitamos
siquiera a la escala cromática. Con esta teoría es posible modelar desde acordes en una escala mayor hasta cantos de
pájaros dentro de un espectro continuo de sonido, de hecho el modelo está creado incluso para incluir alturas no definidas,
como en el caso de un platillo o una conga.
Varias veces se ha criticado la teoría de conjuntos en la música, afirmando que como proceso de análisis revela
información poco relevante ya que no describe el proceso mental de compositor. Aquí cabe notar que a veces esta crítica
no se plantea sin razón, sin embargo hay que aclarar que esto es cierto solo en algunos casos. Algunas veces resuelve
problemas aún más fácilmente que con la teoría tradicional y aún en los casos en donde no releva información sobre los
procesos composicionales de la manera en que el autor los concibió, si nos ayuda a revelar patrones perceptibles que
posiblemente el compositor mismo no fue conciente de ellos. Sin embargo nunca se ha planteado la posibilidad que esto
puede ser aún mas importante que aquellos patrones inmediatamente perceptibles y obvios. Por otro lado, quien asegura
que nuestra supuesta “inamovible” teoría de la armonía o contrapunto refleja fielmente los procesos composicionales de
autores como Bach o incluso Beethoven o Mozart. Diferentes investigaciones demuestran que de hecho no es así, y sin
embargo utilizamos la teoría a nuestro beneficio.
La utilidad de la teoría de conjuntos en la composición de obras musicales es tema de un artículo en si mismo, ya que
originalmente el pitch class set es una teoría enfocada al análisis, por ahora solo podemos decir que sus utilidades en la
composición son realmente vastas. Se invita a los compositores a llegar a sus propias conclusiones acerca de esto y
explorar sus inmensas posibilidades. Se recomienda investigar en la literatura apropiada.
Crear una teoría es simplemente crear un lenguaje con el cual describir un fenómeno, esta teoría representa un paradigma
nuevo que cada quien puede vivir a su forma. Pensar en la utilidad de este nuevo paradigma en surgimiento es análogo a
pensar en la utilidad de prender la luz en un cuarto oscuro, o análogo a pensar en las posibilidades que puede traer el
aprender a hablar en un idioma tan milenario como la música misma. ¡Que la imaginación encuentre sus propias
respuestas!
La tecnología, instrumento de navegación sonora.
Actualmente se cuenta ya con un prototipo de software para analizar música utilizando pitch class set , así como para la
composición utilizando códigos o métodos de generación de material.
Dentro de la aplicación de pitch class set , el software tiene capacidad para seleccionar y analizar objetos musicales,
denotar su interválica, forma normal, forma prima, y mostrar tablas de frecuencias o histogramas. Sin embargo pitch class
set no es la única aplicación de análisis contemplada en el software.
Para la composición musical, algunas de las aplicaciones automáticas o semi-automaticas contempladas incluyen: filtros,
permutaciones, dilataciones y contracciones, inversos, transposiciones, generación de matrices serialistas, ciclos, cánones,
armonizaciones y muchas otras mas.
La propuesta es que mediante este sistema, el compositor podrá realizar análisis musical a un nivel diferente. Una vez
resueltas las cuestiones automáticas implícitas en el proceso de analizar una obra, el investigador o compositor podrá
enfocar su energía a cuestiones mas visionarias del análisis.
Igualmente dentro de la composición, una vez resueltas las cuestiones mecánicas, el compositor podrá enfocar su energía
a experimentar con diferentes códigos, funciones y transformaciones, sin necesidad de re-escribirlas todas las veces.
Simplemente imagine por poner un ejemplo, una composición creada en un estilo serialista, una vez que se termina la obra
uno se pregunta que pasaría si la misma obra fuera re-escrita exactamente igual pero con otra serie original. Esto se puede
hacer fácilmente con un sistema de cómputo, y posteriormente el compositor dedicará su proceso creativo a jugar con
posibilidades y/o alteraciones o refinaciones personales de los códigos,. Una vez que no sea necesario que el músico se
concentre en la aplicación y escritura del código, este puede centrar su atención en una visión “macro” o en la
experimentación, despertando así su creatividad.
Desde los inicios de la tradición pitagórica hasta la modernidad, han existido numerosos tratados que han llevado a cabo
una búsqueda, desde las perspectivas matemáticas, para poder lograr un mayor entendimiento de las posibilidades, y el
poder de la música. Sin ayuda de sistemas de cómputo, sin ayuda de calculadoras y medios masivos de comunicación, los
iniciadores de estas búsquedas han soñado y vivido con esta posibilidad. ¿Que podemos hacer nosotros ahora que
tenemos los medios para hacerlo?
Cartografiando mundos sonoros.
La tecnología actual permite la generación y almacenamiento de grandes volúmenes de información en forma de datos
digitales. Estos datos son representaciones de fenómenos observados o características de objetos específicos. En el caso
de la música, los datos pueden representar obras completas; por ejemplo, un archivo MIDI o MP3, no es más que la
representación digital de una obra musical. Esta representación es decodificada y convertida en sonido. De manera que, es
posible contar con grandes cantidades de obras musicales, representadas de manera digital y almacenadas en bases de
datos.
Sin embargo, esta representación no solo permite escuchar la obra musical. El hecho de contar con una representación
digital de un objeto, implica que las propiedades de dicho objeto, pueden ser analizadas por medio de la aplicación de
ciertas técnicas de vanguardia denominadas Análisis Inteligente de Datos . Estás técnicas matemático-computacionales
son útiles para extraer información valiosa, subyacente en grandes cantidades de datos, de manera automática. Su
principal motor es la ejecución de algoritmos (es decir procedimientos) matemáticos, cuyo objetivo es el identificar patrones
y correlacionar los distintos objetos de acuerdo a sus características propias. Estas modernas técnicas nos ayudan además
a revelar información que difícilmente podríamos captar a simple vista.
En el caso de la música, existen algunos ejemplos interesantes de la aplicación de estas técnicas en el análisis de obras
musicales. Sin embargo, estas implementaciones aún no tienen un impacto trascendente; inclusive dentro de los ámbitos
académicos, estos trabajos aún no tienen un eco significativo ya que han sido realizadas en su mayoría por matemáticos
que no divulgan su trabajo a un nivel entendible para un músico. Otra de las posibles causas puede ser lo novedosas que
en si mismas resultan estas técnicas. Sin embargo, talvez la causa de mayor peso sea que aún no está claro que utilidad
puede tener el uso de estos métodos para analizar música. Por otro lado, el uso de estas técnicas normalmente tiene la
gran limitante de que no es fácil para una persona no entrenada interpretar los resultados que arrojan. Por tal motivo, una
de los retos más importantes en las aplicaciones es la de la representación y visualización del conocimiento obtenido. En
muchos casos, las técnicas de visualización tienen como resultado último la conformación de despliegues bidimensionales
en los cuales se encuentran relacionados los distintos datos de acuerdo a su similitud; estos despliegues bidimensionales
reciben el nombre de mapas de conocimiento.
Volviendo a la cartografía sonora, la tecnología actual permite el diseño e implementación de espacios virtuales, donde
además de visualizar y representar el conocimiento, sea posible interactuar con objetos sonoros . De esta manera, la
relación del compositor con su materia prima, patrones sonoros, será más directa y sobre todo, más inteligente. En el
sentido que en todo momento el creador sabrá donde encontrar lo que está buscando.
Sin embargo, para poder implementar de manera exitosa estas técnicas, antes es necesario contar con un modelo
matemático adecuado que sea consistente con la fenomenología que se pretende describir. Es decir, debe considerar todos
aquellos aspectos a ser estudiados y además encontrar matemáticas suficientemente robustas, para todos aquellos
aspectos a analizar.
Por tal motivo el desarrollo de una teoría matemática de la música es un primer paso, necesario para la implementación
de estas tecnologías para la composición y el análisis; y más aún, para la implementación de la cartografía sonora en un
espacio virtual.
Actualmente, la matemática de la música se encuentra en un proceso de incubación. Por un lado, existen grupos de trabajo
que se han concentrado en desarrollar matemáticas que describen algunos aspectos de la fenomenología musical, muchos
de estos trabajos tienen el gran inconveniente de ser poco accesibles, inclusive para los matemáticos. Sin embargo, aún no
existe un modelo matemático que englobe todos los posibles aspectos a considerar; y que al mismo tiempo, se presente de
una manera accesible para a los músicos.